402 桂林理工大学学报 2014 年其中 :λ U,λ L (0,1), 当 λ U (λ L )>0 时, 称 X Y 上 ( 下 ) 尾渐近相关 ; 当 λ U (λ L )=0 时, 称 X Y 上 ( 下 ) 的共同变动关系, 进而估计得到

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吊芽溥
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1 第 34 卷第 2 期桂林理工大学学报 Vol 34No 年 5 月 JournalofGuilinUniversityofTechnology May 2014 文章编号 : (2014) doi: /j.isn 期货市场尾部相关性的 Copula 度量孙国华, 苏红柳, 唐国强 ( 桂林理工大学理学院, 广西桂林 ) 摘要 : 通过选择恰当的 Copula 函数能够很好地度量金融数据的尾部相关性选取 ArchimedeanCopula 函数族中 GumbelCopula 和 ClaytonCopula 分别对国际期货市场中黄金期货和白银期货收益率的尾部相关性进行度量, 同时运用非参数估计法对 Copula 函数中的参数进行估计结果表明, 两种期货收益率的下尾相关性强于上尾相关性关键词 :Copula; 尾部相关 ; 非参估计 ;K S 检验中图分类号 :F830 文献标志码 :A 随着经济全球化和金融自由化, 金融市场的波动性不断加剧, 金融工具所蕴涵的风险结构也越来越为复杂, 许多金融资产具有非线性动态行为, 特别是期权类金融工具之间, 呈现出一定的非线性相关, 这为刻画金融随机变量之间的相关性结构带来了困难相关性研究在金融分析中非常重要, 风险管理投资组合的选择资产定价等一系列金融问题都要涉及到相关性研究刻画随机变量之间相关性结构的难点在于如何确定其联合分布函数,Copula 方法为解决这一问题提供了新的思路自从 Embrechts 等把 Copula 这一技术引入到金融研究以来, 已不断有文献用 Copula 来研究金融市场的相关性 : 首先在用 Copula 建立模型时, 可由随机变量的边缘分布函数借助于 Copula 函数来研究随机变量之间的相关性结构, 同时可将随机变量的边缘分布与相关结构分开研究, 故可不受边缘分布选择的限制, 还为求解联合分布函数提供了一条便捷的通道 ; 其次由 Copula 可导出相关性指标, 通常比常用的线性相关系数更加合乎人们的要求 ; 并且其与常见的相关性度量相比较, Copula 方法涵盖的随机变量相关性结构的信息更为充分 [1] JondeauE 等研究表明, 金融资产收益表现出较强的尾部相关性, 并且是非对称的, 其下尾相关性大于上尾相关性 [2] 柳会珍等利用广义 Pareto 模型研究了深市收益率分布的尾概率, 并且指出存在着明显的尾部不对称现象 [3] 本文针对期货市场当收益率发生极端事件 ( 猛涨或猛跌 ) 时, 收益率的尾部相关性对其他收益率波动的影响程度 1 基于 Copula 函数的尾部相关性尾部相关性 (taildependence) 可以较好地描述极端事件发生时变量间的相互作用, 即随机变量 X 大幅度增加或者大幅度减少时, 随机变量 Y 也发生大幅度增加或者大幅度减少的概率 [4] 对于分布函数分别为 F G 的随机变量 X Y, 若 X Y 的连接函数是 C, 则 X Y 基于该 Copula 函数的上尾相关系数 λ U 和下尾相关系数 λ L 定义如下 [5] : λ U P{Y>G (t) X >F (t)} t 1 - t 1-1-2t+C(t,t) 1-t, (1) λ L P{Y G (t) X F (t)} t 0 + C(t,t) t 0 t (2) + 收稿日期 : 基金项目 : 广西空间信息与测绘重点实验室项目 ( 桂科能 ); 桂林市科技局科研项目 ( ) 作者简介 : 孙国华 (1987 ), 男, 硕士研究生, 研究方向 : 应用统计, @qq com 通讯作者 : 唐国强, 男, 副教授,tanggq@glut edu cn 引文格式 : 孙国华, 苏红柳, 唐国强. 期货市场尾部相关性的 Copula 度量 [J]. 桂林理工大学学报,2014,34(2):

ArchimedeanCopula 函数族中 GumbelCopula 和 ClaytonCopula 分别对国际期货市场中黄金期货和白银期货收益率的尾部相关性进行度量, 同时运用非参数估计法对 Copula 函数中的参数进行估计结果表明, 两种期货收益率的下尾相

