84 數學傳播 6 卷 4 期民 0 年月詳細內容可參考微積分課本 Larson and Edwards [6, Section 8.5, p. 555 例 0: 陶懋頎單墫蘇淳嚴鎮軍 [, 5.., p. 04 計算級數值 k k + 的解 : 先設法將有理多項式拆解成部分分項, 利

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妃淇雷
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1 數學傳播 6 卷 4 期, pp 級數求和對消和與對消乘積下林宜嬪張福春. 部份分式當欲求和或乘積是屬於有理多項式的型態時, 可利用部份分式先將有理多項式分解為數個較簡易的算式再進行對消, 可提高計算的效率, 也可避免計算上的錯誤而部份分式 partial fraction 分解, 又稱部份分式展開, 是將有理函數分解成許多次數較低有理函數和的形式, 來降低分子或分母多項式的次數分解後的分式需滿足以下條件 :. 分式的分母需為不可約多項式 irreducible polynomial 或其乘冪. 分式的分子多項式次數需比其分母多項式次數要低對 fx P x/qx 進行分項分式的步驟如下 : [ 步驟一 : 化成真分式如果 P x 的次方大於 Qx, 則必須將 P x/qx 化為帶分式, P x Qx Sx + P x Qx 其中 Sx, P x 和 Qx 為多項式且 P x 的次方會小於 Qx 以下步驟二三四是針對真分式 P x Qx [ 步驟二 : 分母因式分解作討論將因子 Qx 分解成線性或二次因子 :px + q m 和 x + bx + c n, 其中 x + bx + c 必須在實數系中為不可分解的 [ 步驟三 : 二次因子對於每一個二次因子 x + bx + c n, 其部份分式必包含 n 個分式之和 : B x + C x + bx + c + B x + C x + bx + c + + B nx + C n x + bx + c n 8

2 84 數學傳播 6 卷 4 期民 0 年月詳細內容可參考微積分課本 Larson and Edwards [6, Section 8.5, p. 555 例 0: 陶懋頎單墫蘇淳嚴鎮軍 [, 5.., p. 04 計算級數值 k k + 的解 : 先設法將有理多項式拆解成部分分項, 利用對消化簡, 因此定出實數 A, B, 使得則 k k + A k + B k + Ak + + Bk 使對應項係數相等, 可得 A + B 0 A B 求得 A, B, 因此前 n 項和為 k k + [ 此外數列之無窮級數和為 lim [ k k + [ n n + [ n + n + 另外, 若遇到分母為 x 4 + 或 x 4 + 4y 4 此種形式, 可適當增減項之後, 利用配方法與平方差分解分母, 再將分式作轉換進而可以鄰項對消, 其中 x 4 + 和 x 4 + 4y 4 的分解如下 : x 4 + x 4 + x + x x + x x + x + x x + x 4 + 4y 4 x 4 + 4x y + 4y 4 4x y

3 級數求和對消和與對消乘積下 85 x + y xy x + xy + y x xy + y 例 : Andreescu and Gelca [4, Section.4, p. 49 試求 4k 4k 4 + 之值解 : 因為分母 4k 4 + 可以分解成 4k 4 + 4k 4 + 4k + 4k k + k k + k + k k + 且分子為 k + k + k k + 4k, 則級數為 4k 4k 4 + k + k + k k + k + k + k k + k k + k + k + + n + n + 有些級數並不容易看出其部份分式的類型, 因此需經轉換才為部份分式, 方便於求和, 以下例作說明 : 例 : Andreescu and Gelca [4, Section., p. 44 計算的值 k + k + k k + 解 : 先將分母有理化 k + k + k k + k + k k [ k + k + [ k k k + 則所求為 k + k + k k + kk + k + k kk + k + k k k + kk +

