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僚韩
5 years ago
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1 第四章壽險與年金商品純保費之比較死亡率的逐年降低, 對於保險公司販售年金商品而言, 壽命的延長使得保險公司未來支出將會增加, 如果初期年金保費沒有考慮到死亡率逐年遞減的狀況, 導致年金保費收入不足, 將會影響保險公司的財務, 而另一方面販賣壽險商品的保險公司則會隨著死亡率的逐年遞減情形, 造成保費多收的情況本章將比較各國在透過兩模型推估的預測死亡率計算之下的壽險商品 ( 及年金商品 ) 之純保費高 ( 低 ) 估比例, 其中假設利率為 3%,100 歲為最高年齡上限所謂的高 ( 低 ) 估比立政治例指的是在比較兩種死亡率假設之下的結果, 舉例來說當計算壽險 ( 年金 ) 純保費時, 一為固定死亡率即 2005 年的各年齡死亡率, 另一為變動死亡率即 2005 年世大國代的人, 隨時間改變各年齡死亡率的估計, 其變動死亡率計算出來的保費減去固學定死亡率估計計算出的保費, 此差額佔原本透過固定死亡率計算出來保費的比例, 正值表示使用固定死亡率將會造成保費低估, 負值則代表使用固定死亡率將 National Chengch 會造成保費高估本研究欲了解三種商品純保費之高 ( 低 ) 估比例大小, 分別為 : (1) 即期年金,(2) t 年遞延期間的遞延年金,(3) n 年期之壽險商品 ( 包含終身壽險 ), 此節將依序列出各國在透過不同模型假設之下計算出來的三種商品之純保費高 ( 低 ) 估比例大小在 (2) 和 (3) 的比較中, 以 contour 圖形呈現, 在遞延年金部 i University 分以顏色越趨向粉紅色代表低估的比例越大 ; 而壽險部份則是越趨向深綠色部分代表高估的比例越大在第一節的部份將先計算各年齡不同保障期間的壽險純保費高 ( 低 ) 估比例, 並從中選取三種年齡比較不同國家以及不同模型之間的差異, 第二節則是計算即期年金以及遞延年金純保費之高 ( 低 ) 比例, 在即期年金的部份另外選取三種年齡比較不同國家和不同模型之間的差異 ; 而在遞延年金的部份則比較同一購買年齡不同遞延期間的國家與模型之間的差異

2 第一節壽險保費的比較本文在壽險商品的純保費計算上, 假設利率固定為 3%, 各國生存年齡上限為 100 歲, 超過最高年齡上限的單一年齡死亡率為 1( 即 q 100 = 1) 一開始我們先分別計算兩種模型推估出的預測死亡率之下的純保費高估比例大小, 之後再觀察兩模型之差異計算終身壽險保費方式如下 : = k+ 1 x ( ) k x( ) 1+ k x+ k ( ) k= 0 A t v P t q t 其中, Ax ( t ) 表示為第 t 年死亡率之下計算出 x 歲的人之終身壽險的躉繳純保費 k 1 v + 表示 k+1 年後的貼現值 (Discount Value) k P ( t ) 表示第 t 年死亡率之下, 現年 x 歲的人可以存活到 x+k 歲的機率 x 1 + k qx+ k ( t) 表示第 t 年的死亡率之下, 現年 x 歲的人會在 x+k~x+k+1 歲之間死亡的機率固定死亡率即是當 t 固定為 2005 年, 而使用變動死亡率即是將上式中的 t 隨時間變動而改變以下將先呈現不同年齡及不同保障期間的壽險保費高估比例的圖形, 接下來再進一步挑選出三種年齡分別為 50 歲 60 歲與 70 歲的終身壽險保費比較, 試圖從中了解死亡率的高估如何影響壽險保費高 ( 低 ) 估的值, 並進一步了解高 ( 低 ) 估比例大小與保障期間以及年齡的關係

3 首先觀察台灣部份的結果, 從圖 4-1~ 圖 4-4 觀察定期壽險部份, 以 LC 比較男女性結果發現, 女性高估比例比男性來得高,PCA 的部分亦同 ; 而比較兩模型的男女性部分, 男性的部份,LC 比 PCA 變化來得規律, 從圖 4-3 觀察到 PCA 部分出現兩部分顏色的隆起, 隱含著若以 PCA 在估計未來死亡率時, 各年齡死亡率的預測存在較多不同方向的變化, 即各年齡的死亡率可能會逐年遞增或逐年遞減的情形較不一致圖 4-1 台灣男性壽險高估比例 (LC) 圖 4-2 台灣女性壽險高估比例 (LC) 圖 4-3 台灣男性壽險高估比例 (PCA) 圖 4-4 台灣女性壽險高估比例 (PCA)

