第 6 期刘燕, 张素英 : 环形势阱中旋转玻色爱因斯坦凝聚体的基态 745 ih - Əψ Ət = - h m ψ + Vψ + 4πh- 2 a s m ψ 2 ψ, (2) 其中 a s 是一个正的 s 波散射长度, 描述凝聚体粒子间的排斥相互作用. 如果外势阱绕 z 轴以 Ω

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玮境鲁
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1 第 32 卷第 6 期 2015 年 11 月计算物理 CHINESE JOURNAL OF COMPUTATIONAL PHYSICS Vol. 32,No. 6 Nov., 2015 文章编号 : X(2015) 环形势阱中旋转玻色爱因斯坦凝聚体的基态刘燕, 张素英 ( 山西大学理论物理研究所, 山西太原 ) 摘要 : 应用托马斯 - 费米近似和虚时演化数值方法研究环形势阱中旋转玻色爱因斯坦凝聚体的基态密度分布. 当增加其旋转角频率, 或者增加环形势阱的宽度及相应的中心高度, 凝聚体基态密度分布均从涡旋晶格相转变为巨涡旋相. 当旋转角频率为零时, 增加环形势阱的宽度及相应的中心高度, 凝聚体基态密度分布从一个圆盘变为圆环. 解析结果与数值结果相互吻合. 关键词 : 托马斯 - 费米近似 ; 中心洞 ; 巨涡旋中图分类号 : O469 文献标志码 : A 0 引言近年来, 有关冷原子研究的快速发展以及实验技术的不断提高实现了对各种不同形式的束缚外势的调 [1 - 控, 如谐振子势光晶格势以及环形势等 2]. 对不同束缚外势阱中的旋转玻色爱因斯坦凝聚体 (BEC) 的理论研究也取得了很大的进展. 对于谐振子势阱中的旋转玻色爱因斯坦凝聚体, 当旋转角频率 Ω 趋近于或者 [3 - 大于势阱束缚频率 ω 时, 凝聚体的托马斯 - 费米近似半径发散 4]. 若在谐振子势的基础上加入一个四次势, 则可以克服这一缺陷使托马斯 - 费米近似半径在 Ω > ω 时继续收敛, 且随着旋转角频率的增大, 凝聚 [5 - 体的基态密度分布呈现出各种新奇的涡旋拓扑结构 10]. 改变凝聚体粒子间的相互作用强度, 拓扑结构也 [11 - 会发生相应的变化 17]. 除此之外, 凝聚体的基态密度分布还和束缚势阱的结构有关. 对于旋转环形势阱中的玻色爱因斯坦凝聚体, 当粒子间互作用强度和势阱旋转角频率一定时, 调节环形势阱的宽度及相应的中心高度, 凝聚体的基态密度分布必然也会出现新的涡旋相. 我们考虑单分量玻色爱因斯坦凝聚体束缚在如下形式的环形势阱中且势阱以角速度 Ω = Ωz 绕 z 轴旋转 : V(r) = 1 2 mω2 V 0 r 2 [ ( ) 2 ] = 1 r 2 h- ω V 2 0 ( - ) 2 a 0 - a 0 [ ], (1) 势阱的最低点坐标为 ( ± a 0, 0), 中心最高点坐标为 (0, h - ω V 0 / 2), 其中 a 0 = h - / mω, r 表示径向坐标, V 0, 是无量纲化的常数, 可以调整势阱的宽度及相应的中心高度. 我们首先应用托马斯 - 费米近似理论求解上述环形势阱中的玻色爱因斯坦凝聚体在如下三种情况下的基态密度分布情况 :1 势阱的宽度及相应的中心高度一定, 增大其旋转角频率 ;2 势阱的旋转角频率一定, 增大其宽度及相应的中心高度 ;3 令势阱旋转角频率为零, 增大其宽度及相应的中心高度. 进一步运用虚时演化数值方法模拟这三种情况下凝聚体的基态密度分布情况, 并将其同解析结果进行比较. 此外, 我们还可以保持旋转角频率及势阱宽度不变, 数值模拟凝聚体的基态密度分布随势阱中心高度增加的变化. 