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1 好 玩 的 数 学 张 景 中 主 编 趣 味 随 机 问 题 孙 荣 恒 著 北 京

2 内 容 简 介 本 书 分 为 概 率 论 数 理 统 计 随 机 过 程 三 部 分, 每 部 分 包 含 若 干 个 趣 味 问 题 其 中 有 分 赌 注 问 题 巴 拿 赫 火 柴 盒 问 题 波 利 亚 坛 子 问 题 巴 格 达 窃 贼 问 题 赌 徒 输 光 问 题 群 体 ( 氏 族 ) 灭 绝 问 题 等 历 史 名 题, 也 有 许 多 介 绍 新 内 容 新 方 法 的 问 题 本 书 内 容 有 趣, 应 用 广 泛 能 启 迪 读 者 的 思 维, 开 阔 读 者 的 视 野, 增 强 读 者 的 提 出 问 题 分 析 问 题 与 解 决 问 题 的 能 力 本 书 适 合 高 中 以 上 文 化 程 度 的 学 生 教 师 科 技 工 作 者 和 数 学 爱 好 者 使 用 图 书 在 版 编 目 (CIP) 数 据 趣 味 随 机 问 题 / 孙 荣 恒 著 北 京 : 科 学 出 版 社,2004 ( 好 玩 的 数 学 / 张 景 中 主 编 ) ISBN 7 桘 03 桘 0406 桘 8 Ⅰ 趣 Ⅱ 孙 Ⅲ 随 机 桘 普 及 读 物 Ⅳ O2 桘 49 中 国 版 本 图 书 馆 CIP 数 据 核 字 (2004) 第 号 丛 书 策 划 : 李 敏 责 任 编 辑 : 李 敏 王 建 / 责 任 校 对 : 赵 桂 芬 责 任 印 制 : 钱 玉 芬 / 整 体 设 计 : 黄 华 斌 出 版 北 京 东 黄 城 根 北 街 6 号 邮 政 编 码 : http :// 中 國 科 學 院 印 刷 廠 印 刷 科 学 出 版 社 发 行 各 地 新 华 书 店 经 销 2004 年 0 月 第 一 版 开 本 : / 年 9 月 第 四 次 印 刷 印 张 : 9 印 数 : 字 数 : 定 价 :24 00 元 ( 如 有 印 装 质 量 问 题, 我 社 负 责 调 换 枙 科 印 枛 )

3 枟 好 玩 的 数 学 枠 编 委 会 主 编 张 景 中 成 员 ( 按 汉 语 拼 音 字 母 排 序 ) 陈 仁 政 孙 荣 恒 谈 祥 柏 王 树 禾 吴 鹤 龄 易 南 轩 郁 祖 权

4 总 序 2002 年 8 月 在 北 京 举 行 国 际 数 学 家 大 会 (ICM2002) 期 间,9 岁 高 龄 的 数 学 大 师 陈 省 身 先 生 为 少 年 儿 童 题 词, 写 下 了 数 学 好 玩 4 个 大 字 数 学 真 的 好 玩 吗? 不 同 的 人 可 能 有 不 同 的 看 法 有 人 会 说, 陈 省 身 先 生 认 为 数 学 好 玩, 因 为 他 是 数 学 大 师, 他 懂 数 学 的 奥 妙 对 于 我 们 凡 夫 俗 子 来 说, 数 学 枯 燥, 数 学 难 懂, 数 学 一 点 也 不 好 玩 其 实, 陈 省 身 从 十 几 岁 就 觉 得 数 学 好 玩 正 因 为 觉 得 数 学 好 玩, 才 兴 致 勃 勃 地 玩 个 不 停, 才 玩 成 了 数 学 大 师 并 不 是 成 了 大 师 才 说 好 玩 所 以, 小 孩 子 也 可 能 觉 得 数 学 好 玩 当 然, 中 学 生 或 小 学 生 能 够 体 会 到 的 数 学 好 玩, 和 数 学 家 所 感 受 到 的 数 学 好 玩, 是 有 所 不 同 的 好 比 象 棋, 刚 入 门 的 棋 手 觉 得 有 趣, 国 手 大 师 也 觉 得 有 趣, 但 对 于 具 体 一 步 棋 的 奥 妙 和 其 中 的 趣 味, 理 解 的 程 度 却 大 不 相 同 世 界 上 好 玩 的 事 物, 很 多 要 有 了 感 受 体 验 才 能 食 髓 知 味 有 酒 仙 之 称 的 诗 人 李 白 写 道 : 但 得 此 中 味, 勿 为 醒 者 传, 不 喝 酒 的 人 是 很 难 理 解 酒 中 乐 趣 的 但 数 学 与 酒 不 同 数 学 无 所 不 在 每 个 人 或 多 或 少 地 要 用 到 数 学, 要 接 触 数 学, 或 多 或 少 地 能 理 解 一 i

5 些 数 学 早 在 2000 多 年 前, 人 们 就 认 识 到 数 的 重 要 中 国 古 代 哲 学 家 老 子 在 枟 道 德 经 枠 中 说 : 道 生 一, 一 生 二, 二 生 三, 三 生 万 物 古 希 腊 毕 达 哥 拉 斯 学 派 的 思 想 家 菲 洛 劳 斯 说 得 更 加 确 定 有 力 : 庞 大 万 能 和 完 美 无 缺 是 数 字 的 力 量 所 在, 它 是 人 类 生 活 的 开 始 和 主 宰 者, 是 一 切 事 物 的 参 与 者 没 有 数 字, 一 切 都 是 混 乱 和 黑 暗 的 既 然 数 是 一 切 事 物 的 参 与 者, 数 学 当 然 就 无 所 不 在 了 在 很 多 有 趣 的 活 动 中, 数 学 是 幕 后 的 策 划 者, 是 游 戏 规 则 的 制 定 者 玩 七 巧 板, 玩 九 连 环, 玩 华 容 道, 不 少 人 玩 起 来 乐 而 不 倦 玩 的 人 不 一 定 知 道, 所 玩 的 其 实 是 数 学 这 套 丛 书 里, 吴 鹤 龄 先 生 编 著 的 枟 七 巧 板 九 连 环 和 华 容 道 中 国 古 典 智 力 游 戏 三 绝 枠 一 书, 讲 了 这 些 智 力 游 戏 中 蕴 含 的 数 学 问 题 和 数 学 道 理, 说 古 论 今, 引 人 入 胜 丛 书 编 者 应 读 者 要 求, 还 收 入 了 吴 先 生 的 另 一 本 备 受 大 家 欢 迎 的 枟 幻 方 及 其 他 娱 乐 数 学 经 典 名 题 枠, 该 书 题 材 广 泛 内 容 有 趣, 能 使 人 在 游 戏 中 启 迪 思 想 开 阔 视 野, 锻 炼 思 维 能 力 丛 书 的 其 他 各 册, 内 容 也 时 有 涉 及 数 学 游 戏 游 戏 就 是 玩 把 数 学 游 戏 作 为 丛 书 的 重 要 部 分, 是 好 玩 的 数 学 题 中 应 有 之 义 数 学 的 好 玩 之 处, 并 不 限 于 数 学 游 戏 数 学 中 有 些 极 具 实 用 意 义 的 内 容, 包 含 了 深 刻 的 奥 妙, 发 人 深 ii

6 总 序 思, 使 人 惊 讶 比 如, 以 数 学 家 欧 拉 命 名 的 一 个 公 式 e 2πi 这 里 指 数 中 用 到 的 π, 就 是 大 家 熟 悉 的 圆 周 率, 即 圆 的 周 长 和 直 径 的 比 值, 它 是 数 学 中 最 重 要 的 一 个 常 数 数 学 中 第 2 个 重 要 的 常 数, 就 是 上 面 等 式 中 左 端 出 现 的 e, 它 也 是 一 个 无 理 数, 是 自 然 对 数 的 底, 近 似 值 为 指 数 中 用 到 的 另 一 个 数 i, 就 是 虚 数 单 位, 它 的 平 方 等 于 - 谁 能 想 到, 这 3 个 出 身 大 不 相 同 的 数, 能 被 这 样 一 个 简 洁 的 等 式 联 系 在 一 起 呢? 丛 书 中, 陈 仁 政 老 师 编 著 的 枟 说 不 尽 的 π 枠 和 枟 不 可 思 议 的 e 枠, 分 别 详 尽 地 说 明 了 这 两 个 奇 妙 的 数 的 来 历 有 关 的 轶 事 趣 谈 和 人 类 认 识 它 们 的 漫 长 的 过 程 其 材 料 的 丰 富 详 尽, 论 述 的 清 楚 确 切, 在 我 所 知 的 中 外 有 关 书 籍 中, 无 出 其 右 者 如 果 你 对 上 面 等 式 中 的 虚 数 i 的 来 历 有 兴 趣, 不 妨 翻 一 翻 王 树 禾 教 授 为 本 丛 书 所 写 的 枟 数 学 演 义 枠 的 第 十 五 回 三 次 方 程 闹 剧 获 得 公 式 解 神 医 卡 丹 内 疚 难 舍 诡 辩 量 这 本 章 回 体 的 数 学 史 读 物, 可 谓 通 而 不 俗 深 入 浅 出 王 树 禾 教 授 把 数 学 史 上 的 大 事 趣 事 憾 事, 像 说 评 书 一 样, 向 我 们 娓 娓 道 来, 使 我 们 时 而 惊 讶 时 而 叹 息 时 而 感 奋, 引 来 无 穷 怀 念 遐 想 数 学 好 玩, 人 类 探 索 数 学 的 曲 折 故 事 何 尝 不 好 玩 呢? 光 看 看 这 本 书 的 对 联 形 式 的 四 十 回 的 标 题, 就 够 过 把 瘾 了 王 教 授 还 为 丛 书 写 了 一 本 枟 数 学 聊 斋 枠, 把 现 代 数 学 和 经 典 数 学 中 许 多 看 似 古 怪 而 实 则 富 有 思 想 哲 理 的 内 容, 像 枟 聊 斋 枠 讲 鬼 说 狐 一 样 最 大 限 度 地 大 众 化, 努 力 使 iii

7 读 者 不 但 知 其 然 而 且 知 其 所 以 然 在 这 里, 数 学 的 好 玩, 已 经 到 了 相 当 高 雅 的 层 次 了 谈 祥 柏 先 生 是 几 代 数 学 爱 好 者 都 熟 悉 的 老 科 普 作 家, 大 量 的 数 学 科 普 作 品 早 已 脍 炙 人 口 他 为 丛 书 所 写 的 枟 乐 在 其 中 的 数 学 枠, 很 可 能 是 他 的 封 笔 之 作 此 书 吸 取 了 美 国 著 名 数 学 科 普 大 师 加 德 纳 25 年 中 作 品 的 精 华, 结 合 中 国 国 情 精 心 改 编, 内 容 新 颖 风 格 多 变 雅 俗 共 赏 相 信 读 者 看 了 必 能 乐 在 其 中 易 南 轩 老 师 所 写 的 枟 数 学 美 拾 趣 枠 一 书, 自 2002 年 初 版 以 来, 获 得 读 者 广 泛 好 评 该 书 以 流 畅 的 文 笔, 围 绕 一 些 有 趣 的 数 学 内 容 进 行 了 纵 横 知 识 面 的 联 系 与 扩 展, 足 以 开 阔 眼 界 拓 广 思 维 读 者 群 中 有 理 科 和 文 科 的 师 生, 不 但 有 数 学 爱 好 者, 也 有 文 学 艺 术 的 爱 好 者 该 书 出 版 不 久 即 脱 销, 有 一 些 读 者 索 书 而 未 能 如 愿 这 次 作 者 在 原 书 基 础 上 进 行 了 较 大 的 修 订 和 补 充, 列 入 丛 书, 希 望 能 满 足 这 些 读 者 的 心 愿 世 界 上 有 些 事 物 的 变 化, 有 确 定 的 因 果 关 系 但 也 有 着 大 量 的 随 机 现 象 一 局 象 棋 的 胜 负 得 失, 一 步 一 步 地 分 析 起 来, 因 果 关 系 是 清 楚 的 一 盘 麻 将 的 输 赢, 却 包 含 了 很 多 难 以 预 料 的 偶 然 因 素, 即 随 机 性 有 趣 的 是, 数 学 不 但 长 于 表 达 处 理 确 定 的 因 果 关 系, 而 且 也 能 表 达 处 理 被 偶 然 因 素 支 配 的 随 机 现 象, 从 偶 然 中 发 现 规 律 孙 荣 恒 先 生 的 枟 趣 味 随 机 问 题 枠 一 书, 向 我 们 展 示 出 概 率 论 数 理 统 计 随 机 过 程 这 些 数 学 分 支 中 许 多 好 玩 的 有 用 的 和 新 颖 的 问 题 其 中 既 有 经 典 趣 题, 如 赌 徒 输 光 定 理, 也 有 近 年 来 发 展 的 新 的 iv

8 总 序 方 法 中 国 古 代 数 学, 体 现 出 算 法 化 的 优 秀 数 学 思 想, 曾 一 度 辉 煌 回 顾 一 下 中 国 古 算 中 的 名 题 趣 事, 有 助 于 了 解 历 史 文 化, 振 奋 民 族 精 神, 学 习 逻 辑 分 析 方 法, 发 展 空 间 想 像 能 力 郁 祖 权 先 生 为 丛 书 所 著 的 枟 中 国 古 算 解 趣 枠, 诗 词 书 画 数 五 术 俱 有, 以 通 俗 艺 术 的 形 式 介 绍 韩 信 点 兵 苏 武 牧 羊 李 白 沽 酒 等 40 余 个 中 国 古 算 名 题 ; 以 题 说 法, 讲 解 我 国 古 代 很 有 影 响 的 一 些 数 学 方 法 ; 以 法 传 知, 叙 述 这 些 算 法 的 历 史 背 景 和 实 际 应 用, 并 对 相 关 的 中 算 典 籍 著 名 数 学 家 的 生 平 及 其 贡 献 做 了 简 要 介 绍, 的 确 是 青 少 年 的 好 读 物 读 一 读 枟 好 玩 的 数 学 枠, 玩 一 玩 数 学, 是 消 闲 娱 乐, 又 是 学 习 思 考 有 些 看 来 已 经 解 决 的 小 问 题, 再 多 想 想, 往 往 有 柳 暗 花 明 又 一 村 的 感 觉 举 两 个 例 子 : 枟 中 国 古 算 解 趣 枠 第 37 节, 讲 了 一 个 三 翁 垂 钓 的 题 目 与 此 题 类 似, 有 个 五 猴 分 桃 的 趣 题 在 世 界 上 广 泛 流 传 著 名 物 理 学 家 诺 贝 尔 奖 获 得 者 李 政 道 教 授 访 问 中 国 科 学 技 术 大 学 时, 曾 用 此 题 考 问 中 国 科 学 技 术 大 学 少 年 班 的 学 生, 无 人 能 答 这 个 问 题, 据 说 是 由 大 物 理 学 家 狄 拉 克 提 出 的, 许 多 人 尝 试 着 做 过, 包 括 狄 拉 克 本 人 在 内 都 没 有 找 到 很 简 便 的 解 法 李 政 道 教 授 说, 著 名 数 理 逻 辑 学 家 和 哲 学 家 怀 德 海 曾 用 高 阶 差 分 方 程 理 论 中 通 解 和 特 解 的 关 系, 给 出 一 个 巧 妙 的 解 法 其 实, 仔 细 想 想, 有 一 个 十 分 简 单 有 趣 的 解 法, 小 学 生 都 不 难 理 解 v

