社科网－论文在线

Size: px

Start display at page:

Download "社科网－论文在线"

曳习
5 years ago
Views:

1 hp:// 高校教材中关于连续复利存在的问题高俊科 ( 河北广播电视大学, 河北石家庄 571) 摘要 : 本文举例说明, 高校教材中关于连续复利的认识和应用都是不对的关键词 : 年利率 ; 增长率 ; 连续复利. 中图分类号 :F8 文献标识码 : 一问题的提出 [ 1 3] 通常教材中讲的连续复利是 : 设初始资金为, 年利率为 r, 按复利计算, 年后资金总额为 ( ) (1 + r) (1) 若将一年分为期计算, 每期利率取为 r, 得复利分期计算公式 r ( ) 1+ () 令 +, 将计息期缩减为零, 实现所谓的连续计算, 得所谓连续复利计算公式文 [4] ( ) e r (3) 已经详细分析了连续复利公式 (3) 推导中的问题, 这种推导在理论上和实践上都应当说是没有任何意义不能正确认识连续复利法的错误和给人们带来的困惑, 关于这种方法的意义就有了各种说不通的解释, 关于这种方法的应用也就有了各种似是而非的事例二对连续复利法的认识连续复利的概念是不对的, 这就决定了各种书中对连续复利不会有一个准确的认识例 1 6 年立信会计出版社出版的高等应用数学 ( 上册 )( 第 48 页 ) 解释公式 r (3) ( ) e 的含义说, 计算次数 +, 这意味着资金运用率最大限度的提高在实际经济活动中, 资金运用率的提高是在具体的资金调度运转和使用中实现的, 与教材中讲的利息计算次数无关 ; 即便是在具体的利息计算中, 是否要采用这种加快计算次数的方法为某一方提高收益, 这需要双方同意才行 ; 即便是在具体的利息计算中, 双方同意提高利息率, 用这种加快计算次数的方法比直接商定提高若干百分点的方法也没有特别的实用之处例 9 年化学工业出版社出版的应用数学 ( 第 19 页 ) 在推出连续复利模型 (3) r ( ) e 时说 : - 1 -

2 hp:// 采取连续复利, 则年后本息合计等式两边微分, 得到 d d ( ) e r r r e r( ) 这表明利率连续复合时, 总金额增长速度和本金数额成正比量为 : 实际上, 根据取自然数的约定, 从 (1) 式我们即可求得资金 () 在任何一年的增长 + 1 ( + 1) ( ) (1 + r) (1 + r) ( 1+ r) (1 + r) (1 + r) (1 + r) r ( ) r 这就有结论总金额增长速度和本金数额成正比当取连续实数时, 对 ( ) (1 + r) 求导数 d d l( 1+ r) (1 + r) l(1 + r) ( ) 同样有结论总金额增长速度和本金数额成正比就是说, 正确解释经济问题间的数量关系, 用连续复利模型没有特别可取之处例 3 1 年清华大学出版社出版的大学文科数学 : 实验高等数学 ( 第 4 页 ) 通过如下例题解释连续复利公式 (3) 的意义设年利率为 1%, 分别以 1 年期半年期 1 个月期的离散复利方式和连续复利方式计算 1 元投资额在年中产生的收益解应用离散复利计算公式 f p 1 + 当 1, 和 1 分别计算时的收益, 有 V1 1(1 +.1) 元 (1 年期的复利计算 ) 4 V 1(1 +.6) 元 ( 半年期的复利计算 ) 4 V 1(1 +.1) 元 (1 月期的复利计算 ) 按连续复利计算, 则有 1 r V pe r 1e 元考察上述结果可知, 有限分期和无限分期的复利计算对结果的影响并不大而连续复利的计算公式非常简单, 这就是经济工作者中经常用它的原因 - -