但是, 如何解析求解量子化涡旋数目与旋转角频率及势阱结构的关系还需进一步研究. 1 理论模型绝对零度下受外势束缚的玻色爱因斯坦凝聚体可以用一个波函数 ψ 来描述, 它满足如下非线性薛定谔方程 a 2 0 收稿日期 : ; 修回日期 : 基金项目 : 国家自然科学基金 ( ), 高等学校博士学科点专项科研基金 ( ) 及山西省自然科学基金 ( ) 资助项目作者简介 : 刘燕 ( ), 女, 硕士生 ; 研究方向 : 计算物理, zhangsy@ sxu. edu. cn

2 第 6 期刘燕, 张素英 : 环形势阱中旋转玻色爱因斯坦凝聚体的基态 745 ih - Əψ Ət = - h m ψ + Vψ + 4πh- 2 a s m ψ 2 ψ, (2) 其中 a s 是一个正的 s 波散射长度, 描述凝聚体粒子间的排斥相互作用. 如果外势阱绕 z 轴以 Ω = Ωz 的角速度旋转, 则波函数 ψ 满足如下非线性薛定谔方程 Əψ ih - = - h- 2 2 Ət 2m ψ h- ω [V 0 ( r2 2 - r a 2 0 ) ]ψ + 4πh- 2 a s ψ m 2 ψ - Ω L z ψ, (3) 0 其中 L z = r p = - ih - r = - ih - (xəy - yəx) 是角动量算符的 z 分量. 波函数 ψ 满足如下归一化条件 dv ψ 2 = N, (4) N 为总粒子数. 将波函数分解为 ψ(x,y,t,z) = ϕ(x,y,t)φ(z), 令 ψ = ψa 0 / N, t = ω t, r = r / a 0, Ω = Ω / ω, L z 方程 : = L z / h -, 在方程 (3) 中作变量代换并将波浪线去掉, 则得到如下准二维无量纲化的非线性薛定谔 ih - Əϕ Ət = ϕ [V 0 (r 2 - ) 2 ]ϕ + g ϕ 2 ϕ - Ω L z ϕ, (5) 其中 g = 4πηNa s, η = dz φ(z) 4 dz φ(z) 2, 波函数 ϕ 满足归一化条件无量纲化之后的外势阱的示意图及沿 x 轴的截面如图 1 所示. dv ϕ 2 = 1. (6) 其中, 图 1 环形势示意图及沿 x 轴的截面图 Fig. 1 Schematic of annular potential and cross section of potential at y = 0 相应地, 与上述非线性薛定谔方程对应的拉格朗日函数为 L [ϕ] T [ϕ] - F [ϕ], (7) T [ϕ] dv ih- Əϕ 2 ϕ - Əϕ ( ϕ ), (8) Ət Ət F [ϕ] = dv[ 1 2 ϕ [V 0 (r 2 - ) 2 ] ϕ 2 + g 2 ϕ 4 + iϕ Ω r ϕ - μ ϕ 2 ], (9) 化学式 μ 为拉格朗日乘子. 2 托马斯 - 费米近似令 ϕ = ρe iθ, 其振幅平方表示粒子数密度, θ 表示相位, 可得 ϕ = ρe iθ + iϕ θ, ϕ 2 = ρ 2 +

3 746 计算物理第 32 卷 θ 2 ϕ 2, 其中相位梯度上述自由能函数对 θ = v = Ω r 表示超流速. 在托马斯 - 费米近似中, 通常忽略曲率密度 ϕ 2 求变分可得如下托马斯 - 费米密度 ρ, 2. 1 出现中心洞的临界条件由 (10) 式中托马斯 - 费米密度为零可得 ϕ 2 = 1 g - V 0 2 r (Ω2 + )r 2 + μ - V 0 [ 2 r2 0 ]. (10) R 2 i = Ω2 + ± ) 2 + 4V 0 (2μ - V 0 ), i = 1,2, (11) 其中, 对应任意的化学式 μ, + 表示外曲率平方, 若 μ < V 0 / 2, - 表示内曲率平方 R 2 1. 