第 5 期郝礼祥, 程希骏 : 基于 CopulaVaR 方法对上证和深证的研究边缘分布及 Copula 波动是金融市场的重要特性, 大量的实证研究表明, 金融资产的波动多呈现时变, 聚类等特性可以用 GARCH 模型来描述. 本文采用 GARCH 模型来对收益率序列的条件分布进行

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蟹杏申
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1 第 25 卷第 5 期 2008 年 9 月文章编号 :00275(2008) 中国科学院研究生院学报 JournaloftheGraduateSchooloftheChineseAcademyofSciences Vol.25 No.5 September 2008 基于 CopulaVaR 方法对上证和深证的研究郝礼祥程希骏 ( 中国科学技术大学统计与金融系, 合肥 ) (2007 年 9 月 8 日收稿 ;2008 年月 7 日收修改稿 ) HaoLX,ChengXJ.AnalysisofShanghaiandShenzhenstockmarketusingCopulaVaR method.journalofthegraduate SchooloftheChineseAcademyofSciences,2008,25(5):682~686 摘要基于 Copula 函数对金融市场风险价值 (VaR) 的研究, 构造出一种新的混合 Copula, 并与传统的方法进行了比较. 通过事后检验 (Backtesting), 实证研究得出, 混合 Copula 函数方法的确能够改善 VaR 模型, 降低时失效天数. 关键词 Copula 函数,MonteCarlo 模拟, 事后检验中图分类号 F830 引言 Copula 已被广泛地应用于金融领域, 特别在金融市场上的风险管理, 投资组合的选择, 资产定价等方面, 并成为解决金融问题的一个有力工具. 在实际研究中, 刻画金融资产收益的联合分布是一个很重要的问题. 一般来说, 金融资产收益的分布均呈现尖峰厚尾特性, 如果用大多数风险管理模型中的金融资产收益序列的联合分布, 服从多元正态分布或资产组合中每一单个资产的线性相关性假设, 都可能对实证的结果产生很大的偏差和误导. 而 Copula 函数可以用来将随机变量的边缘分布与联合分布连接起来, 并且不要求边缘分布具有相同的分布形式. 进而可以灵活构造实用的多元分布. 这样可以将金融资产的风险分解成单个资产的风险和由投资组合产生的风险两部分, 其中单个资产的风险可以由各自的边缘分布来描述, 而由投资组合产生的风险则完全由连接它们的 Copula 函数来描述. 正是由于 Copula 这样比较好的特性, 自 Embrechets,etal 把 Copula 引入到金融市场数量分析以来, 已经取得了很有意义的结果 []. 如 Clemente 和 Romano 结合极值理论和 Copula 技术利用 MonteCarlo 仿真方法, 研究了意大利的资本市场 [2],Rosenberg [3] 采用 VaR 作为风险度量, 运用 Copula 技术, 通过对几种模型进行了对比, 结果表明由 Copula 模型计算的 VaR 最优等 ;Hu [4] 在 Frank Gumbel 和 ClaytonCopula 函数的基础上, 引入一种新的 Copula 函数, 即混合 Copula 函数, 能比较好的反应市场的相关程度. 中国有许多学者也进行了相关 [5] [6] 的研究, 张明恒对多资产的投资组合进行了研究 ; 吴振翔分别运用 CopulaVaR 技术对多资产的投资 [7] 组合进行了研究 ; 叶五一用非参数方法对 VaR 进行了实证研究, 并进行了事后检验等. 本文通过首先介绍 Copula 理论, 构造出一种新的混合 Copula 函数, 并介绍了传统的 VaR 模型, 通过实证研究进行了对比, 结合事后检验 (Backtesting), 给出一个定量的分析结果. 中国科学院知识创新工程重要方向项目 (KJCX3SYWS02) 资助 lxhao@mail.ustc.edu.cn

