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靓拟湛
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1 第 5 卷第期 8 年月天津大学学报 ( 自然科学与工程技术版 ) Journal of Tianjin Univerity(Science and Technology) Vol. 5 No. Dec. 8 DOI:.784/tdxz8387 基于非等截面桩体模型的缺陷楔形桩动力响应研究, 王奎华,, 童魏烽, 王磊 (. 浙江大学滨海和城市岩土工程研究中心, 杭州 358;. 浙江大学软弱土与环境土工教育部重点实验室, 杭州 358;3. 浙江省城乡规划设计研究院, 杭州 37) 3 摘要 : 假设桩体为弹性, 截面半径线性渐变, 采用 Winkler 模型模拟桩土相互作用, 建立基桩振动方程, 利用有限差分法求解, 并得到基本收敛条件. 所得结果与一定工况下的解析解结果验证一致. 对缺陷楔形桩的动力响应分析显示 : 缺陷长度对桩底反射影响较小, 对缺陷反射影响较大, 对频响曲线的共振频率和振幅影响也较大 ; 缺陷程度对桩底反射缺陷反射频响曲线的影响均较大 ;3 对于缺陷楔形桩, 存在临界桩径比和临界截面缺陷比, 这会使得无法接收到桩底反射, 且桩长越长, 临界桩径比和临界截面缺陷比越大. 关键词 : 非等截面桩 ;Winkler 模型 ; 缺陷楔形桩 ; 临界尺寸 ; 时域响应 ; 频域响应中图分类号 :TU473. 文献标志码 :A 文章编号 :493-37(8)-38-8 Dynamic Repone of Defective Tapered Pile Baed on Non-Equal-Section Pile Model Wang Kuihua,,Tong Weifeng,,Wang Lei 3 (. Rearch Center of Coatal and Uran Geotechnical Engineering,Zhejiang Univerity,Hangzhou 358,China;. Key Laoratory of Soft and Geoenvironmental Engineering of Minitry of Education,Zhejiang Univerity, Hangzhou 358,China;3. Zhejiang Uran and Rural Planning Deign Intitute,Hangzhou 37,China) Atract:The pile wa uppoed to e elatic. Section radiu change linearly. Winkler model wa adopted to imulate urrounding oil. By the finite difference method(fdm),the pile viration equation wa olved. The aic convergence condition wa alo otained. And the reult of FDM wa proved to e conitent with the analytical olution under certain condition. Dynamic repone analyi of defective tapered pile how:length of defect ha little effect on the ottom reflection ignal,though it ha a great effect on the defect reflection ignal a well a reonant frequency and amplitude of frequency domain repone curve;impact of degree of defect on the ottom reflection,the defect reflection and frequency domain repone curve are all great;3for defective tapered pile,there i a critical pile diameter ratio and critical ection deflect ratio at which the reflected ignal from pile ottom i difficult to find,and the ratio increae a the pile grow. Keyword:non-equal-ection pile;winkler model;defective tapered pile;critical dimenion;time domain repone;frequency domain repone 楔形桩是世纪末起源于前苏联的一种桩型, 上大下小的特殊几何特性能使桩土作用发挥得更为充分. 特殊地, 当桩底面积趋向于时桩身呈锥形, 此类桩型能较大地提高施工速度 []. 近年来, 国内外学者通过现场试验理论分析有限元分析等手段, 对楔形桩的承载特性做了大量研究. 研究表明, 在相同工况下, 楔形桩与均匀截面的摩擦桩相比, 单位体积承载力提高.5~.5 倍, 造价降低 4%~6% []. 具有良好力学性能的楔形桩现阶段还未能得到广泛的应用, 除了制造工艺运输困难等问题外, 楔形桩收稿日期 :8-3-5; 修回日期 : 作者简介 : 王奎华 (965 ), 男, 博士, 教授. 通讯作者 : 王奎华,zdwkh68@zju.edu.cn. 基金项目 : 国家自然科学基金资助项目 (57797). Supported y the National Natural Science Foundation of China(No ).

