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1 第 25 卷第 2 期运筹与管理 Vol.25,No 年 4 月 OPERATIONSRESEARCH ANDMANAGEMENTSCIENCE Apr.2016 沪深股市的相关结构分析与投资组合风险度量基于 ARFIMA GARCH Copula 模型吴玉宝, 汪金菊 ( 合肥工业大学数学学院, 安徽合肥 ) 摘要 : 金融资产收益率不仅具有尖峰厚尾性异方差性, 还具有长记忆性基于此, 本文建立 ARFIMA GARCH Copula 模型来研究沪深股市的相关结构和等权重投资组合风险值 VaR, 利用上证指数和深成指数收益率的组合来进行实证研究首先采用经典 R/S 分析法检验各个资产收益率的长记忆性, 经过分数阶差分后选用 GARCH 模型建模得到边缘分布然后选择 Copula 函数来刻画两资产之间的相关结构, 建立联合分布模型进而采用 MonteCarlo 方法模拟产生各资产的收益率序列, 计算出投资组合的风险值 VaR 实证研究表明: 沪深股市具有长记忆性, 且两者具有对称的尾部相关性 ;Kupiec 检验说明 ARFIMA GARCH Copula 模型较之于 GARCH Copula 模型能更准确地度量投资组合风险关键词 :ARFIMA;GARCH;Copula 函数 ;VaR 风险值 ;Kupiec 检验中图分类号 :F830.9 文章标识码 :A 文章编号 : (2016) doi: /orms ShanghaiandShenzhenStockMarketRelatedStructureAanalysisand PortfolioRiskMeasurementBasedonARFIMA GARCH CopulaModel WUYu bao,wangjin ju (1.SchoolofMathematics,HefeiUniversityofTechnology,Hefei230009,China) Abstract:Itiswelknownthatfinancialreturnhassharp peaks,fat tails,heteroscedasticityandlongmemory. Consideringthreefeatures,thepaperconstructsariskmeasuremodelbasedontheARFIMA GARCH Copulafor financialportfolio,whichiscomposedbyshanghaistockindexreturnandshenzhencomponentindexreturn equalweight.firsttheclasicalr/sanalysisisadoptedtotestthelongmemoryofasingleaset.second,the paperadoptsdiferentgarchmodelstofiteachassetreturnseries.third,itselectscopulafunctiontodescribe therelationalstructurebetweeneachasset.fourth,itusesmontecarlomethodtoproduceeachreturnsequence oftheasets.andthenitcalculatesthevaroffinancialportfolio.theempiricalresultsshowthatthereisappar entlongmemorypropertyintheshanghaiandshenzhenstockmarketwhichhassymmetricaltailcorelation. KupiectestresultsshowthatthemodelofARFIMA GARCH CopulaismoreeficientthanGARCH Copulamodel inmeasuringtheportfoliorisk. Keywords:ARFIMA;GARCH;copulafunction;valueatrisk(VaR);kupiectest 0 引言在金融市场迅速发展金融创新不断深入的今天, 国际和国内金融市场之间的联系日趋紧密, 