付息频率对债券到期收益率、价格和久期的影响
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- 务 阙
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1 付 息 频 率 对 债 券 价 格 久 期 和 到 期 收 益 率 的 影 响 管 圣 义 杨 艳 摘 要 : 债 券 的 付 息 频 率 的 变 化 对 债 券 定 价 和 收 益 率 的 具 有 不 同 的 影 响, 这 使 得 研 究 付 息 频 率 对 债 券 定 价 和 价 格 风 险 的 研 究 变 得 十 分 必 要, 本 文 探 讨 了 在 其 它 条 件 可 比 的 情 况 下, 付 息 频 率 不 同 对 债 券 价 格 久 期 的 影 响, 并 介 绍 了 将 不 同 付 息 频 率 债 券 收 益 率 转 化 成 年 实 质 收 益 率 的 方 法 关 键 字 : 付 息 频 率 价 格 久 期 年 实 质 收 益 率 一 研 究 背 景 在 上 篇 债 券 定 价 中 的 息 票 效 应 一 文 中, 我 们 的 研 究 小 组 分 析 了 债 券 定 价 中 的 息 票 效 应 对 债 券 定 价 的 影 响, 本 篇 我 们 研 究 小 组 继 续 探 讨 另 一 个 基 础 性 问 题, 即 债 券 付 息 频 率 对 债 券 定 价 和 收 益 率 的 影 响 在 很 多 读 者 看 来, 这 是 个 简 单 的 话 题, 但 在 实 际 接 触 中 才 发 现, 仍 有 很 多 人 并 不 能 完 全 理 解, 甚 至 在 市 场 上 部 分 债 券 分 析 的 文 献 中 也 有 提 出 了 债 券 定 价 与 付 息 频 率 没 有 关 系 的 论 述, 本 文 的 研 究 表 明, 债 券 的 付 息 频 率 对 债 券 的 定 价 及 其 它 相 关 指 标 的 计 算 具 有 较 大 的 影 响 作 用, 在 实 际 报 价 成 交 中 必 须 充 分 考 虑 到 这 一 点 美 国 债 券 市 场 上, 固 定 利 率 债 券 基 本 都 是 半 年 支 付 一 次 利 息 同 观 中 国 的 情 况,2001 年 后 我 国 招 标 发 行 的 固 定 利 率 债 券 一 年 付 息 2 次 的 情 况 开 始 增 多, 下 表 1 显 示 了 中 国 在 2000 年 到 2008 年 间 发 行 的 以 付 息 频 率 统 计 的 固 定 利 率 债 券 的 情 况 :
2 表 1:2001 年 至 2008 年 发 行 的 付 息 债 券 的 付 息 频 率 统 计 付 息 方 式 选 择 权 类 别 付 息 频 率 ( 次 数 / 年 ) 总 计 发 行 人 选 择 权 附 息 式 浮 动 利 投 资 人 选 择 权 率 无 选 择 权 发 行 人 选 择 权 附 息 式 固 定 利 投 资 人 选 择 权 率 无 选 择 权 债 券 总 数 占 比 0.92% 5.32% 11.26% 82.50% % 注 : 本 表 中 不 含 零 息 贴 现 和 利 随 本 清 债 券 可 以 清 楚 地 看 到,977 只 固 定 利 率 债 券 中, 付 息 频 率 为 1 年 1 次 的 债 券 占 全 部 债 券 的 %, 付 息 频 率 为 1 年 2 次 的 债 券 有 110 只, 占 全 部 债 券 的 11.26% 下 图 为 2001 年 到 2008 年 发 行 的 付 息 频 率 为 1 年 2 次 的 的 付 息 式 固 定 利 率 债 券 的 数 量 图 从 图 中 可 以 看 出, 虽 然 现 在 每 年 发 行 的 付 息 频 率 为 1 年 2 次 的 固 