2 8 年月王奎华等 : 基于非等截面桩体模型的缺陷楔形桩动力响应研究 39 的施工质量难以得到可靠的检测也是一个问题. 在现有众多的基桩检测方法中, 低应变反射法检测因其便捷准确费用低廉的优点而被广泛接受, [3] 其理论研究已经十分成熟.Novak 等导出了多层土 [4] 体中桩基的波阻抗函数传递规律.Gough 等推导出了只考虑桩端土作用时基桩的自由振动特性.Koten [5] 等求得了无限长桩在锤击条件下, 考虑桩侧土作用 [6] 时的纵向振动问题解. 王奎华等研究了 Voigt 土体 [7] 模型下有限长任意截面桩的解析解问题. 陈安国等利用差分法解得基桩在考虑桩土相互作用时的纵向 [8-9] 振动响应解. 吴文兵等利用简化解析解对常见完 [] 整楔形桩进行了初步理论分析. 张献民等研究了桩基缺陷与传递波能量之间的关系. 近年来, 王奎华 [] 等又提出了考虑竖向作用的桩土模型, 求得了楔形桩桩顶纵向振动解. 以上相关研究成果都是基于等截面圆管桩建立的, 对楔形桩本身的桩径渐变特性进行了简化处理, 且都针对完整楔形桩, 缺乏全面性. 因此, 本文将建立基于非等截面桩段划分的基桩模型, 利用差分法求得数值解, 对缺陷楔形桩的动力响应展开研究. 所得结论能进一步指导楔形桩的尺寸设计, 减小工程安全隐患. 方程建立与数值解楔形桩桩径渐变的几何特性使得桩侧土阻力不仅有切向力, 还存在法向力, 两者共同作用提高基桩的竖向反力. 已有的常见理论模型中, 都将桩身划分成足够多的微段, 而其中每个微段都是等截面体, 桩土相互作用都直接简化为桩侧竖向阻力, 王奎华 [] 等还考虑微段底部的竖向反力, 但这些假设都与楔形桩实际工作情况不符. 本节提出的模型中, 将桩身划分为足够多的非等截面微段.. 模型假设与方程建立本文提出基于非等截面桩段划分的桩体模型, 能充分反映楔形桩的实际受力情况. 为建立并建立方程, 考虑已有研究成果, 做出以下合理假设 : 桩体为弹性 ; 土体通过 Winkler 模型描述 ;3 忽略桩身径向变形的影响 ;4 微段内桩体变形和位移均匀 ;5 单层土体内各向同性. 桩体微段划分及桩土相互作用见图和图. 将最上面的微段标为, 顺序往下, 共 M 个, 每个微段顶部到地面的距离为 h i. 观察每一个非等截面微段, 当其发生竖向向下的位移 ΔL 时, 可分解为法向位移 Δ Linα 和切向位移 Δ Lcoα. 因而, 在考虑桩土相互作用时, 在桩侧分别均匀设置法向 Voigt 体和切向 Voigt 体, 反映基桩工作时受到的法向力和切向力. 每个 Voigt 体由一个弹簧和黏壶并联而成, 对第 i 个微段法向 Voigt 体, 弹性系数为 K, 黏壶系数为 C n,i, 切向 Voigt 体的弹性系数为 K t,i C t,i n,i, 黏壶系数为 [] [3] (Velez 等和陈鑫对各个系数给出了经验取值 ). 图基桩模型 Fig. Pile model (a) 桩土相互作用示意 () 桩段位移分解 (c) 桩段受力分解图桩段受力分析 Fig. Pile tre analyi 对第 i 微段进行受力分析, 其受到上下两个微段的挤压以及桩土相互作用, 达到平衡状态, 数学方程表示为 u u E ( S ) Δ x Tx + Nx + ρs Δx () x x 式中 :E 为桩身材料的弹性模量 ;S 为桩身截面积, 与半径 r i 相关 ; T x 为桩侧切向力的竖向分量 ; N x 为桩侧法向力的竖向分量 ;ρ 为桩身材料密度 ;u(x,t) 表示桩身竖向位移函数. 由于 S πr, 且桩径随 x 桩身位置呈线性变化, 即 r R x tanα, 可以得到微分关系

3 4 天津大学学报 ( 自然科学与工程技术版 ) 第 5 卷第期 dr tanαdx () 式 () 等号左边可进行以下数学变换 u E ( S ) Δ x x x ds u u ES + x Δ Sx d x x πri dr u u ES + x Δ πr dx x x tanα u u ES + x Δ r x x u u ES + x Δ (3) H x x x 由图 () 可知, 微段的竖向位移引起的切向和法向位移为 un uin α, ut ucoα (4) 桩侧 Voigt 体作用产生法向力和切向力 u N πrc i n tanα Δ x+ πrk u tanα Δ x (5) n u T πrc i t Δ x+ πrktδx (6) 式中 r 为桩身半径. 