4 86 數學傳播 6 卷 4 期民 0 年月 k k n n + n + 並非所有部份分式皆可鄰項對消, 符合上述介紹之常見型式, 故以例子作說明 : 例 : 陶懋頎單墫蘇淳嚴鎮軍 [, 5.., p. 05 求級數的和解 : 此題等同於求值 k0 k + kk + k + 仍然運用部份分式方法, 因此先定出實數 A, B, C, 使得化簡即為 k + kk + k + A k + B k + + C k + k + Ak + k + + Bkk + + Ckk + 在其中令 k 0, 得 A ; 令 k, 得 B ; 令 k, 得 C, 則數列的前 n 項和為 [ S n + [ [ + + [ n + [ + n + [ n + n + n + n n n + n + 4 的對消現象表現在三個括號之間 : 每個括號內的三項中的最後一項可與其後括號內的中間項以及再後面一個括號內的第一項的和相抵消, 也就是 4 k + k + k 0, k, 4,..., n

5 級數求和對消和與對消乘積下 87 化簡可得 [ S n + [ [ [ n + n + n n + n + 所以無窮級數的和為 lim S n 5 4 由此題可知對消項不一定是相鄰, 可以跳項對消 4. 三角函數不同於之前所介紹的反差分之三角函數對消方法, 此節的三角函數對消求和型式為乘上一適當輔助量, 使得三角函數可鄰項對消或跳項對消例 4: Andreescu and Gelca [4, Section., p. 44 試計算 cos k 的值解 : 因為 cos k 乘上 sin 之後, 利用積化和差可得 sin cos k sin k + 其中假設 mπ, m 為一整數, 因此 sin cos k [ sin sin k [ sin k + sin k sin [ + + sin n + sin n + 因為 sin 是一個常數, 所以可得到 sin [ + sin 5 sin n sin cos k sin n + sin

6 88 數學傳播 6 卷 4 期民 0 年月例 5: Andreescu and Gelca [4, Problem, p. 試證對於所有 x kπ sin x sin x sin nx cos x cos x cos n x 均成立解 : 由餘弦函數的和角公式可知 cot x cosn + x sin x cos n x sin kx sin x cos kx cos x cos k + x 5 其中 k 為一特定正整數, 在 5 式等號兩邊同時除以 sin x cos k x, x kπ, k Z, 得到所求為 sin kx cos k x cos kx cos k + x sin x cos k x sin x cos k x sin x sin x sin nx cos x cos x cos x cos n x sin x + + cos x sin x cos x cos x cos n + x sin x sin x cos n x cos n + x cot x sin x cos n x 由例子可知, 解題技巧著重於和角公式的應用 cos x + sin x cos x cos x sin x cos x cos nx cos n + x sin x cos n x sin x cos n x 例 6: Andreescu and Gelca [4, Problem 8, p. 對於任何正整數 n 和實數 x kπ m, 其中 m 0,,,..., n 且 k 為整數, 試證解 : 成立 sin x + sin 4x + + sin n x cot x cot n x 6 i. 因為 sin x cos x cos x sin x

7 cos x sin x cos x cos x sin x cos x sin x cos x sin x cot x cot x 級數求和對消和與對消乘積下 89 ii. 推廣到 sin n x sin n x cos n x cos n x sin n x cos n x sin n x cos n x cos n x sin n x cosn x sin n x cos n x sin n x cot n x cot n x iii. 則所求為 [ sin n x [ cot n x cot n x cot x cot x + cot x cot 4x + + cot n x cot n x cot x cot n x 5. 階乘函數在特殊情況亦可使用對消法來求和, 例如 : 階乘函數例 7: Andreescu and Gelca [4, Problem, p. 47 試計算 k!k + k + 之值解 : 因為 k!k + k + [k + k k!, 所以 k!k + k + [ k + k k! [k +!k + k!k

