2012年北京市房山区高考数学二模试卷（文科）

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奄顾
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1 2012 年北京市房山区高考数学二模试卷 ( 文科 ) 参考答案与试题解析一选择题 : 本大题共 8 小题, 每小题 5 分, 共 40 分. 在每小题列出的四个选项中, 选出符合题目要求的一项, 直接涂在答题纸上. 1.( 5 分 )(2012 房山区二模 ) 集合 A={x 0 x 1},B={x x }, 则 A B 等于 ( ) A.{x x<1} B.{x x 1} C.{x 0 x<1} D.{x x 0} 考点并集及其运算. 菁优网版权所有专题计算题. 分析根据并集的定义求出 A 与 B 的并集即可. 解答解 : 集合 A={x 0 x 1},B={x x }, A B={x x 1}. 故选 B 点评此题考查了并集及其运算, 熟练掌握并集的定义是解本题的关键. 2.(5 分 )(2012 房山区二模 ) 已知等比数列 {a n } 中,a 3 =4,a 6 =, 则公比 q=( ) A. B.-2 C.2 D. 考点等比数列的通项公式. 菁优网版权所有专题等差数列与等比数列. 分析利用等比数列的性质求出公比 q 的值即可. 解答解 : 等比数列 {a n } 中,a 3 =4,a 6 =, a 6 =a 3 q 3, 即 =4q 3, q 3 =, 解得 :q=. 故选 D 点评此题考查了等比数列的通项公式, 以及等比数列的性质, 熟练掌握等比数的性质是解本题的关键. 3.( 5 分 )(2015 东城区模拟 ) 是 cos 的 ( ) A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件考点必要条件充分条件与充要条件的判断. 菁优网版权所有专题计算题 ; 三角函数的求值. 第 1 页 ( 共 12 页 )

解答解 : 集合 A={x 0 x 1},B={x x }, A B={x x 1}. 故选 B 点评此题考查了并集及其运算, 熟练掌握并集的定义是解本题的关键. 2.(5 分 )(2012 房山区二模 ) 已知等比数列 {a n } 中,a 3 =4,a 6 =, 则公比 q=( ) A. B.-2 C.2 D.

2 分析本题研究充分条件与必要条件的判断, 利用充分条件与必要条件的定义结合三角的知识作出判断选出正确选项. 解答解 : 由题意成立时, 一定有 cos 成立, 故是 cos 充分条件 ; 又 cos 时, 可得 θ=2kπ±,k z, 故不是 cos 的必要条件. 综上是 cos 的充分不必要条件故选 A. 点评本题考查充要条件的判断, 解题的关键是理解充要条件的定义, 对所研究命题的原命题的真假性与逆命题的真假性作出判断, 熟练掌握命题中相关的知识对做对此类题也是很关键的, 此类题可涉及的知识较多, 需要对高中所学的知识有着全盘的了解, 做充分条件必要条件这方面的题才少遇到困难. 4.( 5 分 )(2012 房山区二模 ) 一个几何体的三视图如图所示, 其中俯视图为正三角形, 则该几何体的侧面积为 ( ) A. B.24 C. D. 考点由三视图求面积体积. 菁优网版权所有专题计算题. 分析根据三视图画出其直观图, 利用三视图的数据求出底面三角形的周长, 代入侧面积公式计算即可. 解答解 : 正三棱柱的直观图是 ; S 侧 =4 (2+2+2)=24. 故选 B. 点评本题考查由三视图求面积问题, 解决的关键是利用三视图的数据求底面三角形的周长. 第 2 页 ( 共 12 页 )

点评本题考查充要条件的判断, 解题的关键是理解充要条件的定义, 对所研究命题的原命题的真假性与逆命题的真假性作出判断, 熟练掌握命题中相关的知识对做对此类题也是很关键的, 此类题可涉及的知识较多, 需要对高中所学的