定 利 率 债 券 的 数 量 还 不 是 很 多, 而 且 数 量 有 升 有 降, 但 是 从 整 体 上 看, 半 年 付 息 债 券 的 数 量 呈 现 上 升 趋 势 2001 年 到 2008 年 发 行 的 半 年 付 息 债 券 的 数 量 数 量 年 2002 年 2003 年 2004 年 2005 年 2006 年 2007 年 2008 年 年 份 图 1:2001 年 到 2008 年 发 行 的 半 年 付 息 一 次 的 固 定 利 率 债 券 的 发 行 数 量 我 们 有 必 要 研 究 这 种 付 息 频 率 和 息 票 1 年 1 付 这 两 种 情 况 下, 债 券 的 价 格 和 久 期 受 到 了 什 么 影 响
3 二 付 息 频 率 对 债 券 的 价 格 到 期 收 益 率 和 久 期 影 响 的 研 究 债 券 付 息 频 率 变 化 会 导 致 债 券 现 金 流 产 生 的 时 间 变 化, 进 一 步 根 据 不 同 时 间 的 现 金 流 得 到 的 债 券 的 到 期 收 益 率 价 格 和 久 期 也 会 相 应 发 生 变 化 ( 一 ) 债 券 付 息 频 率 对 债 券 价 格 和 到 期 收 益 率 的 影 响 为 了 便 于 比 较 不 同 付 息 频 率 对 债 券 价 格 的 影 响, 我 们 以 债 券 A 和 B 作 为 分 析 对 象 债 券 A 和 B 的 剩 余 代 偿 期 都 为 10 年, 息 票 利 率 都 为 10%, 债 券 A 每 年 付 息 2 次, 债 券 B 每 年 付 息 1 次 为 了 便 于 分 析, 我 们 假 设 市 场 上 6 个 月 即 期 利 率 为 2.5%, 以 后 每 半 年 的 即 期 利 率 增 加 0.5% 此 假 设 表 明 本 文 选 取 的 收 益 率 曲 线 为 市 场 利 率 结 构 正 常 情 况 下 的 向 右 上 方 倾 斜 的 常 态, 而 收 益 率 曲 线 向 右 下 方 倾 斜 平 行 和 更 复 杂 的 情 况, 暂 不 在 本 文 中 进 行 分 析 按 债 券 的 即 期 市 场 利 率 计 算 的 债 券 价 格 可 表 示 为 : cm / i cm / i cm / i P = (1 + y /) i (1 + y /) i (1 + y /) i i* n n 公 式 (1) 其 中 :i 表 示 利 息 支 付 频 率 c 表 示 债 券 的 息 票 率 M 表 示 债 券 的 面 值 yi 表 示 i 时 期 债 券 的 即 期 收 益 率 n 表 示 债 券 的 剩 余 代 偿 期 P 表 示 债 券 的 价 格 则 现 在 可 以 分 析 债 券 A 和 B 的 价 格 如 下 :
4 表 2 债 券 A 和 B 的 价 格 比 较 期 限 债 券 A 现 金 流 债 券 B 现 金 流 即 期 收 益 率 债 券 A 现 值 债 券 B 现 值 0.5 年 % 年 % 年 % 年 % 年 % 年 % 年 % 年 % 年 % 年 % 年 % 年 % 年 % 年 % 年 % 年 % 年 % 年 % 年 % 年 % 债 券 价 格 可 以 看 到, 尽 管 债 券 A 和 B 的 到 期 期 限 和 息 票 率 都 相 同, 但 是 由 于 付 息 频 率 不 同, 导 致 债 券 的 现 金 流 产 生 的 时 间 不 同, 用 不 同 时 间 对 应 的 即 期 收 益 率 折 现 得 到 的 债 券 价 格 就 会 产 生 差 异 A 债 券 一 年 付 息 两 次, 所 以 A 的 现 金 流 产 生 的 时 间 早 于 B 债 券 产 生 的 时 间, 早 期 的 现 金 流 对 应 更 短 的 即 期 收 益 率, 用 更 短 的 即 期 收 益 率 折 现 得 到 的 现 值 也 就 更 大 最 终, 债 券 A 的 价 格 要 稍 大 于 债 券 B 的 价 格 债 券 A 和 B 的 现 金 流 分 布 如 下 图 所 示 :