3 hp:// 用这个例子说明连续复利公式在经济工作中的应用是不妥的用所谓连续复利的形式准确计算 1 元投资额在年中产生的收益 l(1+.1) V1 1e 并不比 V1 1(1 +.1) 简单在本例中, 用 V pe r 1e 计算, 一是产生了误差, 二是还不如用 V1 1(1 +.1) 计算简单用这个例题并不能解释经济工作者中经常用到公式 r 常用到公式 V pe 与这里讲的连续复利无关 V r pe 的原因经济工作者中经例 4 7 年清华大学出版社出版的一本金融学 ( 第 116 页 ) 的叙述是 : 前面我们介绍的复利是假设一年复利一次, 或者说一年计息一次事实上, 复利还可以是一季度计息一次, 一个月计息一次, 甚至每日计息一次而在金融实务中, 不管计息次数如何, 金融工具的利息通常以年利率表示 ( 如每年 6% ), 这种利率叫做年度百分率 (aual perceage rae) 应当知道, 由于计息次数不同, 这种年度百分率并不能直接进行比较因此应当剔除复利次数的差异, 采用有效年利率 (effecive aual rae) 即每年计息一次时的对应利息率进行比较例 5.1 假定你想向银行申请一笔 1 年期贷款 1 元, 银行提供三种产品供你选择 : 产品是每月支付一次利息, 年利率 ( 年度百分率 ) 1% ;B 产品是每半年支付一次利息, 年度百分率 1.% ;C 产品是贷款到期时一次性支付利息和本金, 年利率 1.5% 这时你究竟该选择哪一种贷款产品呢? 当然是选择利率低的产品, 但不是年度百分率, 而应当看有效年利率孰高孰低对于年度百分率和有效年利率, 二者有如下关系 : PR 1 + EFF 1+ (5-5) 其中, EFF 表示有效年利率, PR 表示年度百分率, 表示每年计息次数运用上述公式, 我们计算 B C 三个贷款产品的有效年利率计算结果见表 5-1 从表 5-1 中我们看到,C 产品的有效年利率最低, 即该种贷款对借款人而言成本最低, 所以应当选择 C 产品表 5-1 年度百分率 ( PR ) 与有效年利率 (EFF) 贷款产品计息次数 PR % EFF% 产品一月一次 B 产品半年一次

4 hp:// C 产品一年一次当每年计息次数趋向于无穷大时, 即连续不断地进行复利时 ( 连续金融概念 ), 有 : PR PR 1 + EFF 1i 1 + e (5-6) 这里是先讲述了一年计息一次的公式 (1), 后讲述了公式 (5-5), 也就是公式 (), 接着讲了应用公式 (5-5), 也就是公式 () 的事例表 5-1, 在公式 () 应用事例的基础上讲连续复利, 这就好像从应用上体现出了连续复利法的意义这里存在的问题是, 如果 PR 如等同 () 中的年利率 r, 则 PR 不应随的增大而减小, 那么表 5-1 就不构成公式 (5-5) 的应用事例, 用表 5-1 说明公式 (5-5) 和 (5-6) 的意义就是不对的 ; 如果公式 (5-5) 中的 PR 不同 () 中的年利率 r, 而是随的增大而减小, 在的计算中, 公式 (5-6) 中的 PR 却是不变的, 那么这里根据 (5-5) 推导连续不断地进行复利计算公式 (5-6) 就是不对的总之, 这里的例 5.1 不成立三关于连续复利法的应用连续复利的概念是不对的, 这就决定了不会有连续复利正确应用的事例例 5 3 年高等教育出版社出版的微积分 ( 大专使用 ) 中 ( 第 55 页 ) 有习题 : 3. 设年利率 9%, 现投资多少元, 按连续复利计算,1 年之末可得 1 元?.9 因为 e %, 这个题要求按连续复利计算, 就是按 1 9% P 1e, 即按 P 1 (1 + 9%) 1 计算, 所以这个习题的等价叙述就是设年利率 9%, 现投资多少元, 按年利率 9.417% 计算,1 年之末可得 1 元从题目本身叙述上就是矛盾例 6 11 年中国人民大学出版社出版的微积分教程中 ( 第 51 页 ) 有例题 : 设今年我国国民生产总值为, 又设年平均增长率为 1%, 求 1 年后的国民生产总值 r 解由于国民生产总值不是到年底才增长, 而是每日每时增长的, 因此有 e, 本例中, r.1, 1, e e 故即 1 年后的国民生产总值为今年的.7183 倍, 若按公式 (1 r) 计算, 则.593, 这个结果不如上面的结果精确 + 这里的问题是 : 用 (1 r) 计算, 得一年后国民生产总值为 1.1, 两年后为

