第 12 卷第 4 期 2014 年 12 月 /2014/12⑷ /309 6 动力学与控制学报 JOURNALOFDYNAMICSANDCONTROL Vol.12No.4 Dec.2014 分数阶随机 Dufing 系统的 Hopf 分岔侯瞡马少娟沈琼 ( 北方民族大学

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魄唐
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1 第 12 卷第 4 期 2014 年 12 月 /2014/12⑷ /309 6 动力学与控制学报 JOURNALOFDYNAMICSANDCONTROL Vol.12No.4 Dec.2014 分数阶随机 Dufing 系统的 Hopf 分岔侯瞡马少娟沈琼 ( 北方民族大学信息与计算科学学院, 银川 ) 摘要运用正交多项式逼近原理, 研究了分数阶随机 Dufing 系统在零平衡点的 Hopf 分岔. 首先, 运用 Laguere 正交多项式逼近法将含有随机参数的分数阶 Dufing 系统转化为等价的确定性系统, 然后通过数值计算求得其响应. 最后, 利用两个引理求得等价系统发生 Hopf 分岔行为的临界值, 并通过数值模拟验证了理论分析结果. 关键词随机参数, 分数阶 Dufing 系统, Laguere 多项式, 分岔 DOI: / 引言分数阶微积分理论与非线性动力学理论相结合, 推动了分数阶动力学系统的产生及发展, 使分数阶动力学系统成为非线性科学领域中又一热点研究课题. 目前, 分数阶动力学系统的研究已经引起越来越多研究者的兴趣, 更多的研究涉及到了分数阶 Rucklidge 电路系统 [1], 分数阶哈密顿系统 [2], 分数阶盐岩流变本构模型 [3], 分数阶系统特 [4] 性识别等多个领域.Dufing 系统作为一个典型的非线性动力学系统, 研究分数阶 Dufing 系统是研究其他复杂动力学系统的基础, 众多学者对分数阶 Dufing 系统的动力学行为进行了全面地研究. 文献 [5] 研究分数微分型阻尼的分数阶值较小时,Dufing 振子将出现倍周期分岔并导致混沌 ; 在不同外激励频率下, 分数阶微分型 Dufing 振子呈现出对称形破缺分岔混沌等强烈的非线性现象 ; 在一定参数范围内与经典 Dufing 振子相比较, 分数微分型 Dufing 振子在较小的激励下即可 [6] 进入混沌. 曹军义等讨论了分数阶阻尼的阶数在 0.1~2.0 之间 Dufing 系统依次进入不同的运动区, 由混沌运动区存在的周期运动进入混沌运动的倍周期过程比较明显, 结果证实阻尼的分数微分阶数对系统的动力学特性影响比较大.Ma touk [7] 研究了改进的分数阶自治 VarDelPol Duf ing 系统的稳定性, 并对系统的混沌及同步现象提出了一种有效的控制方法. 文献 [8] 将 Dufing 方程和 VanderPol 方程耦合在一个分数阶微分方程中, 利用 Riemann liouvile 分数阶倒数和 Adomian 分解法求得此方程的解析近似解. 文献 [9] 载极低的总分数阶 0.2 的情况下, 成功地获得了改进的两个非耦合分数阶 Dufing 系统的混沌同步. 以上成果都是关于确定性系统的, 随机因素在动力学系统中无处不在, 关于随机分数阶动力系统的研 [10] 究还是比较少的. 陈林聪和朱位秋对分数阶阻尼 Dufing 振子在谐和和白噪声作用下的随机稳定性进行研究. 随机参数对分数阶动力学系统的研究还未有文献报道. 对分数阶随机 Dufing 系统的研究还是比较少的. 鉴于此, 本文运用正交多项式逼近法研究了含有随机参数的分数阶 Dufing 系统, 分析了随机参数对分数阶 Dufing 系统的 Hopf 分岔的影响. 1 分数阶随机 Dufing 系统的等价确定性系统 Dufing 系统的自治形式为 x=y, y=bx-ay-x 3, (1) 且系统 (1) 有三个平衡点 (0,0),( 槡 ± b,0). 为了方便讨论, 本文将选取 a=0.3,b=-1, 则 (1) 式的收到第 1 稿, 收到修改稿. 国家自然科学基金资助项目 (10201), 北方民族大学研究生创新项目 (2012XYC03) 和北方民族大学信息与计算科学学院研究生创新项目 (2012xjyk12) 资助通讯作者 E mail:xiaohouzi621@126.com