2 402 桂林理工大学学报 2014 年其中 :λ U,λ L (0,1), 当 λ U (λ L )>0 时, 称 X Y 上 ( 下 ) 尾渐近相关 ; 当 λ U (λ L )=0 时, 称 X Y 上 ( 下 ) 的共同变动关系, 进而估计得到更合适的联合概率分布尾渐近独立 F (t) G (t) 分别表示分布函数 2 2 几种常用的 Copula 函数 F( ) G( ) 的 t 分位数函数 [6] λ U (λ L ) 表示变量 X Y 同时在上 ( 下 ) 尾部的相关系数, 以下为另外两种尾部相关系数 [7] : λ UL P{Y G (t) X F (t)} t 0 + t-c(t,t) t 0 t ; + λ LU P{Y<G (t) X >F (t)} t 1 - t-c(t,t) t 1 1-t - λ UL 表示 X 的下尾部与 Y 的上尾部之间的相关性, λ LU 表示 X 的上尾部与 Y 的下尾部之间的相关性在金融分析中, 很少考虑一种变量的上 ( 下 ) 尾部与另一种变量的下 ( 上 ) 尾部的相关性 ; 因此, 本文仅对上 ( 下 ) 尾相关系数 λ U (λ L ) 进行分析研究 2 Copula 函数的选取及参数估计 2 1 Copula 函数的定义及性质 AbeSklar 于 1959 年最早提出 Copula 函数, 但直至 20 世纪 90 年代,Copula 函数才得到金融学家的关注作为研究随机变量相关结构的方法, Copula 具有其独特的性质, 即多元分布函数可以通过单变量边缘分布函数以及多变量相关结构来刻画 Sklar 定理 [8] : 设 F(x 1,x 2,,x n ) 为 n 维分布函数, 其边缘分布为 F 1 (x 1 ),F 2 (x 2 ),,F n (x n ), 则存在函数 C( ), 有唯一的 Copula 表达式 : F(x 1,x 2,,x n )=C(F 1 (x 1 ),F 2 (x 2 ),,F n (x n )) 根据 Sklar 定理, 就可以通过 Copula 函数 C( ) 和边缘分布来构建多元联合分布由于任意边缘分布函数 F i (x i )(i=1,2, n) 值都可以看作是 I= [0,1] 上均匀分布随机变量 U i 的取值, 记 F 的逆函数为 F -1, 即 F -1 (u)=inf{x F(x) u}, 假设边缘分布 F 1 (x 1 ),F 2 (x 2 ),,F n (x n ) 均连续, 那么由 Sklar 定理可知, 存在唯一的 Copula 函数 C( ), 使得 C(u 1,u 2,,u 2 )=F(x 1,x 2,,x n )=F(F 1-1 (u 1 ), F -1 2 (u 2 ),,F -1 n (u n )) (3) 由式 (3) 可以先将边缘分布及相关结构分别处理, 再加以整合, 就能更有效地探讨各变量间 Copula 函数的种类很多, 常用的是椭圆连接函数族 (ElipticCopulas) 和 Archimedean 连接函数族 (ArchimedeanCopulas), 而且每一族中又有许多具体的 Copula 函数不同的 Copula 函数具有不同的性质, 在实际应用中, 选择恰当的 Copula 函数需要遵循两个原则 : 一是建立的 Copula 模型应当易于操作和理解, 避免出现参数意义不明的现象 [9] ; 二是选择与样本数据相关结构相适应的 Copula 函数椭圆 Copula 函数族具有对称的尾部相关性, 这与金融数据的厚尾分布相违背 ;Archi medeancopula 函数是目前在金融领域应用最为广泛的一类 Copula 函数, 而且构建和计算比较简单下面介绍几种常用的 ArchimedeanCopula 函数 ( 本文仅考虑二元情形 ) 1 GumbelCopula 函数其分布函数的表达式如下 : C Gu (u,v)=exp[-((-lnu) +(-lnv) ) 1/ ], 1 (4) GumbelCopula 函数对变量在分布上尾处的变化十分敏感, 因此能够快速捕捉到上尾相关的变化, 可用于描述具有上尾相关特性的金融变量之间的相关关系其参数描述了相关程度, 当 =1 时, 变量独立 ; 当时, 变量趋于完全相关 ; 由式 (1) (4) 得 GumbelCopula 函数的上尾相关系数为 λ U =2-2 1/ 2 ClaytonCopula 函数其分布函数表达式如下 : (u,v)=(u - +v - -1) -1/,>0 (5) ClaytonCopula 函数对变量在分布下尾处的变化十分敏感, 因此能够快速捕捉到下尾相关的变化, 可用于描述具有下尾相关特性的金融变量之间的相关关系当 =0 和时, 分别代表变量独立和变量完全一致相关 ; 由式 (2) (5) 得 Clayton Copula 函数的下尾相关系数为 λ L =2-1/ 3 FrankCopula 函数其函数分布表达式如下 : C(u,v)=- 1 ln ( 1+ (e-u -1)(e -v -1) e ), R/{0} (6) FrankCopula 函数的密度函数分布呈 U 字