8 90 數學傳播 6 卷 4 期民 0 年月!! +!! + + n +!n + n!n n +!n + 例 8: Andreescu and Gelca [4, Section., p. 44 計算 k! k 的值解 : 將 k! k 改寫為 k! k + k +! k!, 則 k +! k!!! +!! + + n +! n! n +! 經過對消之後, 則和為 n +! 階乘函數對消問題難有一定型式規則去依循, 題解重點在於將一般項 a k 透過加項補項或其他技巧改寫成 A k+ A k 6. 對消與合併乘積對消乘積有兩種常見型式, 其中一種為對消型, 另外一種為合併型 B I 對消型為能將 b k 拆解成 k+ B k+ B k 使得 b k 可得到乘積 B k II 合併型則需乘上一適當輔助量, 使得乘積之一般項可逐項化簡 B n+ B 6.. 平方差平方差公式是對消型常用手法之一, 其中平方差公式為 k k + k 經適當分解之後, 再分項對消求乘積例 9: Andreescu and Gelca [4, Section., p. 46 試證明 k 成立 k

9 解 : 利用平方差公式可知則 lim k k [ n k k k + k, 所以 k [ n n + k k [ 4 n + n k 級數求和對消和與對消乘積下 9 k k k n n + k + k n + n n + lim k n 合併型則需藉著適當輔助量作變換, 以下例來說明 : 例 0: Andreescu and Gelca [4, Problem, p. 48 試計算因為, 因此將原式改寫 0 k0 + lim k 0 n k0 k0 + k + 之值 k 且利用平方差公式可知 + k k k+ 所以 n0 + lim k 0 n k0 + + k + + n lim 0 0 lim n+ 此外, 立方和與立方差公式, 亦可被使用在對消乘積類型的題目中 [ 立方和公式 a + b a + ba ab + b [ 立方差公式 a b a ba + ab + b

10 9 數學傳播 6 卷 4 期民 0 年月例 : Andreescu and Gelca [4, Problem, p. 48 試證成立 k k k + 解 : 因為 k k k + k k + k + k + k k +, 所以 k k + lim k lim k + lim k [ k k k + lim k k k + k + + k k + k k + k + k + k k n n n n n n n n + n n + n + n + + n n + lim n + n + + nn + 由題目可歸納出幾個解題重點 :. 對消型 : 若原函數為平方差立方和或立方差型式, 則原式展開後之乘積為拆項分別作對消例 : k k k + k k k k n k + k. 合併型 : 若原函數為平方差立方和或立方差型式之展開式其中一式, 則需乘上一適當輔助量, 再作對消例 : k0 + k 0 0 n k k + + n 三角函數乘積亦包含對消型與合併型兩種型式, 此節將介紹利用和角公式半角與倍角公式求乘積之題型

11 6.. 半角與倍角公式例 : Andreescu and Gelca [4, Problem, p. 試求 tan k π n + 的值解 : 因為 tan x tan x tan x, 則利用對消的性質 tan k π n + π tan n n + tan n+ π n + tan k π n + tan π n + tan 4π n + n + tan π n tan π π n + tan kπ n + tan k+ π n + tan 4π n + tan 8π n + π tan n n + tan π n + 級數求和對消和與對消乘積下 9 tan n π n + tan n+ π n + n 例 : Andreescu and Gelca [4, Problem 0, p. 對於所有非零實數, 試證恆成立解 : 由半角公式可知 cos k sin cos θ sin θ sin θ 7 cos lim k n lim lim sin cos lim k [ sin sin sin n sin n lim x 0 sin sin 4 sin sin sin k lim x sin x 令 x n k sin n sin n n sin n

12 94 數學傳播 6 卷 4 期民 0 年月 sin sin lim x 0 cos x 根據 L Hospital s Rule 由例題可知, 題目大部分不是直接以半角或倍角公式型式存在, 必須藉由乘上一適當輔助量, 再利用和角公式轉換一般式, 進而可以逐項對消然而, 不僅是半角與倍角公式, 有些題型是綜合半角倍角公式或三倍角公式而成, 如下例所示 : [ 三倍角公式 sin sin 4 sin cos 4 cos cos 例 4: Andreescu and Gelca [4, Problem 4, p. 試證 + cos π π 9π 7π + cos + cos + cos 成立解 : 因為 cos k cos k 4 cos k + cos k cos k 9 令 k k + π 代入 9, 再除以可得 cos k + π + cos k [ cos k + π cos k + π sin k sin k 則所求為 + cos π π 9π 7π + cos + cos + cos π sin 40 9π sin 40 7π sin 40 8π sin 40 sin π 40 sin π sin 9π sin 7π π sin 40 6 sin π 積化和差公式

