Microsoft Word - P77 -p110

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怀单
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1 R 電路一目的 : 熟悉 R 電路的充放電現象以及對正弦電壓的反應二原理 : ( 一 )R 電路的充放電現象 : 假設圖 l 中,R 串聯電路的輸入電壓 v (t) 為 V v (t) = V t 0 t 0 V V 圖 R 串聯電路由 KVI( Krchhoff s Voltage Law) 定律, 圖 l 的電路滿足下式 : v (t) = v R (t)+ v (t) () 迴路電流 (t) 的方向如圖所示, 如果在 t > 0 時,() 式可以改寫成如下的式子 V =R(t)+ v (t) t > 0 () 由於迴路電流 (t) 與電容器電壓 v c (t) 的關係為 dv ( t) ( t) dt 因此可以得到下面的微分方程式 dv ( t R dt ) v t V t > 0 (3) 假設在 t < 0 時電路已達穩定狀態, 則在 t = 0 + 時電容器電壓為,v c (0 + ) =V l, 解 (3) 式時將的 v c (0 + ) =V l 邊界條件代入, 可得 v c (t) 的解為 v ( t) t / V (V V ) e, t > 0 (4) 其中 τ=r 因為電容器上的電量 q(t) 為 q(t)=v c (t), 所以從 (4) 式可看出, 當 V >V l 時, 電容器上的電量隨著時間的增加而增加, 這就是電容的充電現象圖 (b) 所示為 V >V l 時電容器電壓隨時間而變的情形, 而電荷量的變化曲線也與圖 (b) 相同, 只是相差一個倍數如圖 (a)(b)v >V 時, 電容器充電的現象 (c)(d)v >V 時, 電容器放電的現象

2 果 V < V l, 則電容器上的電量隨著時間的增加而減少, 這就是電容器的放電現象圖 (d) 所示為 V < V l 條件下, 電容器電壓隨著時間而變的情形 (4) 式中的 τ=r 稱為時間常數, 這個數值決定了電容器上電量的變化率 ; 時間常數 τ 較大者, 電量變化較慢,v c (t) 要經過較長的時間才會達到穩定值 ; 反之,τ 較小者, 電量變化較快,v c (t) 較快達到穩定值如果將圖的輸入電壓改為如圖 3(a) 的波形 v V (t) = v v a b a t 0 0 t t t t 則電容器上電壓 v c (t) 的變化情形如圖 3(b) 所示如果 t l >>τ, 則 v c (t) 會在 0 < t < t l 的期間內趨於穩定值 Vb 在這個情況下, 在 0 < t < t l 的期間內, 從 v c (t) 從 0 % 上升到 90% 所需的時間稱為上升時間 tτ; 在 t > t l 時, v c (t) 從 90% 下降到 0 % 所需的時間稱為下降時間 t f, 如圖 3(b) 所標示圖 3(a) 輸入電壓 v (t) 的波形 (b)v c (t) 的波形圖 4 T/ >>τ 時圖 5 T/ τ 時圖 6 T/<<τ 時 (a)v (t) (a)v (t) (a)v (t) (b)v c (t) (b)v c (t) (b)v c (t) (c)v R (t) (c)v R (t) (c)v R (t)

