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焘慷屠
6 years ago
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1 注意 : 允許學生個人非營利性的圖書館或公立學校合理使用本基金會網站所提供之各項試題及其解答可直接下載而不須申請重版系統地複製或大量重製這些資料的任何部分, 必須獲得財團法人臺北市九章數學教育基金會的授權許可申請此項授權請電郵 ccmp@seed.net.tw Notice: Individual students, nonprofit libraries, or schools are permitted to make fair use of the papers and its solutions. Republication, systematic copying, or multiple reproduction of any part of this material is permitted only under license from the Chiuchang Mathematics Foundation. Requests for such permission should be made by ing Mr. Wen-Hsien SUN ccmp@seed.net.tw

2 5. 我們來看下面的問題 : 已知兩個數的和是 7, 求這兩個數這個問題裡有兩個未知數, 如果設一個數是 x, 另一個數是 y, 那麼根據題意, 可以列出方程 x+ y = 7 這個方程含有兩個未知數, 並且含有未知數的項之次數都是, 這樣的方程叫做二元一次方程當 x = 3 y = 4 時, 方程 x+ y = 7 左右兩邊的值相等, 我們說 x = 3 y = 4 是適合 ( 或滿足 ) 方程 x+ y = 7 的適合一個二元一次方程的每一對未知數之值, 叫做這個二元一次方程的一個解例如 x = 3 y = 4 就是方程 x+ y = 7 的一個解, 我們把它記作 x = 3 = 4 要求二元一次方程 x+ y = 7 的解, 可以把這個方程變形, 用含有 x 的代數式表示 y, 得 y = 7 x 在這個方程裡, 如果 x 取一個值, 就可以求出與它對應的 y 之一個值例如 : 取 x =, 可以得到 y = 8 ; 取 x = 0, 可以得到 y = 7 ; 取 x =.7, 可以得到 y = 4.3; 取 x = 5, 可以得到 y = ; 這樣得到的每一對未知數之值都適合方程 x+ y = 7, 所以它們都是這個方程的解對於任何一個二元一次方程, 讓其中一個未知數取任意一個 - 5 -

3 值, 都可求出與它對應的另一個未知數之值因此任何一個二元一次方程都是有無數個解由二元一次方程的所有解組成之集合, 叫做這個二元一次方程的解集. ( 口答 ) 下列方程中, 哪些是二元一次方程? 哪些不是? 為什麼? () x 3y = 9; x+ = 6z; (3) 4 y x + = ; (4) x 5= 3y. ( 口答 ) 在 x = 0 x = x = = = 3 = 5 三對數值中, () 哪對是方程 x y = 7的解? 哪對是方程 x+ y = 4的解? 3. 在下列方程中, 用含 x 的代數式表示 y: () x+ y = 3; 3x y = ; (3) x+ 3y = 0; (4) x 3y+ 5= 0 4. 在方程 3x+ y = 中, 設 x = 3 4 5, 分別求出對應的 y 之值 5. 我們再來看下面的問題 : 有甲乙兩個數, 甲數的 3 倍比乙數的倍多, 甲數的倍與乙數的 3 倍之和是 6, 求甲乙兩數這個問題, 用設一個未知數列一元一次方程的方法來求解, 比較困難如果設兩個未知數, 例如甲數是 x, 乙數是 y, 那麼就可以列出下面兩個二元一次方程 : - 5 -

4 3x y = () x+ 3y = 6 上面的問題就是要求出既適合方程 (), 又適合方程的 x 與 y 之值, 也就是求出這兩個方程公共解把這兩個方程變形, 用含有 x 的代數式表示 y, 得 3 y = x 6 y = x 3 3 從 (3) 可以求得方程 () 的一些解 x = 0 x = x = 5 ; y = = 4 = 從 (4) 可以求得方程的一些解 x = 3 x = 7 x = 5 0 y = = ; y = 3 3 可以看出, 其中的 x = 5 = 既是方程 () 的一個解, 又是方程的一個解, 所以它就是這兩個方程的公共解上面所說, 可以用圖 5- 來表示 (3) (4) x = 0 y = x = = 4 x = 5 = x = 3 0 y = 3 x = 7 y = 3 方程 () 的解集方程 () 的公共解圖方程的解集