3 5.( 5 分 )(2012 房山区二模 ) 设,,c=lnπ, 则 ( ) A.a<b<c B.a<c<b C.c<a<b D.b<a<c 考点对数值大小的比较. 菁优网版权所有专题证明题. 分析利用对数函数和指数函数的单调性, 与 0 比较, 和 lnπ 与 1 进行比较, 进而得到三者的大小关系. 解答解 : < =0, =1,lnπ>lne=1, c>b>a, 故选 A. 点评本题考查了对数值大小的比较方法, 一般找中间量 0 或 1, 以及转化为底数相同的对数 ( 幂 ), 再由对数 ( 指数 ) 函数的单调性进行判断, 考查了转化思想. 6.( 5 分 )(2012 房山区二模 ) 如图是 2010 年青年歌手大奖赛中, 七位评委为甲乙两名选手打出的分数的茎叶图 ( 其中 m 为数字 0~9 中的一个 ), 去掉一个最高分和一个最低分后, 甲乙两名选手得分的平均数分别为 a 1,a 2, 则一定有 ( ) A.a 1 >a 2 B.a 2 >a 1 C.a 1 =a 2 D.a 1,a 2 的大小与 m 的值有关考点茎叶图. 菁优网版权所有专题计算题. 分析由题意知去掉一个最高分和一个最低分以后, 两组数据都有五个数据, 根据样本平均数的计算公式, 代入数据可以求得甲和乙的平均分, 把两个平均分进行比较, 得到结果. 解答解 : 由题意知去掉一个最高分和一个最低分以后, 两组数据都有五个数据, 代入数据可以求得甲和乙的平均分,, a 2>a 1 故选 B 点评本题考查茎叶图 : 当数据是两位有效数字时, 用中间的数字表示十位数, 即第一个有效数字, 两边的数字表示个位数, 即第二个有效数字, 它的中间部分像植物的茎, 两边部分像植物茎上长出来的叶子, 因此通常把这样的图叫茎叶图. 第 3 页 ( 共 12 页 )

点评本题考查了对数值大小的比较方法, 一般找中间量 0 或 1, 以及转化为底数相同的对数 ( 幂 ), 再由对数 ( 指数 ) 函数的单调性进行判断, 考查了转化思想. 6.

4 7.( 5 分 )(2012 房山区二模 ) 已知, 均为单位向量, 且 +3 =, 则的夹角为 ( ) A. B. C. D. 考点平面向量数量积的坐标表示模夹角. 菁优网版权所有专题平面向量及应用. 分析设的夹角为 θ, 则由条件可得 =13, 再根据两个向量的数量积的定义求得 cosθ 的值, 即可得到 θ 的值. 解答解 : 已知, 均为单位向量, 且 +3 =, 设的夹角为 θ, 则 =13, 即 cosθ=13, 解得 cosθ=. 再由 0 θ π, 可得 θ=, 故选 C. 点评本题主要考查两个向量的数量积的定义, 求向量的模的方法, 属于基础题. 8.( 5 分 )(2012 房山区二模 ) 已知 f(x) 是定义在 R 上的偶函数, 当 x>0 时,, 且 f(-2)=0, 则不等式的解集是 ( ) A.(-2,0) (0,2) B.(-,-2) (2,+ ) C.(-2,0) (2,+ ) D.(-,-2) (0,2) 考点导数的运算 ; 奇偶性与单调性的综合. 菁优网版权所有专题计算题. 分析 f(x) 是定义在 R 上的偶函数, 说明奇函数, 若 x>0 时,, 可得为增函数, 若 x<0, 为增函数, 根据 f(- 2)=f(2)=0, 求出不等式的解集 ; 解答解 : f(x) 是定义在 R 上的偶函数, 当 x>0 时,, 为增函数,f(x) 为偶函数, 为奇函数, 在 (-,0) 上为增函数, f(-2)=f(2)=0, 第 4 页 ( 共 12 页 )

再由 0 θ π, 可得 θ=, 故选 C. 点评本题主要考查两个向量的数量积的定义, 求向量的模的方法, 属于基础题. 8.( 5 分 )(2012 房山区二模 ) 已知 f(x) 是定义在 R 上的偶函数, 当 x>0 时,, 且 f(-2)=0, 则不等式的解集是 ( ) A.