市场之间的相关关系也更加复杂化, 而金融市场的波动也日益加剧, 金融风险明显增大与此同时金融资产的相关性分析越来越成为学术界的研究热点, 学术界关于金融市场相关性的分析虽然很多, 但以往采用的线性相关关系系数已经不适应金融市场的发展而 Copula 函数模型可以对金融市场间的相关结构建模, 能够有效地刻画随机变量间的非线收稿日期 : 基金项目 : 国家重大科研装备研制项目 (ZDYZ2012 1); 安徽省自然科学基金资助项目 ( MF91); 中央高校基本科研业务费专项资金项目 (J2014HGXJ0072) 作者简介 : 吴玉宝 (1990 ), 男, 安徽天长人, 硕士生 ; 汪金菊 (1978 ), 女, 安徽南陵县人, 博士, 硕士生导师, 研究方向为高维复杂数据统计分析

2 第 2 期吴玉宝, 等 : 沪深股市的相关结构分析与投资组合风险度量 221 性和非对称性, 特别是容易捕捉到变量分布尾部的相关关系, 更好地描述变量间的相关结构 Copula 理论创始人是 Sklar, 他发现 Copula 函数可以将联合分布函数和它们各自的边际分布函数连接起来, 这样 Copula 函数可以刻画变量间的相关性 ; 随后 Schweizer 和 Sklar [1] 对 Copula 理论进行深一步的研究, 介绍了 Copula 函数的定义及性质等, 他们研究的内容不仅为人们提供了一条在不研究边际分布的情况下分析变量之间相关结构的途径, 同时也开辟了求取联合分布函数的新道路 ;Joe [2] 通过建模的思想来对 Copula 理论进行了分析 ; 之后 Nel son [3] 系统的介绍了 Copula 方法, 总结了前人的理论成果最早将 Copula 理论引入金融风险分析的是 Embrechts,McNeil 和 Straumann [4], 探讨了在金融市场采用线性相关指标度量相依性的局限性, 指出 Copula 理论在金融风险分析中的优势之后 Copula 理论很快应用于金融市场的各个领域, ClaudioRomano [5] 将 Copula 理论与极值理论结合起来, 探讨了意大利资本市场的投资组合风险问题 ;Rosenberg 和 Schuermann [6] 利用 Copula 理论, 对市场金融风险的聚合问题进行综合研究 ;Andrew JP [7] 系统地研究 Copula 函数在金融风险分析中的应用, 特别是非对称相关结构对两种资产投资的绩效影响国内学者应用 Copula 理论在金融市场中的研 [8] 究开始于 2002 年张尧庭针对金融市场理论, 对 [9] Copula 技术进行了可行性分析 ; 张明恒结合 Cop ula 理论研究多资产 VaR 的计算方法 ; 韦艳华 (2004) [10] 将 Copula 函数与时间序列 GARCH 模型结合, 对沪深两股市间相关结构进行研究 ; 吴振 [11] 翔等应用 Copula 理论来对金融资产投资组合的风险进行分析, 在选择 Copula 函数时, 采用了二元 [12] 的阿基米德 Copula 函数 ; 泰伟良, 王颖对上证指数和深证成指数收益率的边缘分布采用正则逆 Gamma 分布偏 T 分布进行拟合, 然后在此基础上 [13] 采用 Copula 函数建立两者的联合分布任仙玲将多元阿基米德 Copula 函数应用于投资组合风险分析的研究, 并将多元阿基米德 Copula 与非参数核 [14] 密度估计相结合 ; 任仙玲, 叶明确, 张世英构建 APD GARCH 模型刻画风险资产收益率序列, 以多元 Copula 函数描述风险资产之间的相关结构信息 ; [15] 赵喜仓, 刘寅飞, 叶五一构建了半参数多元 Copu la GARCH 模型来对开放式基金投资组合风险进行 [16] 分析史美景, 赵永淦构建了一种新的 Copula TGARCH 模型估计股指期货的最佳套期保值比, 利用 Copula 函数的不同形式刻画现货和期货收益率 [17] 的尾部相依性高江在传统的二元 Copula 函数面临维数诅咒问题及多元 Copula 函数精确性和灵活性存在各种局限性的情况下, 引入藤 Copula 刻画多个资产收益率的联合分布, 基于蒙特卡罗模拟计算多资产投资组合的 VaR 鉴于金融资产具有尖峰厚尾性异方差性以及长记忆性, 为了更准确地计算投资组合的风险值 VaR, 本文将 ARFIMA