再求得其竖向力分量 N Ninα, T Tcoα (7) x x 将式 (3) (5)~(7) 分别代入式 (), 可化简为 c u u + c H x x x u u + A + Bu 式中 πrc tan in rc A + ρs ρs n α α π t co α (8) πrkn tanαinα πrkt coα B + ρs ρs c E / ρ H 为假想桩侧母线延长至相交位置得到的锥形高度 ( 见图 ). 底部桩土作用由一个弹簧和黏壶并联模拟, K C 表示弹性和阻尼系数, 根据 Lymer 模拟公式, 有 4ρV r K, C υ 因此, 底部边界条件为 u C u 3.4ρ Vr υ K M M + + M z h x ES ES 式中 S 为桩底面积. u (9) 桩顶边界条件为 du Pt () x dx () ESt 式中 : S t 为桩顶面积 ;P(t) 为桩底激振形式, 本文设置为半正弦形式, 即 π in t < t < T Pt () T () t为其他初始条件为 d u u t, dt () t π ω 另外, 将桩顶荷载改为 Pt () in t in t T ( t > ), 求得对应激振脉宽下的受迫振动振幅, 并改变脉宽依次计算, 即可以得到频响解答.. 有限差分法求解采用有限差分法求解上述问题. 将激振波传播 3 个桩长的时间划分为 N 段, 每段时间为 Δt, 桩身长度划分为 M 层, 每层高度为 Δx, 对于第 m 个微段在 nδt 时刻的位移表示为 u(m,n). 为保证数值解收敛 [], 令 cδt/ Δ x<, 对式 (8) 中的微分项进行差分转换, 得到 u ( +, ) (, ) u m n u m n (3) x Δx u ( +, ) + (, ) (, ) u m n u m n u m n (4) x Δx u (, + ) (, ) u m n u m n (5) Δt u (, + ) + (, ) (, ) u m n u m n u m n (6) Δt 代入 (8) 式可得 umn (, + ) [ Wum (, n) + Wumn (, ) + Wu( mn, ) + Wu( m+, n)]/ W (7) 式中 c W Δ x, W Δ t W3 c c + B+ A ( mδx H) Δx Δx Δt Δt c c W4 + ( mδx H) Δx Δ x, A W5 + Δt Δt 对于边界条件式 (9) 和式 (8), 变换为 umn (, ) um (, n) + Δx C umn (, + ) umn (, ) + ES Δt K ES um (, n) (8)

4 8 年月王奎华等 : 基于非等截面桩体模型的缺陷楔形桩动力响应研究 4 () t u(, n) u(, n) P Δx ES t (9) 对于初始条件式 (), 变换为 um (,) um (,) () m ~ M m ~ M 至此, 可计算出任意时刻任意位置的桩身位移, 所得数值解中, u(, n ) n ~ N 即为桩顶位移, 再对时间求导, 即为桩顶速度的时域响应. 值得一提的是, 本文模型在此求解方法下, 可以解得任意异形桩的桩顶动力响应. 数值解分析在低应变反射法检测中, 桩长桩身完整性等信息主要从缺陷反射和桩底反射信号中判读. 现有相关研究多集中于完整楔形桩, 本文将基于非等截面分段模型对缺陷楔形桩的桩顶纵向振动响应做相关探讨. 对于模型的材料参数, 若不作特殊说明, 即设定桩身弹性模量 E4,GPa, 密度 ρ,,kg/m 3, 桩长 L,m, 楔角 α, 土体剪切波速 V, 5,m/, 密度 ρ,,kg/m 3, 泊松比 υ.3. 为保证楔角变化过程中, 桩身平均桩径不变, 设置桩身中间位置的半径 R t.3,m.. 桩身分层精度的影响本文通过差分法求解, 只有当桩段分层足够精细时, 才能得到准确解答. 为此, 首先就完整楔形桩的分层精度问题进行讨论. 设定分层数 M 5, 计算得到桩顶纵向振动时域响应. 通过图 3 和图 4 可以发现, 当分层不够精细时 ( 如 M), 时响曲线会出现锯齿状, 影响进一步的分析, 随着分层数的增多, 曲线逐渐光滑, 且各点纵坐标值趋向稳定. 