5 若 x>0, =0, 所以 x>2; 若 x<0, =0, 在 (-,0) 上为增函数, 可得 -2<x<0, 综上得, 不等式的解集是 (-2,0) (2,+ ) 故选 C; 点评此题主要考查函数的单调性与奇偶性的综合题, 解题的关键是找函数的零点问题, 此题是一道基础题 ; 二填空题 : 本大题共 6 小题, 每小题 5 分, 共 30 分. 把答案填在答题纸上的指定位置. 9.( 5 分 )(2012 房山区二模 ) 已知 i 为虚数单位, 则复数 i(3-4i) 的实部和虚部分别是 4,3. 考点复数代数形式的乘除运算 ; 复数的基本概念. 菁优网版权所有专题计算题. 分析根据复数的乘法运算化简, 然后根据复数的定义可得答案. 解答解 : 因为 i(3-4i)=4+3i, 所以复数 i(3-4i) 的实部和虚部分别是 4,3, 故答案为 :4,3. 点评本题考查复数代数形式的运算复数的基本概念, 属基础题. 10.( 5 分 )(2014 江苏一模 ) 一个社会调查机构就某地居民的月收入调查了人, 并根据所得数据画了样本的频率分布直方图 ( 如图 ). 为了分析居民的收入与年龄学历职业等方面的关系, 要从这人中再用分层抽样方法抽出 100 人作进一步调查, 则在 [2500, 3000)( 元 ) 月收入段应抽出 25 人. 考点分层抽样方法. 菁优网版权所有专题压轴题. 分析直方图中小矩形的面积表示频率, 先计算出 [2500,3000) 内的频率, 再计算所需抽取人数即可. 解答解 : 由直方图可得 [2500,3000)( 元 ) 月收入段共有 =2500 人按分层抽样应抽出人故答案为 :25 点评本题主要考查直方图和分层抽样, 难度不大. 第 5 页 ( 共 12 页 )

菁优网版权所有专题计算题. 分析根据复数的乘法运算化简, 然后根据复数的定义可得答案. 解答解 : 因为 i(3-4i)=4+3i, 所以复数 i(3-4i) 的实部和虚部分别是 4,3, 故答案为 :4,3.

6 11.( 5 分 )(2012 房山区二模 ) 如图是一个算法的流程图, 则输出 n 的值是 13. 考点循环结构. 菁优网版权所有专题图表型. 分析按照程序框图的流程写出前几次循环的结果, 并判断每一次得到的结果是否满足判断框中的条件, 直到满足条件, 执行输出. 解答解 : 经过第一次循环得到结果为 2 1 =2, 此时不满足判断框的条件,n=4, 经过第二次循环得到结果为 2 4, 此时不满足判断框的条件,n=7, 经过第三次循环得到结果为 2 7, 此时不满足判断框的条件,n=10, 经过第四次循环得到结果为 2 10, 此时不满足判断框的条件,n=13, 经过第五次循环得到结果为 2 13, 此时满足判断框的条件. 执行输出 n, 即输出 13. 故答案为 :13. 点评本题主要考查了循环结构, 在解决程序框图中的循环结构时, 常采用写出前几次循环的结果, 找规律, 属于基础题. 12.( 5 分 )(2012 房山区二模 ) 已知抛物线 x 2 =2py(p>0) 的准线过双曲线的一个顶点, 则抛物线的焦点坐标为 (0,4). 考点抛物线的简单性质 ; 双曲线的简单性质. 菁优网版权所有专题圆锥曲线的定义性质与方程. 第 6 页 ( 共 12 页 )

解答解 : 经过第一次循环得到结果为 2 1 =2, 此时不满足判断框的条件,n=4, 经过第二次循环得到结果为 2 4, 此时不满足判断框的条件,n=7, 经过第三次循环得到结果为 2 7, 此时不满足判断框的条件,n=10, 经过第四次循环得到结