9 原 题 是 这 样 的 :5 只 猴 子 一 起 摘 了 堆 桃 子, 因 为 太 累 了, 它 们 商 量 决 定, 先 睡 一 觉 再 分 过 了 不 知 多 久, 来 了 只 猴 子, 它 见 别 的 猴 子 没 来, 便 将 这 堆 桃 子 平 均 分 成 5 份, 结 果 多 了 个, 就 将 多 的 这 个 吃 了, 拿 走 其 中 的 堆 又 过 了 不 知 多 久, 第 2 只 猴 子 来 了, 它 不 知 道 有 个 同 伴 已 经 来 过, 还 以 为 自 己 是 第 个 到 的 呢, 于 是 将 地 上 的 桃 子 堆 起 来, 平 均 分 成 5 份, 发 现 也 多 了 个, 同 样 吃 了 这 个, 拿 走 其 中 的 堆 第 3 只 第 4 只 第 5 只 猴 子 都 是 这 样 问 这 5 只 猴 子 至 少 摘 了 多 少 个 桃 子? 第 5 个 猴 子 走 后 还 剩 多 少 个 桃 子? 思 路 和 解 法 : 题 目 难 在 每 次 分 都 多 个 桃 子, 实 际 上 可 以 理 解 为 少 4 个, 先 借 给 它 们 4 个 再 分 好 玩 的 是, 桃 子 尽 管 多 了 4 个, 每 个 猴 子 得 到 的 桃 子 并 不 会 增 多, 当 然 也 不 会 减 少 这 样, 每 次 都 刚 好 均 分 成 5 堆, 就 容 易 算 了 想 得 快 的 一 下 就 看 出, 桃 子 增 加 4 个 以 后, 能 够 被 5 的 5 次 方 整 除, 所 以 至 少 是 325 个 把 借 的 4 个 桃 子 还 了, 可 知 5 只 猴 子 至 少 摘 了 32 个 桃 子 容 易 算 出, 最 后 剩 下 至 少 个 桃 子 细 细 地 算, 就 是 : 设 这 堆 桃 子 至 少 有 x 个, 借 给 它 们 4 个, 成 为 x +4 个 5 个 猴 子 分 别 拿 了 a, b, c, d, e 个 桃 子 ( 其 中 包 括 吃 掉 的 一 个 ), 则 可 得 a ( x +4) /5 vi

10 总 序 b 4 (x +4)/25 c 6 (x +4)/25 d 64 (x + 4 )/625 e 256 (x +4)/325 e 应 为 整 数, 而 256 不 能 被 5 整 除, 所 以 ( x +4) 应 是 325 的 倍 数, 所 以 ( x +4) 325k ( k 取 自 然 数 ) 当 k 时, x 32 答 案 是, 这 5 个 猴 子 至 少 摘 了 32 个 桃 子 这 种 解 法, 其 实 就 是 动 力 系 统 研 究 中 常 用 的 相 似 变 换 法, 也 是 数 学 方 法 论 研 究 中 特 别 看 重 的 映 射 桘 反 演 法 小 中 见 大, 也 是 数 学 好 玩 之 处 在 枟 说 不 尽 的 π 枠 的 5 3 节, 谈 到 了 祖 冲 之 的 密 率 355/3 这 个 密 率 的 妙 处, 在 于 它 的 分 母 不 大 而 精 确 度 很 高 在 所 有 分 母 不 超 过 3 的 分 数 当 中, 和 π 最 接 近 的 就 是 355/3 不 但 如 此, 华 罗 庚 在 枟 数 论 导 引 枠 中 用 丢 番 图 理 论 证 明, 在 所 有 分 母 不 超 过 336 的 分 数 当 中, 和 π 最 接 近 的 还 是 355/3 后 来, 在 夏 道 行 教 授 所 著 枟 π 和 e 枠 一 书 中, 用 连 分 数 的 方 法 证 明, 在 所 有 分 母 不 超 过 8000 的 分 数 当 中, 和 π 最 接 近 的 仍 然 是 355/3, 大 大 改 进 了 336 这 个 界 限 有 趣 的 是, 只 用 初 中 里 学 的 不 等 式 的 知 识, 竟 能 把 8000 这 个 界 限 提 高 到 6500 以 上! 根 据 π , 可 得 355/3 - π < , 如 果 有 个 分 数 q/ p 比 355/3 更 接 近 π, 一 定 会 有 vii

11 355/3 - q/ p < 也 就 是 355 p -3q /3 p < 因 为 q/ p 不 等 于 355/3, 所 以 355 p -3q 不 是 0 但 它 是 正 整 数, 大 于 或 等 于, 所 以 /3 p < 由 此 推 出 p > /( ) > 6586 这 表 明, 如 果 有 个 分 数 q/ p 比 355/3 更 接 近 π, 其 分 母 p 一 定 大 于 6586 如 此 简 单 初 等 的 推 理 得 到 这 样 好 的 成 绩, 可 谓 鸡 刀 宰 牛 数 学 问 题 的 解 决, 常 有 出 乎 意 料 之 外, 在 乎 情 理 之 中 的 情 形 在 枟 数 学 美 拾 趣 枠 的 22 章, 提 到 了 生 锈 圆 规 作 图 问 题, 也 就 是 用 半 径 固 定 的 圆 规 作 图 的 问 题 这 个 问 题 出 现 得 很 早, 历 史 上 著 名 的 画 家 达 芬 奇 也 研 究 过 这 个 问 题 直 到 20 世 纪, 一 些 基 本 的 作 图, 例 如 已 知 线 段 的 两 端 点 求 作 中 点 的 问 题 ( 线 段 可 没 有 给 出 来 ), 都 没 有 答 案 有 些 人 认 为 用 生 锈 圆 规 作 中 点 是 不 可 能 的 到 了 20 世 纪 80 年 代, 在 规 尺 作 图 问 题 上 从 来 没 有 过 贡 献 的 中 国 人, 不 但 解 决 了 中 点 问 题 和 另 一 个 未 解 决 问 题, 还 意 外 地 证 明 了 从 2 点 出 发 作 图 时 生 锈 圆 规 的 能 力 和 普 通 规 尺 是 等 价 的 那 么, 从 3 点 出 发 作 图 时 生 锈 圆 规 的 能 力 又 如 何 呢? 这 是 尚 未 解 决 的 问 题 viii

12 总 序 开 始 提 到, 数 学 的 好 玩 有 不 同 的 层 次 和 境 界 数 学 大 师 看 到 的 好 玩 之 处 和 小 学 生 看 到 的 好 玩 之 处 会 有 所 不 同 就 这 套 丛 书 而 言, 不 同 的 读 者 也 会 从 其 中 得 到 不 同 的 乐 趣 和 益 处 可 以 当 做 休 闲 娱 乐 小 品 随 便 翻 翻, 有 助 于 排 遣 工 作 疲 劳 俗 事 烦 恼 ; 可 以 作 为 教 师 参 考 资 料, 有 助 于 活 跃 课 堂 气 氛 启 迪 学 生 心 智 ; 可 以 作 为 学 生 课 外 读 物, 有 助 于 开 阔 眼 界 增 长 知 识 锻 炼 逻 辑 思 维 能 力 即 使 对 于 数 学 修 养 比 较 高 的 大 学 生 研 究 生 甚 至 数 学 研 究 工 作 者, 也 会 开 卷 有 益 数 学 大 师 华 罗 庚 提 倡 小 敌 不 侮, 上 面 提 到 的 两 个 小 题 目 都 有 名 家 做 过 丛 书 中 这 类 好 玩 的 小 问 题 比 比 皆 是, 说 不 定 有 心 人 还 能 从 中 挖 出 宝 矿, 有 所 斩 获 呢 嗦 不 少 了, 打 住 吧 谨 以 此 序 祝 枟 好 玩 的 数 学 枠 丛 书 成 功 2004 年 9 月 9 日 ix

13 前 言 本 书 是 为 高 中 生 大 学 生 研 究 生 和 数 学 爱 好 者 学 习 与 了 解 概 率 论 数 理 统 计 随 机 过 程 而 写 的 一 本 科 普 读 物 目 的 是 引 起 青 年 读 者 对 这 几 门 课 程 的 学 习 兴 趣, 介 绍 这 几 门 学 科 的 部 分 内 容 及 其 应 用, 给 出 处 理 这 一 类 问 题 的 思 路 与 方 法, 使 得 读 者 的 素 质 能 有 所 提 高 由 于 介 绍 的 是 随 机 问 题, 要 求 读 者 具 有 微 积 分 与 初 等 概 率 统 计 知 识 又 因 为 本 书 不 仅 希 望 读 者 知 其 然, 而 且 更 希 望 读 者 知 其 所 以 然, 所 以 书 中 有 一 些 理 论 推 导, 如 果 读 者 一 时 看 不 懂 这 些 推 导, 可 以 跳 过 去, 先 了 解 其 结 论 本 书 分 为 三 部 分, 即 概 率 论 篇 数 理 统 计 篇 与 随 机 过 程 篇 其 中, 概 率 论 篇 介 绍 了 74 个 问 题, 数 理 统 计 篇 介 绍 了 5 个 问 题, 随 机 过 程 篇 介 绍 了 2 个 问 题 这 些 问 题 是 作 者 从 事 多 年 教 学 科 研 工 作 的 心 得 与 结 晶, 涉 及 多 方 面 的 应 用 有 很 多 内 容 是 作 者 在 所 出 版 的 文 献 ( 见 参 考 文 献 [4] ~ [9]) 中 首 先 给 出 的, 还 有 很 多 内 容 是 本 书 第 一 次 给 出 的 本 书 的 特 点 是 : 有 趣 有 用 有 新 意 当 然 不 是 每 个 问 题 都 具 有 这 三 个 特 点, 但 是 每 个 问 题 至 少 具 有 这 三 个 特 点 之 一 只 有 趣 和 新, 而 没 有 用, 意 义 就 减 少 了 许 多 因 此, 作 者 在 选 材 时, 更 强 调 其 应 用 本 书 最 初 是 为 研 究 生 大 学 生 作 科 普 报 告 而 准 备 xi

14 的 一 些 处 理 随 机 问 题 的 专 题, 主 要 介 绍 既 有 趣 又 有 用 的 新 思 想 新 方 法 与 新 内 容, 目 的 是 开 阔 学 生 的 视 野 和 提 高 学 生 的 素 质 经 过 较 大 的 修 改 后 才 成 为 现 在 这 个 样 子 在 这 里, 作 者 首 先 要 感 谢 科 学 出 版 社, 没 有 他 们 的 鼓 励 和 支 持, 这 本 书 是 绝 对 不 会 问 世 的 ; 其 次 要 感 谢 潘 致 锋 同 志 仔 细 地 阅 读 了 手 稿, 改 正 了 一 些 笔 误 ; 特 别 要 借 此 机 会, 感 谢 作 者 的 大 哥 孙 曼 和 大 嫂 闵 锐, 没 有 他 们 的 教 育 与 培 养, 不 会 有 作 者 的 今 天, 还 要 感 谢 作 者 的 夫 人 李 文 昭, 长 期 以 来 几 乎 承 担 了 所 有 家 务, 解 除 了 作 者 的 后 顾 之 忧 由 于 作 者 水 平 有 限, 书 中 定 有 不 少 错 误, 恳 请 读 者 批 评 指 正! 孙 荣 恒 xii

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21 概 率 论 篇 全 是 不 可 测 集 惹 的 麻 烦 随 机 事 件 ( 简 称 为 事 件 ) 概 率 随 机 变 量 是 概 率 论 中 最 基 本 的 三 个 概 念, 它 们 是 逐 步 形 成 与 完 善 起 来 的 其 中 事 件 与 随 机 变 量 这 两 个 概 念 与 不 可 测 集 合 的 关 系 非 常 紧 密 如 果 不 存 在 不 可 测 集 合, 事 件 与 随 机 变 量 的 定 义 将 会 非 常 简 洁 易 懂 由 于 不 可 测 集 合 的 存 在, 给 这 两 个 概 念 的 定 义 带 来 了 很 大 的 麻 烦, 使 初 学 者 感 到 很 困 难 学 过 初 等 概 率 论 的 人 都 知 道, 随 机 事 件 是 样 本 空 间 ( 由 所 有 样 本 点 或 基 本 事 件 组 成 的 集 合 ) 的 子 集, 但 是 样 本 空 间 的 子 集 却 未 必 是 随 机 事 件 为 什 么? 一 般 教 科 书 均 不 作 解 释, 因 为 此 问 题 说 起 来 话 长, 又 涉 及 较 多 的 数 学 知 识, 一 两 句 话 是 说 不 清 楚 的 如 果 样 本 空 间 Ω 中 的 样 本 点 只 有 可 数 ( 可 列 ) 多 个, 则 Ω 中 的 任 一 个 子 集 都 可 测 ; 如 果 Ω 中 的 样 本 点 有 无 穷 不 可 数 多 个 ( 如 一 个 区 间 或 一 个 区 域 ), 则 可 人 为 地 构 造 出 Ω 的 不 可 测 子 集 什 么 叫 做 ( 集 合 ) 可 测? 这 涉 及 较 深 的 测 度 论 知 识 通 俗 地 说, 所 谓 集 合 A 可 测, 就 是 可 以 求 出 A 的 测 度 什 么 叫 做 测 度? 如 果 A 是 离 散 可 数 集 合, 则 把 A 中 的 元 素 个 数 作 为 A 的 测 度, 如 果 A 是 非 离 散 的 区 域 而 且 是 一 维 的 ( 二 维 的 三 维 的 ), 就 把 A 的 长 度 ( 面 积 体 积 ) 作 为 A 的 测 度 关 于 如 何 构 造 Ω 的 不 可 测 子 集, 有 兴 趣 的 读 者 可 以 参 阅 郑 维 行