3 我們很容易可以證明,tτ t f 與 τ 有下列關係 : tτ = t f =.τ 可見 τ 值大的電路,tτ 和 t f 也大, 電路的反應較慢如果驅動電壓是週期性的方波 ( 圖 4(a)), 則電容器週期性地往高低兩個電壓充 ( 放 ) 電, 其波型如圖 4(b) 所示因為 v (t) =v R (t) + v c (t), 所以 v R (t)( 圖 4(c)) 與 v c (t) 互補如果 T/ >>τ, 電容器有足夠的時間充 ( 放 ) 電到穩定電壓, 此時的 v c (t) 很接近方波, 而 v R (t) 則趨近於窄脈波, 如圖 4 所示圖 5 是方波週期 T/ τ 時,v c (t) 與 v R (t) 的波形如果 T / <<τ, 電容器沒有足夠的時間充電或放電到穩定值, 因此 v c (t) 的電壓波形很接近三角波, 而與其互補的 v R 波形反而很像方波波形, 如圖 6 所示 ( 二 ) 對正弦電壓的反應 : 如圖 7(a) 所示, 用正弦電壓驅動 R 電路, 因為 R +v c =V cosωt, 電流和電容器上的電量都會隨時間做正弦函數變化我們可以利用複數的形式去解電路, 解完之 # 後再對和 v 分別取實數部份電容器的組抗為 /jω, 整個電路的總阻抗為 Z = R+ /jω, 所以迴路上的電流為 j t Ve ( t) Re R j # 有關電容電感的阻抗, 請參考 " 交流電路與阻抗電橋 " 原理部份為了與電流符號有所區分, 本書以 j 表示 I cos( t ) (5) 其中相位角為電流振幅 I 為 I tan V / R R R 圖 7(b) 在複數平面上繪示 v (t),v R (t) 和 v c (t) 之間的關係圖 7(a) 正弦電壓 (b) v (t) v c (t) 及 v R (t) 之相位關係

4 v (t) 以 V 為半徑, 以角頻率循逆時針方向轉動, 它在實數軸上的投影是 V cosωt v R (t) v c (t) 均與 v (t) 以相同頻率循同一方向轉動, 且 v c (t) 恆比 v R (t) 落後 90 o 相位角 v R (t) 比 v (t) 則超前相位角 =tan - ( /ωr), 在實驗上所觀察的是 v R (t) 和 v c (t) 在實數軸上的投影振幅 I 並不因定, 而是隨頻率而變的, 它的最大值是 I.ax =V / R 當正弦電壓的角頻率為電路的半功率角頻率 ω / 時 I, ax V / R / R 解出得改寫為 / R 我們可以將相位角和電流振幅 I / tan I V / R / 由於電阻器上兩端的電壓 v R (t) 為 v R (t) R(t) V / 所以電阻器電壓的峰值 V R 為 cos( t ) 圖 8(a)V R -ω 的曲線圖 (b)φ-ω 的曲線圖 V V (6) R / 如果將 V R 和分別對 ω 作圖, 可以得到如圖 8 的曲線由圖 8(a) 可以看出 : 當 ω 很小時, 電容性電抗 (apactve reactance, 簡稱容抗 ) /jω 很大, 輸入電壓 v (t) 大部份落在電容器上, 所以電阻器上的電壓很小反之, 當 ω 很大時, 容抗值 /jω 很小, 大部份輸入電壓落在電阻器上由 (6) 式也可以看出 : 電路的電阻器上的電壓 v R (t)

5 在頻率低時的峰值 V R 較小 ; 反之頻率高時,V R 較大因此, 以圖 7 的電路來說, 如果以電阻器的電壓做為輸出, 這個電路就可做為一個在低頻時輸出電壓較小, 在高頻時輸出電壓較大的高通濾波器電容器上的電壓 v c (t) 為 v j t V e ( t) Re j R j V / cos( t ) 其中 =-π/ ; 電容器電壓的峰值 V 為 V V (7) / 如果將 V 和分別對 ω 作圖, 可以得到如圖 9 之曲線由圖 9(a) 可看出 : 在頻率較低時電容器的電壓峰值 V 較大, 反之頻率高時 V 較小所以, 如果以電容器的電壓做為輸出, 則這個電路可做為一個低通濾波器頻率從零到半功率頻率 f / 稱為此電路的頻寬 B.W. B. W.= f R t r t r / 示波器的 B. W. 和 tτ 通常符合上到關係式 ( 三 ) 示波器接線的補償 : 我們實驗室中所使用的 S-0 示波器, 其輸入瑞阻抗為 M/3pF 同軸電纜的電容為 8pF, 因此使用示波器到試電路時, 示波器含同軸電纜的總阻抗為 M/60pF 示波器輸入阻抗隨著廠牌而有不同的值, 不論其值為何, 由前一單元對正弦電壓的反應的敘述可知, 如果待測電路的頻率太高時, 電容的容抗值會降得很低, 造成待測電路很大的負載 ( 參考電學基本量測的負載效應 ), 使得示波器上所顯示的電壓值與待測值有很大的差距圖 9(a)V -ω 的曲線圖 (b) -ω 的曲線圖圖 0 示波器的輸入阻抗與 0: 接線為解決電容造成的負載效應, 示波器的測試棒都會附有補償電路, 如圖 0 所示補償電路除了具有抵消