13 級數求和對消和與對消乘積下 95 例 5: Andreescu and Gelca [4, Problem, p. 對於整數 n >, 試證成立 cos 解 : 將 0 式同乘 n sin π n, 且因為所以 π n cos 4π n cos n π n n 0 sin π k cos π k 4π sin k n sin π n cos π n cos 4π n cos n π n n sin 4π n cos 4π n cos n π n. sin n+ π n sin 因為 n sin π n 為常數, 則所求為 cos π + π sin π n n π n cos 4π n cos n π n n 參考文獻. 陶懋頎單墫蘇淳嚴鎮軍譯, 常庚哲校 00 通過問題學解題, 一版二刷台北 : 九章出版社. 常豐 997 反差分計算在數列求和上的應用, 工科數學第卷第 4 期蚌埠 : 蚌埠教育學院. Andreescu, T. and Gelca, R Putnam and Beyond. New York: Springer Verlag. 4. Andreescu, T. and Gelca, R Mathematical Olympiad Challenges, nd edition. New York: Springer Verlag. 5. Graham, R.L., Knuth, D.E. and Patashnik, O Concrete Mathematics: A Foundation for Computer Science, nd edition. New York: Addison-Wesley Publishing Company. 6. Larson, R. and Edwards, B.H. 00. Calculus, 9th edition. New York: Brooks/Cole, Cengage Learning, Inc. 7. Miller, K.S An Introduction to the Calculus of Finite Differences and Difference Equations. New York: Henry Holt.

14 96 數學傳播 6 卷 4 期民 0 年月 8. Rosen, K. H Handbook of Discrete and Combinatorial Mathematics. Boca Raton, FL: CRC Press. 本文作者林宜嬪任教私立興國高級中學, 張福春任教國立中山大學應用數學系超表示論研討會 Workshop on Super Representation Theory 日期 : 0 年 5 月 0 日星期五 0 年 5 月日星期日地點 : 台北市大安區羅斯福路四段號天文數學館 6 樓中研院數學所演講廳 69 研討室詳見中研院數學所網頁 Conference on Diophantine Problems and Arithmetic Dynamics 日期 : 0 年 6 月 4 日星期一 0 年 6 月 8 日星期五地點 : 台北市大安區羅斯福路四段號天文數學館 6 樓中研院數學所演講廳 69 研討室詳見中研院數學所網頁

lim f(x) lim g(x) 0, lim f(x) g(x),

2016 11 14 1 15 lim f(x) lim g(x) 0, lim f(x) g(x), 0 0. 2 15 1 f(x) g(x) (1). lim x a f(x) = lim x a g(x) = 0; (2). a g (x) f (x) (3). lim ( ). x a g (x) f(x) lim x a g(x) = lim f (x) x a g (x). 3 15

84 數學傳播 6 卷 4 期民 0 年 月 詳細內容可參考微積分課本 Larson and Edwards [6, Section 8.5, p. 555 例 0: 陶懋頎 單墫 蘇淳 嚴鎮軍 [, 5.., p. 04 計算級數 值 k k + 的 解 : 先設法將有理多項式拆解成部分分項, 利

84 數學傳播 6 卷 4 期民 0 年月詳細內容可參考微積分課本 Larson and Edwards [6, Section 8.5, p. 555 例 0: 陶懋頎單墫蘇淳嚴鎮軍 [, 5.., p. 04 計算級數值 k k + 的解 : 先設法將有理多項式拆解成部分分項, 利