7 分析先根据双曲线方程的标准方程, 求得 a, 则双曲线顶点坐标可得, 进而求得抛物线方程中的 P, 则抛物线的焦点坐标可得. 解答解 : 双曲线方程, a=4, 双曲线的一个顶点 (0,-4) 抛物线的准线方程为 y=-4 p=16, 抛物线的焦点坐标为 (0,4). 故答案为 :(0,4). 点评本题主要考查了抛物线的简单性质, 圆锥曲线的共同特征. 考查了学生对基础知识的综合把握能力. 13.( 5 分 )(2012 房山区二模 ) 点 M 的坐标 (x,y) 满足 O 是坐标原点, 则 OM 的最大值为 4, 最小值为. 考点简单线性规划. 菁优网版权所有专题不等式的解法及应用. 分析先根据约束条件画出可行域, 再利用几何意义求最值,z= OM 表示 (0,0) 到可行域的距离, 只需求出 (0,0) 到可行域的距离的最值即可. 解答解 : 画出可行域, 如图所示, 易得 A(8,4), OA = =4, O 点支直线 x+2y-8=0 的距离 d= =, 由图可知, OM 的最大值为 OA =4 ; OM 的最小值为 d=. 故答案为 :4 ;. 点评本题主要考查了简单的线性规划, 以及利用几何意义求最值, 属于基础题. 第 7 页 ( 共 12 页 )

考查了学生对基础知识的综合把握能力. 13.( 5 分 )(2012 房山区二模 ) 点 M 的坐标 (x,y) 满足 O 是坐标原点, 则 OM 的最大值为 4, 最小值为. 考点简单线性规划. 菁优网版权所有专题不等式的解法及应用.

8 优网版权所有 14.( 5 分 )(2012 房山区二模 ) 设定义在 (0,+ ) 上的函数 f(x) 满足 :1 对于任意实数 a,b 都有 f(ab)=f(a)+f(b)-5;2f(2)=4. 则 f(1)= 5 ; 若 a n =f(2 n )( n N * ), 数列 {a n } 的前项和为 S n, 则 S n 的最大值是 10. 考点数列的求和. 菁优网版权所有专题综合题 ; 等差数列与等比数列. 分析由 1 得 f(1)=f(1)+f(1)-5, 解出即得 f(1); 多次用 1 可求得 a n 表达式, 由表达式易判断该数列为等差数列, 根据该等差数列的各项符号变化规律可求得 S n 的最大值. 解答解 : 由 1 得 f(1)=f(1)+f(1)-5, 即 f(1)=5, a n =f(2 n )=f(2 2 n-1 )=f(2)+f(2 n-1 )-5=f(2)+f(2 2 n-2 )-5=2f(2)+f(2 n-2 ) -2 5= =nf(2)-5(n-1)=4n-5(n-1)=-n+5, 易知数列 {a n } 为首项为 4, 公差为 -1 的等差数列, 令 a n 0, 即 -n+5 0, 解得 n 5, 所以数列 {a n } 的前 4 项为正数, 第 5 项为 0, 故数列前 4 项或前 5 项和最大, 最大值为 =10, 故答案为 :5;10. 点评本题考查函数恒等式数列的求和, 考查学生观察分析能力解决问题的能力. 三解答题 : 本大题共 6 小题, 共 80 分. 解答应写出文字说明, 演算步骤或证明过程. 15.( 13 分 )(2012 房山区二模 ) 已知函数 f(x)=2sinxcosx+2 cos 2 x. (Ι) 求函数 f(x) 的最小正周期 ; (ΙΙ) 当 x 时, 求函数 f(x) 的最大值与最小值. 考点三角函数中的恒等变换应用 ; 三角函数的周期性及其求法 ; 复合三角函数的单调性. 菁专题三角函数的图像与性质. 分析 (I) 利用三角函数的恒等变换化简函数 f(x) 的解析式为 2sin(2x+ )+, 可得 f(x) 的最小正周期正周期为 π. (II) 根据 x, 再根据正弦函数的定义域和值域求得函数 f(x) 的最大值与最小值. 解答解 :(I) 函数 f(x) =2sinxcosx+2 cos 2 x=sin2x+2 =sin2x+ cos2x+ =2sin(2x+ )+, f(x) 的最小正周期正周期为 π. (6 分 ) (II) x, 2x+, 当 2x+ = 时,f(x) 有最大值 1+ ; 当 2x+ = 时,f(x) 有最小值 -2+. (13 分 ) 点评本题主要考查三角函数的恒等变换及化简求值, 三角函数的周期性和求法, 正弦函数的定义域和值域, 属于中档题. 第 8 页 ( 共 12 页 )