2 310 动力学与控制学报 2014 年第 12 卷两个特征值为 : λ 1 = I, λ 2 = I. (2) 由分数阶稳定性定理知 [11],p,q< 2 π arg(λ i) = 2 π arctan Imλ i Reλ i 定的. = 时, 系统 (1) 是渐近稳含有随机参数的分数阶 Dufing 系统 d p x dt =y, p d q y dt q =bx-ay-x3, (3) 其中 b 为确定性参数,a 为随机参数. 设 a 可表示成 a=a+δu, (4) 其中 a+δ 为随机参数 a 的均值, 选取 u 为自然界中最常见的随机变量, 即在区间 [0,+ ] 上服从参数为 1 的指数分布概率密度函数的随机变量, 称 δ 为随机参数的强度. 由泛函分析中的逼近原理可知, 随机函数空间中基函数为 Laguere 多项式, 其正交性为 + e -u L n (u)l m (u)du= (n!)2 (n=m), 0 0 (n m). Laguere 多项式的三项递推关系为 L n+1 (u)=(1+2n-u)l n (u)-n 2 L n-1 (u). (5) (6) 根据随机函数的正交多项式原理 [12], 系统 (3) 的随机响应可以写成 Fourier 展开的级数逼近形式 x(t,u)= M x i (t)l i (u), y(t,u)= M y i (t)l i (u ), (7) 其中 L i (u) 为第 i 个 Laguere 多项式,M 为所取多项式的最大个数. 将 (4) 式和 (7) 式代入 (3) 式, 得 d p dt p( M x i (t)l i (u))= M y i (t)l i (u), d q dt q( M i (t)l i (u))=b M x i (t)l i (u)- y (8) a M y i (t)l i (u)-δu M y i (t)l i (u)- x i (t)l i (u)) 3. ( M 上式中第二个等式右端的的非线性项 ( M (u)) 3 可以三项递推关系式 (6) 可以化简为 ( M x i (t)l i x i (t)l i (u)) 3 = 3M X i (t)l i (u), (9) 其中 X i (t) 为定义线性组合 L i (u) 的系数, 可由 Maple 计算出来. 含有随机变量的项可以化为 δu M y i (t)l i (u) =δ( M y i (t)[(2i+1)l i (u)-i 2 L i-1 (u)- L i+1 (u))=δ( M L i (u)[(2i+1)y i (t)- (i+1) 2 y i-1 (t)-y i-1 (t)]-l i+1 (u)y i (t)) 现将 (9) 式和 (10) 式代入 (8) 式, 得 (10) d p dt p( M x i (t)l i (u))= M y i (t)l i (u), d q dt q( M y i (t)l i (u))=b M x i (t)l i (u)- a M y i (t)l i (u)-δ( M i (u)[(2i+1)y i (t)- L (i+1) 2 y 1+1 (t)-y i-1 (t)]- L i+1 (u)y i (t))- 3M X i (t)l i (u). (11) 在 (11) 式两端依次 L j (u)=(j=0,1,λ), 然后关于随机变量 u 取期望, 可以得到一个等价的确定性系统 d p dt px 0=y 0, d q dt qy 0=bx 0 -ay 0 -δ[y 0 (t)-y 1 (t)-y -1 (t)]-x 0, d p dt px 1=y 1, d q dt qy 1=bx 1 -ay 1 -δ[3y 1 (t)-4y 2 (t)-y 0 (t)]-x 1, d p dt px m =y m, d q dt qy m =bx m -ay m -δ[(2m+1)y m (t)- (m+1) 2 y m+1 (t)-y m-1 (t)]-x m. (12)