6 電容負載效應的功能外, 還會將外界訊號表減為 / 0 補償電路的原理如圖 (a) 所示, 如果輸入電壓 v (t) 為任意頻率的正弦波, 則輸出電壓 v o (t) 為 R j R j j t v 0 ( t) Re Ve (8) R R j j R R j j 我們發現 : 如果調整可變電容, 始得 R=R, 則 (8) 式經化簡可得 v o (t) 為 R v ( t) v ( ) (9) R R 0 t 此表示 : 不論輸入電壓 v (t) 之頻率如何改變, 輸出電壓 v o (t) 不再與及有關, 換句話說, 在符合 R=R 的條件下, 圖 (a) 的電路可簡化成如圖 (b) 的等效電路因為經過補償調整後的示波器不再有電容的負載效應, 所以, 不管待測電路的 v (t) 是那種波形, 示波器上所顯示的電壓 v o (t) 均為 R v ( t) v ( ) (0) R R 0 t 把上述的補償原理應用於 S-0 示波器中, 將測試棒接至示波器本身產生的 khz 的方波, 並把測試棒轉至 0 : 衰減, 於調整探棒上的電容時, 我們可以看到示波器螢慕上的方波有如圖的變化當我們剛好把補償電容調至 60 / 9 pf, 示波器上就會呈現出完整漂亮的方形波, 此時便是補償正確三儀器與配件 : 示波器, 波形產生器 (Functon Generator), 直流電源供應器,DMM,00kΩ 電阻個, kω 電阻 l 個, 可變電阻個,0.0μF 及 000μF 電容各一個馬表一個, 小起子一支圖 (a) 示波器與補償電路的等效電路 R 與為補償電路,R 和為示波器及同軸電纜的輸入電阻與電容 (b)r= R 時的電效電路圖 (a) 欠補償, 太小 (b) 過補償, 太大 (c) 補償正確, 60/9 pf

7 四步驟 : ( 一 ) 觀察大電容器的充放電 :. 將 000μF 之電容器充分放電, 然後接成如圖 3 之電路. 將開關撥至 a 點, 從 DMM 上觀察電容器兩端電壓的變化情形, 每隔半分鐘記錄一次 3. 當電容器的電壓達 3-5V 時, 將閉關接至 b 點繼續記錄電容器上電壓的變化 4. 將電壓對時間在半對數紙上作圖, 是否接近一直線? 如何從這一條線推算電容器的電容值 #? ( 二 ) 補償電路 :. 如圖 4 之電路, 用任意頻率的方波推動電路, 以 H H 分別觀察 a 點及波形產生器的波形, 並且調整可變電阻器 R, 得到圖 (a) (b) (c) 三種波形記錄上述三種波形時之電阻值及 H,H 的波形檢查 R 與 R 之間的關係. 將方波改為正弦波及三角波, 比較不同電阻值時, 波形的變化 ( 三 ) 調節兩條 0 : 接線的補償電容 : 將示波器本身產生的 khz 方波輸入觀察, 小心以小起子調節補償電容, 使方波波形成最完美的方形一旦調好, 兩條接線不可對調使用, 因為每條接線, 每個 hannel 的特性不盡相同 ( 四 ) 週期性的充電現象 :. 以波形產生器之方波推動圖 5 的電路, 利用示波器 H 接到波形產生器,H 接到電容器 ; 同時觀察 v (t) 與 v c (t) ( 若使用 H-H 方式則可以看到電阻器電壓的波形 ). 調整波形產生器使方波週期為 T =~5τ, 觀察 v c (t) v R (t) 及波形產生器的波形變化 (τ=r) 3. 方波週期改為 T=0.5τ 5τ 50τ, 並比較 T=0.5τ T=5τ T = 50τ 時,v (t) v c (t) v R (t) 的波形 4. 選用一個適當的週期, 測量 R 電路的上昇時間可利用示波器上 0% 0% 90% 00 % 這 4 條線測量比較 τ 的測量值與計算值 5. 波形產生器的內阻可以忽略不計嗎? 為什麼? 圖 3 電容器的充放電迴路 # 利用數位阻抗表可測量出較精確的電容值, 但要記住先把電容器兩腳之間短路, 使它充分放電, 以免殘餘電壓破壞阻抗表圖 4 補償電路圖 5 週期性的充放電現象