2 第 5 期郝礼祥, 程希骏 : 基于 CopulaVaR 方法对上证和深证的研究边缘分布及 Copula 波动是金融市场的重要特性, 大量的实证研究表明, 金融资产的波动多呈现时变, 聚类等特性可以用 GARCH 模型来描述. 本文采用 GARCH 模型来对收益率序列的条件分布进行估计, 又由于金融变量多呈现尖峰厚尾特性, 选用 t 分布噪声驱动的 GARCH 模型, 实证研究表明,GARCH(,) 能较好的刻画金融序列的波动性, 本文采用 tgarch(,) 模型. 考虑如下的 tgarch(,) 模型 : σ 2 t =α0 +αε 2 t- +α2σ 2 t- 其中,r t 为收益率序列,I t- 为到 t- 时期所获得的信息,υt 为 id. 自由度为 v 的 t 分布. 下面主要讨论 Copula 二元情形, 对于多元的相类似. 定义二元 Copula 函数是定义在 I 2 =[0,] [0,], 其中 I=[0,], 满足下列条件 : ()( μ v) I 2,C( μ,0)=c(0,v)=0,c( μ,)= μ,c(,v)=v; (2)(u,v ) (u 2 ) I 2, 其中 u u 2,v v 2 ; C(u 2 )-C(u )-C(u 2,v )-C(u,v ) 0. 这样 Copula 函数就可以表示成 2 个服从均匀分布随机变量 μ,v 联合分布函数, 即 C( μ,v)= P(U μ,v v). Sklar 定理介绍了关于通过 Copula 函数研究 2 个随机变量的联合分布 [8] : 定理随机变量 (x,y) 联合分布为 F(x,y), 其中具有连续的边缘分布 F (x), 则存在了唯一的 Copula 函数, 使得 F(x,y)=C(F (y)). 由 Sklar 定理很容易得出 :C(u,v)=F(F - (u),f - 2 (v)), 其中 F - (x),f - 2 (y) 分别为 F (y) 的反函数. 性质对于任意的 Copula 函数都满足弗雷歇边界条件 : C w ) max +x 2 -,0) C ) C m ) min ), 我们很容易得出边界 C w 和 C m 本身也是 Copula 函数, 若 U 是 (0,) 均匀分布, 那么有 C w )= P(U x,-u x 2 ),C m )= P(U x,u x 2 ). 2 相关性度量及混合 Copula 由于传统的相关性度量是刻画 2 个变量之间线性度量, 但在非线性单调变换下, 相关度随之改变. 本文讨论 Kendalτ 相关性, 它是在单调变换下不变的相关性度量. 定义 2 若,y ),(x 2,y 2 ) 是来自总体 (X,Y) 两个独立样本, 则 Kendal 相关度 τ = P( -x 2 )(y -y 2 )>0)-P( -x 2 )(y -y 2 )<0). 从 τ 的定义很容易看出, 它在区间 [-,] 中变化. 若 (X,Y) 之间的 Copula 函数为 C(u,v), 则有 τ =4 C(u,v)dC(u,v)-. 0 u,v 由于 Copula 都满足弗雷歇边界条件, 因此想构造一个新的 Copula 函数, 若变量 (X,Y) 的边缘分布分别为 F (x) F 2 (y), 令 C(F (y))=τc w (F (y))+(-τ)c m (F (y)), 把它称作一种新的混合 Copula. { r t = u+εt εt =σtv t υt I t- ~ t v () 3 VaR 度量假定随机变量 x 和 y 分别代表 2 种金融资产的损失, 它们的边缘分布分别为 F(x) 和 G(y), 联合分

