淺談尤拉公式 V-E+F=2

Size: px

Start display at page:

Download "淺談尤拉公式 V-E+F=2"

饮重郗
4 years ago
Views:

1 淺談尤拉公式及其應用 Euler Formula : V-E+F=2 陳建隆 ( 中央大學數學系 ) Euler(1707~1783) 瑞士數學家圖形出自

2 Euler Formula For any convex polyhedron, the number of vertices and faces together is exactly two more than the number of edges. V-E+F=2. ( 點邊 + 面 = 2 ) 正四面體 : V=4( 四個頂點 ), E=6( 六個邊 ), F=4( 四個面 ) 4-6+4=2.

3 正凸多面體

4 Tetrahedron V = 4 E = 6 F = = 2 (1) 正四面體

5 Cube V = 8 E = 12 F = = 2 (2) 正六面體

6 Octahedron V = 3*8/4 = 6 E = 3*8/2 = 12 F = = 2 (3) 正八面體

7 Dodecahedron V = 5*12/3=20 E = 5*12/2=30 F = =2 (4) 正十二面體

8 Icosahedron V = 3*20/5=12 E = 3*20/2=30 F = = 2 (5) 正二十面體

9 歐幾里得 : 凸正多面體只有五個 Proof: (1) 設每一個頂點恰有 m 個正 n 邊形相鄰, 則 (i) m*(n-2)*180/n < 360 (ii) nf=mv=2e By (i) 0<(n-2)(m-2)<4 By (ii) F=2E/m, V=2E/n By Euler Formula, we have V=4n/(2m+2n-mn) E=2mn/(2m+2n-mn) F=4m/(2m+2n-mn)

10 (2) (n,m) 最多可能是 : 0<(n-2)(m-2)<4 F=4m/(2m+2n-mn) (3,3) F=4*3/(2*3+2*3-3*3)=4 正四面體 ; (3,4) F=4*4/(2*4+2*3-4*3)=8 正八面體 (3,5) F=20 正二十面體 ; (4,3) F=6 正六面體 ; (5,3) F=4*3/(2*3+2*5-3*5)=12 正十二面體.

11 柏拉圖立體古希臘的哲學家中, 有人認為火土氣水是自然界的四種基本元素, 柏拉圖分別用正四面體正六面體正八面體和正二十面體來代表這四種元素, 而整個宇宙的形狀就是正十二面體

12 (1) 鑽石結構自然物體的結構

13 硼存在 : 硼於地殼中之含量僅 %, 主要以硼酸鹽存於礦石中, 由以硼砂 (Na2B4O7.10H2O) 最重要. 元素硼, 十二個硼原子剛好形成一個正二十面體.

放射蟲的骨架很多放射蟲的骨架, 就是正八面十二面和二十面體. ( 圖形出自 http://www.

14 放射蟲的骨架很多放射蟲的骨架, 就是正八面十二面和二十面體. ( 圖形出自八面體三角二十面體五角十二面體

15 腺病毒的衣壳腺病毒的衣壳是典型的二十面體對稱 : 由 252 個衣壳组成, 没有包膜, 腺病毒的核心是由線狀雙鏈 DNA 構成的, 其基因组的大小都约為個核苷酸對 ( 出自

16 Problems (A) 是否存在由兩類正多邊形所組成的一凸多面對稱體? (B) 有否一實際自然物質其分子結構是上述凸多面對稱體?

17 腺病毒 ( 圖形出自 :

18 C60- 碳六十 (Buckminsterfullerene) ( 圖形出自

19 巴克球 (Bucky ball) 1967 年加拿大蒙特婁世界博覽會上的美國館, 建築物高 60 公尺 ( 圖形出自

20 柱頭建築 ( 圖形出自

21 正八面體十四面體

22 十二面體 ( 圖形出自 )

23 正二十面體三十二面體 ( 圖形出自 ) 12 個頂點切出 12 個正五邊形 20 面正三角形變成 20 面正六邊形

24 對稱多面體切頂正四面體八面對稱體 : 正六邊形 4+ 正三邊形 4 切頂正六面體十四面對稱體 : 正六邊形 6+ 正三邊形 8 切頂正八面體十四面對稱體 : 正六邊形 8+ 正四邊形 6 切頂二十面體三十二面對稱體 C60 : 正六邊形 20+ 正五邊形 12 ( 足球結構 )