GARCH 和 Copula 融合, 提出了 ARFIMA GARCH Copula 模型本文首先采用经典的 R/S 分析法检验各个资产收益率的长记忆性, 经过分数阶差分后采用 GARCH 建模, 然后选择合适的 Copula 函数建立联合分布模型, 刻画两者之间的相关结构进而采用 MonteCarlo 方法模拟产生各个资产的收益率序列, 计算出等权重的投资组合的风险值 VaR 1 ARFIMA GARCH Copula 模型介绍 1.1 ARFIMA(p,d,q)-GARCH(r,s) 模型在经济领域中, 时间序列具有长记忆性和异方差性等特征, 将考虑了时间序列短记忆性和长记忆性的 ARFIMA 模型和处理回归残差的异方差性的 GARCH 模型结合起来刻画金融时间序列的边缘分布设金融数据的原始收益率序列为 R t,arima (p,d,q)-garch(r,s) 模型可以表示为 (L)(1-L) d R t = (L)ε t (1) Y t =μ+ p i Y t-i +ε t + q θ j ε t-j ε t ~t(v) (2) σ 2 t =ω+ r α i ε t-i + s β j σ 2 t-j (3) 其中 p,q,r,s N {0},d 为分数差分算子的阶数, d <0.5,L 为滞后算子,I t-1 表示到时刻 t-1 为止所有可获得的信息,σ 2 t 为 ε t 的条件方差 t(v) 表示均值为 0, 自由度为 v 的 t 分布,Y t 表示差分后的收益率序列设 Φ(L) = p φ i L i,θ(l) = q θ j L j,a(l) = r α i L i,b(l) = s β j L j C1:1- (L)=0 的所有根在单位圆外 ; C2:1-Θ(L)=0 的所有根在单位圆外 ; C3:α i >0,i=0,1,,r; C4:β j >0,,,s; C5:A(1)+B(1)= r α i + s β j <1

3 222 运筹与管理 2016 年第 25 卷理论上,C1 与 C2 是为了保证误差项 ε t 的平稳性与可逆性 ;C3,C4,C5 是条件方差方程中各项系数满足的约束条件, 目的是为了保证条件方差 σ 2 t 为正 1.2 Copula 函数 Copula 函数可以将联合分布函数和它们各自的边际分布函数连接起来, 可以刻画变量间复杂的非线性相关性, 在现代风险管理领域中得到了越来越多的应用 Copula 函数分为椭圆 Copula 函数族和阿基米德 Copula 函数族椭圆 Copula 函数族 (ElipticalCopula): 这类 Copula 函数在图上呈现椭圆形状, 故称为椭圆 Copula 函数, 具有对称尾部相关性, 只能捕捉对称的相关结构常见的有正态 Copula 和 t Copula, 而 t Copula 更强调尾部相关性阿基米德 Copula 函数族 : 这类函数族由它们的母函数唯一确定常见的有 GumbelCopula ClaytonCopula FrankCopula 母函数分别为 φ(t,θ)=-(lnt) θ,φ(t,θ)=t -θ -1,φ(t,θ) t-1 e-θ =-ln e θ -1 (4) Gumbel 和 ClaytonCopula 函数可以用来描述变量间非对称的相关关系, 不同的是前者强调上尾的相关性, 而后者强调下尾的相关性 Copula 函数的估计最常用的是两阶段极大似然估计法关于 Copula 模型的检验和选取, 常用的有 K S 检验和 Q Q 图以及拟合检验本文采用计算平方欧式距离的方法选取最合适的 Copula 函数 1.3 投资组合 VaR 的计算和检验求出投资组合的边缘分布和刻画金融资产相关结构的 Copula 函数后, 采用 MonteCarlo 模拟法计算投资组合的 VaR 假设随机变量 X,Y 分别代表两种不同金融资产的收益率, 它们的联合密度函数为 h(x,y), 随机变量 X 的密度函数和分布函数分别为 f(x),f(x), 随机变量 Y 的密度函数和分布函数分别为 g(y),g(y), 它们之间相关结构可以用最优 Copula 函数来 C (u 1,,u N ) 描述, 则投资组合的 VaR 满足 = = = P[λX+(1-λ)Y >VaR] λx+(1-λ)y>var λx(1-λ)y>var λx+(1-λ)y>var h(x,y)dxdy