5 由幾個方程組成的一組方程, 叫做方程組由幾個一次方程組成並含有兩個未知數的方程, 叫做二元一次方程組例如, 上面的方程 (), 合在一起, 就組成一個二元一次方程組, 記作 3x y = x+ 3y = 6 本章中所說的二元一次方程組, 都是指由兩個一次方程組成的二元一次方程組方程組裡各方程的公共解, 叫做這個方程組的解例如, 上面的方程 (), 之公共解 x = 5 = 就是方程組 3x y = x+ 3y = 6 的解. ( 口答 ) 下列方程中, 哪些是二元一次方程組? 哪些不是? 為什麼? x+ 3y = 5 x+ 3y = 6 () (3) x 3y = 3 x y = 8 x+ 3y = 3 x+ 3y = 5 (4) (5) x y (6) xy = + = 6 3. ( 口答 ) 在 x = x = x = 4 = = = 5 三對數值中, 哪一對是下列方程組的解? () x y = 3 3x+ 4y = y = x 3 4x 3y = x+ 3y = 9 y+ z = 7 x+ 3y = 6 y = 3 x

6 3. 根據已知條件, 求出 y 的值, 分別填入各圖的右圖裡, 並找出方程組的解 x y = 3x y y = 3x x = x y x = y ???? 3 0 7???? ( 第 3 題 ) 5.3 求方程組的解之過程, 叫做解方程組下面我們學習解二元一次方程組的兩種常用方法我們已經學過解一元一次方程, 如果能夠通過二元一次方程組裡的兩個方程, 得到一個只含一個未知數的一元方程 ( 即一元一次方程 ), 求出這個未知數的值, 然後再設法求出另一個未知數的值, 問題就解決了下面我們就按照這條化二元為一元的思路來分析具體問題例如, 解方程組 y = x x + y = 3 這就是要求出這兩個二元一次方程的公共解如果這兩個二元一次方程有公共解, 那麼兩個方程中同一個未知數就應取相同的

7 值因此, 第二個方程中的 y 可用第一個方程中表示 y 的代數式 x 來代替 : y = x () x+ y = 3 把 () 代入, 得 x+ x= 3 這樣, 就由兩個二元一次方程得到一個一元一次方程, 消去了一個未知數解這個一元一次方程, 得 x =, 把 x = 代入 (), 就可以得到 y = 要驗算所得結果是不是原方程組的解, 應把這對數值代入原方程組裡的每一個方程進行驗算經過驗算可以知道, 由上述步驟得到的一對未知數之值 x = = 是原方程組的解我們再看幾個例子解方程組 y = x 3x+ y = 5 把 () 代入, 得 3x+ ( x) = 5 3x+ x= 5 x = 3 把 x = 3代入 (), 得 y = x = 3 = 驗算 : 把 x = 3 y = 代入 (), 得左邊 =, 右邊 = 3=, 左邊 = 右邊 ()

8 再代入, 得左邊 3 3+ ( ) = 5, 右邊 = 5, 左邊 = 右邊所以 x = 3 = 是原方程組的解 ( 驗算可用口算, 不必寫出, 以下同 ) 解方程組 x+ 5y = x+ 3y = 8 () 分析 : 在這個方程組裡, 方程中未知數 x 的係數是, 為了方便起見, 可以先把方程變形, 用含 y 的代數式表示 x, 然後再解由, 得 x= 8 3y (3) 把 (3) 代入 (), 得 (8 3 y) + 5y = 6 6y+ 5y = y = 37 y = 37 把 y = 37 代入 (3), 得 x = x = 03 x = 03 =

9 3 解方程組 x 7y = 8 3x 8y 0= 0 () 分析 : 在這個方程組裡, 每個方程中各個未知數的係數都不是, 但可以運用方程同解原理把其中的一個方程變形, 使這個方程中的一個未知數之係數為, 然後再解由 (), 得 x = 8+ 7y 8+ 7y x = (3) 把 (3) 代入, 得 3(8 + 7 y) 8y 0= y 6y 0 = 0 5y = 4 4 y = 5 4 把 y = 代入 (3), 得 x = 5 x = 5 x = 5 y =

10 上面幾個例題的解題步驟一般是 :. 將方程組裡的一個方程變形, 用含有一個未知數的代數式表示另一個未知數 ;. 用這個代數式代替另一個方程中相應的未知數, 使解二元一次方程組轉化為解一元一次方程, 求得一個未知數的值 ; 3. 把求得的這個未知數之值代入原方程組裡的任意一個方程, 求得另一個未知數的值, 從而得到方程組的解這種解方程組的方法叫做代入消元法, 簡稱代入法. 用代入法解下列方程, 並寫出驗算 : y = x x+ 5z = 6 () 7x 3y = 3x 6z = 4. 用代入法解下列方程 : 6x 5y = y = x 3 () 3x+ y = 8 x = 3 (3) s= 3 t x z = 5 (4) 3s t = 5 3x+ 4z = (5) x+ 3 y = 4x 9y = 8 (6) 3m 4n= 7 9m 0n+ 5= 我們再來學習另一種通過消去未知數來解二元一次方程組的方法例如, 解方程組 x+ y = 5 () x y =

