提问课堂讨论等 )(30%) 成绩评定采用百分制,60 分为及格三课程教学内容 1. 教学基本要求第一章整数的可除性以带余除法为先导, 以辗转相除法最大公因数最小公倍数和算术基本定理为主干讲授整除理论中最基本的性质 2. 要求学生掌握的基本概念理论原理通过本章学习, 使学生能准

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械易
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1 初等数论教学大纲课程编码 : 课程名称 : 初等数论学时 / 学分 :54/3 先修课程 : 数学分析高等代数适用专业 : 数学与应用数学专业开设教研室 : 代数与几何教研室一课程性质与任务 1. 课程性质 : 初等数论是数学与应用数学专业的一门专业选修课本课程是研究整数性质和方程 ( 组 ) 整数解的一门学科, 也是一个古老的数学分支初等数论与中学数学教育有着密切的联系, 并给现代数学提供理论基础初等数论在计算技术通信技术等技术学科中也得到了广泛的应用数论中的一些问题, 貌似简单, 实则不易, 解决起来灵活而富有技巧, 是培养数学思维能力的重要内容, 是中学数学竞赛题的丰富源泉之一, 是数学教育工作者必备的基础知识 2. 课程任务 : 本课程开设的目的在于通过这门课的学习, 使学生熟悉和掌握关于整数的整除性不定方程同余式及简单连分数等数论的基础知识, 基本理论和基本的解题技能技巧, 培养学生的逻辑思维能力, 加强他们的理解和解决数学问题的能力, 为从事中学数学教学, 指导数学课外小组活动和进一步学习其它数学学科打下坚实的基础二课程教学基本要求初等数论是研究整数性质的一门学科, 历史上遗留下来没有解决的大多数数论难题其问题本身容易搞懂, 容易引起人的兴趣, 但是解决它们却非常困难本课程的目的是简单介绍在初等数论研究中经常用到的若干基础知识基本概念方法和技巧通过本课程的学习, 使学生加深对整数的性质的了解, 更深入地理解初等数论与其它邻近学科的关系 1. 有关定义定理性质等概念的内容按知道了解和理解三个层次要求 ; 有关计算解法公式和法则等方法的内容按会掌握熟练掌握三个层次要求 2. 本课程开设在第 6 学期, 总学时 54, 其中课堂讲授 54 学时, 课堂实践 0 学时教学环节以课堂讲授为主, 研制电子教案和多媒体幻灯片以及 CAI 课件, 在教学方法和手段上采用现代教育技术 3. 成绩考核形式 : 期终成绩 ( 闭卷考试 )(70%)+ 平时成绩 ( 平时测验作业课堂

2 提问课堂讨论等 )(30%) 成绩评定采用百分制,60 分为及格三课程教学内容 1. 教学基本要求第一章整数的可除性以带余除法为先导, 以辗转相除法最大公因数最小公倍数和算术基本定理为主干讲授整除理论中最基本的性质 2. 要求学生掌握的基本概念理论原理通过本章学习, 使学生能准理解整数整除公因数公倍数的概念及相关性质, 理解剩余定理, 熟练掌握用剩余定理求最大公因数最小公倍数的方法理解素数与合数的概念素数的性质, 理解整数的素数分解定理, 会用筛法求素数了解函数 [x] 与 {x} 的概念性质, n! 的素数分解组合数为整数的性质 3. 教学重点和难点教学重点是最大公因数, 互素的概念及性质, 算数基本定理的应用 ;n( 2 ) 个整数的最大公因数及将最大公因数表为原 n 个整数的倍数和的求法教学难点是最大公因数的性质及应用, 算术基本定理的证明及应用 4. 教学内容第一节整除的概念带余数除法 1. 整除的概念及性质 2. 奇偶数的运算性质 3. 带余数除法定理第二节最大公因数与辗转相除法 1. 最大公因数的概念与性质 2. 求最大公因数的辗转相除法第三节整除的进一步性质及最小公倍数 1. 最大公因数 (a, b) 为 a, b 的倍数和 2. 互素的性质 3. 最小公倍数与最大公因数的关系第四节质数算术基本定理 1. 质数的概念及性质 2. 算术基本定理及应用 3. 质数的分布

