第四章牛頓定律

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王都
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1 p. 1 Momentum and Collisions 動量與碰撞

2 動量 ( Momentum ) 與動量守恆 ( Momentum Conservation) p. 2 迪卡兒 ( Rene Descartes, 1596~1650 ) 認為 : 總物質量 ( Amount of Matter ) 及總運動量 ( Amount of Motion) 應該是不變的並定義運動量 ( Amount of Motion ) 為 ( 質量 x 速率 ) ( Amount of Motion ) = m v

3 p. 3 我思故我在 I think, therefore I am Cogito ergo sum 迪卡兒 ( Rene Descartes, 1596~1650 ) 哲學家 Farther of Analytic Geometry 在床上的時間是我最多產的時間

4 p

5 p. 5 r = a ( 1 sinq )

6 p. 6 r = a ( 1 sinq ) 心臟線

p. 7 Queen Christina of Sweden http://www.myartprints.

7 p. 7 Queen Christina of Sweden

8 動量 ( Momentum ) 與動量守恆 ( Momentum Conservation) p. 8 迪卡兒 ( Rene Descartes, 1596~1650 ) 認為 : 總物質量 ( Amount of Matter ) 及總運動量 ( Amount of Motion) 應該是不變的並定義運動量 ( Amount of Motion ) 為 ( 質量 x 速率 ) ( Amount of Motion ) = m v 迪卡兒對運動量守恆的觀念是對的對運動量的定義卻是錯的舉例來說 : 兩個質量相同的, 以黏土作的球, 迎面以相同的速率相撞 m v v v = 0 m ( 碰撞前, 總運動量 = 2 m v ) ( 碰撞後, 總運動量 = 0)

9 p. 9 若是將迪卡兒對運動量的定義稍作修正 :( 速率 ) ( 速度 ) 定義動量為 ( 質量 ) x ( 速度 ) P ( momentum ) = m v 物體的動量是一個與其速度同方向的向量舉前例來說 : 兩個質量相同的, 以黏土作的球, 迎面以相同的速率相撞 m v 1 v 2 v = 0 m 碰撞前總動量 = m v 1 + m v 2 = 0 碰撞後總動量 = 2m x 0 = 0 碰撞前後的總動量就相同了, 也就是動量守恆成立了

10 * P = m v ( kg m / sec ) ( linear momentum ) p. 10 * 兩物体相互作用前後 P 1 + P 2 = constant, 常數動量守恆定律, Momentum Conservation 從牛頓第二及第三定律也可以推出這個結果 2nd Law : F = ma = m d v / dt = d ( m v )/dt = d P / dt 物体所受的力等於物體動量改變的速度 dp = F dt DP = F Dt 3rd Law : F on 1 by 2 ( F 12 ) = - F on 2 by 1 ( F 21 ) F 12 = - F 21 DP 1 = F 12 Dt, DP 2 = F 21 Dt DP 1 + DP 2 = F 12 Dt + F 21 Dt = 0 = D( P 1 + P 2 ) P 1 + P 2 = constant m 1 v 1 + m 2 v 2 = constant

11 p. 11 u 1 m 1 動量守恆適用於各種物体間的相互 v 1 作用, 這物体間的相互作用可以是 v 2 m 2 u 2 m 1 u 1 + m 2 u 2 = m 1 v 1 + m 2 v 2 接觸式的碰撞, 也可以是非接觸式的超距力作用, 甚至是核子反應或光子的吸收及放射非接觸式的碰撞 : 兩個帶電粒子 +q +q +q +q

12 p. 12 u 1 m 1 動量守恆適用於各種物体間的相互 v 1 作用, 這物体間的相互作用可以是 v 2 m 2 u 2 m 1 u 1 + m 2 u 2 = m 1 v 1 + m 2 v 2 接觸式的碰撞, 也可以是非接觸式的超距力作用, 甚至是核子反應或光子的吸收及放射非接觸式的碰撞 : 兩個帶電粒子非接觸式的碰撞 : gravitational slingshot 重力彈弓 +q +q +q +q

13 * 若將這兩個粒子視為一個系統 ( 多粒子系統 ), 當有外力施於這個系統時 p. 13 F 1e m 1 F 12 F 21 F 2e m 2 對多粒子系統而言 : external force : F 1e ( F on 1 by external ), and F 2e ( F on 2 by external ) 對個別單一粒子而言 : F = dp / dt, F 1e + F 12 = dp 1 /dt F 2e + F 21 = dp 2 /dt 對系統而言 : ( F 1e + F 2e + F 12 + F 21 ) = d ( P 1 + P 2 ) / dt F ext = dp / dt, P = P i i a more general form of Newton s 2 nd Law 對質量不變的單一粒子而言, 上式可以化為 : F = dp/dt = m dv/dt = ma 牛頓第二定律的原始形式