C (F(x),G(y);Θ)f(x)g(y)dxdy dc (F(x),G(y);Θ) =1-α (5) 其中 λ 代表金融资产 X 在投资组合中所占的比重,VaR 表示置信水平 1-α 为的风险值为了验证 VaR 模型的有效性和准确性及比较几种 VaR 模型的优劣, 需要对几种 VaR 模型计算风险值 VaR 进行返回检验 (Back testing), 本文采用 Kupiec 失败频率检验法对模型的有效性进行检验其思想是将实际的损失值与 VaR 值作比较, 当实际损失值与 VaR 值相差很大则说明预测失败, 实际损失值与 VaR 值相差很小则说明预测成功, 当显著性水平与预测失败的天数除以样本量得到的比值相差较小时, 则说明该 VaR 模型预测成功假设计算 VaR 的置信水平为 α, 实际考察天数为 T, 失败天数为 N, 则失败频率为 P=N/T, 失败的概率期望为 :p =1-α 由 Bernouli 试验过程可以得到 N 次失败在 T 个样本中发生的概率为 P =(1-N/T) T-N (N/T) N Kupiec 假设检验为 : 零假设 H 0 :p=n/t, 似然比统计量为 : LR=2ln[(1-N/T) T-N (N/T) N ]-2ln[1-p] T-N p N (6) 在原假设 H 0 成立的条件下,LR 统计量服从自由度为 1 的 χ 2 分布 2 实证分析 2.1 基本统计分析本文以上证指数 (sh), 深成指数 (zh) 构成的投资组合为研究对象, 样本时间范围为 2001 年 1 月 2 日到 2013 年 10 月 24 日, 其中 2001 年 1 月 2 日到 2013 年 4 月 26 日共 2979 组数据用于估计模型参数,2013 年 5 月 2 日到 2013 年 10 月 24 日共 115 组数据用于 Kupiec 检验所有数据来源于大智慧软件, 数据处理及参数估计采用软件 Eviews 6.0 和 Matlab2012a 将指数每日的收盘价记为 P t, 将指数在第 t 交易日的收益率定义为 r t =log(p t /P t-1 ) 由表 1 和 2 可知, 在样本观察期间内, 上证指数和深成指数的平均收益均为正, 几乎为零收益率偏度统计量均为负, 意味着收益率存在下降的可能性峰度统计量表明, 上证指数和深成指数收益分布具有比正态分布更厚的尾部特征 J B 检验统计量的值及其相伴概率, 表明上证指数与深成指数收益率均不服从正态分布, 两指数均具有尖峰厚尾的特征单位根 ADF 检验表明, 两收益率序列不存在单位根, 是平稳的根据 Box Jenkins 的理论, 采用最小二乘法进行简单的线性回归, 对残差进行 Engle s ARCH/GARCH 效应检验, 结果表明两收益率序列

4 第 2 期吴玉宝, 等 : 沪深股市的相关结构分析与投资组合风险度量 223 都具有明显的条件异方差性表 1 上证指数收益率序列的描述性统计量因为 GARCH 模型可以充分捕捉到金融时间序列的波动特性, 所以选择 GARCH(1,1) t 对 {r_sh},{r_zh} 建模,GARCH(1,1) t 模型中 μ 是均值方程的参数,ω,α,β 是波动方程的参数,DOF 表示分布的自由度, 估计结果如表 4 表 4 上证指数和深成指数收益率的 GARCH(1,1) t 估计结果 GARCH-t μ ω α β DOF 表 2 深成指数收益率序列的描述性统计量 r_sh r_zh 7.71e e ( )( )( )( )( ) 1.05e e ( )( )( )( )( ) 2.2 长记忆性检验和建模分别对上证指数收益率 {r_sh} 和深成指数收益率 {r_zh} 的序列进行长记忆性检验, 用传统 R/S 分析方法得到的 Hurst 指数 H 和截距 d 见表 3 由表 3 可以得出两个结论 :(1) 上证指数和深成指数的收益率具有长记忆性 (2) 如果在某一时刻收益率向上 ( 下 ) 移动, 那么下一时刻它可能持续向上 ( 下 ) 移动,H 越接近 1, 这种可能性越大表 3 上证指数和深成指数收益率波动的长记忆性检验序列 Hurst d 结论上证日收益序列存在长记忆性深成日收益序列存在长记忆性由表 4 可知,GARCH(1,1)-t 模型的 α+β 几乎为 1, 进一步验证了两个收益序列存在记忆性由表 3 和表 