3 684 中国科学院研究生院学报第 25 卷布用 Copula 函数表示为 C(F(x),G(y)), 则投资组合的 VaR 可表示为 : P{δx+(-δ)y>γ}= δx+(-δ )y>γ dc(f(x),g(y)) 其中,δ 代表资产 x 在投资组合中的权重,γ 为阈值, 与置信水平 α 有对应关系, 若 Copula 函数已知, 但 VaR 的解析式很难求出, 因此常常运用 MonteCarlo 模拟法来计算 VaR 的值, 运用 MonteCarlo 模拟法计算资产组合 VaR 值的关键在 Copula 函数的仿真技术上. 本文主要介绍 3 种方法, 其中前 2 个为传统的 VaR 方法. () 协方差矩阵法用协方差矩阵法度量 VaR 的前提条件是假设风险因子的变化服从多元正态分布, 而真正要估计就是波动率 ( 方差 ) 和相关系数. 对于单一资产风险值估算公式为 :Var(Δt,α)=-(Δtμ +z ασ 槡 Δt)w 其中, 资产收益率服从正态分布, 均值为 μ, 标准差为 σ;z α 为标准正态分布的 α 分位数,w 为起始资金, Δt 为以日为单位的时期数 ; 投资组合风险值估计公式为 :VaR(α)= 槡 VaR T ΣVaR, 其中,VaR=(VaR,,VaR n ) T,VaR i,i=,,n 为 n 个单个资产风险值,Σ 为 n 项资产的相关系数矩阵. 用协方差矩阵法度量 VaR 时, 关键在于估计方差和分解资产收益率之间的协方差阵, 估算风险值首先要估算资产收益率的波动性. 估计方法有很多, 常见的有 : 加权移动平均法指数加权移动平均法, 以及 GARCH 估计等. (2) 历史模拟法历史模拟法的基本假设是资产收益的过去变化会在回来完全重现. 通过估算投资组合变化的统计分布 ( 经验分布 ), 再根据不同的分位数求得对应置信水平的风险值. (3) 二元情形 Copula 模拟算法生成 2 个均匀分布随机数 u,v; 2 令所求的第一个随机数 x=f - (u); 3 通过选定的 Copula 函数求得第二个序列在均匀分布的随机数 w=c - u (v), 其中,C u (v)= C(u,v) u ; 4 求得第二个随机数 y=g - (w), 这样就可以通过构造伪随机数对 (u,w), 由此可以得到随机数 (x,y); 5 重复以上步骤, 再将模拟产生的随机数以计算在不同的置信水平下的 VaR. 4 事后检验事后检验的目的就是看实际观测到的结果与所定义风险度量 (VaR) 的置信水平是否一致, 若模型中定义了 95% 置信度下的风险值, 那么就还要考查这个风险值是否真的覆盖了真实损失的 95%. 事后检验一般采用一种移动窗口的方法进行计算. 以 d 的事后检验为例, 先采用某种方法计算出给定头寸该交易日的 VaR 值 ; 接着计算出该头寸在本交易日的实际损失额, 进而计算 VaR 值是否覆盖了实际损失额 ; 然后, 在考察的交易日不断后移, 计算出每一个交易日的超出情况. 5 实证研究本文中我们选取上证指数和深圳成指的每日收盘价作为样本数据, 时间长度为 2000 年月 4 日到 2005 年 2 月 30 日共 442 组数据, 相应的收益率取为收盘价的对数收益率,R it =lnp it -lnp it-,i=,2, t=2,,442,p it 为指数 i 在 t 时间的收盘价. 在实证研究中, 由于研究 2 个市场之间的相关性和风险价值, 因此采用等权重投资, 在 2 个置信度 095,099 下度量组合投资的风险价值, 初始资金设为个单

4 第 5 期郝礼祥, 程希骏 : 基于 CopulaVaR 方法对上证和深证的研究 685 位. 从表中, 能看出收益率序列具有明显的高峰厚尾特性, 且 JarqueBera 统计量检验表明不具有正态分布的性质. 表收益率的分布特性均值标准差峰度偏度 JB 值 Pvalue 上证深证投资组合通过对收益率序列进行 ARCH 效应检验, 发现具有明显的 ARCH 效应, 因而可以用 tgarch 来拟合序列. 用式 () 所示的 tgarch(,) 模型拟合上证和深证指数收益率序列的边缘分布, 估计结果见表 2. 再用 QQ 图进行检验, 看看模型对收益率进行过滤之后是否服从均匀分布, 检验结果通过. 表 2 SH 和 SZ 边缘分布模型的参数估计样本 μ α α2 α3 v Loglikelihood 上证 -0202E3 ( ) 640E06 (26E06) (009377) (002489) 深证 -097E03 ( ) 600E06 (96E06) (009648) ( ) 注 : 括号内是对应的标准差, 号表示在 005 水平下显著. 利用 Copula 函数模拟资产组合的风险值, 由于大量实证表明证券市场不具有对称的尾部相关性, 但具有下尾相关性. 