22 和 王 声 望 著 的 枟 实 变 函 数 与 泛 函 分 析 概 要 枠 初 学 者 很 难 理 解, 一 条 曲 线 为 什 么 会 不 可 以 测 量 它 的 长 度 呢? 美 籍 华 人 钟 开 来 说, 读 者 可 以 这 样 设 想, 这 条 曲 线 弯 曲 得 非 常 厉 害, 我 们 无 法 测 准 它 的 长 度, 或 者 设 想 它 离 我 们 非 常 遥 远, 即 使 用 最 先 进 的 仪 器 也 无 法 对 它 进 行 测 量 由 于 样 本 空 间 中 的 子 集 不 一 定 都 可 测, 那 些 不 可 测 子 集 我 们 是 无 法 求 其 概 率 的, 当 然, 就 不 把 它 们 看 成 事 件, 这 是 因 为 我 们 研 究 事 件 的 主 要 目 的 是 求 其 出 现 ( 发 生 ) 的 概 率 又 因 为 在 实 际 问 题 中 我 们 往 往 要 对 事 件 进 行 各 种 运 算 ( 或 变 换 ), 我 们 自 然 会 问 : 可 测 事 件 运 算 ( 或 变 换 ) 的 结 果 是 否 仍 为 可 测? 为 了 保 证 可 测 事 件 运 算 ( 或 变 换 ) 的 结 果 仍 为 可 测, 我 们 在 定 义 事 件 中 引 进 了 σ 代 数 的 概 念 定 义 设 Ω 为 一 个 集 合, 如 果 Ω 中 的 一 些 子 集 组 成 的 集 类 ( 以 集 合 为 元 素 的 集 合 ) F 满 足 : (i) Ω F (ii) 如 果 A F, 则 A 的 补 集 珚 A F (iii) 如 果 A F,,2,3,, 则 则 称 F 为 Ω 中 的 σ 代 数 A F 有 了 σ 代 数 的 概 念, 可 引 入 事 件 的 如 下 的 严 格 定 义 定 义 2 如 果 F 是 由 样 本 空 间 Ω 中 一 些 ( 可 测 ) 子 集 组 成 的 σ 代 数, 则 称 F 为 事 件 域, 称 且 仅 称 F 中 的 元 素 为 事 件 通 常 称 (Ω,F) 为 可 测 空 间 由 此 定 义 可 知 : (i) σ 代 数 未 必 是 事 件 域, 但 是 事 件 域 一 定 是 σ 代 数 (ii) {?, Ω} 为 最 小 事 件 域 ( 其 中? 为 不 可 能 事 件, 即 为 不 含 有 任 何 样 本 点 的 空 集 ) 如 果 A 为 Ω 中 的 可 测 子 集, 则 2

23 概 率 论 篇 {?, A, 珚 A, Ω} 是 包 含 事 件 A 的 最 小 事 件 域 如 果 Ω 中 的 子 集 都 可 测, 则 取 事 件 域 为 { A : A Ω} ( 即 如 果 A Ω, 则 称 A 为 事 件 ), 它 也 是 最 大 的 事 件 域 因 此, 事 件 域 不 是 唯 一 的 (iii) 在 实 际 问 题 中, 如 果 Ω 中 的 样 本 点 是 可 数 的, 通 常 就 取 事 件 域 为 { A : A Ω}, 否 则, 通 常 取 事 件 域 为 包 含 我 们 所 关 心 的 事 件 的 σ 代 数 在 一 个 问 题 中, 事 件 域 一 经 取 定 就 不 再 变 动 如 果 不 存 在 样 本 空 间 Ω 中 的 不 可 测 子 集, 随 机 变 量 就 可 以 简 单 定 义 为 : 如 果 X (ω) 是 Ω 上 的 单 值 实 函 数, 则 称 X (ω) 为 随 机 变 量 而 现 在 随 机 变 量 的 定 义 不 仅 复 杂 得 多, 而 且 使 初 学 者 很 不 容 易 理 解 定 义 3 设 (Ω,F) 是 一 个 可 测 空 间, X (ω) 为 定 义 于 Ω 上 的 单 值 实 函 数, 如 果 对 任 意 实 数 x, 均 有 {ω:x( ω) x,ω Ω} F 则 称 X (ω) 为 (Ω,F) 上 的 一 个 随 机 变 量 通 常 简 记 X (ω) 为 X, 简 记 {ω: X (ω) x, ω Ω} 为 { X x} {ω: X( ω) x, ω Ω} 表 示 使 得 X( ω) x 成 立 的 那 些 样 本 点 ω 组 成 的 集 合 如 果 这 个 集 合 为 可 测 的 事 件, 即 { X x} F, 我 们 才 称 X 为 随 机 变 量 由 定 义 3 知 随 机 变 量 不 是 简 单 的 变 量, 而 是 定 义 于 样 本 空 间 Ω 上 的 满 足 条 件 { X x} F 的 单 值 实 函 数 不 过 在 实 际 问 题 中 如 果 用 定 义 3 去 验 证 一 个 量 是 否 为 随 机 变 量 那 将 是 件 很 麻 烦 的 事 情 通 常 不 用 定 义 3 去 验 证 一 个 量 是 否 为 随 机 变 量, 而 是 去 验 证 该 量 取 值 是 否 为 随 机 的 如 果 是, 则 该 量 是 随 机 变 量 ; 否 则, 它 就 不 是 随 机 变 量 何 为 随 机 的? 所 谓 随 机 3

24 的 是 指 : 该 量 至 少 能 取 两 个 值, 而 且 事 前 ( 试 验 之 前 ) 无 法 准 确 预 言 它 取 哪 个 值 2 概 率 概 念 的 完 善 概 率 是 描 述 事 件 发 生 ( 出 现 ) 可 能 性 大 小 的 数 量 指 标, 它 是 逐 步 形 成 和 完 善 起 来 的 最 初 人 们 讨 论 的 是 古 典 概 型 ( 随 机 ) 试 验 中 事 件 发 生 的 概 率 所 谓 古 典 概 型 试 验 是 指 样 本 空 间 中 的 样 本 点 的 个 数 是 有 限 的 且 每 个 样 本 点 ( 组 成 的 事 件 ) 发 生 的 可 能 性 是 相 同 的, 简 称 为 有 限 性 与 等 可 能 性 例 如, 掷 一 颗 均 匀 骰 子 的 试 验 与 从 一 个 装 有 个 相 同 ( 编 了 号 ) 的 球 中 随 机 摸 一 个 球 的 试 验 都 是 古 典 概 型 试 验 对 于 古 典 概 型 试 验, 人 们 给 出 概 率 的 如 下 定 义 定 义 4 设 试 验 E 是 古 典 概 型 的, 其 样 本 空 间 Ω 由 个 样 本 点 组 成, 其 一 事 件 A 由 r 个 样 本 点 组 成, 则 定 义 A ( 发 生 ) 的 概 率 为 r, 记 为 P ( A), 即 P( A) A 中 样 本 点 数 Ω 中 样 本 点 数 r 并 称 这 样 定 义 的 概 率 为 古 典 概 率, 称 概 率 的 这 样 的 定 义 为 古 典 定 义 古 典 概 率 有 如 下 3 个 性 质 : (i) 对 任 意 事 件 A, 有 0 P ( A) (ii) P (Ω) (iii) 设 A, A 2,, A m 为 两 两 互 斥 的 m 个 事 件, 则 m P( i A i) m i P( A i) 4

25 概 率 论 篇 加 性 (i) (ii) (iii) 分 别 称 为 概 率 的 有 界 性 规 范 性 与 有 限 可 古 典 概 率 的 定 义 要 求 试 验 满 足 有 限 性 与 等 可 能 性, 这 使 得 它 在 实 际 应 用 中 受 到 了 很 大 的 限 制 例 如, 对 于 旋 转 均 匀 陀 螺 的 试 验 : 在 一 个 均 匀 的 陀 螺 圆 周 上 均 匀 地 刻 上 区 间 [0, 3) 内 诸 数 字, 旋 转 陀 螺, 当 它 停 下 时, 其 圆 周 上 与 桌 面 接 触 处 的 刻 度 位 于 某 区 间 [ a, b) [ [0, 3)] 内 的 概 率 有 多 大? 对 于 这 样 的 试 验, 古 典 概 率 的 定 义 就 不 适 用 因 为 此 试 验 的 样 本 点 不 是 有 限 的, 而 是 区 间 [0, 3] 中 的 每 个 点, 它 有 无 穷 不 可 数 多 个 为 了 克 服 定 义 4 的 局 限 性, 人 们 又 引 入 概 率 的 如 下 定 义 定 义 5 设 试 验 E 的 样 本 空 间 为 某 可 度 量 的 区 域 Ω, 且 Ω 中 任 一 区 域 出 现 的 可 能 性 大 小 与 该 区 域 的 几 何 度 量 成 正 比, 而 与 该 区 域 的 位 置 与 形 状 无 关, 则 称 E 为 几 何 概 型 的 试 验 且 定 义 E 的 事 件 A 的 概 率 为 P( A) A 的 几 何 度 量 Ω 的 几 何 度 量 其 中, 如 果 Ω 是 一 维 的 二 维 的 三 维 的, 则 Ω 的 几 何 度 量 分 别 为 长 度 面 积 体 积 并 称 这 样 定 义 的 概 率 为 几 何 概 率, 而 称 概 率 的 这 样 的 定 义 为 几 何 定 义 几 何 概 率 除 了 具 有 古 典 概 率 的 3 个 性 质 外, 它 还 具 有 如 下 的 可 列 可 加 性 ( 或 完 全 可 加 性 ): (iv) 设 A, A2, A3, 为 两 两 互 斥 的 无 穷 多 个 事 件, 则 P( i A i) i P( A i) 概 率 的 几 何 定 义 虽 然 去 掉 了 有 限 性 的 限 制, 但 是 它 仍 然 要 试 验 满 足 等 可 能 性, 这 在 实 际 问 题 中 仍 有 很 大 的 局 限 性 例 5

26 如, 掷 一 枚 不 均 匀 的 硬 币 的 试 验 就 不 具 有 等 可 能 性, 这 样 上 述 两 个 定 义 对 这 个 非 常 简 单 的 试 验 都 不 适 用 同 时 我 们 还 注 意 到 上 述 两 个 定 义 中 的 等 可 能 性 严 格 地 说 都 是 近 似 的, 而 不 是 真 正 的 等 可 能 因 此, 我 们 必 须 再 一 次 推 广 概 率 的 定 义, 以 满 足 实 际 问 题 要 求 为 此, 人 们 在 频 率 的 基 础 上 又 引 进 了 概 率 的 统 计 定 义 通 过 长 期 的 实 践, 人 们 逐 步 发 现, 当 重 复 试 验 的 次 数 很 多 时, 事 件 出 现 的 频 率 都 具 有 稳 定 性 即 对 于 某 个 固 定 的 事 件, 当 重 复 试 验 次 数 增 加 时, 该 事 件 出 现 的 频 率 总 在 0 与 之 间 某 个 数 字 p 附 近 摆 动, 且 越 来 越 接 近 p 例 如, 掷 一 枚 均 匀 硬 币 的 试 验, 历 史 上 曾 经 有 很 多 数 学 家 做 过, 下 表 是 几 位 数 学 家 做 此 试 验 的 结 果 由 此 表 可 以 看 到, 当 试 验 次 数 越 来 越 多 时, 正 面 出 现 的 频 率 也 越 来 越 靠 近 0 5 ( 如 表 桘 ) 由 此, 人 们 又 引 入 概 率 的 统 计 定 义 表 桘 掷 均 匀 硬 币 的 试 验 试 验 者 试 验 次 数 正 面 出 现 次 数 正 面 出 现 频 率 摩 根 蒲 丰 皮 尔 逊 皮 尔 逊 维 尼 定 义 6 设 A 为 试 验 E 的 一 个 事 件, 如 果 随 着 重 复 试 验 次 数 的 增 加 A 出 现 的 频 率 在 0 与 之 间 某 个 数 p 附 近 摆 动, 则 定 义 A 的 概 率 为 p, 记 为 P ( A), 即 P( A) p 称 这 样 定 义 的 概 率 为 统 计 概 率, 称 概 率 的 这 样 的 定 义 为 统 计 定 义 6

27 概 率 论 篇 统 计 概 率 也 有 古 典 概 率 的 3 个 性 质, 即 有 界 性 规 范 性 有 限 可 加 性 概 率 的 统 计 定 义 对 试 验 不 作 任 何 要 求, 它 适 合 所 有 试 验, 也 比 较 直 观 但 是 在 数 学 上 很 不 严 密 因 为 其 依 据 是 重 复 试 验 次 数 很 多 时 频 率 呈 现 出 的 稳 定 性 何 为 很 多? 万 次 相 对 于 000 次 来 说 是 很 多 了, 但 是 相 对 于 0 万 次 来 说 它 又 是 很 少 了 试 验 次 数 究 竟 要 多 到 怎 样 的 程 度 才 能 算 很 多 定 义 中 没 有 说 明 ; 又 如 定 义 中 的 摆 动 又 如 何 理 解, 也 没 有 数 学 说 明, 再 如 定 义 中 的 p 又 如 何 确 定? 不 同 的 人 可 能 会 确 定 不 同 的 值 这 样, 一 个 事 件 将 有 多 个 概 率 例 如, 在 表 桘 中, 正 面 出 现 的 频 率 显 然 在 0 5 附 近 摆 动, 因 此 可 以 认 为 正 面 出 现 的 概 率 为 0 5 但 是 由 于 硬 币 不 会 绝 对 均 匀 的, 也 可 以 认 为 正 面 出 现 的 概 率 为 或 因 此, 概 率 的 上 述 3 个 定 义 都 有 缺 陷, 与 其 说 它 们 是 定 义, 不 如 说 它 们 仅 是 对 不 同 的 情 况 给 出 概 率 的 3 种 计 算 方 法 所 以 我 们 有 必 要 给 出 概 率 的 一 个 严 密 的 对 各 种 情 况 都 适 用 的 定 义, 以 使 得 概 率 论 这 座 大 厦 有 牢 固 的 基 础 20 世 纪 30 年 代 初, 冯 米 富 斯 (R Vo Mises) 给 出 样 本 空 间 的 概 念, 使 得 有 可 能 把 概 率 的 严 密 的 数 学 理 论 建 立 在 测 度 论 上 20 世 纪 30 年 代 中 期 柯 尔 莫 哥 洛 夫 (A N Kolmogorov) 以 上 述 3 个 定 义 的 性 质 为 背 景 给 出 概 率 的 严 密 的 公 理 化 定 义 定 义 7 设 (Ω,F) 为 一 个 可 测 空 间, P 为 定 义 于 F 上 的 实 值 集 合 函 数, 如 果 P 满 足 下 列 3 个 条 件 : (i) 对 每 个 A F, 有 P ( A) 0; (ii) P (Ω) ; (iii) 如 果 A i F, i,2,3,, 且 当 i j 时, A i A j 7