3 第 4 期侯瞡等 : 分数阶随机 Dufing 系统的 Hopf 分岔 311 其中, 由逼近理论知 y -1 和 y m+1 均为零. 当 N 时, 在均方收敛的意义下方程组 (12) 与原分数阶随机系统 (3) 是等价的. 但由于理论分析和数值模拟比较困难, 本文选取 M=2, 则方程组 (12) 可以改写为 d p dt px 0=y 0, d q dt qy 0=bx 0 -ay 0 -δ[y 0 -y 1 ]-X 0, d p dt px 1=y 1, (13) d q dt qy 1=bx 1 -ay 1 -δ[3y 1-4y 2 -y 0 ]-X 1, d p dt px 2=y 2, d q dt qy 2=bx 2 -ay 2 -δ[5y 2 -y 1 ]-X 2. 原分数阶随机 Dufing 系统的逼近随机响应可以近似地表示为 x(t,u)= 2 x i (t)l i (u), y(t,u)= 2 y i (t)l i (u). (14) 如果随机变量 u=0( 即 a=a) 时, 得到均值参数系统, 其样本响应为 x(t,0)= 2 x i (t)l i (u) =x 0 (t)+x 1 (t)+2x 2 (t), y(t,0)= 2 y i (t)l i (u) =y 0 (t)+y 1 (t)+2y 2 (t). 分数阶随机 Dufing 系统的集合平均响应为 (15) E[x(t,u)]= 2 x i (t)e[l i (u)]=x 0 (t), E[y(t,u)]= 2 y i (t)e[l i (u)]=y 0 (t). (16) 当 δ=0 时, 分数阶随机 Dufing 系统退化为确定性系统 d p x dt =y, p d p y dt p =bx-ay-x3. (17) 定义等价确定性系统的初始条件为 x 0 =x 0 (0),y 00 =y(0). 本文中随机强度 δ 和激励幅值的取值比较小, 因此等价的确定性系统 (13) 与确定性系统 (17) 有相同的初始条件, 即 x 0 =x(0),y 0 =y(0),x i =y i (0)=0,(i=1,2). 等价的确定性系统 (13) 的初始条件取为 x(0)=[0.7,0,0] T,y(0)=[0.7,0,0] T, x 0 =0.7,y 0 = 分数阶随机 Dufing 系统的 Hopf 分岔分析如果动力系统是结构不稳定的, 则任意小的适当扰动都会使系统的拓扑结构发生突然的质的变化, 这种质的变化成为分岔 [13-14]. 按研究对象划分, 分岔可分为静态分岔和动态分岔. 在动态分岔中, 较为重要的是由于定点稳定性突然变化而 [15-18] 出现极限环的 Hopf 分岔. 通过两个引理可以求出的系统发生分岔的临界值. 分数阶随机 Dufing 系统与等价确定性系统都有一个零平衡点, 本文仅考虑等价确定性系统在零平衡点处的 Hopf 分岔, 在且系统在此平衡点的 Jacobian 矩阵如下 b -a-δ 0 δ J= 0 δ b -a-3δ 0 4δ δ b -a-5δ (18) 该矩阵的特征方程为 f(λ)=a 0 λ 6 +a 1 λ 5 +a 2 λ 4 + a 3 λ 3 +a 4 λ 2 +a 5 λ+a 6 =0, 其中 a i (,1,Λ,6) 是特征方程的系数, 可由 Maple 计算得出. 根据引理, 计算 Hurwitz 行列式 a 1 a a 3 a 2 a 1 a 0 0 Δ 5 = a 5 a 4 a 3 a 2 a 1 0 a 6 a 5 a 4 a a 6 a 5 (19) 令 b=-1 利用 Maple 软件求得 Δ 5 =0 共有 9 个不重复的参数关系式

4 312 动力学与控制学报 2014 年第 12 卷 a= δ Iδ, a= δ Iδ, a= δ Iδ, a= δ, a= δ Iδ, a= δ Iδ, a= δ, a= δ Iδ, a= δ Iδ. (20) 将式 (20) 中各个关系式分别代入 Δ 4,Δ 3,Δ 5 (a) 和 a i (,Λ,6), 满足 Δ 4 0,Δ 3 0,Δ 5 (a) 0 和 a i >0(,Λ,6) 关系式是 a= δ, (21) 因此, 当 a H = δ 时, 满足存在 Hopf 分岔性的条件. 选取 δ=0.1, 将式 (21) 代入系统的特征方程, 可得到系统 (13) 的所有特征值 λ 1 = I, λ 2 = I, λ 3,4 = ± I, λ 5,6 = ± I, (22) 显然系统 (13) 除了有一对共轭纯虚根外, 其他特征值有负实部. 当系统的分岔参数为 a H = 时, 等价的确定性系统 (13) 在零平衡点处发生 Hopf 分岔. 图 1 确定性分数阶 Dufing 系统的 Hopf 分岔相轨图 (a 图为分岔前,b 图为分岔后 ) Fig.1. TheHopfbifurcationphaseoffractional orderuncertainty Dufingsystem(aisbeforebifurcation,bisafterbifurcation) 图 2 等价的确定性 Dufing 系统 Hopf 分岔前的相轨图和时间历程图 Fig.2 Phaseandtimehistoryofthecertaintyequivalent DufingsystemasbeforeHopfbifurcation 3 数值模拟分别选取分数阶阶数 p=0.88 和 q=0.85. 当系统 (17) 的参数 b=-1,a H =0 时, 确定性分数阶 Dufing 系统在 (0,0) 点发生 Hopf 分岔, 如图 1 所示. 当参数 a=-0.2<a H =0 时, 系统的轨线收敛到 (0,0) 点, 如图 1(a) 所示 ; 当 a=0.4>a H =0 时, 系统的轨线收敛到一个闭曲线上, 形成极限环, 如图 1(b) 所示. 取 δ=0.1 时分岔参数为 a H = 当 a=-0.2<a H, 等价的确定性系统 (13) 的集合平均响应和样本响应的轨线一致收敛到 (0,0) 点, 分别如图 2(a) 和 (b) 所示, 图 2 (c) 和 (d) 为系统发生 Hopf 分岔前集合平均响应和样本响应的时间历程图. 当 a=0.4>a H, 等价图 3 等价的确定性 Dufing 系统 Hopf 分岔后的相轨图和时间历程图 Fig.3 Phaseandtimehistoryofthecertaintyequivalent DufingsystemasafterHopfbifurcation