当 μ = V 0 / 2 (R 2 1 = 0) 时, 在涡旋晶格中开始出现中心洞, 由归一化条件 (6) 可以得到 12g = V 0 πr 6 2 = [(Ω 2 + ) / V 0 ] 3. 因此, 凝聚体的基态密度分布开始出现中心洞的临界条件为或者 2. 2 有中心洞的涡旋晶格的性质若 μ < V 0 / 2, 则圆环内外曲率平方满足如下关系根据归一化条件 (6) 可得 Ω 2 h = (12gV 2 0 / π) 1 / 3 -, (12) r h 0 = 1 [(12gV 2 0 / π) 1 / 3 - Ω 2 ]. (13) + R 2 1 = ) / V 0, (14) = ) 2 + 4V 0 (2μ - V 0 ) V 0. (15) 12g = V 0 π ( ) 3. (16) 下面我们分三种情况分别讨论旋转环形势阱中玻色爱因斯坦凝聚体的基态密度分布随旋转角频率及势阱结构的变化情况. 情况 1 势阱宽度及相应的中心高度一定, 增大其旋转角频率结合 (12),(15),(16) 式, 可得 = (Ω 2 h + ) / V 0 = [12g / (πv 0 )] 1 / 3 (17) μ = 1 2 V 0 + [(Ω 2 h + ) 2 - ) 2 ] / (8V 0 ). (18) 由于化学势 μ < V 0 / 2, 所以旋转角频率应满足 Ω > Ω h, 由 (17) 式知对任意 Ω > Ω h, 环形凝聚体的面积 π( ) 是个常数. 从上述表达式 (14) 和 (17) 不难得到圆环的平均半径 R (R 2 + R 1 ) / 2 和宽度 d R 2, (R 2 R 1 ) 2 = (Ω 2 h + ) 2 / [V 0 ) ± V 0 ) 2 - (Ω 2 h + ) 2 ]. (19) 当 Ω Ω h 时, d = R 2 R 2,R d / 2, 随着 Ω 的增大, 圆环平均半径 R 增大, 而宽度 d 在减小. 情况 2 势阱旋转角频率一定, 增大其宽度及相应的中心高度结合 (13),(15),(16) 式, 可得 = r h 0) / V 0 = 1 V 0 (12gV 2 0 / π) 1 / 3, (20) μ = 1 2 V 0 + [ r0) h 2 - ) 2 ] / (8V 0 ), (21) 只有 > r h 0 时, 才能满足 μ < V 0 / 2. 由式 (14) 和式 (20) 得 (R 2 R 1 ) 2 = r0) h 2 / [V 0 ) ± V 0 ) 2 - r0) h 2 ], (22) 当 r h 0 时, d = R 2 R 2, R d / 2, 随着的增大, R 增大, d 减小. 情况 3 令势阱旋转角频率为零, 增大其宽度及相应的中心高度

4 第 6 期刘燕, 张素英 : 环形势阱中旋转玻色爱因斯坦凝聚体的基态 747 此时若旋转角频率为零, 则由公式 (13) 可知出现中心洞的临界条件为 r h 0 = [3g / (2πV 0 )] 1 / 3. (23) = 2r h 0, μ = V 0 2 r2 0 + V 0 2 [(rh 0) 2 - ( ) 2 ], (24) (R 2 R 1 ) 2 = 2 (r h 0) 2 / [ ± ( ) 2 - (r h 0) 2 ], (25) 当 r h 0 时, d = R 2 2r h 0, R = d / 2, 随着的增大, R 增大, d 减小. 