3 第五节高斯函数 [x], {x} 及其在数论中的一个应用 1. 高斯函数 [x], {x} 的定义及性质 2. 求 n! 的标准分解式第二章不定方程 1. 教学基本要求讨论二元一次不定方程有解的条件及其解法, 进而研究多元一次不定方程有解的条件及其解法介绍一些特殊的二元二次不定方程 ( 商高不定方程 ) 的解法 2. 要求学生掌握的基本概念理论原理通过本章学习, 使学生能准确理解二元一次不定方程解的形式二元一次不定方程有整数解的条件, 熟练掌握利用剩余定理 ( 辗转相除法 ) 求二元一次不定方程的方法知道多元一次不定方程有解的条件, 会求解简单的多元一次不定方程知道勾股方程的整数解的形式, 会求其在特定条件下的整数解 3. 教学重点和难点教学重点是二元一次不定方程商高方程的理论及应用教学难点是二元一次不定方程有解的条件及其解法, 二元二次不定方程 ( 商高不定方程 ) 的解法 4. 教学内容第一节二元一次不定方程 1. 二元一次不定方程有整数解的判别法则 2. 二元一次不定方程的通解及求通解的步骤第二节多元一次不定方程 1. 多元一次不定方程有整数解的判别法则 2. 多元一次不定方程的解法 ( 引入辅助未知量法逐步降低系数法矩阵列变换法 ) 3. 多元一次不定方程组的一般解法原则第三节勾股数 1. 求商高方程的整数解 2. 勾股数的性质第三章同余 1. 教学基本要求同余是数论中的一个基本概念, 是整除概念的推广本章首先介绍同余的概念及基本性质, 引入完全剩余系与简化剩余系的概念, 建立 Euler 定理和 Fermat 定理 2. 要求学生掌握的基本概念理论原理

4 通过本章学习, 使学生能准确理解并掌握整数同余的概念同余的基本性质, 整数具有素因子的条件, 会利用同余简单验证整数乘积运算的结果理解剩余系完全剩余系的概念, 掌握判断剩余系的方法, 欧拉函数的定义及性质了解欧拉定理 Fermat 小定理, 循环小数的判定条件 3. 教学重点和难点教学重点是同余的概念及基本性质简化剩余系的判定与应用教学难点是简化剩余系及欧拉函数欧拉定理及其应用 4. 教学内容第一节同余的概念及其基本性质 1. 同余概念与整除概念的联系 2. 同余的性质及应用第二节剩余类及完全剩余系 1. 模 m 的剩余类及完全剩余系的概念 2. 模 m 的最小非负完全剩余系 3. 完全剩余系的性质第三节简化剩余系与欧拉函数 1. 简化剩余系的概念及性质 2. 欧拉函数的概念计算公式及简单性质第四节欧拉定理费尔马定理 1. 欧拉定理费尔马定理 2. 欧拉定理费尔马定理的应用第四章同余式 1. 教学基本要求介绍同余式的解法, 主要研究一次同余式 ( 组 ) 素数模的高次同余式及合数模的高次同余式 2. 要求学生掌握的基本概念理论原理通过本章学习, 使学生能准确理解同余式的定义, 掌握一次同余式有解的条件, 熟练掌握求解一次同余式理解中国剩余定理, 掌握中国剩余定理的应用, 会求解同余式方程组了解判断高次同余式的解个数, 知道解高次同余式的方法, 了解模整数同余式与模素数同余式的关系, 掌握求解简单的 (3 4 次 ) 同余式了解素数模同余式的次数化简,Wilson 定理, 同余式的次数与解数的关系, 知道 n 次同余式有 n 个解的条件