11 在這個方程組的兩個方程中, 未知數 y 的係數互為相反數, 如果把這兩個方程的兩邊分別相加, 就可以消去 y, 得到一個一元一次方程 x + y = 5 () x y = () +, 得 x = 6 (3) 由 (3), 得 x = 3 把 x = 3 代入 () 或, 得 y = 經過驗算, x = 3 = 是原方程組的解在上面的兩個方程中, 我們又看到, 未知數 x 的係數相等如果把這兩個方程的兩邊分別相減, 就可以消去未知數 x, 也能得到一個一元一次方程 x + y = 5 () x y = ()-, 得 y = 4 (4) 由 (4), 得 y = 把 y = 代入 () 或, 得 x = 3 我們再看幾個例子解方程組 3x+ 7y = 0 () 3x 5y = 6 分析 : 在這兩個方程中, 未知數 x 的係數相等, 把方程 () 的兩邊分別相減, 就可以消去 x ()-, 得 y = 36 y =

12 把 y = 3 代入 (), 得 3x + 7 ( 3) = 0 x = 3 x = 3 y = 3 解方程組 9u+ v= 5 3u+ 4v= 0 () 分析 : 在這兩個方程中, 同一個未知數的係數之絕對值都不相等, 如果直接把這兩個方程的兩邊分別相加或相減, 都不能消去任何一個未知數但是只要在方程 () 的兩邊都乘以, 就可以使兩個方程中的未知數 v 之係數相等, 然後再把兩個方程的兩邊分別相減而消去 v (), 得 (3)-, 得 8u+ 4v= 30 (3) 5u = 0 u = 3 把 u = 代入, 得 v = 0 3 4v = 6 v = - 6 -

13 u = 3 v = 想一想 : 能不能先消去未知數 u? 如果能, 應當怎麼做? 3 解方程組 3x+ 4y = 6 () 5x 6y = 33 分析 : 在方程 () 的兩邊都乘以 3, 在方程的兩邊都乘以, 就可以使未知數 y 的係數之絕對值相等, 然後把兩個方程的兩邊分別相加而消去 y () 3, 得 9x+ y = 48 (3), 得 0x y = 66 (4) (3) + (4), 得 9x = 4 x = 6 把 x = 6 代入 (), 得 y = 6 4y = y = x = 6 y = 解上面幾個例題時, 我們在方程組裡一個方程的兩邊都乘以一個適當的數, 或者分別在兩個方程的兩邊都乘以一個適當的數, 使其中某一個未知數的係數之絕對值相等, 然後把方程兩邊 - 6 -

14 分別相加或相減, 消去這個未知數, 使解二元一次方程組轉化為解一元一次方程這種解方程組的方法叫做加減消元法, 簡稱加減法用加減法解題時, 一般可以先把方程組裡的每個方程整理成含未知數的項在方程左邊常數項在方程右邊的形式, 然後再進行加減消元 4 解方程組 ( x 50) = 5(3y+ 50) 0% i x+ 6% i y = 8.5% 800 把方程 () 分別化簡, 得 x 5y = 550 5x+ 3y = 3400 (3) + (4) 5, 得 7x = 7550 x = 650 把 x = 650 代入 (4), 得 y = y = 50 y = 50 x = 650 = 50 用加減法解下列方程組 : 3x+ y = 8 3m+ n= 6. () x y = 7 3m n= (3) 3 p+ 7 q = 9 x+ z = 9 (4) 4p 7q = 5 3x z = (5) 5 x+ y = 5 3x 7y = (6) 3x+ 4y = 5 5x 4y = 7 () (3) (4)