8 6. 改用其它 R 值, 重覆步驟 ~ 4 #3 相位角的測量可以利用李沙傑曲線 ( 五 ) 正弦電壓的反應 :. 如圖 5 之電路, 將方波輸入改為正弦波. 觀察電容器電壓和相位角隨頻率變化的情形, 記錄幾個頻率的電壓和相位角 #3, 繪出它們對頻率的關係圖 #4, 並決定半功率點 f / 3. 將步驟 ( 四 )-4 測得之 tτ, 代入 f / =0.35/tτ 求出 f /, 與計算值及步驟的 f / 三者作比較五問題 :. 證明 R 電路的上昇下降時間是.R 證明 R 電路中, 電容器充電 ( 或放電 ) 到一半所需的時間 t l/ R. 如圖 6 之電路, 以恆流源驅動 R 並聯電路證明這個電路的時間常數和以恆壓源驅動的 R 串聯電路相同 3. 以 X-Y 方式操作示波器, 去測量兩個信號的相位差 X 軸輸入為 V,Y 軸輸入為 V R, 得到圖 7 的圖形, 試證明可以由下式算出 : B sn A 或在示波器時間軸上讀取 #4 為了涵蓋較大頻率範圍, 此處宜以 log f 為橫軸座標圖 6 問題之電路 4. 圖 8 以雙軌跡示波器測量電路, 錯誤何在? 5. 以雙軌跡示波器測量兩個信號間的相位差,Trgger source 絕對不能選擇 V. Mode, 為什麼? 6. 列出測量相位差的各種方法, 並說明其優點缺點圖 7 相位差 =sn - B A 六參考文獻 :.. A. Desoer and E. S. Kuh: Basc rcut. Theory (McGraw-Hll, 969), 4.., p.0. 示波器的原理與功能 3. D. Hallday and R. Resnck, Fundaentals of physcs, extended 3rd ed., ( John Wley & Sons, Inc., 988), 9-8, p.673 圖 8 問題 4

本章綱要 -1 節點電壓法 -2 迴路電流法 -3 重疊定理 - 戴維寧定理 -5 諾頓定理 -6 戴維寧與諾頓等效電路之轉換 -7 最大功率轉移定理 Chapter 直流網路分析 0626-0.indd 125 2009/11/10 下午 0:58:09

本章綱要 -1 節點電壓法 -2 迴路電流法 -3 重疊定理 - 戴維寧定理 -5 諾頓定理 -6 戴維寧與諾頓等效電路之轉換 -7 最大功率轉移定理 Chapter 直流網路分析 0626-0.indd 125 2009/11/10 下午 0:58:09 ELECTRICITY ELECTRICITY BASIC BASIC 本章學習目標 1. 利用節點電壓法分析各支路的電流 2. 利用迴路電流法分析各迴路的電流 3. 瞭解重疊定理在多電源電路的應用. 利用戴維寧與諾頓定理化簡電路 5. 瞭解戴維寧與諾頓等效電路的轉換 6. 學習負載如何在電路中獲得最大的功率轉移 0626-0.indd 12 2009/11/10 下午 0:58:02 本章綱要 -1