本文只考虑代表性的 Copula 函数 ClaytonCopula, 利用 MonteCarlo 方法模拟风险价值 (VaR), 关键在于估计出 Copula 参数, 这里我们通过极大似然法估出对应的 Copula 函数的参数 ; 对于方差协方差法, 关于方差的估计选择比较常用的 GARCH 模型. 我们采取事后估计的结果见表 3. 表 3 CopulaVaR 方法与传统方法进行的比较 d 年份方法样本容量历史模拟法 95% % 方差协方差方法 95% % 普通的 Copula 方法 95% % 混合 Copula 方法 95% % 注 : 置信度为 95% 时未覆盖的实效天数. 表 3 使用了 2000~2005 年上证和深证指数投资组合的数据, 计算方法如下 : 考虑 200 年第一个交易日使用的 VaR 值, 是采用以前 2000 年全部交易日数据估计得到的 ( 使用年的数据估计, 避免了由于使用过多的数据, 而把联系不紧的交易日也包括进来, 导致估计结果出偏差 ), 比较当天的损失额与 VaR 值, 记录失效天数 ; 然后把估计 VaR 的数据与参考的交易日, 都向后退隐天, 得到全年交易日的失效天数. 对于使用 Copula 函数模拟方法, 首先要计算出 2000 年全部交易日数据, 使用极大似然法估计

5 686 中国科学院研究生院学报第 25 卷 ClaytonCopula 参数为对于混合 Copula, 先计算出 2000 年的 Kendalτ 为分别模拟 5000 次, 估出 200 年 VaR 值, 再与各个交易日比较, 得到全年的实效天数 ; 类似, 利用 200 年数据, 模拟出 2002 年 VaR 值, 再计算出全年的实效天数, 依此类推. VaR 是基于历史数据得出的未来风险价值, 这样就需要对其预测结果的有效性与准确性进行检验. 假定计算 VaR 的置信水平为 α, 实际考察天数为 T, 实效天数为 N, 那么对于实效概率 P, 其频率估计为 N?T, 这样对 VaR 模型准确性的评估就转化为检验实效概率 P 是否显著不同于 P, 即检验原假设 H 0 P=P, 其中 P 为给定的值. 假设 VaR 估计具有时间独立性, 实效出现的次数可视为一系列独立的贝努利试验,Kuppiec [9] 提出了对零假设最合适的似然比检验, 在零假设成立下近似成立 : LR=2ln[(-N?T) T-N (N?T) N ]-2ln[(-P ) T-N (P ) N ]~ χ 2. 从表 3 的结果可以看出, 利用混合 Copula 函数估计 VaR, 要好于传统方法和普通 Copula 的方法. 说明传统的 VaR 计算方法低估了风险, 导致失效天数过多. 与传统的 Copula 相比, 混合 Copula 要胜一筹. 通过似然比检验对表 3 混合 Copula 方法 5 个年份检验, 我们考虑在置信度为 95% 水平下,LR 的结果小于 χ 2 (095)=0004, 说明此方法预测结果是有效的. 6 结论基于 Copula 理论和 Kendal 相关度的度量, 我们构造出混合 Copula 函数 ; 另外将事后检验用于风险管理在西方金融市场十分普遍, 而在国内这样的文献并不多. 本文通过事后检验, 得出混合 Copula 模型能较好估出风险值. 通过此篇文章, 我们能够看出 Copula 灵活多变的构成特性, 使得它在风险度量中具有很重要的作用. 毫无疑问,Copula 技术将成为金融分析的有力工具. 参考文献 [] EmbrechetsPA,McneilA,StraumannD.Corelationanddependenceinriskmanagementproperties:pitfalsandAlternatives.Risk,999,2 (5):~2 [2] ClementeAD,RomanoC.MeasuringportfolioValueatRiskbyacopulaEVTbasedapproach.WorkingPaperofUniversityofRome La Sampienza,2003 [3] RosenbergJ,SchuermannT.Ageneralapproachtointegratedriskmanagementwithskewedfattailedrisks.WorkingPaperofFederalReserve BankofNewYork,2004 [4] HuL.Esaysineconometricswithapplicationinmacroeconomicandfinancialmodeling:[Ph.D.Thesis].NewHaven:YaleUniversity,2002 [5] ZhangMH.QuantitiativeresearchofmultiasetVaRbycopula.Quantitative&TechnicalEconomics,2004,2(4):67~70(inChinese) 张明恒. 多金融资产风险价值的 Copula 计量方法研究. 数量经济技术经济研究,2004,2(4):67~70 [6] WuZX,ChenM,YEWY,etal.RiskanalysisofportfoliobyCopulaGARCH.SystemsEngineringtheory&Practice,2006,28(3):45~52(in Chinese) 吴振翔, 陈敏, 叶五一, 等. 基于 CopulaGARCH 的投资组合风险分析. 系统工程理论与实践,2006,28(3):45~52 [7] YeWY,MiaoBQ,WuZX.BootstrapmethodbasedevaluatingVaR.JounalofSystemsEnginering,2004,9(5):528~53(inChinese) 叶五一, 缪柏其, 吴振翔. 基于 Bookstrap 方法的 VaR 计算. 系统工程学报,2004,9(5):528~53 [8] Nelson.AnintroductiontoCopulas.Springer,99 [9] KupiecP.Techniquesforverifyingtheaccuracyofriskmeasurementmodels.JournalofDerivatives,995,3:73~84 AnalysisofShanghaiandShenzhenstockmarketusingCopulaVaRmethod HAOLiXiang CHENGXiJun (UniversityofScienceandTechnologyofChina,Hefei230026,China) Abstract RiskanalysisofPortfolioisstudied;bycomparingCopulafunctionsandthetraditionalVaRmethods, mixingcopulaismade.bybacktestingtheempiricalresearchshowsthatmixingcopulamethodmakesbetervar model. Keywords Copulafunctions,MonetCarlosimulation,backtestiong

第 2 期孙召伟等 : 基于 Copula 函数的 CTE 研究与实证分析 397 斜等 ) 中, 能更全面有效地刻画损失分布的数理特征实际中, 可以采用下面的公式近似计算样本 CTE: CTE p = Nα α{ X N (j) +[ α- j=1 N ] X ( Nα } ),

第 2 期孙召伟等 : 基于 Copula 函数的 CTE 研究与实证分析 397 斜等 ) 中, 能更全面有效地刻画损失分布的数理特征实际中, 可以采用下面的公式近似计算样本 CTE: CTE p = Nα α{ X N (j) +[ α- j=1 N ] X ( Nα } ), 第 34 卷第 2 期桂林理工大学学报 Vol 34No 2 2014 年 5 月 JournalofGuilinUniversityofTechnology May 2014 文章编号 :1674-9057(2014)02-0396-05 doi:10 3969/j.isn 1674-9057 2014 02 032 基于 Copula 函数的 CTE 研究与实证分析孙召伟, 张浩敏 ( 桂林理工大学理学院,