分析由 1 得 f(1)=f(1)+f(1)-5, 解出即得 f(1); 多次用 1 可求得 a n 表达式, 由表达式易判断该数列为等差数列, 根据该等差数列的各项符号变化规律可求得 S n 的最大值.

9 16.( 13 分 )(2012 房山区二模 ) 为了对某课题进行研究, 用分层抽样的方法从三所高校 A, B,C 的 120 名人员中, 抽取若干人组成研究小组. 三所高校的人数与抽取的人数如下表 ( 单位 : 人 ): 高校人数抽取人数 A 20 x B 40 2 C 60 y (I) 求 x,y; (II) 若从高校 B C 抽取的人中选 2 人作专题发言, 求这 2 人都来自高校 C 的概率. 考点列举法计算基本事件数及事件发生的概率 ; 频率分布表. 菁优网版权所有专题概率与统计. 分析 (Ⅰ) 根据分层抽样的方法, 有 20:40:60=1:2:3, 得出 x:2:y=1:2:3, 解可得答案 ; (Ⅱ) 根据题意, 可得从 5 人中抽取两人的情况数目与二人都来自高校 C 的情况数目, 根据等可能事件的概率公式, 计算可得答案. 解答解 :(Ⅰ) 根据分层抽样的方法, 有 20:40:60=1:2:3, x:2:y=1:2:3, 解可得 x=1,y=3; (Ⅱ) 根据题意, 从高校 B C 抽取的人共有 5 人, 从中抽取两人共 C 5 2 =10 种, 而二人都来自高校 C 的情况有 C 3 2 =3 种 ; 则这二人都来自高校 C 的概率为. 点评本题考查分层抽样的方法与等可能事件概率的计算, 难度不大, 注意组合数公式的运用. 17.( 14 分 )(2014 烟台三模 ) 如图, 直四棱柱 ABCD-A 1 B 1 C 1 D 1 中, 底面 ABCD 是菱形, 且 ABC=60,E 为棱 CD 的中点. (Ⅰ) 求证 :A 1 C 平面 AED 1 ; (Ⅱ) 求证 : 平面 AED 1 平面 CDD 1. 考点平面与平面垂直的判定 ; 直线与平面平行的判定. 菁优网版权所有专题空间位置关系与距离. 分析 (I) 根据线面平行的判定定理, 先证线线平行, 再由线线平行证明线面平行即可 ; (II) 先由线线垂直证线面垂直, 再由线面垂直证明面面垂直即可. 解答证明 :(Ⅰ) 连接 A 1 D, 交 AD 1 与 F, 连接 EF, 第 9 页 ( 共 12 页 )

考点列举法计算基本事件数及事件发生的概率 ; 频率分布表. 菁优网版权所有专题概率与统计.