15 (7). () 8s+ 9t = 3 (8) 7s 6t = 74 x y + = 3 5 3( x+ y) + ( x 3 y) = 5 x+ y = 60 30% i x+ 6% i y = 0% 60 4x 5y 7= 0 6x 5y 3= 含有三個未知數, 並且含有未知數的項之次數都是的方程叫做三元一次方程例如, x+ 3y+ 5z = 4就是一個關於 x y z 的三元一次方程任何三元一次方程都有無數個解由幾個一次方程組並含有三個未知數的方程組, 叫做三元一次方程組例如, 方程組 3x+ y+ z = 3 () x+ y+ z = 7 x+ 3y z = (3) 就是由三個一次方程組成的三元一次方程組本章中所說的三元一次方程組, 都是指由三個一次方程組成的三元一次方程組下面我們學習三元一次方程組的一種解法解三元一次方程組, 可以把方程組裡的一個方程分別與另外兩個方程結合成兩組, 利用代入法或加減法消去這兩組中的同一個未知數, 得到含另外兩個未知數的兩個二元一次方程, 解由這兩個二元一次方程組成的二元一次方程組, 求得兩個未知數的值後, 再求出被消去的那個未知數之值這樣, 通過把三元的問題逐步化為二元一元的問題後, 從而求得了原方程組的解我們看幾個例子

16 解前面給出的三元一次方程組分析 : 在這個方程組裡, 方程 () 中未知數 z 的係數為, 可以把方程 () 分別與 (3) 結合, 先消去 z () + (3), 得 5x+ 5y = 5 (4) () -, 得 5x+ 3y = 9 (5) 把方程 (4) (5) 組成一個二元一次方程組 5x+ 5y = 5 (4) 5x+ 3y = 9 (5) 解這個二元一次方程組, 得 x = = 3 把 x = y = 3 代入 (), 得 z = 3 z = x = y = 3 z = 要驗算所得的結果是不是原方程組的解, 應把這組值代入原方程組裡每一個方程進行驗算, 請自行寫出驗算解方程組 3x+ 4z = 7 () x+ 3y+ z = 9 5x 9y+ 7z = 8 (3) 分析 : 在這個方程組裡, 方程 () 只含兩個未知數 x z, 所以只要由 (3) 消去 y, 就可以得到含 x z 的二元一次方程組因此先消去 y 比較方便

17 3 + (3), 得 x+ 0z = 35 (4) 把方程 () (4) 組成一個二元一次方程組 3x+ 7z = 7 () x+ 0z = 35 (4) 解這個二元一次方程組, 得 x = 5 z = 把 x = 5 z = 代入, 得 5+ 3y = 9 3y = y = 3 x = 5 y = 3 z = 解下列三元一次方程組 : () 3x y+ z = 4 x+ 3y z = x + y + z = 6 x+ 4y+ 3z = 9 3x y+ 5z = 5x 6y+ 7z = 3 (3) 4x 9z = 7 3x+ y+ 5z = 8 x + y + 3z = z = x+ y (4) x 3y+ z = 5 x + y z =

18 . 已知二元一次方程 x 7y = 4 () 用含 x 的代數式表示 y; 用含 y 的代數式表示 x. 根據表中給定的 x ( 或 y) 之值, 從方程 3x+ y = 5, 求出對應的 y ( 或 x) 之值 x 0 3 y 已知二元一次方程組 y = x 3x+ y = 5 () 求出方程 () 的四個解, 其中 x = 3 4; 求出方程的四個解, 其中 x = 3 4; (3) 找出這組方程的解 ; (4) 把上面的結果填入下圖 () x = = x = = x = = x = = x = y = x = = x = = 方程 () 的解集方程 y = x 3x+ y = 5 的解方程的解集 ( 第 3 題 )

19 4. 用代入法解下列方程組 : y = x+ 3 () 7x+ 5y = 9 (3) 3 p = 5 q p 3q = m n = (5) 5 m+ 3n= 4 5. 用加減法解下列方程組 : () 3 x+ y = 9 3x 5y = (3) 6 x+ 5 z = 5 3x+ 4z = 0 (5) 8 u+ 3 v+ = 0 6u+ 5v+ 7= 0 (7) m 3 n= 3m+ 5n=.9 6. 解下列方程組 : 3x y = () 3x= y 5( m ) = ( n+ 3) (3) ( m+ ) = 3( n 3) (4) (6) (4) (6) (8) (4) 3x 5z = 6 x+ 4z = 5 9p 3q+ = 0 p = 3q 3x z = 5 5x+ z = 5. s+ 5t = 3s 5t = 3 5s+ 6t = 6 7s 9t = 5 y z + = 3 3 y z = u 4v= 0. 8u 5v= 3( x ) = y+ 5 5( y ) = 3( x+ 5) u 3v + = 3 4 4u 5v 7 + =