25 C60, C70, C100, C300 美國夏威夷大學的科學家早已發現四十六億年前的隕石內存在著 C60 C70 以及 C100~C300 等純碳分子, 認為是宇宙早期即已存在的物質 ; 然而, 在地球上發現 C60 卻是天文物理研究的收穫年, 英國化學家柯洛托 (Sir Harold W. Kroto) 探索在可見光與紫外光之間, 是否存在屬於微小石墨碳粒的星際塵埃光譜, 在柯爾 (Robert F. Curl) 與史莫利 (Richard E. Smalley) 的協助下, 以聚焦雷射蒸發石墨, 再與鈍氣混合由噴嘴噴出冷卻, 並以質譜儀記錄產物, 測出含有偶數個碳原子的碳簇 (carbon cluster); 這些成就使柯洛托柯爾及史莫利三人於 1996 年共同榮膺諾貝爾化學獎

26 C60 ( 圖形出自令正五邊形有 F1 個, 正六邊形有 F2 個則 (1) By Euler Formula V-E+F=2 and V=60 3V=5F1+6F2=2E, V=5*F1 (2) F1=12, F2=20

27 C70 令正五邊形有 F1 個, 正六邊形有 F2 個則 (1) By Euler Formula and V=70 3V=5F1+6F2=2E, V=5*F1+(F2-10)*2/3 (2) F1=12, F2=25 ( 圖形出自

28 C100 令正五邊形有 F1 個, 正六邊形有 F2 個則 (1) V=100 3V=5F1+6F2=2E, E=150 By Euler Formula : V-E+F=2 F=F1+F2=52 (2) F1=12, F2=40

29 C300 令正五邊形有 F1 個, 正六邊形有 F2 個則 (1) V=300 3V=5F1+6F2=2E, E=450 By Euler Formula : V-E+F=2 F=F1+F2=152 (2) F1=12, F2=140

30 Proof of Euler Formula: (2) This argument is the planar dual to the proof by induction on faces. (3) If G has only one vertex, each edge is a Jordan curve, so there are E+1 faces and F+V-E=(E+1)+1-E=2. Otherwise, choose an edge e connecting two different vertices of G, and contract it. This decreases both the number of vertices and edges by one, and the result then holds by induction.

31 Problem 空間中非凸多面體是否滿足公式 : V-E+F=2?

32 Dodecahedron There exist polytopes which do not satisfy the polyhedral formula, the most prominent of which are the great dodecahedron and small stellated dodecahedron

33 Great Dodecahedron Number of Faces: 12 Number of Edges: 30 V-E+F=-6 (Euler Char.) Number of Vertices: 12

34 small stellated dodecahedron Number of Faces: 12 Number of Edges: 30 Number of Vertices: 12

35 Euler Characteristic Let a closed surface have genus g. Then the polyhedral formula generalizes to the Poincaré formula (1) where (2) is the Euler characteristic, sometimes also known as the Euler-Poincaré characteristic. The polyhedral formula corresponds to the special case g = 0.

36 Great Stellated Dodecahedron Number of Faces: 12 Number of Edges: 30 Number of Vertices: 20 Euler Char.=2

37 Great Icosahedron Great Icosahedron: 20 Number of Edges: 30 Number of Vertices: 12

38 Octahemioctahedron Number of Faces: 12 Number of Edges: 24 Number of Vertices: 12 Euler Char.=0

39 Cubohemioctahedron Number of Faces: 10 Number of Edges: 24 Number of Vertices: 12 Euler Char=-2

40 Small Cubicuboctahedron Number of Faces: 20 Number of Edges: 48 Number of Vertices: 24 Euler Char.= -4

41 Small Rhombihexahedron Number of Faces: 18 Number of Edges: 48 Number of Vertices: 24 Euler Char.=-6

42 small dodecicosidodecahedron Number of Faces: 44 Number of Edges: 120 Number of Vertices: 60 Euler Char.=-16

43 Higher Dimensional Euler s Formula V -E + F -C = 0 where V = number of vertices E = number of edges F = number of faces C = number of (3-dimensional) cells

44 hypericosahedron V = 120 E = 720 F = 1200 C = = 0.

45 hypericosahedron The above picture shows a 2- dimensional projection of the regular polyhedron in 4-dimensional Euclidean space with 600 tetrahedral cells, sometimes called a hypericosahedron.

46 Question How many faces, edges, and vertices in this polyhedron?

47 Thank You!

(Microsoft Word - 11\244T\246\342\277\337\260l\302\334.doc)

$(Microsoft Word - 11\244T\246\342\277\337\260l\302\334.doc)$ 赤川次郎作品集 11 三色貓追蹤序曲那是一隻凶猛的野狗加上饑餓, 正在虎視眈眈地注視孩子嘴裏啃著的香腸, 準備突然猛撲上去孩子還不滿三歲, 不曉得若想躲開那隻身體比自己大的惡犬一擊, 最好是把香腸扔掉, 但他反而緊握在手開