5 3. 教学重点和难点教学重点是一次同余式的解法孙子定理教学难点是高次同余式质数模的同余式的求解 4. 教学内容第一节基本概念及一次同余式 1. 同余式的一般概念 2. 一次同余式的判别定理 ( 解的存在性及解的个数 ) 3. 一次同余式的解法 ( 一次简约同余式的解法 : 穷举法辗转相除法分数法 ( 用同余的性质求解 ) 公式法) 第二节孙子定理 1. 一次同余式组的概念 2. 一次同余式组的解法 ( 孙子定理 ) 第三节高次同余式的解数及解法 1. 通过模的分解化简同余式 2. 以质数幂 P 为模的高次同余式第四节质数模的同余式 1. 同余式次数的降低 2. 高次同余式解的性质 3. 威尔逊定理 4. 高次同余式的解数与次数的关系第五章二次同余式与平方剩余 1. 教学基本要求引入平方剩余与平方非剩余的概念, 介绍平方剩余与平方非剩余的判别条件引入 Lerandre 符号 Jacobi 符号, 并用它研究素数模的二次同余式及合数模的二次同余式 2. 要求学生掌握的基本概念理论原理通过本章学习, 使学生能准确理解二次同余式的一般形式模整数同余与模素数幂同余的关系平方剩余与平方非剩余的概念理解单素数的平方剩余与平方非剩余的欧拉判定法, 了解单素数的平方剩余与平方非剩余的个数了解 Legendre 符号的定义性质及 Jacobi 符号的定义性质, 熟练掌握利用 Legendre 和 Jacobi 符号判断同余式的解的存在性掌握非素数模的二次同余式有解的条件及解的个数的有关结论 3. 教学重点和难点教学重点是单质数模的平方剩余与平方非剩余的概念及判定互倒定律单质数模 P

6 2 的二次同余式 x a (mod p) 的解法教学难点是平方剩余与平方非剩余的概念, Lerandre 符号 4. 教学内容第一节一般二次同余式 1. 一般二次同余式的转化 2. 模 m 的平方剩余与平方非剩余的概念第二节单质数的平方剩余与平方非剩余 1. 欧拉判别条件 2. 平方剩余与平方非剩余的基本性质第三节勒让得符号勒让得符号的定义及性质第四节前节定理的证明前节定理 3 的证明第五节雅可比符号 1. 雅可比符号的定义 2. 雅可比符号与勒让得符号在概念上的区别 3. 雅可比符号的性质第六节合数模的情形 1. 以奇质数的方幂为模的二次同余式 2. 模 2 的二次同余式 3. 一般合数模的二次同余式四学时分配表章序内容课时备注一整数的可除性 14 二不定方程 9 三同余 12 四同余式 9 五二次同余式与平方剩余 10 合计 54 五. 主用教材及参考书 ( 一 ) 主用教材 :

7 初等数论 ( 第三版 ) 主编 : 闵嗣鹤出版社 : 高等教育出版社出版时间 :2003 年 ( 二 ) 参考书 : 1. 初等数论主编 : 于秀源出版社 : 山东教育出版社出版时间 :2004 年 2. 简明数论主编 : 潘承洞出版社 : 北京大学出版社出版时间 :1998 年 3. 初等数论主编 : 张文鹏出版社 : 陕西师范大学出版社出版时间 :2008 年执笔 : 皮磊审定 : 郭宏旻梁桂珍

初等数论教学大纲课程编码 : 课程名称 : 初等数论学时 / 学分 :54/3 先修课程 : 数学分析高等代数适用专业 : 信息与计算科学开设教研室 : 代数与几何教研室一课程性质与任务 1. 课程性质 : 初等数论是信息与计算科学专业的一门专业必修课程该课程是研究

初等数论教学大纲课程编码 : 课程名称 : 初等数论学时 / 学分 :54/3 先修课程 : 数学分析高等代数适用专业 : 信息与计算科学开设教研室 : 代数与几何教研室一课程性质与任务 1. 课程性质 : 初等数论是信息与计算科学专业的一门专业必修课程该课程是研究初等数论教学大纲课程编码 :1512106903 课程名称 : 初等数论学时 / 学分 :54/3 先修课程 : 数学分析高等代数适用专业 : 信息与计算科学开设教研室 : 代数与几何教研室一课程性质与任务 1. 课程性质 : 初等数论是信息与计算科学专业的一门专业必修课程该课程是研究整数性质和方程 ( 组 ) 整数解的一门学科, 也是一个古老的数学分支初等数论是现代密码学的一门基础课程,