5 hp:// ,1 年后为 ( 1+ 1% r). 593 这些量就是在一年内两年内 1 年内国民生产总值每日每时增长的结果, 这就是精确值例 7 7 年郑州大学出版社出版的工程经济学 ( 第 1 页 ) 中说, 在一个企业或工程项目中, 要是收入和支出几乎是在不间断流动着的话, 我们可以把它看做连续的现金流当涉及这个现金流的复利问题时, 就要用连续复利的概念, 即在一年中按无限多次计息, 此时可以认为 +, 求此时的实际年利率, 即对公式 (.1) 求 + 时的极限 r li 1 + r i 1 e 1 这里所说的连续复利概念的应用是不对的例如, 在年利率为 r 的情况下, 计算发生在时间段 [, T ] 上的收入流 a() 在 T 时的资金总额, 我们可把时间 [, T ] 分成个时段 T Δ, Δ, 在第 k 个时段内, 资金流的近似值为 a( kt / ) Δ, 按年利率 r 计算, 由公式 (1) ( ) (1 + r), 到 T 时, a( kt / ) Δ 连同利息就是 a( kt / ) Δ (1 + r) a( kt / )(1 + r) T kt / T kt / T 令 +, 得这个资金流到 T 时的资金总额为 ( T ) a( )(1 + ) d 就是说, 准确计算随时间连续发生的现金流的复利问题, 与所谓的连续复利概念无关 T Δ 参考文献 [1][ 苏 ] 别莱利曼著, 丁寿田朱美琨译. 趣味代数学 [M]. 北京 : 中国青年出版社,198. [] 邱香兰. 经济数学基础 [M]. 北京 : 机械工业出版社,11. [3] 徐寿波. 技术经济学 [M]. 北京 : 经济科学出版社,1. [4]] 高俊科.B-S 期权定价模型中应用连续复利存在的问题 [J]. 中国高校人文社会科学信息网, 论文在线, 13. [5] 吴志清黄玉洁. 高等应用数学 ( 上册 )[M]. 上海 : 立信会计出版社, [6] 黄裕建. 应用数学 [M]. 北京 : 化学工业出版社,9 [7] 胡建德阿荣. 大学文科数学 - 实验高等数学 [M]. 北京 : 清华大学出版社,1 [8] 苏德贵. 金融学 [M]. 北京 : 清华大学出版社,7. [9] 刘书田, 冯翠莲. 微积分 ( 大专使用 )[M]. 北京 : 高等教育出版社,3 [1] 张家琦万重英陈洪育. 微积分教程 [M]. 北京 : 中国人民大学出版社,6 [11] 关罡. 工程经济学 [M]. 郑州 : 郑州大学出版社,7. [1] 高俊科. 连续复利在其它模型应用中存在的问题 [J]. 中国高校人文社会科学信息网, 论文在线,

6 hp:// There are probles o copoud ieres i college exbooks Gao Juke (Hebei Radio ad TV Uiversiy,Shijiazhuag/hebei 571) bsrac: I his paper, we aalysis arraives i soe college exbooks,, he arraive is wrog abou coiuous copoud ieres. Keywords: aual ieres rae; growh rae; coiuous copoud ieres - 6 -