20 (5) (7) (8) y x+ = 3 x+ = 5( z+ ) 3 6 (6) 3(x 5) 4(3z+ 4) = 5 y y x = 3 x + 8 v= t v 3t = 3 x+ y = % i x+ 64% i y = 800 9% 7. 解下列三元一次方程組 : 3x y+ z = 3 () x+ y 3z = x+ y+ z = y = x 7 (3) 5x+ 3y+ z = 3x 4z = 4 (4) 5x 3y+ 4z = 3 x+ 7y 3z = 9 3x+ y z = 8 4x+ 9y = 3y z = 3 7x+ 5z = 對於某些含有兩個或兩個以上未知數的問題, 有時可以用一次方程組來求解下面我們看幾個例子某工地派 48 人去挖土與運土, 如果每人每天平均可挖土 5 立方單位或運土 3 立方單位, 那麼應怎樣分配挖土與運土的人數, 正好能夠使挖出的土可及時運走? 分析 : 這個問題裡有兩個未知數挖土人數與運土人數未知數與已知數之間有以下的相等關係 :

21 () 挖土人數 + 運土人數 = 派出的總人數 ; 每天挖土的總方數 = 每天運土的總方數, 即 5 ( 挖土人數 ) = 3 ( 運土人數 ) 如果分別用 x y 表示挖土人數與運土人數, 那麼根據上述相等關係, 就可以列出一個二元一次方程組設應分配 x 人挖土,y 人運土, 根據題意, 得由, 得把 (3) 代入 (), 得 3 5 x+ y = 48 5x = 3y () 3 x = y (3) 5 y+ y = 48 8y = 40 y = 30 把 y = 30 代入 (3), 得 x = 8 x = 8 y = 30 應分配 8 人挖土,30 人運土運往某地兩批物資第一批的重量為 360 T, 用 6 節火車加上 5 輛汽車正好裝完 ; 第二批的重量為 440 T, 用 8 節火車加上 0 輛汽車正好裝完請問每節火車與每輛汽車平均各可裝多少 T 分析 : 這個問題裡有兩個未知數每節火車與每輛汽車平均所裝貨物的 T 數未知數與已知數之間有以下的相等關係 :

22 () 6 ( 每節火車平均裝貨的 T 數 ) + 5 ( 每輛汽車平均裝貨的 T 數 ) = 360; 8 ( 每節火車平均裝貨的 T 數 ) + 0 ( 每輛汽車平均裝貨的 T 數 ) = 440; 如果分別用 x y 每節火車與每輛汽車平均裝貨的 T 數, 那麼根據上述相等關係, 就可以列出一個二元一次方程組設每節火車平均裝貨 x T, 每輛汽車平均裝貨 y T, 根據題意, 得 6x+ 5y = 360 () 8x+ 0y = 440 (), 得 3 x = 00 x = 50 把 x = 50 代入, 得 y = 440 0y = 40 y = 4 x = 50 = 4 每節火車平均裝貨 50 T, 每輛汽車平均裝貨 4 T 3 大愛文具公司捐贈一批筆給向上中學, 如果每位學生分 6 隻筆, 就缺少 00 隻筆 ; 如果每位學生分 5 隻筆, 就剩餘 300 隻筆請問向上中學有多少位學生? 大愛文具公司捐贈多少隻筆? 分析 : 這個問題裡有兩個未知數向上中學的學生人數? 大愛文具公司捐贈筆的隻數如果分別用 x y 表示這兩個未知數, 那麼未知數與已知數之間的關係如圖 5- 所示 - 7 -

23 解設向上中學有 x 位學生大愛文具公司捐贈 y 隻筆, 根據題意, 得 y 00 y 6x 5x 圖 5-6x= y+ 00 5x= y 300 ()-, 得 x = 500 把 x = 500 代入 (), 得 = y + 00 y = 800 x = 500 y = 800 () 向上中學有 500 位學生大愛文具公司捐贈 800 隻筆列出一次方程組解下列應用題 :. 用大小兩台耕耘機耕地, 一小時共耕了 30 公畝地已知大耕耘積的效率是小耕耘機的.5 倍, 求大小耕耘機各耕了多少公畝地. 某工廠有 8 名工人, 生產自行車, 每人每天平均能生產車身個或車輪 8 個應分配多少人生產車身, 多少人生產車輪, 能夠使出產的車身與車輪剛好配套 ( 一個車身必需配二個車輪 )?