28 ?, 则 P( i A i) i P( A i) 那 么, 就 称 P 为 概 率 测 度, 简 称 为 概 率 一 般 把 Ω,F, P 写 在 一 起 成 (Ω,F,P), 并 称 (Ω,F,P) 为 概 率 空 间 以 后 总 用 Ω 表 示 样 本 空 间, 用 F 表 示 Ω 中 的 固 定 的 事 件 域, 用 P 表 示 相 应 于 Ω 与 F 的 概 率 此 定 义 的 3 个 条 件 称 为 3 个 公 理 这 3 个 公 理 分 别 称 为 概 率 的 非 负 性 规 范 性 与 完 全 可 加 性 ( 或 可 列 可 加 性 ) 这 样 定 义 的 概 率 P 有 如 下 性 质 : (i) ( 不 可 能 事 件? 的 概 率 为 零 ) P (? ) 0 (ii) ( 有 限 可 加 性 ) 设 A i i j 时, A i A j?, 则 P( B) P( i A i) F, i,2,,, 且 当 i P( A i) ; (iii) ( 对 立 事 件 概 率 公 式 ) 设 A F, 则 P( 珚 A) - P( A) (iv) ( 正 常 差 概 率 公 式 ) 设 A, B F, 且 A B, 则 P( B - A) P( B) - P( A) (v) ( 单 调 性 ) 设 A, B F, 且 A B, 则 P( A) (vi) ( 有 界 性 ) 设 A F, 则 0 P ( A) (vii) ( 加 法 公 式 ) 设 A i F, i,2,,, 则 P( i A i) i P( A i) - P( A i A j) + P( A i A j A k ) i < j i < j < k - +(-) - P( A A 2 A ) 特 别 P( A A 2) P( A )+ P( A 2 )- P( A A 2 ) 8

29 概 率 论 篇 P( A A 2 A 3) 3 P( A i) i - P( A A 2 )- P( A A 3) - P( A 2 A3 )+ P( A A 2 A 3) (viii) ( 半 有 限 可 加 性 ) 设 A i F, i,2,,, 则 P( i A i) i P( A i) (ix) ( 半 完 全 可 加 性 ) 设 A i F, i,2,3,, 则 P( i 证 明 见 参 考 文 献 [4] A i) i P( A i) 概 率 的 公 理 化 定 义 中 没 有 要 求 定 义 于 F 上 的 实 值 集 合 函 数 P 满 足 有 界 性 与 有 限 可 加 性, 为 什 么? 这 是 因 为 有 界 性 与 有 限 可 加 性 可 以 由 3 个 公 理 推 导 出 来, 而 且, 一 个 概 念 的 定 义 ( 自 然 ) 要 求 所 满 足 的 条 件 越 少 越 好, 这 样 才 便 于 应 用 设 想, 如 果 一 个 定 义 要 求 满 足 0 个 条 件, 则 每 次 应 用 前 都 要 逐 一 验 证 这 0 个 条 件 是 否 满 足 ( 如 果 不 满 足, 则 不 能 应 用 该 定 义 ), 这 将 是 很 麻 烦 的 事 情 其 次, 概 率 的 公 理 化 定 义 是 严 密 的 数 学 定 义, 且 对 试 验 不 作 任 何 要 求, 我 们 很 自 然 地 会 问, 前 述 的 三 个 定 义 是 否 可 以 不 要 了? 不 可 以 这 是 因 为 公 理 化 定 义 虽 然 在 数 学 上 很 严 密, 但 是 它 没 有 给 出 事 件 概 率 的 计 算 方 法 要 计 算 一 个 具 体 事 件 的 概 率, 还 得 根 据 不 同 的 情 况, 利 用 上 述 3 个 定 义 之 一 来 计 算 另 一 个 需 要 说 明 的 是 概 率 的 公 理 化 定 义 不 是 唯 一, 它 有 很 多 等 价 定 义 由 有 限 可 加 性 得 P(? ) + P(? ) ( +) i P(? ), 即 P(? ) 0, 所 以 P(? ) 0, 又 对 任 意 事 件 A F, 由 单 调 性, 有 P( A) P(? ), 从 而 P( A) 0, 即 由 有 限 可 9

30 加 性 与 单 调 性 可 以 推 导 出 非 负 性 也 即 公 理 化 定 义 中 的 非 负 性 ( 公 理 ) 可 用 有 限 可 加 性 与 单 调 性 来 替 换 于 是 得 如 下 等 价 定 义 : 定 义 8 设 (Ω,F) 为 一 可 测 空 间, P 为 定 义 于 F 上 的 实 值 集 合 函 数 如 果 F 满 足 : (i) 如 果 A, B F, 且 A B, 则 P ( A) P ( B) (ii) 如 果 A i F, i,2,,, 且 当 i j 时, A i A j?, 则 P( i A i) i P( A i) (iii) 如 果 A i F, i,2,3,, 且 当 i j 时, A i A j?, 则 (iv) P( Ω) P( i A i) i 则 称 P 为 概 率 测 度, 简 称 为 概 率 由 参 考 文 献 [4] 有 如 下 结 论 : P( A i) 设 P 为 定 义 于 事 件 域 F 上 的 具 有 有 限 可 加 性 的 非 负 实 值 集 合 函 数, 且 P (Ω), 则 下 列 5 个 条 件 等 价 : 则 (i) P 具 有 完 全 可 加 性 ( 即 P 是 概 率 测 度 ) (ii) P 具 有 下 连 续 性 即 如 果 A F,,2,, 且 A A + lim P( A ) P( lim A ) P( A ) (iii) P 具 有 上 连 续 性 即 如 果 A F,,2,, 且 A A +, 则 lim P( A ) P( lim A ) P( A ) (iv) P 在? 处 连 续 即 如 果 A F,,2,, A 0

31 概 率 论 篇 A + 且 lim A?, 则 lim P( A ) 0 (v) P 具 有 连 续 性 即 如 果 A F,,2,, 且 A 存 在, 则 lim P( A ) P( lim A ) 由 此 结 论 可 知, 概 率 的 公 理 化 定 义 至 少 有 0 个 不 同 的 等 价 定 义, 这 里 就 不 一 一 写 出 来 了 显 而 易 见, 在 这 0 个 不 同 的 定 义 中, 定 义 7 比 较 简 洁 所 以, 在 一 般 文 献 中 只 给 出 定 义 7 3 三 个 孩 子 都 是 女 孩 的 概 率 例 老 张 的 妻 子 一 胎 生 了 3 个 孩 子, 已 知 老 大 是 女 孩, 求 另 两 个 也 都 是 女 孩 的 概 率 ( 假 设 男 孩 女 孩 出 生 率 相 同 ) 解 这 是 一 个 古 典 概 率 问 题 3 个 孩 子 的 所 有 可 能 情 况 是 : bbb, bbg, bgb, gbb, bgg, gbg, ggb, ggg, 其 中, b 表 示 男 孩, g 表 示 女 孩, bgb 表 示 老 大 与 老 三 都 是 男 孩 老 二 是 女 孩, 其 他 类 似 用 A 表 示 老 大 是 女 孩 这 一 事 件, 用 B 表 示 三 个 孩 子 都 是 女 孩 这 一 事 件 则 A 由 4 个 样 本 点 组 成, B 由 个 样 本 点 组 成, 即 A { gbb, gbg, ggb, ggg}, B {ggg}, 而 所 求 概 率 是 在 A 发 生 的 条 件 下 B 发 生 的 概 率, 一 般 记 此 概 率 为 P ( B A), 称 为 A 发 生 下 B 发 生 的 条 件 概 率 因 为 在 A 发 生 的 条 件 下, 样 本 空 间 就 是 A, 由 概 率 的 古 典 定 义 知, 所 求 概 率 为 4, 即 P ( B A) 4 如 果 去 掉 条 件 A, 即 如 果 不 知 老 大 是 男 还 是 女, 这 时 样 本 空 间 Ω 由 8 个 样 本 点 组 成, 即 Ω {bbb, bbg, bgb, gbb,

32 bgg, gbg, ggb, ggg}, 且 事 件 A 与 B 都 不 变 由 概 率 的 古 典 定 义 得 P( A) 4 8,P( B) 8 又 因 为 B 是 A 的 子 事 件, 即 B A 所 以 A 与 B 的 积 ( 交 ) 事 件 为 B, 即 AB B 从 而 P ( AB) P ( B) 8, 于 是 得 P( B A) P( AB)/ P( A) 这 个 等 式 启 发 我 们 引 入 如 下 的 条 件 概 率 的 定 义 定 义 9 设 (Ω,F, P) 为 一 个 概 率 空 间, A, B F, 且 P ( A )>0, 则 在 P( AB) P( A), 并 记 为 P( B A), 即 P( B A) A 发 生 下 B 发 生 的 条 件 概 率 定 义 为 P( AB) P( A) 由 此 定 义 的 条 件 概 率 满 足 概 率 的 3 个 公 理, 即 设 (Ω,F, P) 为 一 概 率 空 间, A F, P ( A) (i) 对 每 个 B F, 有 P ( B A) 0 (ii) P (Ω A) >0, 则 (iii) 如 果 Bi?, 则 F, i,2,3,, 且 当 i j 时, BiBj P( Bi A) i i P( Bi A) P( AB) 证 明 :(i ) 因 为 由 定 义 有 P ( B A ) P( A), 又 P( A) >0, 再 由 概 率 的 非 负 性 知 P ( AB) 0, 所 以 P( B A) 0 所 以 (ii) 因 为 任 意 事 件 都 是 样 本 空 间 ( 必 然 事 件 ) 的 子 事 件, 2

33 概 率 论 篇 P (Ω A) P (ΩA) P ( A) P ( A) P ( A) (iii) 因 为 当 i j 时, B i 与 B j 互 斥, 即 B ib j?, 所 以 B i AB j A?, 即 ( i B i) A i B i A 与 B j A 互 斥, 从 而 由 定 义 9 与 ( B i A), 得 P(( B P( Bi A) i i) A) i P( A) i P( Bi A) P( A) P( B i A) i P( A) i P( B i A) 由 于 条 件 概 率 满 足 概 率 的 3 个 公 理, 所 以 凡 概 率 具 有 的 性 质 条 件 概 率 也 具 有 和 条 件 概 率 有 关 的 有 3 个 非 常 有 用 的 公 式, 即 乘 法 公 式, 全 概 率 公 式 与 贝 叶 斯 (Bayes) 公 式 现 分 别 介 绍 如 下 设 (Ω,F, P) 为 一 概 率 空 间, A i F, i,2,,, (i) 如 果 P ( A A 2 A -) > 0, 则 P( A A 2 A ) P( A ) P( A 2 A ) P( A 3 A A 2) P( A A A 2 A -) (ii) 如 果 当 i j 时, A i A j?, P ( A i )>0, i, 2,,, 且 A i Ω, 则 对 于 任 意 B F, 有 i P( B) P( A i) P( B Ai) i (iii) 如 果 B F, P ( B ) > 0, P ( A i ) > 0, i, 2,,, 当 i j 时, A i A j?, 且 i P( A j B) i P( A j) P( B Aj ) P( A i ) P( B Ai) A i Ω, 则,j,2,, 3

34 如 果 读 者 对 这 3 个 公 式 的 证 明 感 兴 趣, 可 参 考 文 献 [4] 4 有 限 不 放 回 抽 样 例 2 00 件 产 品 中 有 25 件 次 品, 随 机 不 放 回 ( 依 次 ) 抽 出 4 件, 求 仅 后 两 件 是 次 品 的 概 率 与 有 两 件 次 品 的 概 率 解 在 此 问 题 中, 如 果 将 产 品 换 成 球, 次 品 换 成 黑 球, 件 换 成 个, 抽 换 成 摸, 就 变 成 无 放 回 摸 球 问 题 设 A 仅 后 两 件 是 次 品, B 有 两 件 是 次 品 并 设 想 产 品 ( 球 ) 都 是 编 了 号 的, 即 可 辨 别 的 此 为 古 典 概 率 问 题 由 于 抽 样 是 不 放 回 的, 第 次 抽 样 有 00 种 可 能 抽 法, 第 2 次 有 99 种 可 能 抽 法, 第 3 次 有 98 种 可 能 抽 法, 第 4 次 有 97 种 可 能 抽 法, 所 以 样 本 空 间 Ω 中 的 样 本 点 为 P , 现 在 来 求 A 与 B 中 的 样 本 点 数 由 于 A 表 示 前 2 次 均 抽 到 正 品 且 后 2 次 均 抽 到 次 品, 即 从 75 件 正 品 中 不 放 回 抽 2 件 ( 有 P 2 75 种 可 能 抽 法 ), 再 从 25 件 次 品 中 不 放 回 抽 2 件 ( 有 P 2 25 种 可 能 抽 法 ), 故 A 中 的 样 本 点 数 为 P 2 75 P 2 25 由 于 B 表 示 抽 出 的 4 件 中 有 两 件 次 品 哪 2 件? 也 可 能 前 2 件, 也 可 能 后 2 件, 也 可 能 中 间 2 件, 等 等, 这 共 有 C 2 4 种 可 能 ( C 2 4 4! 2!(4-2)! 6), 对 于 每 一 种 可 能 ( 不 妨 设 后 2 件 是 次 品 而 前 2 件 是 正 品 ), 均 有 P 2 75 P 2 25 方 式 实 现, 由 排 列 组 合 中 的 乘 法 原 理, B 中 的 样 本 点 数 为 C 2 4 P 2 75 P 2 25 再 由 概 率 的 古 典 定 义 得 P( A) A 中 样 本 点 数 Ω 中 样 本 点 数 P2 75 P 2 25 P P( B) C 2 4 P 2 75 P 2 25/ P 4 00 C 2 75 C 2 25/ C