14 利用 F ext = dp / dt, p. 14 也可以反過來說明一個多粒子系統內不同粒子間作用力與反作用力的存在將 (1) 火箭及 (2) 其推進器排出的氣体, 視為一個雙粒子系統, 假設此一系統未受外力作用 ( 忽略空氣阻力, F ext 為 0 ) F ext = 0 DP = 0 也就是說火箭向上動量改變的大小要等於排出氣体向下的動量改變大小再進一歨說, 由於 F = DP/Dt, 因此火箭受到向上的推力大小就等於排出氣体受到向下推力的大小, 只是方向正好相反這兩個力正是所謂的作用力與反作用力因此也有人說反作用力定律是動量守恆定律的一個特例

15 p. 15 Rocket and Space Shuttle 影片

16 碰撞 ( Collisions ) p. 16 碰撞的種類 Type of Collisions : 彈性碰撞 ( elastic collision ) 非彈性碰撞 ( inelastic collision ) 動量守恆, 動能守恆動量守恆碰撞過程碰撞前碰撞中碰撞後動能双粒子 : ( ½ m 1 u ½ m 2 u 2 2 ) 動能位能熱能... 彈性碰撞全部恢復為動能非彈性碰撞部份位能沒有恢復為動能 ( 物体可能形變, 產生熱, 發出光 ) 双粒子彈性碰撞 : ½ m 1 u ½ m 2 u 2 2 = ½ m 1 v ½ m 2 v 2 2 Ex. 硬鋼球間的碰撞, 原子間的碰撞彈性碰撞

17 * 非彈性碰撞的例題 : p. 17 Ex. A truck : 2000 kg, moving east at 10 m/s A pickup : 1000 kg, moving west at 26 m/s <Sol.> They collide and stick together ( 完全非彈性碰撞, completely inelastic collision ) 假設是在結冰的路面上沒有摩擦力請求出 (a) 這兩輛車撞擊後的共同速度, 及 (b) 損失的動能待在那一輛車裏比較安全? m 1 u u m 2 x 1 2 east (a) P x : m 1 u 1 m 2 u 2 = ( m 1 + m 2 ) v v = - 2 m/s Moving west, truck changes direction (b) E ki = ½ m 1 u ½ m 2 u 2 2 = 4.38 x 10 5 J E kf = ½ ( m 1 + m 2 ) v 2 = 6000J Fractional change of kinetic energy = (E kf E ki ) / E ki = - 99%

18 * 非彈性碰撞的例題量測子彈速度的古老方法 ( Benjamin Robins, 1742 ) Ex. Ballistic Pendulum m = 10 g M = 2 kg h = 5 cm p. 18 m u M v m + M 請求出 (a) u =?, 及 (b) 過程中產生的熱能 <Sol.> (a) mu = ( m + M ) v, v : common velocity after collision ½ ( m + M ) v 2 = ( m + M ) gh v = ( 2gh ) 1/2 代入上式 mu = ( M + m ) ( 2gh ) 1/2 u = ( m + M ) ( 2gh ) 1/2 / m u 200 m/s (b) E ki = ½ mu 2 = 200 J E kf = ½ ( m + M ) v 2 = 1 J 幾乎所有子彈原有的動能都轉換成熱能了

19 * 彈性碰撞的例題 : 粒子直接對撞 ( 動量守恆 + 動能守恆 ) p. 19 碰撞前運動粒子撞擊靜止的相同質量粒子碰撞後 v 靜止靜止 v 小質量粒子撞擊靜止的極大質量粒子 v 靜止 v 靜止極大質量粒子撞擊靜止的小質量粒子 v 靜止 (It s just like the small mass is moving away from the big mass with v velocity.) v 2x v

20 * 彈性碰撞的例題 : p. 20 在彈性碰撞的前題假設下, 這兩顆質量相同的撞球在擦撞後, 運動方向的夾角應為 90 o, 對不對? 下面影片中有四種碰撞過程, 其中有那一些近似彈性碰撞? 四種碰撞的影片

21 * 彈性碰撞的例題 : p. 21

22 * 彈性碰撞的例題 : p. 22

23 * 彈性碰撞的例題 : Slingshot Effect p. 23 gravitational slingshot a slingshot orbit

24 質量中心 ( Center of Mass, CM ) p. 24 當我們討論的物體具有不可忽視的尺寸大小是一個多粒子系統質量中心的觀念就很重要了質量中心的兩個特性 : ( 1 ) 每一個多粒子系統 ( 或物体 ) 都只有一個質量中心 ( 2 ) 質量中心的運動軌跡可以代表整個多粒子系統 ( 或物体 ) 的平移運動 ( translational motion )