10 由已知四边形 ADD 1 A 1 为矩形, F 为 AD 1 的中点, 又 E 为 CD 的中点. EF 为 DCA 1 的中位线. A 1 C EF, A 1 C 平面 AED 1,EF 平面 AED 1, A 1 C 平面 AED 1 ; (Ⅱ) 由已知 DD 1 AD,DD 1 BD, 又 AD BD=D,AD 平面 ABCD,CD 平面 ABCD, DD 1 平面 ABCD, AE 平面 ABCD, AE DD 1, 底面 ABCD 是菱形, 且 ABC=60,E 为棱 CD 的中点. AE CD, 又 CD DD 1 =D,CD 平面 CDD 1,DD 1 平面 CDD 1, AE 平面 CDD 1 C 1, AE 平面 AED 1, 平面 AED 1 平面 CDD 1. 点评本题考查面面垂直的判定线面平行的判定. 18.( 13 分 )(2012 房山区二模 ) 已知函数 f(x)=x 3 -(1+b)x 2 +bx,b R. (Ⅰ) 若函数 f(x) 在点 (1,f(1)) 处的切线与直线 x+y-3=0 平行, 求 b 的值 ; (Ⅱ) 在 (Ⅰ) 的条件下, 求 f(x) 在区间 [0,3] 上的最值. 考点利用导数求闭区间上函数的最值 ; 利用导数研究曲线上某点切线方程. 菁优网版权所有专题综合题 ; 导数的综合应用. 分析 (Ⅰ) 求导数 f (x), 由函数 f(x) 在点 (1,f(1)) 处的切线与直线 x+y-3=0 平行, 得 f (1)=-1, 解出即得 b 值 ; (Ⅱ) 由 (Ⅰ) 写出 f(x), f (x), 解方程 f (x)=0, 在区间 [0,3] 上, 列出 x,f (x), f (x) 的变化情况表, 由表可求得函数的最值 ; 解答解 :(Ⅰ)f (x)=3x 2-2(1+b)x+b, 函数 f(x) 在点 (1,f(1)) 处的切线与直线 x+y-3=0 平行, f (1)=3-2(1+b)+b=-1, 解得 b=2. (Ⅱ) 由 (Ⅰ) 知 f(x)=x 3-3x 2 +2x,f (x)=3x 2-6x+2, 令 f (x)=3x 2-6x+2=0, 解得,. 在区间 [0,3] 上,x,f (x), f(x) 的变化情况如下 : x 0 (0,x 1 ) x 1 (x 1,x 2 ) x 2 (x 2,3) 3 f (x) f(x) 0 递增递减 - 递增 6 所以当 x=3 时,f(x) max =6; 当 x=1+ 时,f(x) min =-. 第 10 页 ( 共 12 页 )

AE CD, 又 CD DD 1 =D,CD 平面 CDD 1,DD 1 平面 CDD 1, AE 平面 CDD 1 C 1, AE 平面 AED 1, 平面 AED 1 平面 CDD 1. 点评本题考查面面垂直的判定线面平行的判定. 18.

11 点评本题考查导数的几何意义利用导数求闭区间上函数的最值, 考查学生的运算能力, 解决本题的关键是准确求导, 正确理解导数的几何意义. 19.( 14 分 )(2012 房山区二模 ) 已知椭圆 C: (a>b>0) 的长轴长是 4, 离心率为. (Ⅰ) 求椭圆方程 ; (Ⅱ) 设过点 P(0,-2) 的直线 l 交椭圆于 M,N 两点, 且 M,N 不与椭圆的顶点重合, 若以 MN 为直径的圆过椭圆 C 的右顶点 A, 求直线 l 的方程. 考点直线与圆锥曲线的综合问题 ; 椭圆的标准方程. 菁优网版权所有专题圆锥曲线中的最值与范围问题. 分析 (Ⅰ) 利用椭圆的长轴长是 4, 离心率为, 求出几何量, 即可求椭圆方程 ; (Ⅱ) 设出直线方程, 代入椭圆方程, 利用韦达定理, 及以 MN 为直径的圆过椭圆 C 的右顶点 A, 求出 k, 即可求得直线 l 的方程. 解答解 :(Ⅰ) 由已知 2a=4,. 解得 a=2,c=1, 所以 b 2 =a 2 -c 2 =3, 故椭圆的方程为. (5 分 ) (Ⅱ) 由 M,N 不与椭圆的顶点重合, 设直线 l 的方程为 y=kx-2, 代入椭圆方程可得 (4k 2 +3) x 2-16kx+4=0, 由 =(-16k) 2-16(4k 2 +3)=12k 2-3>0, 得或 (8 分 ) 设 M(x 1,y 1 ), N(x 2,y 2 ), 则 x 1 +x 2 =,x 1 x 2 =,y 1 y 2 = 由 (Ⅰ) 得椭圆 C 的右顶点 A(2,0), 因为以 MN 为直径的圆过椭圆 C 的右顶点 A, 所以 k AM k AN =-1, =-1, y 1 y 2 +x 1 x 2-2(x 1 +x 2 )+4=0, =0, k 2-8k+7=0, 解得 k=7 或 k=1 当 k=1 时,l:y=x-2, 直线过椭圆 C 的右顶点 A(2,0), 舍去 ; 当 k=7 时,l:y=7x-2. 综上可知, 直线 l 的方程是 y=7x-2 (14 分 ) 第 11 页 ( 共 12 页 )