5 第 4 期侯瞡等 : 分数阶随机 Dufing 系统的 Hopf 分岔 313 图 4 改变阶数后, 等价的确定性 Dufing 系统的相轨图 Fig.4 PhaseofthecertaintyequivalentDufingsystem aschangedorder 的确定性系统 (13) 的集合平均响应和样本响应的轨线一致收敛到 (0,0) 点, 分别如图 3(a) 和 (b) 所示, 图 3(c) 和 (d) 为系统发生 Hopf 分岔后集合平均响应和样本响应的时间历程图. 从图 1~3 中可以看出在分岔参数变化的过程中, 分数阶随机 Dufing 系统发生 Hopf 分岔. 改变分数阶的阶数 p =1.1 和 q=1.1,a=0.4>a H 时, 等价的确定性系统 (13) 的集合平均响应和样本响应的轨线一致收敛到 (0,0) 点, 分别如图 4(a) 和 (b) 所示. 从图中可以很明显地看出, 改变系统的阶数后等价的确定性系统 (13) 没有产生极限环, 而是收敛到 (0,0) 点, 也就是说没有发生 Hopf 分岔. 4 结论对于含有随机参数的分数阶 Dufing 系统, 正交多项式逼近法提供了一种有效的分析方法. 把分数阶随机 Dufing 系统扩展为等价的确定性系统, 对其分析动力学行为. 本文主要研究了分数阶随机 Dufing 系统的 Hopf 分岔. 运用 Laguere 正交多项式逼近法将含有随机参数的分数阶 Dufing 系统转化为等价的确定性系统, 然后通过数值计算求得其响应. 利用两个引理计算出等价的确定性分数阶 Dufing 系统发生 Hopf 分岔行为的临界值, 并使用 Matlab 软件设计程序验证理论分析结果. 参考文献 1 陈保颖, 张家军, 苑占江. 数阶 Rucklidge 混沌系统的同步研究. 动力学与控制学报,2010,8(3):234~238( ChenBY,ZhangJJ,YuanZJ.Synchronizationofchaot icfractionalorderrucklidgesystems.journalofdynamics andcontrol,2010,8(3):234~238(inchinese)) 2 ZhouS,FuH,FuJL.Symmetrytheoriesofhamiltonian systemswithfractionalderivatives.scientiasinicaphysica, Mechanica&Astronomica,2011,54(10):1847~ ZhouHW,WangCP,DuanZQ,etal.Time basedfrac tionalderivativeapproachtocreepconstitutivemodelofsalt rock.scientiasinicaphysica,mechanica& Astronomica, 2012,42(3):310~318 4 董鹏真, 林祥云, 刘杰. 正交小波包分析方法在分数阶系统特性识别中的应用. 动力学与控制学报,2010,8(2): 137~141(DongPZ,LinXY,LiuJ.Characteristicsrec ognitiontypicalfractionalorderdynamicalsystemsviaor thogonalwaveletanalysismethod.journalofdynamicsand Control,2010,8(2): (inChinese)) 5 廖少锴, 张卫. 分数阶 Dufing 振子的动力学研究. 动力学与控制学报,2008,6(2):122~125(LiaoSK,Zhang W.Dynamicsoffractionaldofingoscilator.JournalofDy namicsandcontrol,2008,6(2):122~125(inchinese)) 6 CaoJY,MaCB,XieH,etal.Nonlineardynamicsof dufingsystem withfractionalorderdamping.journalof Computationaland NonlinearDynamics, 2010,5(4): MatoukAE.Chaos,feedbackcontrolandsynchronization ofafractional ordermodifiedautonomousvanderpol duf ingcircuit.communicationsinnonlinearscienceandnu mericalsimulation,2011,16(2):975~986 8 DuanJS,SunJ,TemuerCL.Nonlinearfractionaldifer entialequationcombiningdufingequationandvanderpol equation.journalofmathematics,2011,31(1):7~10 9 GeZM,OuCY.Chaossynchronizationoffractionalorder modifieddufingsystemswithparametersexcitedbyachaot icsignal.chaossolitonsfractals,2008,35(4):705~ ChenLC,ZhuW Q.Stochasticstabilityofdufingoscil latorwithfractionalderivativedampingundercombined harmonicandwhitenoiseparametricexcitations.actame chanica,2009,207(1-2):109~ MatignonD.Stabilityresultsforfractionaldiferentiale quationswithapplicationstocontrolprocesing.in:com putationalengineringinsystemsapplications,1996:963 ~ 刘式适, 刘式达. 特殊函数. 北京 : 气象出版社,1988 (LiuSS,LiuSD.Specialfunctions.Beijing:China MeteorologicalPres,1988(inChinese)) 13 张琪冒, 王洪礼, 竺致文等. 分岔与混沌理论及应用. 天津 : 天津大学出版社,2005(ZhangQM,WangHL, ZhuZW,etal.Thetheoryofbifurcationandchaosand itsapplication.tianjin:tianjinuniversitypres,2005