4 结果可知, 上证指数和深成指数收益率具有长记忆性和异方差性本文首先对两收益率序列 {r_sh},{r_zh} 进行分数差分变换, 消除两收益率序列的长记忆性影响, 得到新的收益率序列 R_sh i =(1-L) d 1 r_sh i,r_zh i =(1-L) d 2 r_zh i 再观察序列 {R_sh},{R_zh} 的 ADF 检验, 检验结果显示 :ADF 统计量均小于显著水平 1% 5% 10% 的临界值因此, 可以拒绝收益率序列存在单位根的原假设, 即认为序列 {R_sh},{R_zh} 平稳表 5 {R_sh},{R_zh} 的 ADF 检验 t Statistic Prob. 1% level 5% level 10% level R_sh R_zh 进一步对 {R_sh},{R_zh} 进行 GARCH(1,1) -t 建模, 模型的参数估计结果见表 6 表 6 {R_sh},{R_zh} 的 GARCH(1,1) t 模型参数 GARCH-tDOF μ d ω ARCH GARCH DOF R_sh R_zh -5.87e e ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) -6.46e e ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 再次利用 ARCH LM 检验, 在 5% 的显著水平下对 2 个模型的残差平方序列分别计算自相关系数阶数为时的 P 值上证指数收益率的 P 值分别为 0.99,0.899,0.935 深成指数收益率的 P 值分别为 0.905,0.811,0.840 故接受不存在自相关的假设, 说明模型是有效的 2.3 Copula 函数选取和模型的参数估计及分析前一节中用 GARCH(1,1) t 模型来估计分数阶差分后上证和深成指数收益率的边缘分布调用 ksdensity 函数对模型的残差序列进行核分布估计, 核分布估计值均在 [0,1] 之间, 则满足了 Copula 函数自变量定义域为 [0,1] 的要求图 1 是转化为均匀分布后的散点图从图 1 中可以看出, 散点集中于主对角线上, 反映出上证指数收益率与深成指数收益率的相关结构存在复杂的关系, 即两个收益率同时取极大值的概率比较大从 Copula 函数的特性来看, 正态 Copula 函数具有对称性, 只能描述变量间对称的相关关系 ta Copula 函数具有对称性, 同时在变量间尾部相关性上表现得更加敏感阿基米德 Copula 函数是一个函数族, 其中

5 224 运筹与管理 2016 年第 25 卷 GumbelCopula 的函数形式对上尾相关性敏感, ClaytonCopula 的函数形式对下尾相关性敏感, FrankCopula 的函数形式只能描述变量间对称的相关关系从图 1 散点图的分布来看, 沪深股市间具有很强尾部相关性, 从而选择 t Copula,Gumbel Copula,ClaytonCopula 用极大似然估计方法对其进行估计, 结果见表 7 图 1 上证指数收益率与深成指数收益率散点图表 7 Copula 函数的 Kendal 值和 Spearman 值 Copula 类型 t Gumbel Clayton 对照组 (cor) 参数 Kendal 秩值 Spearman 值数为的二元 Gumbel Copula 与经验 Copula 的平方欧式距离 d 2 gumbel=0.1090, 因为 d 2 t <d 2 gumbel, 所以在平方欧式距离的标准下二元 t Copula 函数更适合拟合数据用 t Copula 函数来刻画上证和深成指数之间的关系, 说明两者之间存在很厚的尾部相关性图 2 给出了上证和深成指数收益率 t Copula 函数模型的密度分布图 2.4 投资组合风险测量假定投资组合中上证指数和深成指数投资比例为 1 1, 根据得到的边缘分布函数和 Copula 函数运用 MonteCarlo 仿真模拟 5000 次, 可得到各资产的收益率仿真序列 {r nt },n=1,2,t=1,,5000, 计算 90% 95% 99% 置信度下的投资组合 VaR, 为了进行对比分析, 给出了基于 GARCH Copula VaR 和传统的方差协方差法计算 VaR 的结果, 见表 8 表 8 