上述三种情况下无量纲化的环形势阱 V(r) = V 0 (r 2 - ) 2 / 2 束缚的玻色爱因斯坦凝聚体的托马斯费米近似半径在任何参数条件下都是收敛的. 而无量纲化的环形势阱 V(r) = V 0 (r - ) 2 / 2 束缚的玻色爱因斯坦凝聚体只有在 Ω 2 < V 0 的条件下才能满足托马斯费米近似半径收敛 [18]. 3 数值模拟运用虚时演化数值方法模拟无量纲化的两维非线性薛定谔方程 (5) 描述的凝聚体的基态密度分布并同 [19 - 解析结果进行比较 20]. 首先, 我们选取 g = 100, V 0 = 0. 5, = 3, 对于不同的旋转角频率 Ω, 凝聚体的基态密度分布如图 2 所示. 当 Ω = 1. 4 时, 凝聚体基态密度分布由圆盘变为圆环, 随着旋转角频率的增大, 圆环平均半径增大, 宽度变窄, 量子化涡旋数目增多且最终全部包含在中心洞的内部形成巨涡旋 ; 其次, 选取 g = 100, V 0 = 0. 5, Ω = 2, 对于不同的, 凝聚体的基态密度分布如图 3 所示, 当 = 1. 5 时, 凝聚体基态密度分布由圆盘变为圆环, 增大, 凝聚体基态密度分布变化情况同增大旋转角频率 Ω 相似 ; 最后, 考虑强相互作用下凝聚体的基态密度分布随的变化情况, 取 g = 1 000, V 0 = 0. 5, Ω = 2, 对于不同凝聚体的基态密度分布如图 4 所示, 当 = 7 时, 密度分布由圆盘变为圆环, 增大, 圆环平均半径增大, 宽度变窄, 量子化涡旋数目增多且一部分包含在中心洞的内部形成巨涡旋, 一部分呈链状均匀的排列在环的内部. 图 5 显示, 在形成巨涡旋的三种不同条件下, 凝聚体基态密度分布的解析结果同数值结果相互吻合. 另外, 我们考虑角频率 Ω = 0 时凝聚体基态密度分布随增大的变化情况, 图 6 显示 g = 100, V 0 = 0. 5, = 7 和 g = 1 000, V 0 = 0. 5, = 12 两种情况下, 凝聚体的基态密度分布都没有出现量子化涡旋, 但都出现了中心洞, 且均与解析结果相一致. 图 2 g = 100 时不同 Ω 对应凝聚体的基态密度分布和相位 ( 第一行为密度分布, 第二行为相位 ) Fig. 2 Ground state density profiles and phases for different angular velocities with g = 100 ( The first row is ground state density profiles. The second row is corresponding phase plots. )

5 ７４８计图３Ｆｉｇ. ３物理第３２卷ｇ１００时,不同ｒ０对应凝聚体的基态密度分布和相位( 第一行为密度分布,第二行为相位) Ｇｒｏｕｎｄｓｔａｔｅｄｅｎｓｉｔｙｐｒｏｆｉｌｅｓａｎｄｐｈａｓｅｓｆｏｒｄｉｆｆｅｒｅｎｔｒ０ｗｉｔｈｇ１００ ( Ｔｈｅｆｉｒｓｔｒｏｗｉｓｔｈｅｇｒｏｕｎｄｓｔａｔｅｄｅｎｓｉｔｙｐｒｏｆｉｌｅｓ. Ｔｈｅｓｅｃｏｎｄｒｏｗｉｓｃｏｒｒｅｓｐｏｎｄｉｎｇｐｈａｓｅｐｌｏｔｓ. ) 图４Ｆｉｇ. ４４算ｇ１０００时,不同ｒ０对应凝聚体的基态密度分布和相位( 第一行为密度分布,第二行为相位) Ｇｒｏｕｎｄｓｔａｔｅｄｅｎｓｉｔｙｐｒｏｆｉｌｅｓａｎｄｐｈａｓｅｓｆｏｒｄｉｆｆｅｒｅｎｔｒ０ｗｉｔｈｇ１０００ ( Ｔｈｅｆｉｒｓｔｒｏｗｉｓｇｒｏｕｎｄｓｔａｔｅｄｅｎｓｉｔｙｐｒｏｆｉｌｅｓ. Ｔｈｅｓｅｃｏｎｄｒｏｗｉｓｃｏｒｒｅｓｐｏｎｄｉｎｇｐｈａｓｅｐｌｏｔｓ. ) 结论通过托马斯费米近似和虚时演化方法求解可知,当粒子间相互作用强度和环形势阱结构一定时,增大势阱旋转角频率到某一临界值 Ω ｈ或当粒子间相互作用强度和势阱旋转角频率一定时,增大控制环形势阱宽度及相应中心高度变化的参量ｒ０到某一临界值ｒ０ｈ, 凝聚体基态密度分布均从圆盘变为圆环. 继续增大 Ω 或者ｒ０, 圆环平均半径增大,而宽度变窄,量子化涡旋数目增多. 当粒子间相互作用较弱时,量子化涡旋会随着