4 日本的壽險純保費部份, 性別比較上兩模型皆為女性低估比例高於男性的結果 ; 在模型比較上, 相對於男性的模型差異而言, 女性存在較大的差異性圖 4-5 日本男性壽險高估比例 (LC) 圖 4-6 日本女性壽險高估比例 (LC) 圖 4-7 日本男性壽險高估比例 (PCA) 圖 4-8 日本女性壽險高估比例 (PCA)

5 異美國壽險保費在性別的比較上, 女性皆高於男性 ; 而模型比較上較無明顯差圖 4-9 美國男性壽險高估比例 (LC) 圖 4-10 美國女性壽險高估比例 (LC) 圖 4-11 美國男性壽險高估比例 (PCA) 圖 4-12 美國女性壽險高估比例 (PCA) 最後, 在英國壽險的性別比較上, LC 模型的高估比例女性高於男性,PCA 則反之 ; 在模型的比較上, 男性在兩模型之間的差異性高於女性值得ㄧ提的是, PCA 男性的結果出現白色區塊, 顯示保單到期年齡為 20 歲 ~30 歲的情況下, 出現壽險保費可能會低估的狀態 ( 即動態死亡率計算出的純保費高於固定死亡率 ) 可能的解釋為在使用 PCA 模型之下,20 歲至 30 歲左右的第二主成分的年齡與年代效果相乘結果使死亡率逐年遞增的效果大於第一主成分死亡率逐年改

6 善的效果, 使得該年齡左右的單齡死亡率並無出現逐年遞減的情況, 反而出現死亡率遞增的情況, 因此在計算壽險保費時, 出現了某些年齡在某一區間的保障期間會出現壽險純保費反而低估的情況, 但之後隨著保障期間增加又會出現保費高估的情況圖 4-13 英國男性壽險高估比例 (LC) 圖 4-14 英國女性壽險高估比例 (LC) 圖 4-15 英國男性壽險高估比例 (PCA) 圖 4-16 英國女性壽險高估比例 (PCA) 整體而言, 在壽險純保費會出現高估的情況, 且在同一購買年紀下, 保費高估大小會隨保障期間而遞增, 但到達某一保障期間之後又會逐漸遞減可能原因推估為與高估比例大小有關的 k Px ( t ) 以及 1 + k qx+ k ( t) 兩者之間的交互影響, 使得在

7 計算變動死亡率計算出來的保費減去固定死亡率估計計算出的保費, 兩者差額佔原本透過固定死亡率計算出來保費的比例時, 會因為在 1 + k qx+ k ( t) 部分會以低年齡組的較低, 而 P ( t ) 則是以高年齡組的來得比較低的緣故, 造成計算較低年齡組 k x 的保費高估比例時主要受分母部分的 1 + k qx+ k ( t) 影響, 相反的高年齡組則主要受分母部分的 P ( t ) 的影響, 兩種因素的交互影響之下, 造成某一年齡在購買定期險 k x 時, 一開始保費高估比例主要受 1 + k qx+ k ( t) 影響而隨保障期間逐漸增加, 但到達高年齡之後則轉變為主要受 P ( t ) 影響, 造成保費反而在使用固定死亡率估計的保 k x 費會有低估的影響, 因此會看到以上的圖形呈現各年齡的保費高估比例隨保障期間逐漸變大, 之後因為受高年齡組保費低估的影響使得保費高估情形轉變為逐漸變小的結果最後, 加拿大與法國部份的結果, 分別與美國和英國有相似的情形, 因此在此並不詳述, 兩國家圖形比較詳見附錄四以上是從圖形了解死亡率模型對於不同保障期間與不同年齡壽險保費的影響接下來我們從中挑選三種購買年齡, 分別為 50 歲 60 歲與 70 歲計算終身壽險保費的高估比例以下縱座標表示高估比例, 呈現負值代表變動死亡率計算的保費低於採用固定死亡率計算的保費, 即表示如果保險公司在期初採用固定的死亡率估計, 則有可能發生保費高收的情況, 而從圖 4-17 與圖 4-18 得知高估的幅度隨年齡遞增而遞減 Lee-Carter 高估比例落於 1%~12%, 且不論哪一種年齡的高估比例皆以日本女性最高, 加拿大男性最低 PCA 高估比例則落於 0.7%~16%, 同於 Lee-Carter 結果, 不論哪一種年齡皆是以日本女性的高估比例最高, 但不同的地方是只有在 70 歲的高估比例是以加拿大男性的為最低,50 歲和 60 歲的部份則以美國男性為最低再從圖 4-19 觀察兩模型之絕對差異, 我們將 PCA 計算出來的壽險保費高估比例去扣掉 Lee-Carter 的結果, 發現若以洲別分開觀察, 在亞洲部份除了台灣男性以外,PCA 高估的比例皆高於 Lee-Carter