5 债 券 A 的 现 金 流 现 值 分 布 债 券 A 现 值 年 1.0 年 1.5 年 2.0 年 2.5 年 3.0 年 3.5 年 4.0 年 4.5 年 5.0 年 5.5 年 6.0 年 6.5 年 7.0 年 7.5 年 8.0 年 8.5 年 9.0 年 9.5 年 10.0 年 期 限 图 3 债 券 A 的 现 金 流 现 值 分 布 债 券 B 的 现 金 流 现 值 分 布 债 券 B 现 值 年 2 年 3 年 4 年 5 年 6 年 7 年 8 年 9 年 10 年 年 份 图 4 债 券 B 的 现 金 流 现 值 分 布 进 一 步 计 算 债 券 A 和 B 的 到 期 收 益 率, 计 算 公 式 可 以 表 示 为 : cm / i cm / i /... cm i + P = M (1 YTM /) i (1 YTM /) i (1 YTM /) i i* n 公 式 (2) 其 中 :i 表 示 利 息 支 付 频 率 c 表 示 债 券 的 息 票 率 M 表 示 债 券 的 面 值 YTM 表 示 债 券 的 到 期 收 益 率 n 表 示 债 券 的 剩 余 代 偿 期 P 表 示 债 券 的 价 格 我 们 可 以 计 算 得 到, 债 券 A 的 到 期 收 益 率 为 10.22%, 债 券 B 的 到 期 收 益 率 为 10.26%, 可 见 付 息 频 率 与 债 券 的 到 期 收 益 率 成 反 比, 付 息 频 率 越 高, 债 券 的 到 期 收 益 率 更 低 ( 二 ) 债 券 付 息 频 率 对 债 券 久 期 的 影 响 为 了 衡 量 债 券 价 格 对 利 率 的 敏 感 性, 我 们 引 入 了 久 期 这 个 概 念 分 了 分 析 的
6 简 便, 我 们 在 这 里 讨 论 债 券 的 修 正 久 期 久 期 的 计 算 方 式 可 以 表 示 为 : cm/i cm/i cm/i n 1 2 i* n 1 (1 + YTM /) i (1 + YTM /) i (1 + YTM /) i D MD = = i PV (1 + YTM / i) (1 + YTM / i) 其 中 D 为 债 券 的 麦 考 拉 久 期,MD 为 修 正 久 期 根 据 久 期 计 算 的 公 式, 我 们 得 到 : 期 限 ( 年 ) 债 券 A 的 现 金 流 表 3 债 券 A 和 B 的 久 期 组 成 按 YTM 折 现 的 现 金 流 债 券 A 的 久 期 组 成 债 券 B 的 现 金 流 按 YTM 折 现 的 现 金 流 公 式 (4) 债 券 B 的 久 期 组 成 总 和 麦 考 利 久 期 修 正 久 期 从 表 中 可 以 看 到, 债 券 A 的 麦 考 利 久 期 为 , 债 券 B 的 麦 考 利 久 期 为 , 债 券 A 的 麦 考 利 久 期 要 小 于 债 券 B 的 麦 考 利 久 期 因 为 付 息 债 券 在 每 个 付 息 日 都 会 产 生 利 息 支 付 现 金 流, 所 以 固 定 利 率 债 券 的 剩 余 代 偿 期 并 不 是 衡 量 债 券 到 期 的 一 个 太 好 指 标, 而 麦 考 拉 久 期 就 是 付 息 债 券 到 期 日 的 一 个 较 好 替 代