6 第６期刘燕, 张素英:环形势阱中旋转玻色爱因斯坦凝聚体的基态图５７４９三种不同条件下,凝聚体基态密度分布沿ｘ轴的截面 ( ａ) ｇ１００,Ｖ００. ５,Ω ２. ５,ｒ０３, ( ｂ) ｇ１００,Ｖ００. ５,Ω ２, ｒ０４. ５, ( ｃ) ｇ１０００,Ｖ００. ５,Ω ２, ｒ０１０Ｆｉｇ. ５Ｃｒｏｓｓｓｅｃｔｉｏｎｓｏｆｇｒｏｕｎｄｓｔａｔｅｄｅｎｓｉｔｙｐｒｏｆｉｌｅｓｏｆｃｏｎｄｅｎｓａｔｅｓａｌｏｎｇｘａｘｉｓ, ( ａ) ｇ１００, Ｖ００. ５,Ω ２. ５, ｒ０３, ( ｂ) ｇ１００, Ｖ００. ５,Ω ２, ｒ０４. ５, ( ｃ) ｇ１０００, Ｖ００. ５,Ω ２, ｒ０１０图６Ｆｉｇ. ６ Ω ０时凝聚体的基态密度分布( ａ), ( ｄ) 相位( ｂ), ( ｅ) 及密度沿ｘ轴截面的分布( ｃ),( ｆ) : ( ａ),( ｂ),( ｃ) ｇ１００, Ｖ００. ５, ｒ０７; ( ｄ),( ｅ),( ｆ) ｇ１０００, Ｖ００. ５, ｒ０１２Ｇｒｏｕｎｄｓｔａｔｅｄｅｎｓｉｔｙｐｒｏｆｉｌｅｓ( ａ), ( ｄ), ｐｈａｓｅｐｌｏｔｓ( ｂ), ( ｅ) ａｎｄｃｒｏｓｓｓｅｃｔｉｏｎｓｏｆｄｅｎｓｉｔｙｐｒｏｆｉｌｅｓｏｆｃｏｎｄｅｎｓａｔｅｓａｌｏｎｇｘａｘｉｓ( ｃ), ( ｆ) ｗｉｔｈ Ω ０: ( ａ),( ｂ),( ｃ) ｇ１００,Ｖ００. ５,ｒ０７;( ｄ),( ｅ),( ｆ) ｇ１０００,Ｖ００. ５,ｒ０１２ Ω 或者ｒ０的增大全部包含在中心洞中形成巨涡旋,当粒子间相互作用较强时,量子化涡旋随着 Ω 或者ｒ０的增大一部分包含在中心洞中形成巨涡旋,一部分呈链状均匀排列在环的内部,这里我们只给出了其随ｒ０增大的变化情况. 当旋转角频率为零时,增大ｒ０到某一临界值ｒ０ｈ, 凝聚体基态密度分布也会从圆盘变为圆环, 但不会出现量子化涡旋. 凝聚体基态密度分布的解析结果同数值结果相互吻合. 可见,旋转是产生量子化涡旋的直接因素. 当旋转角频率为零时,没有量子化涡旋;当旋转角频率不为零时,增大旋转角频率或者增大势阱宽度及相应的中心高度,量子化涡旋的数目都会增多,且最终形成巨涡旋. 参 [１] [２] 考文献ＢｒｅｔｉｎＶ, ＳｔｏｃｋＳ, ＳｅｕｒｉｎＹ, ＤａｌｉｂａｒｄＪ. ＦａｓｔｒｏｔａｔｉｏｎｏｆａＢｏｓｅ-Ｅｉｎｓｔｅｉｎｃｏｎｄｅｎｓａｔｅ[ Ｊ]. ＰｈｙｓＲｅｖＬｅｔｔ, ２００４, ９２: ０５０４０３. ＲｙｕＣ, ＡｎｄｅｒｓｅｎＭＦ, ＣｌａｄｅＰ, ＮａｔａｒａｊａｎＶ, ＨｅｌｍｅｒｓｏｎＫ, ＰｈｉｌｌｉｐｓＷＤ. ＯｂｓｅｒｖａｔｉｏｎｏｆｐｅｒｓｉｓｔｅｎｔｆｌｏｗｏｆａＢｏｓｅ-Ｅｉｎｓｔｅｉｎ

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幻灯片 1

幻灯片 1 Dynamics, Quantum Transport and Quantum Phase Transition of Cold Atoms Wu-Ming Liu( 刘伍明 ) (Institute of Physics, Chinese Academy of Sciences) Email: wmliu@aphy.iphy.ac.cn Phone: 10-82649249 Collaborators