35 概 率 论 篇 由 C 2 4 P 2 75 P 2 25/ P k 00 C 2 75 C 2 25/ C 4 00, 一 般 地 有 C k P - k 75 P 25/ P 00 C - k 75 C k 25/ C 00 (0 k ) 由 此 可 知, 在 有 限 不 放 回 抽 样 中, 如 果 所 论 事 件 与 顺 序 无 关 ( 如 事 件 B), 则 可 以 用 组 合 数 来 计 算 其 概 率, 也 可 以 用 排 列 种 数 计 算 其 概 率, 如 果 所 论 事 件 与 顺 序 有 关 ( 如 事 件 A), 则 必 须 用 排 列 种 数 计 算 其 概 率 5 几 次 试 开 能 打 开 大 门 例 3 某 人 有 6 把 钥 匙, 其 中 3 把 大 门 钥 匙, 但 是 他 忘 记 了 哪 3 把 是 大 门 钥 匙, 只 好 不 放 回 随 机 试 开 求 他 第 k ( k 4) 次 才 打 开 大 门 的 概 率 与 在 3 次 ( 试 开 ) 内 打 开 大 门 的 概 率 解 如 果 把 钥 匙 换 成 球, 大 门 钥 匙 换 成 黑 球, 则 上 问 题 就 变 为 如 下 的 摸 球 问 题 : 一 袋 中 有 6 个 球, 其 中 有 3 个 是 黑 球, 现 不 放 回 依 次 从 袋 中 摸 球, 求 下 列 事 件 的 概 率 : A k 第 k ( k 4) 次 才 摸 到 黑 球 ; B 在 前 3 次 内 摸 到 黑 球 此 是 古 典 概 率 问 题 由 于 A k 表 示 第 k 次 才 摸 到 黑 球, 所 以 前 k - 次 没 摸 到 黑 球, 记 此 事 件 为 B k, 则 由 有 限 不 放 回 抽 样 与 B k 和 顺 序 无 关 知 P( B k ) Ck C k - 6 第 k 次 才 打 开 大 门 的 概 率 为 : P( A k ) P( Bk A k) P( Bk ) P( A k Bk), 再 由 乘 法 公 式 知, 又 因 在 前 k - 次 没 摸 到 黑 球 的 条 件 下, 第 k 次 摸 到 黑 球 的 条 5

36 件 概 率 P( A k B k) 为 P( A k ) Ck - 3 C6 k - C 3 C 6- k k, 故 3 7-k (6 - k)!,k,2,3,4 40(4 - k)! 即 P( A ) 3 3,P( A 2),P( A3 ),P( A4 ) 因 为 B 表 示 在 3 次 试 开 内 打 开 大 门, 它 包 含 了 在 第 次 打 开, 第 2 次 才 打 开 与 第 3 次 才 打 开, 故 B 3 k B k A k 又 因 为 B, B 2, B 3 是 互 斥 ( 两 两 不 同 时 发 生 ) 的 3 个 事 件, 所 以 B A, B2 A 2, B3 A 3 也 是 互 斥 的 3 个 事 件, 由 概 率 有 限 可 加 性 与 乘 法 公 式 ( 即 全 概 率 公 式 ), 得 P( B) P( Bk A k) P( Bk A k ) k k k P( Bk ) P( A k Bk ) 用 对 立 事 件 概 率 公 式 求 P( B) 更 简 单 因 为 珚 B 为 B 的 对 立 事 件, 表 示 在 前 3 次 均 没 摸 到 黑 球, 由 有 限 不 放 回 抽 样, 以 及 B 珚 与 顺 序 无 关, 所 以 P( 珚 B) 为 C / C , 从 而 P( B) - P( 珚 B) 9 20 更 一 般 地, 如 果 把 6 换 成 N, 把 3 换 成 ( < N), 则 由 全 概 率 公 式, 这 时 B 的 概 率 为 N - N - C k N - - P( B) P( B k ) P( A k B k) k k C k - N 由 对 立 事 件 概 率 公 式, 这 时 B 的 概 率 为 P( B) - P( B) 珚 - C N - N 于 是, 得 如 下 恒 等 式 C C N - k + 6

37 概 率 论 篇 N - k C k - N - C C k - N C N - k + - C N N - ( 令 k - m) N - 即 m 0 C m N - C C m N C N - m ( ) 6 常 见 离 散 型 分 布 的 背 景 二 项 分 布 几 何 分 布 帕 斯 卡 (Pascal) 分 布 与 超 几 何 分 布 是 几 个 常 见 的 离 散 型 分 布, 也 是 非 常 重 要 的 几 个 分 布 产 生 这 几 个 分 布 的 直 观 背 景 就 是 如 下 的 摸 球 问 题 例 4 一 袋 中 有 N 个 白 球 M 个 黑 球 现 有 放 回 从 袋 中 摸 球, 求 : () 在 次 摸 球 中 恰 好 摸 到 k ( k 0,,, ) 个 黑 球 的 概 率 (2) 第 k 次 才 摸 到 黑 球 的 概 率 (3) 第 r 次 摸 到 黑 球 是 在 第 k 次 摸 球 时 实 现 的 概 率 ( r k) (4) 如 果 摸 球 是 不 放 回 的, 求 在 次 摸 球 中 恰 好 摸 到 k ( k 0,,2,, mi ( M,)) 个 黑 球 的 概 率 解 () 由 于 袋 中 有 N + M 个 球 且 摸 球 是 有 放 回 的, 故 每 次 摸 球 都 有 N + M 种 可 能 ( 这 里 设 想 球 是 编 了 号 的, 即 可 辨 的 ) 现 设 上 述 所 论 4 个 事 件 分 别 为 A, B, C, D 对 于 A 只 需 考 虑 前 次 摸 球 次 有 放 回 摸 球, 共 有 ( N + M) 种 可 能, 即 样 本 空 间 中 这 时 有 ( N + M ) 个 样 本 点 由 于 A 表 示 次 摸 球 中 恰 好 摸 到 k 个 黑 球, 这 有 C k 种 不 同 情 况, 对 于 每 种 情 况 ( 如 前 k 次 均 摸 到 黑 球 后 - k 均 摸 到 白 球 ) 都 有 M k N - k 种 可 能, 又 因 C k 种 情 况 ( 事 件 ) 是 两 两 互 斥 的, 故 7

38 A 中 有 C k M k N - k 个 样 本 点, 再 由 古 典 概 率 定 义 得 P( A) C k M k N - k ( N + M) C k p k ( - p) - k,k 0,,2,, M 其 中 p N + M 由 于 C k p k ( - p) - k 是 二 项 展 开 式 ( p + - p) k 0 概 率 C k p k ( - p) - k 的 一 般 项, 所 以 称 C k p k ( - p) - k 为 二 项 (2) 因 为 B 表 示 第 k 次 才 摸 到 黑 球, 所 以 只 需 考 虑 前 k 次 摸 球, 这 有 ( N + M) k 种 可 能 ( 即 这 时 样 本 空 间 中 有 ( N + M) k 个 样 本 点 ), 又 前 k - 次 均 摸 到 白 球 ( 有 N k - 种 可 能 ), 第 k 次 才 摸 到 黑 球 ( 有 M 种 可 能 ), 故 B 中 有 N k - M 个 样 本 点, 由 古 典 概 率 定 义 知 P( B) k,2,3,, 其 中 p M N + M N k - M ( N + M) k (- p) k - p, 由 于 ( - p) k - p 是 几 何 级 数 ( - p) k - p 的 一 般 项, k 故 称 它 为 几 何 概 率 (3) 由 于 C 表 示 第 r 次 摸 到 黑 球 是 在 第 k 次 摸 球 时 ( 这 时 只 需 考 虑 前 k 次 摸 球, 且 样 本 空 间 中 有 ( N + M ) k 个 样 本 点 ) 实 现, 第 k 次 应 摸 到 黑 球, 这 有 M 种 可 能, 而 前 k - 次 摸 球 中 有 r - 次 摸 到 黑 球, 由 二 项 概 率 的 推 导, 这 有 C r k -M r - N k - r 种 可 能, 故 C 中 有 C r - k - r M k - N k - r M 个 样 本 点, 再 由 古 典 概 率 定 义 知, P ( C) Cr - k - M r N k - r ( N + M) k C r - k - ( - p) k - r, k r, r +,, 其 中 p p r M N + M 一 般 记 q 8

39 概 率 论 篇 - p, 因 为 ( - q) - r t 0 C t r + t - q t [9] ( 令 k r + t) C r - k - q k - r k r 所 以 称 C r - k -p r q k - r 为 负 二 项 概 率, 也 叫 帕 斯 卡 概 率 (4) 由 于 D 表 示 在 不 放 回 摸 球 时, 摸 出 的 个 球 中 恰 有 k 个 黑 球, 由 有 限 不 放 回 抽 样 且 D 与 顺 序 无 关, 故 P( D) C k M C - k N C N + M, k 0,,2,, mi (, M), 称 此 概 率 为 超 几 何 概 率 上 述 4 个 概 率 中 的 k ( 在 摸 球 之 前 ) 实 际 是 随 机 变 量 ( 一 般 用 X 表 示 ) 由 离 散 型 随 机 变 量 的 定 义 知 : () 如 果 随 机 变 量 X 取 值 k 的 概 率 为 C k p k q - k, 且 k 0,,,, 即 P { X k} C k p k q - k, 且 k 0,,,, 则 称 X 服 从 二 项 分 布, 记 为 X ~ B(, p) (2) 如 果 随 机 变 量 X 取 值 k 的 概 率 为 q k - p, 且 k, 2,3,, 即 P{ X k} q k - p, k,2,3,, 则 称 X 服 从 几 何 分 布, 记 为 X ~ Geo( p) (3) 如 果 随 机 变 量 X 取 值 k 的 概 率 为 C r - k - p r q k - r, 且 k r,r +,, 即 P { X k} C r - k - p r q k - r, k r, r +,, 则 称 X 服 从 负 二 项 分 布 C k M C N - k (4) 如 果 随 机 变 量 X 取 值 k 的 概 率 为 C N + M,2,, mi (, M ), 即 P { X k} Ck M C - k N C N + M, 且 k 0,, k 0, 9

40 ,2,, mi (, M), 则 称 X 服 从 超 几 何 分 布 上 述 分 布 中 的 q - p,0< p < 由 此 知 上 述 四 个 离 散 型 分 布 来 自 上 述 的 摸 球 问 题 当 二 项 分 布 中 的, 即 X ~ B (, p) 时, 称 X 服 从 0- 分 布, 因 为 这 时 X 只 取 0 与 两 个 值 当 负 二 项 分 布 中 的 r 时, 负 二 项 分 布 就 变 为 几 何 分 布, 即 几 何 分 布 是 负 二 项 分 布 的 特 例 在 实 际 当 中 还 有 一 个 重 要 离 散 分 布, 就 是 泊 松 (Poisso) 分 布, 它 是 作 为 二 项 分 布 的 极 限 分 布 引 入 的, 有 兴 趣 的 读 者 可 参 阅 参 考 文 献 [4] 7 哪 个 概 率 大 例 5 从 0,,2,,9 这 十 个 数 码 中 不 放 回 随 机 取 4 个 数 码 能 排 成 一 个 4 位 偶 数 的 概 率 p 与 从 0,,2,,9 这 十 个 数 码 中 不 放 回 随 机 取 5 个 数 码 能 排 成 一 个 5 位 偶 数 的 概 率 p2 哪 个 大? 解 为 回 答 这 个 问 题, 先 要 计 算 出 p 与 p 2 现 先 计 算 p 显 然, 样 本 空 间 中 的 样 本 点 数 为 P 4 0 为 了 使 取 出 的 4 个 数 字 能 排 成 一 个 4 位 偶 数, 末 位 数 应 取 0,2,4,6,8 之 一, 首 位 不 能 是 0 ( 否 则 就 不 是 数 ) 如 果 末 位 是 0, 其 他 3 位 上 可 以 是 其 余 九 个 数 码 中 任 意 3 个, 这 有 P 3 9 P 种 排 法 如 果 末 位 不 是 0, 则 末 位 只 能 是 2,4,6,8 之 一, 这 有 P 4 种 取 法, 首 位 有 P 8 种 取 法, 中 间 两 位 上 可 以 是 其 余 8 个 数 码 中 任 意 2 个 数 码, 这 有 P 2 8 种 取 法, 再 由 排 列 组 合 的 乘 法 原 理, 所 论 事 件 中 有 P 8 P 2 8 P 4 个 样 本 点 故 p (P 3 9 P + P 8 P 2 8 P 4 )/ P

41 概 率 论 篇 类 似 地 p2 ( P 4 9 P + P 8 P 3 8 P 4) /P 即 p p 2, 也 就 是 取 出 的 4 个 数 码 能 排 成 一 个 4 位 偶 数 的 概 率 与 取 出 的 5 个 数 码 能 排 成 一 个 5 位 偶 数 的 概 率 相 等 这 不 得 不 使 人 惊 奇 很 自 然 地, 我 们 会 问 : 从 0,,2,,9 这 0 个 数 码 中 不 放 回 随 机 取 i (2 i <0) 个 数 码 能 排 一 个 i 位 偶 数 的 4 概 率 是 否 也 等 于 90? 答 案 是 肯 定 的 不 仅 如 此 而 且 取 出 的 i (2 i <0) 个 数 码 能 排 成 一 个 i 位 奇 数 的 概 率 也 都 相 等, 都 等 于 4 9 其 证 明 是 简 单 的 类 似 地, 能 排 成 一 个 i 位 偶 数 的 概 率 为 ( P i - 9 P + P 8 P i - 8 P 4)/ P i 0 9 Pi P 8 P8 i -2 P 4 90 P i -2 8 能 排 成 一 个 i 位 奇 数 的 概 率 为 ( P 8 P i -2 8 P 5 )/ P i 0 40 Pi P i 由 此, 我 们 会 进 一 步 地 问 : 从 00, 0, 02,,99 这 00 个 数 码 中 不 放 回 随 机 取 i (2 i <00) 个 数 码, 这 i 个 数 码 能 排 成 一 个 2 i 位 偶 数 的 概 率 是 多 大? 能 排 成 一 个 2 i 位 奇 数 的 概 率 是 多 大? 为 回 答 这 两 个 问 题, 设 p p 2 为 所 求 的 两 个 概 率 由 于 这 时 样 本 点 总 数 为 P i 00, 前 两 位 不 能 是 00,0,,09 而 对 于 p, 其 有 利 场 合 数 ( 所 论 事 件 中 样 本 点 数 ) 由 两 部 分 组 成, 一 部 分 是 P 90 P i P 5 ( 倒 数 第 二 位 是 0, 末 位 是 0,2,4, 6,8 之 一 ) 另 一 部 分 是 P 89 P i P 45 ( 倒 数 第 二 位 不 是 0, 而 是,2,,9 之 一, 末 位 是 0,2,4,6,8 之 一 ) 故 p (P 89 P i P 45 + P 90 P i P 5 )/ P i 而 对 于 p 2, 其 有 利 场 合 数 也 为 P 90 P i P 5 + P 89 P i P 45, 所 以 p 即 p p , 也 即 能 排 成 一 个 2 i 位 偶 数 2