投资组合 VaR 计算结果模型 90%VaR 95%VaR 99%VaR ARFIMA GARCH Copula VAR GARCH Copula VAR Variance covariance VAR 从表 8 中发现, 对于投资组合而言, 在置信度 99% 下, 基于 Copula VaR 模型模拟出来的组合风险值要大于传统的 VaR 模型估计出来的投资组合风险值, 说明基于 Copula 计算 VaR 能够更加精确地度量投资组合所面临的风险对于投资组合而言, 在任何置信度区间下,ARFIMA GARCH Copula VaR 模型估计风险值要优于 GARCH Copula VaR 模型图 2 上证和深成指数收益率 t Copula 函数模型的密度分布图进一步检验模型的效果, 在置信度为 90% 95% 99% 下, 分别基于 ARFIMA GARCH Copula 从表 7 中, 根据 Kendal 秩相关系数可知模型和 GARCH Copula 模型预测了 2013 年 5 月 2 t Copula 函数更适合拟合数据, 而从 Spearman 相关日到 2013 年 10 月 24 日的 VaR, 并得出了 115 个系数可知 Gumbel Copula 函数更适合拟合数据交易日内失败的天数和失败率 ( 表 9) 由 Kupiec 通过计算平方欧式距离可知, 线性相关系为的失败频率检验法可知,Kupiec 检验法的置信域 , 自由度为的二元 t Copula 与经验内, 失败的天数越少, 模型就越好 Copula 的平方欧式距离 d 2 t =0.0091, 线性相关系表 9 T=115 时的上证指数和深成指数 VaR 模型的失败次数及失败率模型 ARFIMA GARCH Copula GARCH Copula VaR 置信水平 90%VaR 95%VaR 99%VaR 90%VaR 95%VaR 99%VaR 失败天数失败率 LR 统计量由表 9 知, 置信水平越高, 模型的预测效果越好, 但是 ARFIMA GARCH Copula 模型的预测效果

6 第 2 期吴玉宝, 等 : 沪深股市的相关结构分析与投资组合风险度量 225 要优于 GARCH Copula 模型, 主要原因是 ARFIMA GARCH 模型能捕捉到收益率序列的长记忆性, 同时准确估计收益率的条件异方差 VaR 的效果要优于 GARCH Copula 模型的预测效果, 主要原因是前者更能准确地刻画收益率波动的长记忆性特征 3 结论参考文献 : 金融市场之间相关关系的变化是相当复杂的, 过去对金融市场相关性的研究主要集中在对相关程度的分析, 而忽略了对相关模式的研究众所周知, 金融时间序列收益率具有长记忆性时变波动波动聚类偏斜高峰和厚尾等特性, 因此本文选择 ARFIMA GARCH t 可以较好刻画金融时间序列收益率的这些分布特性又由于金融市场和其子系统之间具有相关关系, 因此本文采用 t Copula 函数来描述金融市场间的相关关系通过实证分析上证指数和深成指数两大市场之间的相关结构和基于 Copula 函数计算投资组合的风险值 VaR, 并得出一些结论 (1) 对上证指数和深成指数收益率序列进行长记忆性检验, 检验结果 H 1 =0.6925,H 2 = 说明两者皆具有长记忆性对两个长记忆性时间序列进行分数阶差分去除长记忆性, 得到两条新的时间序列, 并通过 ADF 检验结果显示 {R_sh},{R_ zh} 皆为平稳序列 (2) 用 GARCH(1,1) t 模型消除两条新的时间序列的异方差性, 并对残差进行 ARCH LM 效应检验, 检验结果接受原假设 : 残差序列不存在 ARCH 效应用 ksdensity 函数对两个残差序列进行核分布估计, 核分布估计值均在 [0,1] 之间说明用 GARCH(1,1) t 模型来描述两条新时间序列的条件边缘分布是充分的, 而且拟合的效果很好 (3) 不同的 Copula 函数对两条残差序列的相关性刻画侧重点不同, 但都表明上证和深成指数间存在较强的相关关系 t Copula 函数既刻画了上证和深成的对称性, 又捕捉到了两者具有很厚的尾部相关性, 即上证指数上涨 ( 下跌 ) 时, 深成指数也跟着上涨 ( 下跌 ) (4) 将上证指数和深成指数以等权重的方式构成投资组合, 基于 ARFIMA GARCH Copula 模型预测 [1] SchweizerB and SklarA. Probabilisticmetricspaces [M].North Holand,NewYork,1983. [2] JoeH.Multivariatemodelsandmultivariatedependence concepts[m].london,chapman,1997. [3] NelsonRB.Anintroductiontocopulas[M].NewYork, Springer Verlag,1999. [4] EmbrechtsP,McNeilA.Corelation:pitfalsandalter natives[j].risk.1999,12(5): [5] RomanoC.Calibratingandsimulatingcopulafunctions, anapplicationtotheitalianstockmarket[r].cidem, 2002b. [6] Joshua V Rosenberg, Til Schuermann. A general approachtointegratedriskmanagementwithskewed,fat tailedrisks[j].journaloffinancialeconomics,2006, 79(3): [7] Andrew PatonJ.Modelingasymmetricexchangerate dependence[j].internationaleconomicreview,2006, 47(2): [8] 张尧庭. 连接函数 (Copula) 技术与金融风险分析 [J]. 统计研究,2002,19(4): [9] 张明恒. 多金融资产风险价值的 Copula 计量方法研究 [J]. 数量经济技术经济研究,2004,21(4), [10] 韦艳华, 张世英, 孟利锋.Copula 理论在金融上的应用 [J]. 西北农林科技大学学报,2004,3(5): [11] 吴振翔, 陈敏, 叶五一, 缪柏其. 基于 Copula GARCH 的投资组合风险分析 [J]. 系统工程理论与实践, 2006,26(3): [12] 泰伟良, 王颖, 达庆利. 基于 Copula 的金融市场相关分析 [J]. 运筹与管理,2007,16(5): [13] 任仙玲, 张世英. 基于核估计及多元阿基米德 Copula 的投资组合风险分析 [J]. 管理科学,2007,20(5): [14] 任仙玲, 叶明确, 张世英. 基于 Copula APD GARCH 模型的投资组合有效前沿分析 [J]. 管理学报,2009, 6(11): [15] 赵喜仓, 刘寅飞, 叶五一. 基于半参数多元 Copula GARCH 模型的开放式基金投资组合风险分析 [J]. 数理统计与管理,2011,30(2): [16] 史美景, 赵永淦. 基于 Copula TGARCH 模型的股指期货最佳套期保值比研究 [J]. 数理统计与管理,2012, 31(2): [17] 高江. 藤 Copula 模型与多资产投资组合 VaR 预测 [J]. 数理统计与管理,2013,32(2):

第 2 期孙召伟等 : 基于 Copula 函数的 CTE 研究与实证分析 397 斜等 ) 中, 能更全面有效地刻画损失分布的数理特征实际中, 可以采用下面的公式近似计算样本 CTE: CTE p = Nα α{ X N (j) +[ α- j=1 N ] X ( Nα } ),

第 2 期孙召伟等 : 基于 Copula 函数的 CTE 研究与实证分析 397 斜等 ) 中, 能更全面有效地刻画损失分布的数理特征实际中, 可以采用下面的公式近似计算样本 CTE: CTE p = Nα α{ X N (j) +[ α- j=1 N ] X ( Nα } ), 第 34 卷第 2 期桂林理工大学学报 Vol 34No 2 2014 年 5 月 JournalofGuilinUniversityofTechnology May 2014 文章编号 :1674-9057(2014)02-0396-05 doi:10 3969/j.isn 1674-9057 2014 02 032 基于 Copula 函数的 CTE 研究与实证分析孙召伟, 张浩敏 ( 桂林理工大学理学院,