24 3. 五元與二元硬幣共 00 枚, 值 30 元這兩種硬幣各有多少枚? 4. 一條船的載重量是 50 T, 貨艙載貨容積是 000 m 3 現在裝運甲乙兩種貨物, 甲種貨物每 T 的體積是 m 3, 乙種貨物每 T 的體積是 8 m 3 這兩種貨物各裝多少 T, 才能最大限度地利用這條船的載重量及載貨容積? 5. 某工廠接受一批訂單, 按計畫天數進行生產, 如果平均每天生產 0 件, 就比訂單任務還少 00 件 ; 如果平均每天生產 3 件, 就可超過訂單任務 0 件這批訂單是多少件? 原計畫幾天完成? 6. 汽車從甲地到乙地, 如果每小時行駛 45 km, 就要延誤小時到達 ; 如果每小時行駛 50 km, 就可提前小時到達, 求從甲地到乙地的路程及原計畫行駛的時間 4 用濃度為 5% 與 53% 的兩種果汁混合配製成濃度為 5% 的果汁 300 kg, 需用這兩種果汁各多少 kg? 分析 : 這個問題裡有兩個未知數濃度為 5% 果汁的 kg 數與濃度為 53% 果汁的 kg 數如果分別用 x y 表示這兩個未知數, 那麼未知數與已知數之間的關係如下表所示 : 重量濃度果汁的重量 (kg) 5% 的果汁 53% 的果汁混合成 5% 的果汁 x y 300 所含純果汁的重量 (kg) 5% i x 53% i y 5% i 300 根據下面的相等關係, 可以列出一個二元一次方程組 :

25 混合前果汁的總重量 = 混合後果汁的總重量 ; 混合前溶液中所含純果汁的重量 = 混合後溶液中所含純果汁的重量設需用 5% 的果汁 x kg,53% 的果汁 y kg, 根據題意, 得 x+ y = 300 () 5% i x+ 53% i y = 5% i300 化簡, 得 5x+ 53y = 7500 (3) (3)-() 5, 得 48y = 6000 y = 5 把 y = 5 代入 (), 得 x + 5 = 300 x = 75 x = 75 = 5 需用 5% 的果汁 75 kg,53% 的果汁 5 kg 5 在代數式 px + q 中, 當 x = 時, 它的值是 ; 當 x = 3 時, 它的值是求 p q 的值分析 : 這裡的未知數是 p q 把 x = 及 x = 3 代入 px + q, 分別得值, 這就得到一個關於 p q 的二元一次方程組解這個方程組, 就可以求出 p q 的值根據題意, 得 -(), 得 p+ q= 3p+ q= p = ()

26 把 p = 代入 (), 得 + q = q = 5 p =, q = 5 列出一次方程組解下列應用題 :. 一種果汁的濃度是 30%, 另一種果汁的濃度是 6%, 要配製成濃度是 0% 的果汁 60 kg, 應取這兩種果汁多少 kg?. 用含糖 6% 的糖水與含蘇打 0.% 的蘇打水混合配製成含糖 0.5% 的飲料 6600 cc, 需要這種糖水與蘇打水各多少 cc( 精確到 0 cc)? 3. 在代數式 ax + by 中, 當 x = 5 y = 時, 它的值是 7; 當 x = 4 y = 3 時, 它的值是 0 求 a b 的值 4. 在代數式 x + mx+ n中, 當 x = 3 時, 它的值是 5; 當 x = 4時, 它的值是 9 求 m n 的值列出一次方程組解下列應用題 :. 一艘輪船順流航行 ( 此時航速 = 船在靜水中的速度 + 水速 ), 每小時 0 km; 逆流航行 ( 此時航速 = 船在靜水中的速度 - 水速 ), 每小時 6 km 求輪船在靜水中的速度及水流的速度. 某校學生 00 人到第一第二間教室參加活動到第一間教室的人數比到第二間教室的人數之倍少 8 人到兩間教室參加活動的人數各是多少?