P{Y<G (t) X >F (t)} t 1 - t-c(t,t) t 1 1-t - λ UL 表示 X 的下尾部与 Y 的上尾部之间的相关性, λ LU 表示 X 的上尾部与 Y 的下尾部之间的相关性在金融分析中, 很少考虑一种变量的上 ( 下 ) 尾部与另一种变量的下 ( 上 ) 尾

3 第 2 期孙国华等 : 期货市场尾部相关性的 Copula 度量 403 型, 分布具有对称性, 因此无法捕捉到随机变量数, 由于其生成元 φ(t) 是参数的函数而且 φ(t) 间的非对称相关关系 [10] 与 Kendal 秩相关系数 τ 存在如下关系 [8] : 1 根据经验可知, 金融数据大部分都具有非对 τ=1+4 称的特性, 因此, 只选取 Gumbel 和 ClaytonCopula φ(t) dt (7) 0φ (t) 函数进行尾部相关性分析为了进一步说明 Gum 由 GumbelCopula 函数的生成元 φ (t)=(-ln bel(clayton) Copula 函数对变量在分布上 ( 下 ) t) 及式 (7) 可以得到 τ 为的解析函数为 τ=(- 尾处的变化十分敏感, 利用 Matlab 可以产生 )/, 相应地, =1/(1-τ ); 由 ClaytonCopula 函个二元 Gumbel 和 ClaytonCopula 随机数并画图, 数的生成元 φ (t)=t - -1 及式 (7) 可以得到,τ 为分别见图 1 图 2 的解析函数为 τ=/(+2), 相应地 =2τ /(1- 图 1 参数为 2 的二元 GumbelCopula Fig 1 BivariateGumbelCopulawith=2 图 2 参数为 2 的二元 ClaytonCopula Fig 2 BivariateClaytonCopulawith=2 可知,GumbelCopula 能够很好的描述上尾相关性, 而 ClaytonCopula 能够很好的描述下尾相关性, 进一步说明选取这两种函数分别研究上尾和下尾相关性是合适的 2 3 非参数法估计对于大多数单参数的 ArchimedeanCopula 函 τ ) 为了估计出参数, 首先需要知道 Kendalτ 的估计值, 起初 Kendal 秩相关系数 τ 不是通过 Copula 函数 C( ) 定义的, 它是通过随机变量 (X,Y) 的一致概率与非一致概率的差来定义的 [8], 即 τ(x,y)=p((x 1 -X 2 )(Y 1 -Y 2 ) >0)-P((X 1 - X 2 )(Y 1 -Y 2 )<0), 其中,(X 1,Y 1 ) 和 (X 2,Y 2 ) 为随机变量 (X,Y) 的独立同分布样本令 {(x 1,y 1 ),(x 2,y 2 ),,(x n,y n )} 为一个由随机变量 (X,Y) 的 n 组观测值组成的样本, 其中 X, Y 均为连续的随机变量若 (x i -x j )(y i -y j )>0,i j,i,j=1,2,,n, 则称 (x i,y i ) 与 (x j,y j ) 是一致的 ; 类似的, 若 (x i -x j )(y i -y j )<0, 则称 (x i,y i ) 与 (x j,y j ) 是非一致的用 C r n 表示从 n 个样本中取 r 个样本的组合数, 显然样本中总共包含 C 2 n 项由观测值 (x i,y i ) 和 (x j,y j ) 构成的组合, 且每项组合中的两组观测值 (x i,y i ) 和 (x j,y j ) 要么是一致的, 要么是非一致的将 C 2 n 项组合分为两部分, 即 C 2 n =c+d, 其中 c 表示一致的组合的数量,d 表示非一致的组合的数量, 定义 ( ) ( ) c-d τ = c+d =(c-d)/n 2 = n -1 2 sign i<j [(x i -x j )(y i -y j )] (8) 为样本 {(x 1,y 1 ),(x 2,y 2 ),,(x n,y n )} 的 Kendal 秩相关系数 [11] 因此, 可以将计算出来, 则 Copula 函数唯一确定, 再由下式计算出上尾相关系数和下尾相关系数的估计值 : λ U =2-2 1/ ; (9) λ L =2-1/ (10)