另一方面, 频响曲线的光滑程度与激振频率的计算数量有关, 与桩身分层精度无关, 因此频响曲线都无锯齿出现, 但随着分层增加, 频响曲线的形状趋向稳定,M 和 M 时的计算结 Fig.4 图 4 分层精度对频域响应的影响 Influence of layered accuracy on frequency domain repone 果基本重合. 考虑到计算精度和计算时间, 以下分析过程中取 M.. 与已有解析解的比较在当前众多学者对楔形桩动力响应的研究中, 都利用成熟的等截面桩体模型, 由多个较薄的桩段拼 [] 接, 将楔形桩桩径渐变特性进行简化处理.Velez 等给出了无阻力楔形杆件的解析解. 计算比较见图 5, 解析解与差分法解几乎重合. 可见, 本文所述模型利用有限差分法得到的数值解足够可靠, 具有参考意义. (a) 差分法解与解析解的时域比较 () 差分法解与解析解的频域比较图 5 不考虑桩周土时两种解的比较 Fig.5 Comparion of two olution without urrounding oil 图 3 分层精度对时域响应的影响 Fig.3 Influence of layered accuracy on time domain repone 3 缺陷楔形桩的尺寸效应在低应变检测中, 桩底反射为我们提供了基桩完

5 4 天津大学学报 ( 自然科学与工程技术版 ) 第 5 卷第期整性桩长等信息. 由于其特殊的楔形几何特性以及缺陷段存在, 桩底反射或将检测不到, 为工程带来安全隐患. 为此, 需针对桩型和缺陷两大因素进行相关探讨. 在以上数值计算中, 通过对桩身分段, 可以确定桩身任意位置的桩径弹性模量以及桩土作用, 继而设置特定桩身缺陷. 考虑到一般地基土表现出明显的分层性, 即上部土体的波速小于下部土体的波速, 首先讨论土体分层性对桩顶振动的影响. 工况 S: 桩长范围内土体剪切波速相等, 均为 5,m/; 工况 S: 桩长范围内土体剪切波速不等, 顶部为,m/, 底部为,m/, 其间为线性渐变. 计算结果见图 6 中的曲线. 由图可知, 土体剪切波速的变化对缺陷反射之前的曲线影响不大, 而缺陷反射与桩底反射之间的曲线则会发生一定的下移. 考虑优化计算, 以下对楔形桩的缺陷讨论中, 都采用均质土模型. 播距离增加, 导致能量损耗, 反映在时响曲线上, 即扩径信号峰逐渐降低. 此外, ϕ 从增长至 5%, 时, 桩底反射信号有较为显著的变化, ϕ 从 5%, 增长至 5%, 时, 桩底发射信号变化不明显, 始终清晰可见. 这是由于缺陷段桩身的桩径较小, 桩土作用明显, 使得激振波在传递过程中损失过多, 导致桩底信号变弱. 但由于缺陷段与上下桩身的连接仍然可靠, 因此桩底信号不会消失, 可以看出, 桩身缺陷纵向长度对桩底反射信号的影响不大. 由图 8 中的频响曲线看, 随着 ϕ 的增大, 共振峰数量减少, 同阶共振频率和振荡幅值也受到较大的影响, ϕ 3%, 时的频响曲线可以看出明显的退化过程. 这是因为由于缺陷桩段的桩径小于设计的完整桩径, 随着 ϕ 的增大, 基桩的平均桩径减小, 导致基桩性质改变, 因而桩顶振动响应逐渐发生变化. 图 6 地基土分层性的影响 Fig.6 Influence of vertical ditriution of oil Fig.7 图 7 纵向缺陷率对时域响应的影响 Influence of longitudinal defect ratio on time domain repone 3. 缺陷纵向尺寸的影响 [8-9] 吴文兵等对完整楔形桩的桩顶纵向振动响应已有深入研究, 本文将对缺陷楔形桩的研究进行补充. 为避免缺陷反射信号与桩底反射叠加混淆, 在桩长 6%, 深度处设置缺陷桩段. 为更好地量化说明, 引入变量纵向缺陷率 ϕ, 表示缺陷桩身段的纵向长度占总桩长的比例, 讨论缺陷纵向尺寸对桩顶振动响应的影响, ϕ 即为完整楔形桩. 由图 7 中的时响曲线可见, ϕ 从 3%, 增长至 5%, 时, 缩径和扩径信号峰值都有显著增加, 当 ϕ >%, 时, 缩径信号稳定, 扩径信号峰值逐渐降低并后移. 这是由于, 当 ϕ 较小时, 缩径截面与扩径截面距离较近, 两种反射信号尚未完全分离, 随着 ϕ 增大, 变截面之间的距离增大, 反射信号的重叠部分逐渐分离, 从而峰值提高, 且由于扩径截面位置变化, 使得反射信号相应移动. 