27 3. 用白鐵皮做罐頭盒, 每張鐵皮可裁盒身 6 個, 或裁盒底 43 個, 一個盒身與兩個盒底配成一個罐頭盒, 現有 50 張白鐵皮, 用多少張裁盒身, 多少張裁盒底, 正好能夠配成整套罐頭盒? 4. 某農莊有土地 870 公畝, 計畫將 8 公畝山坡地開闢為果園, 其餘的土地種植稻米與蔬菜, 種稻米的土地公畝數是種蔬菜的 4 倍求計畫種稻米與蔬菜的土地各是多少公畝 3 5. 一批玩偶共 840 個如果甲先做 4 天, 乙加入合做, 那麼再做 8 天正好完成 ; 如果乙先做 4 天, 甲加入合做, 那麼再做 9 天也正好完成兩人每天各做幾個玩偶? 6. 甲乙兩人從相距 8 km 的兩地同時出發, 相向而行, 4 5 小時相遇如果甲比乙先出發小時, 那麼在乙出發後小時 3 兩人相遇求兩人每小時各走多少 km 7. 甲乙兩人從同一地點出發, 同向而行, 甲騎自行車, 乙步行如果乙先走 km, 那麼甲用小時就能追上乙 ; 如果乙先走小時, 那麼甲只用小時就能追上乙求兩人的速度各是多少 km/h 8. 某公司前年的營業額比總支出多 500 萬元去年的營業額比總支出多 950 萬元已知去年的營業額比前年增加 5%, 去年的總支出比前年少 0%, 求前年的營業額及總支出 9. 某農莊的兩塊稻田原來可以收稻米 5730 kg 使用新品種後, 這兩塊地可以收稻米 640 kg, 其中第一塊地收成增加了 0%, 第二塊地的收成增加了 8% 求這兩塊地原來各可以收稻米多少 kg

28 0. 甲乙兩工廠原計畫在上個月共生產機器 360 台, 結果甲廠完成了計畫的 %, 乙廠完成了計畫的 0%, 兩廠共生產了機器 400 台上個月兩廠各超額生產機器多少台?. 一列火車裝運一批貨物, 原來每節車廂平均裝 46 T, 結果有 00 T 的貨物未能裝進去 ; 後來改進裝車方法, 使每節車廂多裝 4 T, 結果這批貨物裝完後, 還剩下兩節空車廂, 這列火車有多少節車廂? 這批貨物有多少 T?. 某麵包店用麵粉, 如果每天用 30 kg, 按預計天數計算, 就缺少 60 kg; 如果每天用 0 kg, 那麼到期後還可剩餘 60 kg, 此麵包店存有麵粉多少 kg? 預計用多少天? 3. 已知梯形面積為 4 cm, 高為 6 cm, 它的下底比上底之倍少 cm 梯形的上底下底各為多少 cm? 4. 把含酒精 5% 的葡萄酒與含酒精 8% 的葡萄酒混合製成含酒精 6% 的葡萄酒 600 g, 應取兩種葡萄酒各多少 g? 5. 要配製濃度為 0% 的柳橙汁 000 kg, 已有濃度為 60% 的柳橙汁 85 kg, 還需濃度為 98% 的柳橙汁與水各多少 kg? 6. () 在等式 y = kx + b 中, 當 x=0 時,y=; 當 x=3 時,y=3 求 k b 的值已知 x = x = x = 5 = = 6 = 9 三對數值都能滿足 x + y + Dx+ Ey+ F = 0 求 D E F 的值

29 一本章主要內容是二元一次方程組的解法與它的應用, 以及三元一次方程組的解法舉例二解一次方程組可以通過逐步消元, 變多元為一消元元, 例如 : 三元一次方程組二元一次方程組一元一次方程, 從而實現由未知到知的轉化消元三本章介紹了二元一次方程組的兩種消元之方法 : () 代入法 : 把其中一個方程的某一個未知數用含另一個未知數的代數式表示, 然後代入另一個方程, 就可以消去這個未知數加減法 : 先使兩個方程中的某一個未知數之係數的絕對值相等, 然後把方程的兩邊分別相加或相減, 就可以消去這個未知數對於多元的一次方程組也可以用以上的方法逐步消元一般說來, 當某個未知數的係數為時, 用代入法比較簡便 ; 當兩個方程中有一個未知數的係數之絕對值相等或成整數倍時, 用加減法比較簡便四對於含有多個未知數的問題, 利用方程組來解, 在列方程時常常比列一元一次方程容易一些列方程時, 一般地說, 選定幾個未知數, 就要根據問題中的相等關係列出幾個方程解由這些方程組成的方程組, 求出未知數的值, 並且根據問題的實際意義, 檢查求得的值是不是合理, 即可得出問題的答案