12 点评本题考查椭圆的标准方程, 考查直线与椭圆的位置关系, 考查韦达定理的运用, 考查学生的计算能力, 属于中档题. 20.( 13 分 )(2012 房山区二模 ) 数列 {a n } 中,a 1 =1, 前 n 项的和是 S n, 且 S n =2a n -1,n N *. (Ⅰ) 求出 a 2,a 3,a 4 ; (Ⅱ) 求数列 {a n } 的通项公式 ; (Ⅲ) 求证 :S n S n+2. 考点数列与不等式的综合 ; 等比关系的确定. 菁优网版权所有专题等差数列与等比数列. 分析 (I) 利用数列递推式, 代入计算, 可求 a 2,a 3,a 4 ; (II) 再写一式, 两式相减, 即可求数列 {a n } 的通项公式 ; (III) 求出前 n 项和, 代入计算, 可以证得结论. 解答 (I) 解 : a 1 =1,S n =2a n -1, 当 n=2 时,a 1 +a 2 =2a 2-1, a 2 =2 当 n=3 时,a 1 +a 2 +a 3 =2a 3-1, a 3 =4 当 n=4 时,a 1 +a 2 +a 3 +a 4 =2a 4-1, a 4 =8 (3 分 ) (II) 解 : S n =2a n -1,n N *. (1) S n-1 =2a n-1-1,n 2,n N *. (2) (1)-(2) 得 a n =2a n-1, 数列 {a n } 是以 1 为首项,2 为公比的等比数列, a n =2 n-1 (8 分 ) (III) 证明 : S n =2a n -1=2 n -1, S n S n+2 =(2 n -1) (2 n+2-1)=2 2n+2-2 n+2-2 n +1, =2 2n+2-2 n n >0 S n S n+2. (13 分 ) 点评本题考查数列递推式, 考查数列的通项, 考查数列与不等式的联系, 考查学生分析解决问题的能力, 属于中档题. 第 12 页 ( 共 12 页 )

分析 (I) 利用数列递推式, 代入计算, 可求 a 2,a 3,a 4 ; (II) 再写一式, 两式相减, 即可求数列 {a n } 的通项公式 ; (III) 求出前 n 项和, 代入计算, 可以证得结论.

导数和微分的概念导数的几何意义和物理意义函数的可导性与连续性之间的关系平面曲线的切线和法线导数和微分的四则运算基本初等函数的导数复合函数反函数隐函数以

导数和微分的概念导数的几何意义和物理意义函数的可导性与连续性之间的关系平面曲线的切线和法线导数和微分的四则运算基本初等函数的导数复合函数反函数隐函数以 2015 年考研数学二考试大纲考试科目 : 高等数学线性代数考试形式和试卷结构一试卷满分及考试时间试卷满分为 150 分, 考试时间为 180 分钟. 二答题方式答题方式为闭卷笔试. 三试卷内容结构高等教学约 78% 线性代数约 22% 四试卷