6 314 动力学与控制学报 2014 年第 12 卷 (inchinese)) 14 陆启韶. 分岔与奇异性. 上海 : 上海科技教育出版社, 1995(LuQ S.Bifurcationandsingularity.Shanghai: ShanghaiScientificandTechnologicalEducationPublish inghouse,1995(inchinese)) 15 HasardBD,KazarinofND,WaYH.Theoryandap plicationsofhopfbifurcation.cambridge:cambridgeuni versitypres, GuckenheimerJ,HolmesPJ.Nonlinearoscilationsdy namicalsystemsandbifurcationsofvectorfields.new York:SpringerVerlag, ShenJQ,JingZJ.Anewdetectingmethodforconditions ofexistenceofhopfbifurcation.actamathematicsappli cationsinica,1995,11(1):79~93 18 马少娟. 一类随机 VanderPol 系统的 Hopf 分岔研究. 物理学报,2011,60(1): (MaSJ.Hopfbifur cationinakindofstochasticvanderpolsystem.acta PhysicaSinica,2011,60(1):010502(inChinese)) HOPFBIFURCATIONOFFRACTIONAL ORDER STOCHASTICDUFFING SYSTEM HouJing MaShaojuan ShenQiong (SchoolofInformationandComputationScience,BeifangUniversityofNationalities,Yinchuan ,China) Abstract Accordingtothetheoryoforthogonalpolynomial,theHopfbifurcationoffractional orderstochastic Dufingsystematzerobalancepointisstudied.Firstly,convertingthefractional orderstochasticdufingsystem intoitsequivalentdeterministiconebyusinglaguereorthogonalpolynomialapproximationprinciple.itsresponse isobtainedinthenumericalcalculation.finaly,itcanusingtwolemmastogetthecriticalvalueofhopfbifur cationinequivalentsystem,andthetheoreticalanalysisresultsareverifiedbynumericalsimulation. Keywords randomparameter, fractional orderdufingsystem, Laguerepolyomial, bifurcation Received4July2012,revised20July2012. TheprojectsupportedbyNationalNaturalScienceFoundationofChina( ),theinnovativeprojectforthepostgraduatestudentsofBeifang UniversityofNationalities(2012XYC033),andtheinnovativeprojectforthepostgraduatestudentsofSchoolofInformationandComputationofBeifang UniversityofNationalities(2012xjyk12) CorespondingauthorE mail:xiaohouzi621@126.com

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第 35 卷第期西南大学学报 ( 自然科学版 ) 3 年月 Vol.35 No. JouralofSouthwestUiversity (NaturalScieceEditio) Feb. 3 文章编号 :673 9868(3) 69 4 一类积分型 Meyer-KiḡZeler-Bzier 算子的点态逼近赵晓娣, 孙渭滨宁夏大学数学计算机学院, 银川 75 摘要 : 应用一阶 DitziaṉTotik

第 12 卷第 4 期 2014 年 12 月 /2014/12⑷ /309 6 动力学与控制学报 JOURNALOFDYNAMICSANDCONTROL Vol.12No.4 Dec.2014 分数阶随机 Dufing 系统的 Hopf 分岔 侯瞡 马少娟 沈琼 ( 北方民族大学

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