函数对变量在分布上 ( 下 ) t) 及式 (7) 可以得到 τ 为的解析函数为 τ=(- 尾处的变化十分敏感, 利用 Matlab 可以产生 2000 1)/, 相应地, =1/(1-τ ); 由 ClaytonCopula 函个二元 Gumbel 和 ClaytonCopula 随机数并画图, 数的生成元

4 404 桂林理工大学学报 2014 年 3 尾部相关性的 Copula 度量 3 1 计算参数本文选取国际期货市场黄金期货和白银期货从的日开盘价为原始数据, 样本有效数据为 987 个为方便计算, 对其进行对数变换得到对应的对数收益率为 (x i,y i ) = (log(p i+1 /p i ),log(q i+1 /q i )) [12] 然后通过式 (8) 解得 τ = 最后根据与 τ 的关系式可以得到不同 Copula 函数对应的参数的估计值见表 1 表 1 Copula 函数的参数估计 Table1 ParameterestimationofCopulas C(u,v) (τ ) GumbelCopula ClaytonCopula C Gu (u,v)=exp[-((-lnu) +(-lnv) ) 1/ ] =1/(1-τ ) (u,v)=(u- +v - -1) -1/ =2τ /(1-τ ) 两类 Copula 函数的参数均在各自定义域内, 说明用这两种 Copula 函数来描述尾部相关性是恰当的, 即黄金收益率和白银收益率既有上尾相关性又有下尾相关性 3 2 Copula 函数的检验为了更进一步说明所选取的 Copula 函数可以描述黄金和白银收益率的尾部相关关系, 对数据进行检验估计参数时为了避免 Copula 函数边缘两种 Copula 函数的 K C(F(X),G(Y)) (t) 均服从均匀分布假设错误, 直接利用 Kendalτ 来估计参数, 分布因此, 用这两种 Copula 函数来研究黄金期因此并不知道数据具体的边缘分布函数下面利货和白银期货收益率的尾部相关性是可行的用经验分布和 K C 构造服从均匀分布的变量并用 K 3 3 尾部相关性研究 S 统计量进行拟合优度检验下面用 GumbelCopula 与 ClaytonCopula 函数单变量分布函数 K C (t) 定义为分别对黄金期货和白银期货收益率的上尾部和下 K C (t)=t- φ(t) φ (t) 尾部进行相关性研究根据式 (9) 式 (10) 可以分其中, φ(t) 是 Copula 函数的生成元 [13], K C(F(X),G(Y)) (t) 服从标准均匀分布设变量 X,Y 都服 K Cl C(F(X),G(Y))(t i );4 K C ~U(0,1), 用 K S 方法进行拟合优度检验, 结果见表 2 表 2 K S 检验结果 Table2 K Sinspectionresult Copula Z P GumbelCopula ClaytonCopula 别求出上尾相关系数和下尾相关系数的估计值 λ U 和 λ L, 见表 3 从经验分布, 则利用可以求出 K C(F(X),G(Y)) (t) 对于 GumbelCopula: K Gu C(F(X),G(Y))(t)=t- t lnt; (11) 对于 ClaytonCopula: K Cl C(F(X),G(Y))(t)=t+ t (12) t 选择合适的 Copula 按照下面的步骤进行计算 : 1 求对数收益率 {(x i,y i )} 1 i n 的分布函数 F(x i ), G(y i )(F 和 G 都是经验分布函数 );2 分别由式 (4) 和式 (5) 求出 t Gu i =C Gu (F(x i ),G(y i )) 和 t Cl i = (F(x i ),G(y i ));3 将步骤 2 中求出的 t i 分别代入式 (11) 和式 (12) 得 K Gu C(F(X),G(Y)) (t i ) 和表 3 λ U 和 λ L 与 Copula 函数参数的关系及对应值 Table3 Relationshipbetweenλ U,λ Landparameters ofcopulaandthecorespondingvalues Copula 类型上尾相关系数下尾相关系数 GumbelCopula 2-2 1/ ClaytonCopula 2-1/ 可以看出, 黄金期货与白银期货收益率的上尾相关系数为 , 下尾相关系数为 ; 而且下尾相关系数大于上尾相关系数, 说明黄金期货与白银期货在期货市场价格低谷阶段的相关性要高于期货市场价格高涨阶段的相关性 ; 同时 [2] 也与 JondeauE 等的研究结果相一致 λ U λ L