30 . () 已知二元一次方程 3x y = 5 把它變形為 3x 5 y = x 3-5 我們可以根據給定的 x 值, 按左邊的程序框圖進行計算, 求出對應的 y 值按照這個程序計算出右表的 y 值 x y 3 0 y 3 已知二元一次方程 y 4x= 7 仿照上題編出計算 y 的程序框圖, 並算出 x = 0 時的對應之 y 值. () 有一個兩位數, 它的十位數碼與個位數碼之和為 5, 求出所有符合這個條件的兩位數 ; 求出方程 x+ y = 9在正整數範圍內的解

31 3. () 已知 x = 5 = 7 滿足方程 kx y =, 求 k 的值已知 x = = 是方程組 ax 3y = x+ by = 5 的解, 求 a b 的值 4. 判斷方程組 3x 4y = 7 x+ 3y = 的解是不是方程 5x y = 6的一個解 5. () 解不等式 x 3> 5( x 3) x+ x 3 < 4 6 這兩個不等式的解集有公共部分嗎? 如果有, 就把它在數軸上表示出來 6. 解下列方程組 : () (3) 0 = 5I I 0 = 9I I x y + = 3 0.x+ 0.3y =.8 (4) 7I 3I = 5 5I + 6I = 6 0.x 0.5y = 0 5( x+ ) 3( y+ 7) =

32 (5) 3x+ y = 5y+ x= 3 ( 提示 : 先把它寫成方程組 3x+ y = 3 5y+ x= 3 的形式 ) m+ n n m (6) v+ t 3 v = t 3 4 = = 3 (7) 3 8 n 4m = x 3y y = x 4 3 (8) 0( x y) 4( x) = y 3 x+ y = x+ y z = (9) y + z = 6 (0) y + z x = 5 z + x = 3 z + x y = 7. 解下列關於 x y 的方程組 : x + y = a y = x+ c () x y = b x + y = 5c x y + = 3a x+ y n= 0 (3) 3 (4) 5x 3y+ n= 0 x y = a 列出一次方程組解下列應用題 : 8. 有一個兩位數, 十位數碼與個位數碼的和是 3, 如果把這兩個數碼的位置對換, 那麼所得的新數比原數小 7 求這個兩位數 9. 有一個兩位數, 個位數碼比十位數碼大 5, 如果把這兩個數碼的位置對換, 那麼所得的新數與原數之和為 43 求這個兩位數 - 8 -

33 0. 由實驗得出, 一塊重 48 kg 的銅銀合金在水中減輕 4 kg 3 已知 kg 的銀在水中減輕 kg,9 kg 的銅在水中減輕 kg 這塊銅銀合金內含銀銅各多少 kg?. ( 我國古代問題 ) 有大小兩種盛米的容器, 已經知道 5 個大容器加上個小容器可以盛米 3 斛 ( 斛, 音ㄏㄨ ˊ, 是古代的一種容量單位 ), 個大容器加上 5 個小容器可以盛米斛問個大容器個小容器各可以盛米多少斛?. () 在公式 s = v0t+ at 中, 當 t = 時,s = 3; 當 t = 時, s = 4 求 v 0 a 的值, 並求當 t = 3 時,s 的值 x 3> 5( x 3) x+ x 3 < 4 6 在代數式 ax + bx + c 中, 當 x = 3 時, 代數式的值分別是求 a b c 的值當 x = 時, 這個代數式的值是多少? 這道題選自古代算書九章算術卷七盈不足原題是 : 今有大器五小器一容三斛, 大器一小器五容二斛問大小器各容幾何答曰 : 大器二十四分斛之十三, 小器二十四分斛之七 - 8 -

1-2 二元一次聯立方程式 21 例 1 代入法判斷二元一次聯立方程式的 { x3y5 2xy3 x1y2 x3y3 x2y1 xy 二元一次式 x y x+3y x-y x2y1 x2y1 { x3y5 2xy3 { 2x3y1 xy3 x2y1

1-2 二元一次聯立方程式 21 例 1 代入法判斷二元一次聯立方程式的 { x3y5 2xy3 x1y2 x3y3 x2y1 xy 二元一次式 x y x+3y x-y x2y1 x2y1 { x3y5 2xy3 { 2x3y1 xy3 x2y1 1 20 1-2 二元一次聯立方程式 1 二元一次聯立方程式 2 代入消去法 3 加減消去法主題 1 二元一次聯立方程式列二元一次聯立方程式 6 x y 3 1 700 3xy700 5 2 1200 5x2y1200 { 3xy700 5x2y1200 二元一次聯立方程式二元一次方程組二元一次聯立方程式的 3xy700 5x2y1200 xy x y 共同 x200y100 3xy700