42 的 概 率 与 能 排 成 一 个 2 i 位 奇 数 的 概 率 相 等, 都 是 0 45 这 更 使 人 惊 奇 更 进 一 步, 我 们 会 问 : 从 000,00,002,, 999 这 000 个 数 码 中 不 放 回 随 机 取 i (2 i < 000) 个 数 码, 这 i 个 数 码 能 排 成 一 个 3 i 位 偶 数 的 概 率 与 能 排 成 一 个 3 i 位 奇 数 的 概 率 是 否 都 等 于 0 45? 答 案 是 肯 定 的 依 此 类 推, 从 00 j 00, 00 0, 个 0,99 99 中 不 放 回 随 机 取 i (2 i <0 j ) 个 数 码, 这 i 个 数 j 个 9 码 能 排 成 一 个 ji 位 偶 数 的 概 率 与 能 排 成 一 个 ji 位 奇 数 的 概 率 也 都 等 于 0 45 (2 i <0 j ) 证 明 与 上 述 类 似, 这 里 不 再 详 述 8 分 赌 注 问 题 分 赌 注 问 题 又 称 为 分 点 问 题 或 点 问 题 在 概 率 论 中 它 是 个 极 其 著 名 的 问 题 在 历 史 上 它 对 概 率 论 这 门 学 科 的 形 成 和 发 展 曾 起 过 非 常 重 要 的 作 用 654 年 法 国 有 个 叫 De Mere 的 赌 徒 向 法 国 的 天 才 数 学 家 帕 斯 卡 (Bvlaise Pascal 623 ~ 662) 提 出 了 如 下 分 赌 注 的 问 题 : 甲 乙 两 个 赌 徒 下 了 赌 注 后, 就 按 某 种 方 式 赌 了 起 来, 规 定 : 甲 乙 谁 胜 一 局 谁 就 得 一 分, 且 谁 先 得 到 某 个 确 定 的 分 数 谁 就 赢 得 所 有 赌 注 但 是 在 谁 也 没 有 得 到 确 定 的 分 数 之 前, 赌 博 因 故 中 止 了 如 果 甲 需 再 得 分 才 赢 得 所 有 赌 注, 乙 需 再 得 m 分 才 赢 得 所 有 赌 注, 那 么, 如 何 分 这 些 赌 注 呢? 帕 斯 卡 为 解 决 这 一 问 题, 就 与 当 时 享 有 很 高 声 誉 的 法 国 数 学 家 费 尔 马 (Pierre de Fermat) 建 立 了 联 系 当 时, 荷 兰 年 轻 的 物 理 学 家 ( 约 25 岁 ) 惠 更 斯 (C Huygas) 知 道 了 这 事 后, 也 赶 到 巴 黎 参 加 他 们 的 讨 论 这 样 一 来, 使 得 当 时 世 界 上 很 多 22

43 概 率 论 篇 有 名 的 数 学 家 对 概 率 论 产 生 了 浓 厚 的 兴 趣, 从 而 使 得 概 率 论 这 门 学 科 得 到 了 迅 速 的 发 展 后 来 人 们 把 帕 斯 卡 与 费 尔 马 建 立 联 系 的 日 子 (654 年 7 月 29 日 ) 作 为 概 率 论 的 生 日, 公 认 帕 斯 卡 与 费 尔 马 为 概 率 论 的 奠 基 人 如 何 解 决 这 一 问 题 呢? 即 如 何 合 理 地 分 这 些 赌 注 呢? 帕 斯 卡 提 出 了 一 个 重 要 思 想 : 赌 徒 分 得 赌 注 的 比 例 应 该 等 于 从 这 以 后 继 续 赌 下 去 他 们 能 获 胜 的 概 率 甲 乙 两 人 获 胜 的 概 率 又 应 如 何 求 呢? ( 实 际 只 需 求 他 们 中 一 人 获 胜 的 概 率 ) 首 先, 要 作 必 要 的 假 设, 假 设 : 甲 胜 一 局 的 概 率 为 一 常 数 p, 乙 胜 一 局 的 概 率 为 - p Δ q ; 2 各 局 赌 博 ( 无 论 谁 胜 ) 均 互 不 影 响 显 然 这 两 个 假 设 是 近 似 的, 但 是 也 是 合 理 的 其 次, 根 据 帕 斯 卡 的 思 想 和 上 述 的 两 个 假 设, 可 把 分 赌 注 问 题 归 纳 成 如 下 的 一 般 问 题 : 进 行 某 种 独 立 重 复 试 验, 设 每 次 试 验 成 功 的 概 率 为 p, 失 败 的 概 率 为 - p 问 在 m 次 失 败 之 前 取 得 次 成 功 的 概 率 ( 即 甲 获 胜 的 概 率 ) 是 多 少? 这 问 题 也 等 价 于 如 下 有 放 回 摸 球 问 题 : 从 装 有 a 个 白 球 b 个 黑 球 的 袋 中 有 放 回 摸 球, 求 在 摸 到 m 次 黑 球 之 前 摸 到 次 白 球 的 概 率 这 里 把 摸 到 白 球 概 率 为 p 球 理 解 为 失 败 ( 概 率 为 - p) a a + b 理 解 为 成 功, 摸 到 黑 帕 斯 卡 费 尔 马 与 惠 更 斯 分 别 给 出 这 一 问 题 的 三 种 不 同 解 法 我 们 先 介 绍 帕 斯 卡 的 解 法 23

44 为 了 使 次 成 功 发 生 在 m 次 失 败 之 前, 必 须 且 只 需 在 前 + m - 次 试 验 中 至 少 成 功 次 因 为 如 果 在 前 + m - 次 试 验 中 至 少 成 功 次, 那 么, 在 前 m + - 次 试 验 中 至 多 失 败 m - 次, 于 是 次 成 功 发 生 在 m 次 失 败 之 前 ; 另 一 方 面, 如 果 在 前 m + - 次 试 验 中 成 功 次 数 少 于, 则 在 前 m + - 试 验 中 失 败 次 数 至 少 为 m 次, 这 样 在 m 次 失 败 之 前 就 得 不 到 次 成 功 由 二 项 概 率 公 式, 在 m + - 次 试 验 中 有 k 次 成 功 的 概 率 为 C k m + - p k ( - p) m + -- k, 故 在 前 m + - 次 试 验 中 至 少 成 功 次 的 概 率 [ 记 为 P (, m)] 为 + m - P(,m) C k + m - p k ( - p) + m - - k k 惠 更 斯 的 解 法 : ( 2) 无 论 次 成 功 发 生 在 m 次 失 败 之 前, 还 是 m 次 失 败 发 生 在 次 成 功 之 前, 试 验 最 多 进 行 + m - 次 又 次 成 功 发 生 在 m 次 失 败 之 前 ( 即 甲 获 胜 ) 进 行 试 验 次 数 可 能 是 + +2,, + m - 如 果 次 成 功 发 生 在 m 次 失 败 之 前 是 在 第 k ( k + m -) 次 试 验 实 现 则 第 k 次 试 验 一 定 是 成 功, 且 前 k - 次 试 验 中 应 有 - 次 成 功, k - 次 失 败, 仍 由 二 项 概 率 公 式, 得 只 需 进 行 k 次 实 验 的 概 率 为 C - k - p - ( - p) k - p p C - k -( - p) k -,k, +,, + m -, 从 而 次 成 功 发 生 在 m 次 失 败 之 前 的 概 率 为 + m - P(,m) p 费 尔 马 的 解 法 : k C - k -( - p) k - ( 3) 仍 设 P (, m) 为 次 成 功 发 生 在 m 次 失 败 之 前 的 概 率 如 果 第 次 试 验 是 成 功 ( 概 率 为 p), 则 为 了 使 次 成 功 24

45 概 率 论 篇 发 生 在 m 次 失 败 之 前, 在 后 面 的 试 验 中 需 且 仅 需 - 次 成 功 发 生 在 m 次 失 败 之 前 ; 如 果 第 次 试 验 是 失 败 ( 概 率 为 - p), 则 为 了 使 次 成 功 发 生 在 m 次 失 败 之 前, 在 后 面 的 试 验 中 需 且 仅 需 次 成 功 发 生 在 m - 次 失 败 之 前 于 是 由 全 概 率 公 式, 得 如 下 二 元 ( 双 变 量 ) 一 阶 差 分 方 程 P(,m) pp( -,m) +(- p) P(,m -),,m 与 边 界 条 件 P(,0) 0,P(0,m),,m 由 于 解 此 差 分 方 程 较 复 杂, 这 里 就 不 去 解 它 了 由 式 ( 2) 与 ( 3) 得 + m - k + m - C k + m - p k ( - p) + m - - k p k C - k -( - p) k - ( 4) 非 常 有 趣 的 是 由 ( 2) ( 3) 与 ( 4) 可 以 得 到 很 多 组 合 公 式 比 如, 令 p 2, 且 m, 则 式 ( 2) 与 ( 3 ) 左 边 都 应 是 2 - C - k - k 2 k, 于 是 得 2 2-2, 而 右 边 分 别 为 k 2 - k C k C k 与 与 2-2 k C - k - 2 k 即 C k 2 -, ( 5) k 2 - 与 C - k - k 2 k -, ( 6) 25

46 令 p 2, m, 则 由 式 ( 4) 得 k 2 - C2 k - C k - - k 令 p 2,, 由 式 ( 4) 得 2 k, ( 7) m k C k m 2 m m k 2 k - 2 m 即 m k 0 C k m 2 m 式 ( 8) 也 可 写 成 : k 0 m 2 m ( + ) m k 0 m,m 0 令 p 3,, 由 式 ( 4) 得 C k m 2 m, 此 即 牛 顿 二 项 展 开 式 : m C k m k m - k k 0 C k m ( 8) ( 9) m k C k m 2 3 m 2 k m 即 m k 0 C k m 2 k 3 2 m ( 0) 令 p 2, m 2, 由 式 ( 4) 得 3 - C k 3 - k C - k - k 2 k 即 t C + t t 0 C t + t - 2 t, ( ) 由 式 ( 4), 当 p 取 其 他 不 同 的 值 且 与 m 之 间 满 足 不 同 的 关 系 时 还 可 得 到 很 多 恒 等 式, 这 里 就 不 再 详 述 了 上 述 的 ( 4) ~ ( ) 诸 式 可 以 说 是 分 赌 注 问 题 的 直 接 副 产 品 下 面 我 们 来 介 绍 分 赌 注 问 题 的 应 用 与 推 广 26

47 概 率 论 篇 应 用 甲 乙 两 队 ( 两 人 ) 进 行 某 种 比 赛, 已 知 每 局 甲 胜 的 概 率 为 0 6, 乙 胜 的 概 率 为 0 4 可 采 用 3 局 2 胜 制 或 5 局 3 胜 制 进 行 比 赛, 问 采 用 哪 一 种 比 赛 制 对 甲 有 利? 这 一 问 题 实 际 上 是 问 采 用 哪 一 种 比 赛 制 甲 赢 乙 的 概 率 较 大? 显 然 要 回 答 这 一 问 题 就 要 分 别 计 算 出 在 3 局 2 胜 制 情 况 下 甲 赢 乙 的 概 率 和 在 5 局 3 胜 制 情 况 下 甲 赢 乙 的 概 率 而 这 两 个 概 率 就 是 分 赌 注 问 题 的 特 殊 情 形, 即 P (2,2) 和 P(3,3), 这 时 p 0 6,- p 0 4 由 式 ( 2) 或 ( 3), 得 P(2,2) P(3,3) 从 而 知, 采 用 5 局 3 胜 制 对 甲 有 利 这 还 表 明 : 如 果 甲 每 局 胜 的 概 率 比 败 的 概 率 大, 则 多 比 赛 几 局 对 甲 是 有 利 的 易 见 P (2,2) 和 P(3,3) 的 一 般 情 况 是 P( +, +)( 0), 而 P( +, +) 是 2 + 局 + 胜 制 下 甲 赢 乙 的 概 率 我 们 知 道 在 有 些 比 赛 中, 比 如 羽 毛 球 ( 乒 乓 球 ) 比 赛 中, 对 每 一 局 来 说, 如 果 打 到 4 (0) 平 比 赛 规 则 还 规 定 : 谁 先 多 得 2 分 谁 将 获 得 那 一 局 的 胜 利, 如 果 甲 得 分 的 概 率 是 p, 失 分 的 概 率 是 - p, 且 每 得 失 分 相 互 独 立, 则 甲 胜 一 局 的 概 率 可 归 结 为 如 下 的 一 般 问 题 : 应 用 2 甲 乙 进 行 某 项 比 赛, 设 甲 得 失 分 的 概 率 分 别 为 p 与 q ( q - p), 且 每 得 失 分 相 互 独 立, 比 赛 规 则 规 定 : 谁 先 得 分 谁 获 胜, 但 是, 如 果 出 现 - 平, 则 这 以 后 谁 比 对 方 多 得 2 分 谁 获 胜, 求 甲 获 胜 的 概 率 我 们 知 道, 甲 可 能 在 出 现 - 平 之 前 获 胜, 也 可 能 在 出 现 - 平 之 后 获 胜, 这 两 个 事 件 分 别 记 为 A 与 B 设 C 表 示 出 现 - 平 这 事 件, 显 然 A 与 B 互 斥, 即 AB?, 且 A + CB 表 示 甲 获 胜 由 有 限 可 加 性 与 乘 法 公 式, 所 求 概 率 为 27

48 P( A + CB) P( A) + P( CB) P( A) + P( CB) P( A) + P( C) P( B C) 因 为 A 表 示 甲 在 失 - 分 之 前 得 分, 由 式 ( 3) 得 2-2 P( A) p C k - - q k - k 因 为 C 表 示 在 2-2 球 中 甲 赢 - 球 ( 得 - 分 ), 由 二 项 概 率 公 式, 得 P( C) C p - q - 为 求 条 件 概 率 P ( B C) ( 记 为 PC ( B)), 设 Di 在 出 现 - 平 以 后 的 两 球 中 甲 赢 i 球 ( 得 i 分 ), i 0,,2 因 为 P( D 0) q 2, P C( B D 0)0, P( D ) C 2 pq, 而 P C ( B D ) 表 示 两 球 中 甲 乙 各 赢 一 球 条 件 ( 即 平 情 况 ) 下 甲 获 胜 的 概 率, 故 P C( B D ) P C ( B) 又 P( D 2) C 2 2 p 2 以 由 全 概 率 公 式, 得 P( B C) PC ( B) 2 P( D i) PC( B Di ) i C 2 pqpc ( B) + C 2 2 p 2 综 上 所 述, 所 求 概 率 为, P C ( B D 2 ), 所 p 2-2pq 2-2 P( A + CB) p C - k - q k - + C p - q - p 2 /( - 2 pq) k ( 2) 在 实 际 生 活 中, 经 常 会 遇 到 实 力 相 差 很 大 的 比 赛 ( 游 戏 ), 比 如, 甲 的 实 力 比 乙 强 得 多, 乙 可 能 会 提 出 如 下 不 公 平 的 比 赛 规 则 ( 否 则 乙 将 不 与 甲 比 赛 ): (i) 甲 在 乙 得 2 分 之 前 得 5 分 甲 胜, 乙 在 甲 得 5 分 之 前 得 2 分 乙 胜 28