ParameterestimationofCopulas C(u,v) (τ ) GumbelCopula ClaytonCopula C Gu (u,v)=exp[-((-lnu) +(-lnv) ) 1/ ] =1/(1-τ ) 2 6697 (u,v)=(u- +v - -1) -1/ =2τ /(1-τ ) 3 3393 两类 Copula 函数的参数均在各自定义

5 第 2 期孙国华等 : 期货市场尾部相关性的 Copula 度量结论本文首先介绍了尾部相关性的概念, 给出了几种常用的 ArchimedeanCopula 函数形式, 并且选取了具有上尾相关性的 GumbelCopula 函数和具有下尾相关性的 ClaytonCopula 函数对国际期货市场中黄金期货和白银期货收益率的尾部相关性进行度量然后运用非参数估计的方法估计出 Copula 函数中的参数, 同时利用经验分布以及构造服从均匀分布的变量并用 K S 统计量对所选取的 Copu la 函数进行拟合优度检验最后根据尾部相关系数公式分别求出两种期货收益率的上尾相关系数和下尾相关系数结果表明, 下尾相关系数大于上尾相关系数, 说明在期货市场活跃时期黄金期货与白银期货的相关性要强于期货市场低迷时期的相关性, 这也与金融市场的一般规律相符合参考文献 : [1] FreesEW,ValdezEA.Understandingrelationshipsusing copulas[j]. NorthAmericanActuarialJournal,1998,2 (1):1-25. [2] JondeauE,RockingerM.Testingfordiferencesinthetails ofstock marketreturns[j].journalofempiricalfinance, 2003,10(5): [3] 柳会珍, 顾岚. 股票收益率分布的尾部行为研究 [J]. 系统工程,2005,23(2): [4] JuriA,WüthrichM V.Copulaconvergencetheoremsfortail events[j].insurancemathematicsandeconomics,2002, 30(3): [5] JoeH.MultivariateModelsandDependenceConcepts[M]. London:Chapman&Hal,1997. [6]McNeilAJ,FreyR,EmbrechtsP.QuantitativeRiskMan agement:concepts,techniquesandtools[m].princeton: PrincetonUniversityPres,2005. [7] 秦学志, 王悦. 尾部相关系数的渐进变化特征及其应用 [J]. 系统工程理论与实践,2011,31(2): [8] NelsenR B.AnIntroductiontoCopulas[M].NewYork: Springer Verlag,1999. [9]RosenbergJV,SchuermannT.Ageneralapproachtointe gratedriskmanagementwithskewed, fat tailedrisks[j]. JournalofFinancialEconomics,2006,79(3): [10] 李石, 卢祖帝.Copula 函数在风险价值度量中的应用 [J]. 金融管理,2008,20(4): [11]SerinaldiF.Analysisofinter gaugedependencebykendal s τ K,uppertaildependencecoeficient,and2 copulaswithappli cationtorainfalfields[j].stochasticenvironmentalresearch andriskasesment,2008,22(6): [12] 李悦, 程希骏. 上证指数和恒生指数的 Copula 尾部相关性分析 [J]. 系统工程,2006,24(5): [13] DurlemanV,NikeghbaliA,RoncaliT.WhichCopulais the rightone [EJ/OL]. htp: //www. thiery roncal li com/download/copula choice pdf,2000. TaildependencemeasurementinfuturemarketwithCopula SUNGuo hua,suhong liu,tangguo qiang (ColegeofScience,GuilinUniversityofTechnology,Guilin541006,China) Abstract:Copulaprovidesanewconcepttosolvetherelationshipamongthestructureofrandomvariables.By choosingappropriatecopulafunction,thetaildependenceoffinancialdatacanbemeasuredwel.gumbel CopulaandClaytonCopulaisselectedfromtheArchimedeanCopulastomeasurethetaildependenceofinterna tionalgoldfuturesandsilverfuturesrespectively.thenonparametricestimationmethodisusedtoestimatepa rametersofcopulafunction.theresultshowsthatthelowertaildependenceisbeterthantheuppertailde pendence. Keywords:Copula;taildependence;nonparametricestimation;K Stest

la 函数进行拟合优度检验最后根据尾部相关系数公式分别求出两种期货收益率的上尾相关系数和下尾相关系数结果表明, 下尾相关系数大于上尾相关系数, 说明在期货市场活跃时期黄金期货与白银期货的相关性要强于期货市场低

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