本例显示, ϕ >%, 时, 两种反射信号已经完全分离. 当 ϕ 继续增大时, 激振波的传 Fig.8 图 8 纵向缺陷率对频域响应的影响 Influence of longitudinal defect ratio on frequency domain repone 3. 缺陷程度的影响除了缺陷纵向长度之外, 缺陷程度也会影响基桩动力响应. 针对缺陷程度的影响, 控制 ϕ %,, 并引入变量截面缺陷比 ϕ, 表示缺陷段截面波阻抗 Z( Z ρsc ) 与正常桩身截面波阻抗之比, 当 ϕ %, 时即为完整楔形桩. 由图 9 中的时响曲线可见, 随 ϕ 减小, 缺陷反射

6 8 年月王奎华等 : 基于非等截面桩体模型的缺陷楔形桩动力响应研究 43 信号峰值提高, 桩底反射信号降低, 当 ϕ %, 时, 桩底信号已难以判读. 这是因为, 随着桩段缺陷程度增加, 缺陷段与正常段的差异越大, 激振波在缩径和扩径截面的反射现象越显著, 桩底接收和反射的激振波能量相应减少. 在时响曲线上即反映为缺陷反射信号提高, 而桩底反射信号降低. 在图的频响曲线中, 随着 ϕ 减小, 共振峰数量减少, 同阶共振频率提前, 而曲线振荡幅值逐渐提高. 这是由于缺陷桩段的存在分割了整桩身, 而随着缺陷程度的增加, 这种分段现象愈加明显. 当 ϕ 足够小时 ( 如 ϕ %,), 桩顶振动响应几乎完全由上部桩段控制, 即等效于桩长变短, 从而造成了频响曲线的相应变化. 射已不可判读, 因此, 可认为,L,m 时的临界桩径比 η.3. 同理可得 L,m 5,m,m 时的临界桩径比 η, 见表. 由表可知, 桩长越长, 临界桩径比 η 越大. 这是因为桩长越短, 桩土相互作用越弱, 激振波能量损耗越少, 其他基桩要素相同的情况下, 桩底反射会越明显, 当桩底反射无法辨认时, 桩径比 η 需要进一步缩小. (a)l,m 图 9 截面缺陷比对时域响应的影响 Fig.9 Influence of ection defect ratio on time domain repone ()L,m 图截面缺陷比对频域响应的影响 Fig. Influence of ection defect ratio on frequency domain repone 3.3 不同桩长的临界桩径比针对 L,m,m 5,m,m 等常见桩长的楔形桩, 控制缺陷纵向长度 ϕ 和截面缺陷比 ϕ 固定, 引入变量桩径比 η, 表示楔形桩底部桩径和顶部桩径的比, 改变 η 来观察桩底反射信号的变化. 通过计算发现, 当 L,m 时, 桩径比 η 越小, 桩底反射信号越弱. 这是由于, 随着 η 变小, 相同高度桩段的两端截面波阻抗差越大, 缩径现象越明显, 导致激振波在传递过程中, 只有更少的能量能传至桩底并反射, 在时响曲线中, 即表现为桩底反射信号渐弱. 由图 (a) 可知, 此例中, 当 η <.3 时, 桩底反 Fig. (c)l5,m (d)l,m 图桩径比对不同桩长楔形桩的影响 Influence of pile diameter ratio on pile with variou lengthe

7 44 天津大学学报 ( 自然科学与工程技术版 ) 第 5 卷第期表不同长度缺陷楔形桩的临界桩径比 Ta. Critical pile diameter ratio of defective tapered pile with variou length 桩长 L/m 临界桩径比 η 不同桩长的临界缺陷程度由第 3.~3.3 节的分析可知, 对于非完整楔形桩而言, 纵向缺陷率 ϕ 对桩底反射信号影响不大, 而截面缺陷比 ϕ 则会造成较大影响. 针对 L,m,m 5,m,m 的常见桩长楔形桩, 控制楔角和缺陷纵向长度固定, 改变 ϕ 来观察分析桩底反射信号, 见图. 通过计算可以发现, 对于 L,m 的非完整楔形桩, 随着 ϕ 减小, 缺陷程度增加, 缺陷反射增强, 桩底反射渐弱, 此例中, 当 ϕ <.5 时, 桩底反射已经难以判读. 因此, 可认为,L,m 时的临界截面缺陷比 ϕ.5. 同理可求得 L,m 5,m,m 的临界截面缺陷比, 见表. 由表可知, 桩长越长, 临界截面缺陷比越大. 