49 概 率 论 篇 (ii) 甲 比 乙 多 得 8 分 甲 胜, 乙 比 甲 多 得 4 分 乙 胜 求 甲 胜 的 概 率 规 则 (i) 的 一 般 情 形 是 : 甲 在 乙 得 m 分 之 前 得 分 甲 胜, 乙 在 甲 得 分 之 前 得 m 分 乙 胜, 此 即 是 分 赌 注 问 题 则 由 ( 2), 当 甲 得 失 分 的 概 率 为 0 8 与 0 2 时, 甲 胜 的 概 率 为 6 P(5,2) C60 8 k k k k 5 规 则 (ii) 的 一 般 情 形 是 : 应 用 3 甲 乙 进 行 某 项 比 赛, 设 甲 得 失 分 的 概 率 分 别 为 p 与 q ( q - p), 且 每 得 失 分 相 互 独 立 如 果 比 赛 规 则 为 : 甲 比 乙 多 得 分 甲 胜, 乙 比 甲 多 得 m 分 乙 胜 求 甲 胜 的 概 率 为 求 甲 胜 的 概 率, 设 P( j) 表 示 甲 比 乙 多 得 - j 分 情 况 下 甲 获 胜 的 概 率, j 0,,, + m, 则 显 然 有 P(0), P( + m) 0, 且 所 求 概 率 为 P( ) 由 全 概 率 公 式 得 如 下 一 元 二 阶 齐 次 常 系 数 差 分 方 程 P( j) pp( j -)+ qp( j +) ( 3) 解 此 差 分 方 程 一 般 有 2 种 方 法, 第 种 是 递 推 法, 是 一 般 方 法 第 2 种 是 待 定 常 数 法, 与 解 常 系 数 常 微 分 方 程 类 似 解 法 由 式 ( 3) 得 P( j +)- P( j) p q [ P( j) - P( j -)] ( 递 推 ) p q j [ P() - P(0)] C p q j [ 其 中 C P() - P(0)] 从 而 得 P( j) C p q j - + P( j -) ( 递 推 ) 29

50 C C p q j - + -(p/ q) j -(p/ q) p q j 又 因 P ( + m) 0, P(0), 所 以 p q + + P(0) ( 3 ) + P(0) ( p q) ( 4) + m - P( m + ) - P(0) [ P( j) - P( j -)] j 即 C - 从 而 + m j C p q j - - (p/ q) - (p/ q) + m P( j) - -(p/ q) j -(p/ q) + m C -(p/ q) + m - p/ q j ( p/ q) -(p/ q) + m -(p/ q) + m,( p q) ( 5) 当 p q 时, 由 式 ( 3 ) 得 P( j) Cj + P(0) C( + m) P( + m) - P(0) -,C - j 故 P ( j) - + m, p q 从 而, 所 求 概 率 为 P ( ) 解 法 2 令 P ( j) p ( q m - p m ) q + m - p + m, p q m + m, p q + m λ j, 由 式 ( 3) 得 代 数 方 程 qλ 2 - λ + p 0 ( 6) ( 7) 解 之, 得 λ, λ 2 p/ q, ( p q), 故 其 通 解 为 P ( j) 30

51 概 率 论 篇 j p C + C 2, 由 边 界 条 件 P (0), P ( + m) 0 可 确 q 定 常 数 C C 2, 它 们 分 别 为 C - -(p/ q) + m,c 2 -(p/ q) + m, 于 是 得 式 ( 5) 当 p q 时,λ, λ2, 于 是 P ( j) 的 通 解 为 P( j) A + A 2 j 仍 由 P (0), P ( + m) 0, 得 A, A m, 于 是 得 式 ( 6), 从 而 亦 得 式 ( 7) 有 了 应 用 3 的 结 果 ( 7), 现 在 我 们 可 以 讨 论 应 用 2 的 一 般 情 形 应 用 4 在 应 用 2 中, 如 果 出 现 - 平, 则 这 以 后 谁 比 对 方 多 得 m 分 谁 获 胜 求 甲 获 胜 的 概 率 仍 设 A B 分 别 表 示 在 出 现 - 平 之 前 与 之 后 甲 获 胜 的 事 件, C 表 示 出 现 - 平 这 事 件 则 所 求 概 率 仍 为 P( A + CB) P( A) + P( CB) P( A) + P( C) P( B C) 由 应 用 2 知 2-2 P( A ) p C - k - q k - k P( C ) C p - q - 而 条 件 概 率 P( B C) 是 应 用 3 中 m 的 特 殊 情 形, 故 从 而 所 求 概 率 为 P( A + CB) P( B C) p 2-2 k 2-2 C k - - k p m q m + p m,p q 2,p q C - k - q k - + C p - q - p m q m + p m,p q 2 k + 2 C ,p q ( 8) 3

52 在 实 际 生 活 中, 如 下 的 比 赛 规 则 也 是 会 遇 到 的 应 用 5 在 应 用 2 中, 如 果 出 现 - 平, 则 比 赛 重 新 开 始 求 甲 获 胜 的 概 率 这 里 需 要 注 意, 出 现 - 平 的 次 数 可 能 是 0,,2,, 故 设 Ci 出 现 i 次 - 平 ( 比 赛 结 束 ) 这 事 件, i 0,,2,, A 次 甲 得 失 分 的 概 率 不 变 故 甲 获 胜 由 于 比 赛 是 相 互 独 立, 且 每 P( Ci) P( Cj), P( A Ci) P( A Cj), j,i 由 应 用 2 知 c P( C ) C p - q -,a P( A Ci ) 则 P( C i ) c i, i 0,,2, 由 全 概 率 公 式, 当 C < 时, 得 甲 获 胜 的 概 率 为 P( A) i 0 P( C i) P( A C i) i 0 c i a k a - c p C - k - q k - ( 9) 9 是 否 接 收 这 批 产 品 例 6 要 验 收 一 批 产 品, 共 00 件, 从 中 随 机 取 3 件 来 检 测, 且 每 件 产 品 检 测 是 相 互 独 立 的 如 果 3 件 中 有 件 不 合 格, 就 拒 绝 接 收 这 批 产 品 如 果 这 批 产 品 中 有 2 件 不 合 格, 且 件 不 合 格 的 产 品 被 检 测 出 的 概 率 为 0 95, 而 件 合 格 品 被 误 检 为 不 合 格 的 概 率 为 0 0 求 被 检 测 的 3 件 中 至 少 有 件 不 合 格 的 概 率 与 该 批 产 品 被 接 收 的 概 率 解 设 A 取 出 检 测 的 3 件 中 至 少 件 不 合 格 ; A i 被 检 测 的 3 件 中 有 i 件 不 合 格, i 0,,2; 32

53 概 率 论 篇 B 接 收 该 批 产 品 显 然, A 0,A,A 2 是 两 两 互 斥 的, 且 A A + A 2 由 有 限 不 放 回 抽 样 与 A i 和 顺 序 无 关, 故 P( A i ) C i 2 C 3- i 98 / C 3 00,i 0,,2 从 而 取 出 检 测 的 3 件 中 至 少 有 件 不 合 格 的 概 率 为 ( 第 种 解 法 ) 2 2 P( A) P( A i) C i 2 C 3-98 i / C i i 825 或 因 为 A珚 A0, 由 对 立 事 件 概 率 公 式, 得 ( 第 2 种 解 法 ) P( A) - P( 珚 A) - P( A 0) - C 0 2 C / C 一 般 地, 如 果 一 批 产 品 中 有 件 合 格 品 m 件 不 合 格 品, 从 中 无 放 回 随 机 取 r 件, 则 取 出 的 r 件 中 至 少 有 件 不 合 格 品 r 的 概 率 ( 由 第 种 解 法 ) 为 k 或 ( 由 第 2 种 解 法 ) 为 C k m C r - k C r m + - C0 m C r -0 C r m + - C r C r m + 于 是 得 r k C k m C r - k C r m + - C0 m C r C r m + 即 r k 0 C k m C r - k C r m + ( 20) 注 意 : 当 k > 时, 规 定 C k 0 现 求 P ( B), 由 全 概 率 公 式, 得 P( B) 2 P( A i) P( B i 0 A i) 又 因 P( B Ai) 为 在 被 检 测 的 3 件 产 品 中 有 i 件 为 不 合 格 条 件 下 该 批 产 品 被 接 收 的 概 率, 则 i 件 不 合 格 品 都 误 检 为 合 格 品 ( 概 率 为 (0 05) i ) 且 3- i 件 合 格 品 都 检 测 为 合 格 品 ( 概 率 为 (0 99) 3- i ), 所 以 P( B A i) (0 05) i (0 99) 3- i 33

54 2 故 P( B) i 0 C i 2 C 3- i 98 C 3 (0 05) i (0 99) 3-i 抓 阄 学 生 会 给 某 班 (30 个 人 )5 张 电 影 票, 大 家 都 想 要, 于 是 班 长 就 在 30 张 纸 条 中 的 5 张 上 都 做 了 记 号, 然 后 让 每 个 人 随 机 摸 一 张, 凡 摸 到 有 记 号 的 纸 条 就 给 他 一 张 电 影 票 求 第 k( k 30) 个 人 摸 到 有 记 号 纸 条 的 概 率 或 许 有 人 认 为, 先 摸, 摸 到 的 概 率 将 会 大 些 是 否 真 是 这 样? 如 果 先 摸 到 有 记 号 的 纸 条 概 率 大 些, 此 方 法 就 不 会 长 久 而 广 泛 地 被 采 用 到 今 天 即 每 个 人 摸 到 有 记 号 的 概 率 都 是 阄 问 题 可 归 纳 成 如 下 更 一 般 的 摸 球 问 题 : 6 抓 例 7 一 袋 中 有 个 白 球 m 个 黑 球, 现 不 放 回 从 袋 中 进 行 摸 球, 求 第 k 次 摸 到 黑 球 的 概 率, k,2,, + m 为 了 证 明 先 摸 到 黑 球 的 概 率 不 会 大 些, 设 : A k 第 k 次 摸 到 黑 球, k,2,, m + 现 用 两 种 方 法 来 证 明 : 对 任 意 正 整 数 k ( k m + ), 均 有 P ( A k ) m m + m 证 法 ( 概 率 数 学 归 纳 法 ) 显 然 P ( A ) m + 现 设 k j 时 结 论 成 立 ( 即 第 j 次 摸 到 黑 球 的 概 率 为 袋 中 黑 球 数 比 袋 中 总 球 数 ), 则 P( A j +) P( A ) P( A j + A )+ P( 珚 A ) P( A j + 珚 A ) m m + m - m -+ + m + m m + - m m + 34

55 概 率 论 篇 其 中 P( A j + A ) 等 于 从 装 有 个 白 球 m - 个 黑 球 的 袋 中 第 j 次 摸 到 黑 球 的 概 率, 由 归 纳 假 设 它 为 m - m -+, 类 m 似 地 有 P( A j + A珚 ) m + - 于 是, 结 论 得 证 证 法 2 设 Bi 前 k - 次 摸 球 中 恰 好 摸 到 i 个 黑 球,i 0,,2,,k -, 则 B0,B,,Bk - 两 两 互 斥, 且 k - i 0 Bi Ω, 由 全 概 率 公 式, 并 注 意 到, 当 i > j 时,C i j 0, 得 P( A k ) k - P( Bi) P( A k Bi) i 0 由 有 限 不 放 回 抽 样 与 Bi 和 顺 序 无 关 知 P( Bi) C i m C k -- i / C k m - + 又 前 k - 次 摸 球 中, 摸 出 了 i 个 黑 球 后 袋 中 总 球 数 为 m + - (k -), ( 袋 中 ) 黑 球 数 为 m - i, 故 第 k 次 摸 到 黑 球 的 概 率 为 m - i m + -(k -), 即 P( Ak k - P( A k) i 0 Bi) C i m C k -- i C k - m + m - i m + -(k -) 从 而 m - i m + -(k -) k - i 0 k - mc i m C k -- i - i 0 ic i m C k -- i ( m + - k +)C k - m + k - k - 又 因 ic i m mc i - m -, 故 ic i m C k -- i i 0 k -2 令 i - r, 上 和 为 m r 0 k -2 m r 0 从 而 P ( A k ) C r m - C k -2- r mc k -2 C r m - C k -2- r k - m + -, i 0 mc k - m + - mc k -2 m + - ( m + +- k) C k - m + i mc i- m - C k --i, 由 式 ( 20), 得 mc i m C k - - i mc k - m + m m +, 于 是, 也 证 35

56 明 了 结 论 最 后 摸 出 黑 球 的 概 率 有 多 大 例 8 设 有 N 个 袋 子, 每 袋 中 有 个 白 球 m 个 黑 球, 从 第 袋 中 摸 出 一 球 放 入 第 2 袋, 再 从 第 2 袋 中 摸 出 一 球 放 入 第 3 袋, 这 样 一 直 下 去, 直 至 从 第 N 袋 中 摸 出 一 球 求 最 后 摸 出 的 是 黑 球 的 概 率 解 为 求 此 概 率, 设 A i 第 i 次 摸 出 黑 球,i,2,,N m 显 然, P ( A ) m +, 由 全 概 率 公 式, 得 P( A 2 ) P( A ) P( A2 A) +P( 珚 A ) P( A2 珚 A ) m m + m + m ++ + m + m m + + m m + 其 中, P ( A 2 A ) 表 示 在 第 袋 摸 出 黑 球 条 件 下 ( 这 时 第 2 袋 中 有 m + 个 黑 球 个 白 球 ) 从 第 2 袋 中 摸 出 黑 球 的 概 率, 此 概 率 显 然 为 地 P ( A 2 珚 A ) m + m ++, 即 P ( A 2 A ) m m + + 由 于 P ( A ) P ( A 2 ) m + m ++, 类 似 m m + 我 们 自 然 会 猜 想 : 对 m 任 意 i ( i N), 均 有 P ( A i) m + 这 个 猜 想 是 否 正 确? 这 要 看 我 们 能 否 证 明 这 个 猜 想 为 了 用 数 学 归 纳 法 进 行 证 m 明, 假 设 P( A i) m + m 现 在 证 P( A i +) m + 由 全 概 率 公 式 有 P( A i +) P( A i) P( A i + A i )+ P( 珚 A i ) P( A i + 36