7 债 券 A 的 麦 考 利 久 期 短 于 债 券 B 的 麦 考 利 久 期, 这 正 说 明 了 债 券 A 现 金 流 的 加 权 平 均 期 限 短 于 债 券 B 的 加 权 平 均 期 限 这 一 特 点 因 为 债 券 A 和 债 券 B 在 生 命 期 内 现 金 流 的 总 数 相 等, 都 为 200, 但 是 债 券 A 半 年 付 息 一 次, 所 以 债 券 A 现 金 流 产 生 的 平 均 时 间 早 于 债 券 B 的 平 均 时 间 但 是 考 察 债 券 A 和 债 券 B 的 修 正 久 期, 就 会 得 出 相 反 的 结 果 图 中 显 示, 债 券 A 的 修 正 久 期 为 , 债 券 B 的 修 正 久 期 为 , 债 券 A 的 修 正 久 期 要 大 于 债 券 B 的 修 正 久 期 修 正 久 期 是 用 来 衡 量 债 券 价 格 对 利 率 变 动 敏 感 性 的 一 个 指 标, 既 然 债 券 A 的 修 正 久 期 大 于 债 券 B 的 久 期, 我 们 似 乎 能 得 出 结 论 : 在 其 他 情 况 相 同 的 情 况 下, 付 息 频 率 越 高 的 债 券, 对 利 率 变 动 越 敏 感 也 就 是 债 券 的 付 息 频 率 与 债 券 的 久 期 成 正 方 向 变 动 为 什 么 会 出 现 这 样 的 结 果? 先 考 虑 麦 考 拉 久 期 和 修 正 久 期 的 关 系 : D MD = (1 + YTM / i) 公 式 (5) 债 券 的 修 正 久 期 与 麦 考 拉 久 期 成 正 比, 与 债 券 的 到 期 收 益 率 成 反 比, 与 债 券 的 付 息 频 率 成 正 比 如 果 两 个 债 券 到 期 收 益 率 和 麦 考 利 久 期 都 相 等, 那 么 付 息 频 率 高 的 债 券 的 修 正 久 期 也 更 大 在 息 票 率 相 等, 剩 余 代 偿 期 相 等 的 情 况 下, 我 们 已 经 计 算 得 到, 付 息 频 率 高 的 债 券, 价 格 更 高, 到 期 收 益 率 更 低, 更 低 的 收 益 率 相 对 使 得 久 期 更 大, 加 上 付 息 频 率 导 致 的 久 期 变 大, 这 二 者 的 力 量 对 比 超 过 了 付 息 频 率 使 得 麦 考 拉 久 期 变 小 的 力 量, 最 终 使 得 高 付 息 频 率 债 券 的 修 正 久 期 更 大 假 设 债 券 的 的 到 期 收 益 率 下 降, 对 应 的 各 个 时 期 的 贴 现 率 下 降, 那 么 各 个 时 期 现 金 流 的 现 值 会 增 加, 使 得 债 券 的 价 格 上 升 付 息 频 率 更 高 的 债 券, 现 金 流 产 生 的 时 间 更 早, 收 益 率 下 降 导 致 的 贴 现 因 子 的 增 加, 会 使 得 债 券 相 比 付 息 频 率 更 低 的 债 券 的 现 金 流 现 值 增 加 得 更 快, 结 果, 债 券 的 价 格 也 就 上 升 得 更 多 三 不 同 付 息 方 式 的 可 比 收 益 率 计 算 前 面 两 部 分 虽 然 分 析 总 结 了 在 同 一 市 场 上, 剩 余 待 偿 期 和 息 票 率 完 全 相 同, 仅 付 息 频 率 不 同 的 债 券, 因 为 付 息 频 率 的 影 响, 而 导 致 了 债 券 价 格 久 期 和 名 义