8 的高估比例, 且隨年紀遞增而遞減相差的比例 ; 美洲部分, 除了加拿大男性之外, Lee-Carter 高估的比例高於 PCA, 且和亞洲部分呈現相同趨勢, 皆為隨年紀遞增而減緩相差的高估比例大小 ; 最後在歐洲國家則有較一致的結果, 幾乎都是呈現 PCA 比例高於 Lee-Caret 的結果, 相差比例也是隨年紀遞增而遞減從以上的結果, 我們可以得到結論, 在台灣男性美國男女性及加拿大女性,Lee-Carter 的壽險高估比例高於 PCA 的高估比例, 其餘國家皆是 PCA 的比例較高, 但不論哪一種模型計算出來的比例較高, 皆呈現同一個趨勢, 即差異的大小隨年紀遞增而遞減, 範圍落於 -1%~5% 圖 4-17 壽險保費高估比例 (Lee-Carter)

9 圖 4-18 壽險保費高估比例 (PCA) 圖 4-19 Lee-Carter 與 PCA 壽險保費高估比例之差異

10 第二節年金保費的比較影響年金訂價 (pricing) 的因素有死亡率和利率等, 而終身年金純保費乃是以生命表的存活機率來計算未來存活期間可獲得的現值總額, 若年金訂價基礎使用不當的假設, 則將失去精算訂價的精確性 Brown, et al. (2000) 分別針對死亡率風險及通貨膨脹風險, 分析對美國躉繳年金商品訂價趨勢影響, 文中表示出, 現行使用單一世代生命表, 並無法反應出不同世代間死亡率的逐年改善現象假設年金為每年年初領取一次, 每次 1 元, 則終身年金現值表示如下 : = k x k x k= 0 aɺɺ ( t) v P ( t) 其中 aɺɺ ( t) 表示為第 t 年死亡率之下計算出 x 歲的人之即期終身年金的躉繳純保費 x k v 表示 k 年後的貼現值 (Discount Value) k P ( t ) 表示第 t 年死亡率之下, 現年 x 歲的人可以存活到 x+k 歲的機率 x 同時本文亦比較遞延年金低估比例, 計算遞延年金如下 : aɺɺ ( t) = v k P ( t) aɺɺ + ( t) k x k x x k 如同終身壽險保費一樣, 當使用變動死亡率時, 上式中的 t 會隨時間變動而改變另外, 本文假設各國人口年齡上限為 100 歲, 超過最高年齡上限的單一年齡死亡率為 1( 即 q 100 = 1) 從圖 4-1~ 圖 4-4 觀察即期年金的部份,LC 模型之下的男性低估比例會比女性來得高, 但最高的低估比例發生, 男女性差不多都發生在 50~60 歲左右, 而 PCA 模型下, 在 70 歲前男性低估比例比女性來得小,70 歲之後男女性差異較小, 而從圖 4-21 可以發現在 PCA 模型之下, 男女性在趨勢上不太相同, 觀察最高低估比例發生的年齡, 男性約在 70 歲左右, 而女性則是比較早, 發生在 50~60 歲左右 ; 在模型的比較上, 男性的部分 LC 低估比例大致高於 PCA, 而最高的低估