这是因为桩长越长, 桩土作用越强, 当其他因素相同时, 桩长的增大会使桩底反射信号变弱. (a)l,m ()L,m (c)l5,m (d)l,m 图截面缺陷比对不同桩长楔形桩的时域响应影响 Fig. Influence of ection deflect ratio on pile with variou lengthe 表不同长度缺陷楔形桩的临界截面缺陷比 Ta. Critical ection deflect ratio of defective tapered pile with variou length 桩长 L/m 临界截面缺陷比 ϕ /%, 4 结论本文建立了非等截面桩段划分的桩体模型, 通过有限差分法求解得到楔形桩振动的时域响应和频域响应, 对缺陷楔形桩进行参数分析, 得到以下结论. () 本文提出的基于非等截面分段的基桩模型能更好地反映基桩实际受力情况. 利用有限差分法求解, 当桩长分层数大于时, 时响解和频响解趋向稳定, 所得数值解与解析解一致. 值得一提的是, 本文模型还能较好地模拟其他截面的异形桩. () 楔形桩的缺陷长度对桩底反射信号影响较小, 对缺陷信号会影响其出现位置和信号峰高度, 变截面位置越深, 信号越低. 楔形桩的缺陷程度越大, 缺陷反射信号越强, 桩底反射信号越弱. 频响方面, 楔形桩缺陷的存在会使得共振峰数量的减少, 且随着缺陷变化, 频响曲线的振荡幅值和同阶共振频率会发

8 8 年月王奎华等 : 基于非等截面桩体模型的缺陷楔形桩动力响应研究 45 生较大的改变. (3) 引入楔形桩桩径比 η, 表示楔形桩底部桩顶和顶部桩径的比, 截面缺陷比 ϕ 表示缺陷段截面波阻抗与正常桩身截面波阻抗之比. 对于缺陷楔形桩, 桩径比 η 越小, 桩底反射信号越弱, 存在临界桩径比 η 使得桩底反射不可见, 桩长越长 η 越大. 对于几何尺寸固定的楔形桩, 截面缺陷比 ϕ 越大, 桩底反射信号越弱, 存在临界截面缺陷比 ϕ 使得桩底反射不可见, 且桩长越长 ϕ 越大. 因此, 在工程中设计楔形桩时, 需充分考虑桩径比和桩长, 以防无法接收到桩底反射信号. 参考文献 : [] 徐祖元. 锥形桩的使用经验 [J]. 建筑技术, 98(): Xu Zuyuan. Uage experience of taper pile[j]. Architecture Technology,98():53-55(in Chinee). [] 刘杰, 何杰, 闵长青. 楔形刚性桩与桩周土的非线性相互作用 [J]. 铁道学报,,3():37-4. Liu Jie,He Jie,Min Changqing. Nonlinear interaction etween the rigid taper pile and pile-urrounding oil[j]. Journal of the China Railway Society,,3(): 37-4(in Chinee). [3] Novak M,Aoul-Ella F. Impedance function of pile in layered media[j]. Journal of the Engineering Mechanic Diviion,978,4(3): [4] Gough W,Richard J P G,William R P,Viration and Wave[M]. Halted Pre of John Wiley &Son, 983. [5] Koten H V,Middendorp P,Brederode P V. An analyi of diipative wave propagation in a pile[c]// International Seminar on the Application of Stre Wave Theory on Pile. 98:3-4. [6] 王奎华, 谢康和, 曾国熙. 有限长桩受迫振动问题解析解及其应用 [J]. 岩土工程学报,997,9(6):7-35. Wang Kuihua,Xie Kanghe,Zeng Guoxi. Analytical olution to viration of finite length pile under exciting forceand it application[j]. Chinee Journal of Geotechnical Engineering,997,9(6):7-35(in Chinee). [7] 陈安国, 刘东甲. 