8 到 期 收 益 率 的 不 同 但 是 这 些 分 析 还 不 足 以 给 我 们 一 个 完 全 可 比 的 指 标, 这 部 分 的 分 析, 为 如 何 对 等 地 比 较 付 息 频 率 不 同 的 同 期 债 券 的 收 益 率 提 供 了 一 个 解 决 途 径 我 们 知 道, 付 息 频 率 高 于 一 年 一 付 的 债 券 的 名 义 到 期 收 益 率 可 以 计 算 为 : C / i C / i C / i+ M P = (1 / ) (1 / ) (1 / ) i + YTM n i i + YTM i i + YTM i i 但 是 这 样 的 名 义 到 期 收 益 率 不 能 直 接 用 来 和 一 年 付 息 一 次 的 债 券 的 到 期 收 益 率 进 行 比 较, 所 以 接 下 来 我 们 将 债 券 的 明 名 义 到 期 收 益 率 转 化 为 与 年 付 息 债 券 收 益 率 等 价 的 实 质 收 益 率, 这 样, 付 息 频 率 不 同 的 债 券 的 到 期 收 益 率 就 变 得 可 比 了 一 年 付 息 i 次, 按 年 复 利 的 债 券 的 实 质 收 益 率 YTM 可 以 表 示 如 下 : C / i C / i C / i+ M P = / i 2/ i (1 + YTM ) (1 + YTM ) (1 + YTM ) n 公 式 (6) 在 这 个 公 式 中, 我 们 计 算 得 到 的 就 是 债 券 按 年 复 利 的 实 质 收 益 率, 它 与 我 们 按 照 债 券 市 场 上 最 常 用 的 按 年 付 息, 按 年 复 利 得 到 的 年 到 期 收 益 率 可 以 进 行 直 接 的 比 较 在 第 二 部 分, 我 们 已 经 计 算 得 到 一 年 付 息 两 次 的 债 券 A 的 名 义 到 期 收 益 率 为 10.22%, 但 是 根 据 公 式 (6), 我 们 就 能 够 计 算 得 到 债 券 A 相 对 一 年 付 息 债 券 B 的 实 质 收 益 率 : = (1 + YTM ) (1 + YTM ) (1 + YTM ) 我 们 可 以 计 算 得 到 债 券 A 按 年 复 利 的 实 质 收 益 率 为 10.48%, 所 以 我 们 可 以 看 到, 虽 然 债 券 A 的 名 义 年 利 率 利 率 10.22% 小 于 债 券 B 的 年 利 率 10.26%, 但 是 通 过 公 式 (6) 转 换 得 到 的 按 年 复 利 的 实 质 收 益 率 为 10.48%, 大 于 债 券 B 的 年 利 率 在 下 图 中 我 们 将 债 券 A 中 全 部 半 年 支 付 的 利 息 按 年 实 际 收 益 率 复 利 到 对 于 整 年 时 间 点, 则 我 们 可 以 对 债 券 A 和 B 在 每 年 末 的 现 金 流 进 行 比 较
9 年 份 表 4 债 券 A 和 B 的 年 现 金 流 和 折 现 值 比 较 债 券 A 的 年 现 金 流 按 实 质 到 期 收 益 率 折 现 的 现 值 债 券 B 的 年 现 金 流 债 券 B 的 年 现 金 流 现 值 1 年 年 年 年 年 年 年 年 年 年 总 和 其 中, 债 券 A 每 年 年 末 的 债 券 现 金 流 计 算 如 下 : i CF = C i + YTM = + + = t= 1 (1 ti / ) / (1 ) 5 ( %) 债 券 A 和 债 券 B 的 年 现 金 流 比 较 现 金 流 年 2 年 3 年 4 年 5 年 6 年 7 年 8 年 9 年 10 年 年 债 券 A 的 年 现 金 流 债 券 B 的 年 现 金 流 图 5 债 券 A 和 B 的 年 现 金 流 比 较