57 概 率 论 篇 珚 A i), 由 归 纳 假 设, 得 P( A i) - m m + m m +,P( A珚 i) - P( A i ) m + 又 在 第 i 次 摸 到 黑 球 条 件 下, 第 i + 袋 中 有 m ++ 个 球, 且 其 中 有 m + 个 黑 球, 故 第 i + 次 ( 从 第 i + 袋 中 ) 摸 到 黑 球 的 概 率 为 A i) 而 P( A i ) m + m ++, 类 似 地, P( A i + m m + m + m ++ + m + m ++, 即 P( A i+ 珚 A i) m + m m + +, 从 m m + + m m + 于 是 猜 想 得 证, 且 最 后 ( 从 第 N 袋 中 ) 摸 出 黑 球 的 概 率 为 P ( A N ) m m + 2 选 举 定 理 及 其 应 用 例 9 口 袋 中 有 个 白 球 m 个 黑 球 ( m < ), 从 袋 中 一 个 一 个 把 球 摸 出 ( 不 放 回 ), 并 分 别 计 算 摸 出 的 白 球 数 与 黑 球 数, 直 至 把 球 摸 完 求 在 摸 球 过 程 中 () 出 现 黑 白 球 数 相 等 的 概 率 (2) 白 球 数 总 比 黑 球 数 多 的 概 率 此 例 的 直 观 背 景 是 如 下 的 选 举 计 票 问 题 : 在 一 次 只 有 2 个 候 选 人 的 选 举 中, 甲 得 张 选 票, 乙 得 m ( m < ) 张 选 票, 求 在 计 票 过 程 中, () 出 现 2 人 票 数 相 等 的 概 率 (2) 甲 的 票 数 总 比 乙 的 票 数 多 的 概 率 解 我 们 用 图 桘 来 表 示 + m 张 选 票 的 一 种 排 列 ( 为 简 便, 取 6, m 4), 图 中 纵 坐 标 表 示 甲 票 数 与 乙 票 数 37

58 之 差 该 图 表 示 在 计 票 过 程 中, 甲 乙 票 出 现 的 顺 序 为 : 甲 甲 乙 甲 乙 乙 乙 甲 甲 甲, 对 于 这 样 的 顺 序 可 画 出 图 中 的 一 条 折 线, 这 样 的 折 线 一 共 有 C m m + 条 这 C m m + 条 折 线 可 分 为 两 类 : 计 票 过 程 中 如 果 取 出 的 第 一 张 票 是 乙 的, 由 于 m <, 所 以, 折 线 一 定 与 横 轴 相 交, 这 称 为 第 类 另 一 类 是 取 出 的 第 张 票 是 甲 的, 这 一 类 折 线 可 能 与 横 轴 相 交, 也 可 能 不 与 横 轴 相 交 第 类 折 线 有 C - + m - 条 第 2 类 折 线 中 与 横 轴 交 的 也 有 C - + m - 条, 这 是 因 为 将 上 述 图 中 从 0 到 首 次 与 横 轴 相 交 的 部 分 关 于 横 轴 作 一 反 射, 就 是 图 中 虚 线 部 分, 与 其 余 部 分 一 起 就 构 成 了 一 条 第 一 张 票 是 乙 的 折 线, 即 得 一 个 顺 序 为 乙 乙 甲 乙 甲 甲 乙 甲 甲 甲, 它 与 顺 序 为 甲 甲 乙 甲 乙 乙 乙 甲 甲 甲 对 应, 并 且 对 于 每 条 以 甲 票 开 始 且 与 横 轴 交 的 折 线 与 以 乙 票 开 始 的 折 线 一 一 对 应 称 上 述 方 法 为 反 射 原 理 从 而 得 计 票 过 程 中 图 桘 38

59 概 率 论 篇 () P( 某 时 刻 出 现 两 人 票 数 相 等 ) 2 C - + m - C m + m 2 m + m ( 2) (2) P( 甲 的 票 数 总 比 乙 的 票 数 多 ) - 2 m + m - m + m ( 22) 如 果 设 P (, m) G (, m) 分 别 表 示 计 票 过 程 中 甲 票 数 多 于 乙 票 数 的 概 率 与 甲 票 数 总 不 小 于 乙 票 数 的 概 率, 则 由 于 在 第 一 张 票 是 乙 的 条 件 下 甲 票 数 总 多 于 乙 票 数 的 ( 条 件 ) 概 率 为 零, 所 以, 由 全 概 率 公 式 得 P(,m) m + G( -,m), 又 因 P(,m) - m + m 故 G ( -, m) - m ( 23) 从 而 G (, m) +- m + ( 24) 由 此 可 得 在 计 票 过 程 的 某 时 刻 出 现 乙 票 数 多 于 甲 票 数 的 概 率 P ( 出 现 乙 票 数 多 于 甲 票 数 ) - G (, m) 选 举 定 理 有 很 多 应 用, 如 m + () 掷 一 均 匀 硬 币 次, 正 面 出 现 m 次 m +, 2 求 在 整 个 投 掷 中 投 掷 出 反 面 次 数 总 小 于 正 面 次 的 概 率 2 m - 由 ( 22), 所 求 概 率 为 (2) 剧 院 售 票 处 有 2 个 人 排 队 买 票, 其 中 个 人 只 有 50 元 钱 一 张 的 钞 票, 其 余 个 人 只 有 00 元 钱 一 张 的 钞 票 开 始 售 票 时 售 票 处 无 零 钱 可 找, 而 每 个 人 只 买 一 张 50 元 钱 的 戏 票 求 售 票 处 不 会 找 不 出 钱 的 概 率 由 ( 24), 所 求 概 率 为 39

60 (3) 甲 乙 丙 3 位 教 授 竞 选 校 长, 他 们 所 得 票 数 分 别 为 60 张 30 张 0 张, 求 在 计 票 过 程 中 甲 的 票 数 总 比 乙 与 丙 的 票 数 之 和 多 且 乙 的 票 数 总 比 丙 的 多 的 概 率 概 率 为 由 ( 22), 所 求 3 剩 下 全 是 黑 球 的 可 能 性 例 0 从 装 有 个 白 球 m 个 黑 球 的 袋 中 一 个 一 个 地 不 放 回 摸 球 : () 直 到 袋 中 只 剩 下 同 颜 色 球 为 止 求 剩 下 的 全 是 黑 球 的 概 率 (2) 直 至 摸 到 白 球 为 止, 求 摸 球 次 数 为 k 的 概 率 p ( k) ( k m +) 解 设 p ( m, ), p ( k) 分 别 为 所 求 概 率 为 了 求 p ( m, ), 先 求 p ( k) 因 为 第 k 次 才 第 一 次 摸 到 白 球, 所 以 前 k - 次 均 摸 到 黑 球 设 Bk - 前 k - 次 没 摸 到 白 球, A k 第 k 次 摸 到 白 球, k,2,, m +, 则 由 乘 法 公 式, 得 p( k) P( B k - A k) P( B k -) P( A k B k -) C k - m C k - m + m + - k + C - m + - k / C m m +,k,2,,m + m + 因 为 k m + p( k), 所 以, k C - m + - k / C m m +, 即 40

61 概 率 论 篇 m + k m 又 因 为 j 0 C - m + - k C m m +, 令 k - j, 得 C - m j 0 m m + - j - m + C + C 0 - j 0 C - m + - j - C m m + ( 25) j 0 m C j + j - j 0 m j 0 C m - j m + - j - C m m C m - m + -2 C - -+ j, 即 得 + C - -+ j C m m + ( 26) 恒 等 式 ( 25) 与 式 ( 26) 都 是 非 常 有 用 的 公 式 用 数 学 归 纳 法 也 可 证 明 式 ( 26) 现 在 求 p ( m, ), 设 i 为 所 需 摸 球 次 数 因 为 摸 了 i 次 后 剩 下 的 全 是 黑 球 ( 最 多 m 个 最 少 个 ), 所 以 有 i m + -, 且 第 i 次 摸 到 白 球 概 率 为, 而 前 m + - i + i - 次 中 摸 到 - 个 白 球 ( 概 率 为 C i m - C - / C i m - + ), 从 而 得 m + - C - C i - m p( m,) i C i - ( 令 i - j) m + m + - i + m - j 0 C j m ( m - j +)C + j - m + m - ( m!) ( m + )! m - C m m + j 0 j 0 C - + j - C m + -/ C m m + ( + j -)! 因 为 j! ( + j -)! j! m m + m! ( m + )! C - + j - C m m + [ 由 式 ( 26)] 4

62 很 奇 怪, 此 概 率 与 抓 阄 中 的 概 率 以 及 从 第 N 袋 中 摸 出 黑 球 的 概 率 都 相 同, 都 等 于 袋 中 黑 球 数 比 袋 中 总 球 数 4 与 摸 球 是 否 放 回 无 关 例 一 袋 中 有 个 球, 其 中 有 m 个 是 黑 的 现 从 中 摸 k 个 球 ( 有 放 回 或 无 放 回 ) 已 知 摸 出 的 k 个 球 中 有 r 个 是 黑 的, 求 第 j ( j,2,, k) 次 摸 到 黑 球 的 概 率 解 设 A 摸 出 的 k 个 球 中 有 r 个 是 黑 的 ; Bj 第 j 次 摸 到 黑 球, j,2,, k 则 由 贝 叶 斯 公 式 所 求 概 率 为 P ( Bj A) P ( ABj) P ( A) () 无 放 回 情 形 P ( Bj) P ( A Bj) P ( A) 因 为 P ( Bj) m, P ( A) C m r C k - r - m C k P ( A Bj) C r - m - C k - r - m C k - -, 且 所 以 P( B j A) m (2) 有 放 回 情 形 C r - m - C k - - r C k - r - m C r m C k - r - C k 这 时 P( Bj ) m,p( A) Cr k m mcr - m -C k C k - - Cm r m r ( - m) k - r k r k P( A B j) C r - k - m r - ( - m) k - r k - 所 以 P( Bj A) m Cr - k - m r ( - m) k - r / k - r 42

63 概 率 论 篇 C r k m r ( - m) k - r k C r - k - C r k r k 5 整 除 的 概 率 例 2 从,2,3,, 0000 中 随 机 取 一 个 数, 求 () 它 能 被 2 或 3 整 除 的 概 率 (2) 它 既 能 被 2 整 除 又 能 被 3 整 除 的 概 率 解 设 A 它 被 2 整 除, B 它 被 3 整 除 因 为 , 所 以 从 而, P( A) P( AB) () 所 求 概 率 为,P( B) P( A B) P( A) + P( B) - P( AB) (2) 所 求 概 率 为 P( AB) 抽 牌 游 戏 例 3 有 s 类 每 类 张 的 牌 共 s 张, 每 类 都 分 别 标 有 号 码,2,, 现 从 中 随 机 不 放 回 抽 取 r 张, 求 每 一 个 号 码 都 有 ( 出 现 ) 的 概 率 ( r ) 解 设 A i 号 码 为 i 的 牌 不 出 现, i,2,,, 则 P( A i ) Cr s - s C r s 当 i j 时, P( A i A j ) C r s -2s/ C r s, 43

64 当 i j k, 且 i k 时, P( A i A j Ak ) C r s -3 s/ C r s 有 k 个 号 码 没 出 现 的 概 率 为 C r C r s - ks/ C r s, k,2,, [ 显 然, P( A A 2 A ) 0], 由 概 率 的 加 法 公 式, 所 求 概 率 为 P( 珚 A 珚 A 2 珚 A ) - P( U k A k) - k P( A k) - P( A i A j) + i j P( A i A j A k )- +(-) - P( A A2 A ) i < j < k - k (- ) k - C k C r - ks/ C r s (- ) k C k C r s - ks/ C r s k 0 s 类 似 的, 每 类 牌 都 有 的 概 率 为 k 0 (- ) k C k s C r s- k / C r s ( 27) 7 点 子 多 赢 例 4 在 很 多 游 戏 中 都 要 掷 骰 子, 比 掷 出 点 子 的 大 小, 点 子 大 的 优 先, 比 如 下 棋 赛 球 等 等 即 甲 先 掷 一 个 ( 均 匀 的 ) 骰 子, 然 后 乙 掷, 谁 掷 出 的 点 子 多 谁 赢 问 甲 赢 的 概 率 多 大? 解 此 问 题 有 2 种 方 法 解 法 当 乙 掷 出 的 点 数 是 时, 甲 要 赢, 甲 应 掷 出 2,3, 6-4,5,6 点 之 一, 即 这 时 甲 赢 的 概 率 为 一 般 地, 当 乙 掷 出 的 点 数 是 i ( i,2,3,4,5,6) 时, 甲 赢 的 概 率 6- i 是 设 A 6 i 乙 掷 出 点 数 i, i,2,,6, B 44

65 概 率 论 篇 甲 赢 由 全 概 率 公 式, 得 注 意 P ( A i) 6 6 P ( B) i 6 P ( A i) P ( B A i) i 6 6- i 解 法 2 由 于 对 称 性, 甲 赢 与 甲 输 ( 即 乙 赢 ) 的 概 率 是 相 等 的, 又 和 局 的 概 率 是 6 由 对 立 事 件 概 率 公 式, 甲 赢 的 概 率 是 在 实 际 操 作 中, 有 时 候 不 是 掷 一 个 均 匀 的 骰 子, 而 是 掷 两 个 均 匀 的 骰 子, 比 较 甲 乙 掷 出 的 两 个 点 数 之 和 谁 大 问 这 时 甲 赢 的 概 率 有 多 大? 解 此 问 题 的 方 法 仍 有 上 述 2 个, 不 过 解 法 比 解 法 2 复 杂 得 多, 这 里 只 给 出 第 2 种 解 法 由 于 对 称 性, 甲 赢 与 甲 输 的 概 率 是 相 等 的 而 当 甲 乙 掷 出 的 点 数 之 和 相 同 ( 即 2,3,4,,2 共 个 数 ) 时 为 和 局 在 甲 掷 出 点 数 之 和 为 2 概 率 为 的 条 件 下, 乙 也 掷 出 2 的 可 能 情 况 是 两 个 骰 子 36 都 是, 即 (, ), 其 概 率 为 36, 在 甲 掷 出 的 点 数 为 3 的 条 件 下, 乙 也 掷 出 3 的 可 能 情 况 是 (, 2), (2, ), 其 概 率 为 2 36, 类 似 地, 在 甲 掷 出 点 数 之 和 为 4,5,6,,2 时, 乙 也 3 分 别 掷 出 相 同 的 点 数 之 和, 其 概 率 分 别 为 36, 4 36, 5 36, 6 36, 5 36, 4 36, 3 36, 2 36, 36 由 全 概 率 公 式, 出 现 和 局 的 概 率 为 从 而 甲 赢 的 概 率 为 类 似 地, 当 掷 三 个 均 匀 的 骰 子 时, 和 局 的 概 率 为 26, 从 而, 这 时 甲 赢 的 概 率 为