基桩低应变检测的波动方程法数值计算 [J]. 合肥工业大学学报 : 自然科学版,7, 3(): Chen Anguo,Liu Dongjia. Numerical computation of the wave equation for low train tet pile[j]. Journal of Hefei Univerity of Technology :Natural Science, 7,3():336-34(in Chinee). [8] 吴文兵, 王奎华, 武登辉, 等. 考虑横向惯性效应时楔形桩纵向振动阻抗研究 [J]. 岩石力学与工程学报, ( 增 ): Wu Wening, Wang Kuihua, Wu Denghui, et al. Study of dynamic longitudinal impedance of tapered pile conidering lateral inertial effect[j]. Chinee Journal of Rock Mechanic and Engineering,(Suppl ): (in Chinee). [9] 吴文兵, 王奎华, 窦斌. 任意层地基中粘弹性楔形桩纵向振动响应研究 [J]. 振动与冲击,3, 3(8):-7. Wu Wening,Wang Kuihua,Dou Bin. Vertical dynamic repone of a vicoelatic tapered pile emedded in layered foundation[j]. Journal of Viration and Shock,3,3(8):-7(in Chinee). [] 张献民, 蔡靖, 王建华. 基桩缺陷逐步能量恢复递推定量分析 [J]. 岩土力学,3( 增 ): Zhang Xianmin,Cai Jing,Wang Jianhua. Quantitative recurrence analyi to determine defect of pile y energy recovery method[j]. Rock and Soil Mechanic, 3(Suppl ):48-484(in Chinee). [] 王奎华, 高柳, 肖偲, 等. 考虑桩周土竖向作用大直径楔形桩纵向振动特性 [J]. 岩土力学,6( 增 ):3-3. Wang Kuihua,Gao Liu,Xiao Si,et al. Dynamic characteritic of large diameter tapered pile conidering vertical reaction of pile urrounding oil[j]. Rock and Soil Mechanic,6(Suppl ):3-3(in Chinee). [] Velez A,Gazeta G,Krihnan R. Lateral dynamic repone of contrained-head pile[j]. Journal of Geotechnical Engineering,983,9(8):63-8. [3] 陈鑫. 带承台单桩纵向振动特性研究 [D]. 杭州 : 浙江大学,4. Chen Xin. Study on the Vertical Dynamic Characteritic of Single Ppile with Cuhion Cap[D]. Hangzhou : Zhejiang Univerity,4(in Chinee). ( 责任编辑 : 樊素英 )

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第 35 卷第期西南大学学报 ( 自然科学版 ) 3 年月 Vol.35 No. JouralofSouthwestUiversity (NaturalScieceEditio) Feb. 3 文章编号 :673 9868(3) 69 4 一类积分型 Meyer-KiḡZeler-Bzier 算子的点态逼近赵晓娣, 孙渭滨宁夏大学数学计算机学院, 银川 75 摘要 : 应用一阶 DitziaṉTotik