10 债 券 A 和 B 的 年 现 金 流 现 值 比 较 现 金 流 现 值 年 2 年 3 年 4 年 5 年 6 年 7 年 8 年 9 年 10 年 价 格 年 按 实 质 到 期 收 益 率 折 现 的 现 值 债 券 B 的 年 现 金 流 现 值 图 6 债 券 A 和 B 的 年 现 金 流 现 值 比 较 从 图 5 中 可 以 看 出, 债 券 A 每 年 年 末 的 现 金 流 都 大 于 债 券 B 的 现 金 流 , 这 是 半 年 期 付 息 债 券 在 付 息 后 半 年 按 实 质 收 益 率 积 累 到 年 末 所 获 得 的 利 息 值 在 图 6 中, 我 们 可 以 看 到, 虽 然 债 券 A 的 年 末 现 金 流 大 于 债 券 B 的 年 末 现 金 流, 但 是 债 券 A 的 年 复 利 实 质 到 期 收 益 率 高 于 债 券 B 的 到 期 收 益 率, 因 此 年 末 现 金 流 的 贴 现 因 子 更 大, 在 开 始 时 年 现 金 流 的 影 响 大 于 贴 现 因 子 的 影 响, 但 是 随 着 时 间 的 推 移, 贴 现 因 子 的 影 响 越 来 越 大, 在 第 10 年, 债 券 B 的 现 值 超 过 了 债 券 A 的 现 值 四 结 论 和 启 示 如 果 同 一 发 行 人 发 行 的 债 券, 剩 余 代 偿 期 和 息 票 都 相 等, 且 市 场 收 益 率 结 构 为 正 常 向 上 倾 斜 的 情 况 下, 我 们 可 以 得 到 : (1) 付 息 频 率 与 债 券 的 价 格 成 反 比, 付 息 频 率 高 的 债 券 的 市 场 价 格 高 于 付 息 频 率 低 的 债 券 的 市 场 价 格 ; (2) 付 息 频 率 与 债 券 的 到 期 收 益 率 成 反 比, 付 息 频 率 高 的 债 券 的 名 义 到 期 收 益 率 低 于 付 息 频 率 高 的 债 券 的 到 期 收 益 率 ; (3) 付 息 频 率 与 麦 考 拉 久 期 成 反 比, 付 息 频 率 高 的 债 券 的 麦 考 拉 久 期 低 于 付 息 频 率 低 的 债 券 的 麦 考 拉 久 期 ;
11 (4) 付 息 频 率 与 债 券 的 修 正 久 期 成 正 比, 付 息 频 率 高 的 债 券 的 修 正 久 期 高 于 付 息 频 率 低 的 债 券 的 修 正 久 期 随 着 中 国 债 券 市 场 的 不 断 发 展 完 善, 债 券 市 场 的 付 息 方 式 也 将 更 加 多 样 化, 分 析 付 息 方 式 不 同 对 债 券 的 价 格 的 影 响, 以 及 其 对 债 券 的 风 险 特 征 的 影 响, 具 有 很 强 的 实 际 价 值 本 文 的 以 上 分 析 可 以 得 出 一 些 债 券 投 资 的 初 步 建 议, 在 市 场 收 益 率 结 构 正 常 的 情 况 下, 对 于 其 它 条 件 完 全 一 致, 仅 有 付 息 频 率 的 差 别 的 债 券, 在 进 行 分 析 比 较 时, 我 们 可 以 得 到 一 些 有 意 义 的 结 论, 付 息 频 率 不 同 的 债 券 的 价 格 和 到 期 收 益 率 也 不 一 致 ; 虽 然 付 息 频 率 高 的 债 券 的 加 权 平 均 期 限 更 低, 但 是 其 价 格 对 利 率 的 敏 感 性 更 高 ; 要 想 使 得 不 同 付 息 频 率 的 债 券 进 行 对 等 的 比 较, 必 须 将 这 些 债 券 的 到 期 收 益 率 转 化 为 按 统 一 的 期 限 复 利 的 收 益 率, 文 中 介 绍 了 如 何 将 付 息 频 率 高 于 一 年 一 付 的 债 券 的 收 益 率 转 化 为 年 复 利 实 质 收 益 率, 以 消 除 付 息 频 率 的 影 响, 使 债 券 的 到 期 收 益 率 可 比 管 圣 义 : 中 央 国 债 登 记 结 算 有 限 责 任 公 司, 邮 箱 :guanshengyi@sina.com 杨 艳 : 财 政 部 财 政 科 学 研 究 所, 邮 箱 :yangyan-22@163.com
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