25 Ex. m 1 如何找到 l 1 & l 2? p. 25 F CM l 1 / l 2 = m 2 / m 1 or m 1 l 1 = m 2 l 2 在一維空間中 ( one-dimensional system ) m 2 m 1 l 1 l 2 m 2 CM x 1 x CM x 2 x CM F l 1 = x CM x 1 l 2 = x 2 x CM m 1 ( x CM x 1 ) = m 2 ( x 2 x CM ) F l 1 l 2 pure translational motion 彷彿所有質量都集中在這一點上 x CM = m 1 x 1 + m 2 x 2 m 1 + m 2

26 p. 26 對三維空間中的 N 個粒子 ( N particles in 3-dim. ) : r CM = m 1 r 1 + m 2 r m N r n m 1 + m m N N = m i r i / M, M = m i i=1 N x CM = m i x i / M i=1 N y CM = m i y i / M i=1 N z CM = m i z i / M i=1 N i=1

27 連續物体的質量中心 ( Center of Mass of Continuous Body ) p. 27 將物体分為許多等質量的小塊, 再以多粒子系統的方法來找出質量中心 as Dm 0 r CM = r Dm / M 1/M r dm r Dm x CM = 1/M x dm, y CM = 1/M y dm, z CM = 1/M z dm Ex. y dx L x dm = l dx, l ( linear mass density, kg/m ) = M/L L 0 L 0 x CM = 1/M x dm = ( 1/M ) x l dx = ( 1/M ) ( M/L ) x dx L 0 = ( 1/L ) ( ½ x 2 ) = ( 1/L ) ( ½ L 2 ) = L/2 L 0

28 p. 28 對一個均勻對稱的物体而言, 其質量中心往往就是物体的對稱中心點 CM CM 物体的質量中心點不一定在物体內部 Ex y CM of each arm is at its midpoint 2L (0,L) (L/6,2L/3) (L/2,0) x CM = ( m 1 x 1 + m 2 x 2 ) / M ( assume m 1 = m, m 2 = 2m ) = ( m L/2 + 2m 0 ) / 3m L x = L/6 y CM = ( m y 1 + 2m y 2 ) / ( m + 2m ) = 2L/3

29 p. 29 x

30 p. 30 對一個非規則形狀的物体, 有什麼簡單的方法可以找出它的質量中心點?

31 質量中心的運動 ( Motion of the Center of Mass ) p. 31 在一個多粒子系統中 r CM = m i r i / M m v CM = d r CM /dt = i dr i / dt = M m i v i M P = M v CM = m 1 v 1 + m 2 v m N v N = m i v i = P i M d v CM / dt = M a CM = d m i v i / dt = m i d v i / dt = m i a i = F i : 各粒子所受力的總合請注意, 雖然但是 P = P i = m i v i = M v CM E k = E ki = ½ m i v i 2 = ½ M v CM 2

32 p. 32 因為作用力與反作用力成對出現系統中粒子彼此間的作用力互相抵消 F 1e F i = F ext F 12 m 1 F ext = M a CM Newton s 2 nd Law for a system of particles F 2e m 2 F 21 F ext = M d v CM / dt = d( M v CM ) / dt = dp/dt another form of the 2 nd Law F i = F 12 + F 21 + F 1e + F 2e If F ext = 0 v CM = const. 示範影片 = F 1e + F 2e = F ext 當我們在討論一個多粒子系統或一個物体的平移運動時, 可以將這個系統或物体的所有質量視為集中在其質量中心上 ( 假如我們只對平移運動有興趣, 質量中心就很有用了 )

33 Ex. 2 m m 1 = 60 kg p. 33 m 2 = 40 kg x 3 m CM of the boat d =? x CM CM of the two particle system <Sol.> F ext = 0 v CM = const. = 0 x CM = const. x CM = ( m 1 x 1 + m 2 x 2 ) / ( m 1 + m 2 ) = ( 60 x x 3.5 ) / 100 = 4.4 (m) x CM =[( m 1 d + m 2 (d+1.5) ] / 100 = 4.4 d = 3.8 m

34 p. 34

35 p. 35

36 p. 36

37 p. 37 一般而言, 是男人的 CM 還是女人的 CM 比較低?

38 p. 38 CM 車輪車輪同理可推知, 船的質量中心一定要盡量低於水面 CM

Microsoft PowerPoint - Chap. 6 Notes

Microsoft PowerPoint - Chap. 6 Notes p. 1 Momentum and Collisions 動量與碰撞動量 ( Momentum ) 與動量守恆 ( Momentum Conservation) p. 2 迪卡兒 ( Rene Descartes, 1596~1650 ) 認為 : 總物質量 ( Amount of Matter ) 及總運動量 ( Amount of Motion) 應該是不變的並定義運動量 ( Amount

第四章 牛頓定律

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