11 比例發生的年齡以 LC 的較早, 女性部份,LC 反而比 PCA 來得低, 但最大低估比例的發生年齡則差不多在接近 60 歲左右除此之外, 我們可以清楚看出 PCA 模型之下的男性保費低估比例圖形較不規律, 隱含在利用 PCA 方法推估未來死亡率時, 各年齡組死亡率並非如同在 Lee-Carter 模型之下都會呈現死亡率改善的趨勢, 而是存在一些年齡組的死亡率反而是增加的現象, 因此造成整體的圖形出現不規律變動的情形圖 4-20 台灣即期年金性別比較 (LC) 圖 4-21 台灣即期年金性別比較 (PCA) 圖 4-22 台灣男性即期年金模型比較圖 4-23 台灣女性即期年金模型比較從圖 4-24~ 圖 4-27 觀察遞延年金部分,LC 的部份, 男性的低估情形比女性

12 來得嚴重, 而 PCA 模型在男女性之間的差異性較小 ; 在模型的比較上, 發現不管是男女性,PCA 保費低估的比例都比 LC 來得高圖 4-24 台灣男性遞延年金低估比例 (LC) 圖 4-25 台灣女性遞延年金低估比例 (LC) 圖 4-26 台灣男性遞延年金低估比例 (PCA) 圖 4-27 台灣女性遞延年金低估比例 (PCA) 日本部份, 從即期年金的結果觀察到, 在 LC 模型上, 兩性差別不大, 但在 PCA 部分女性在較高年齡組部份保費低估比例略大於男性, 而發生轉折的年齡皆為女性略晚於男性 ; 若以模型比較低估比例,PCA 大致上都比 LC 來得高

13 圖 4-28 日本即期年金性別比較 (LC) 圖 4-29 日本即期年金性別比較 (PCA) 圖 4-30 日本男性即期年金模型比較圖 4-31 日本女性即期年金模型比較遞延年金部分, 在男女性之間的比較部份, 不管是哪一模型皆顯示性別之間並無存在太大的差異 ; 而在模型之間的比較部份, 以男性來看, 若固定同ㄧ年齡 ( 縱軸 ) 觀察橫軸變化, 發現 PCA 的低估比例會比 LC 來得高, 女性亦呈同樣結果

14 圖 4-32 日本男性遞延年金低估比例 (LC) 圖 4-33 日本女性遞延年金低估比例 (LC) 圖 4-34 日本男性遞延年金低估比例 PCA) 圖 4-35 日本女性遞延年金低估比例 (PCA) 美國即期年金部分, 不管哪一個模型之下, 男女性差別不大, 但男性發生轉折點的年齡比女性來得早 ; 模型之間的比較上 LC 模型皆略高於 PCA 的保費低估比例

15 圖 4-36 美國即期年金性別比較 (LC) 圖 4-37 美國即期年金性別比較 (PCA) 圖 4-38 美國男性即期年金模型比較圖 4-39 美國女性即期年金模型比較遞延年金部分, 在性別比較部份, 無太大差異性 ; 在模型比較部份,LC 的結果皆高於 PCA

16 圖 4-40 美國男性遞延年金低估比例 (LC) 圖 4-41 美國女性遞延年金低估比例 (LC) 圖 4-42 美國男性遞延年金低估比例 PCA) 圖 4-43 美國女性遞延年金低估比例 (PCA) 英國部分, 在 LC 模型部分, 男女性之間沒有太大差異, 但在 PCA 部分, 男性的保費低估比例大致比女性來得高若觀察性別之間發生轉折點的年齡, 男性早於女性 ; 而模型上的比較則是 PCA 的低估比例大於 LC 的結果, 其中又以男性的差異較大

17 圖 4-44 英國即期年金性別比較 (LC) 圖 4-45 英國即期年金性別比較 (PCA) 圖 4-46 英國男性即期年金模型比較圖 4-47 英國女性即期年金模型比較遞延年金部分, 男性低估比例高於女性, 其中圖形出現白色區塊處, 代表其低估比例超過 6; 在模型比較上, 男女性的結果皆是 PCA 之低估比例高於 LC, 其中又以男性的差異較大

圖 4-48 男性遞延年金低估比例 (LC) 圖 4-49 女性遞延年金低估比例 (LC) 圖 4-50 男性遞延年金低估比例 PCA) 圖 4-51 女性遞延年金低估比例 (PCA) 在比較即期終身年金純保費低估比例部份, 同樣計算採用固定的 2005 年的估計死亡率和變動死亡率計算出來的保費相差比例, 購買即期年金年齡有三種 :50 歲 60 歲與 70 歲, 利率固定為 3%

18 圖 4-48 男性遞延年金低估比例 (LC) 圖 4-49 女性遞延年金低估比例 (LC) 圖 4-50 男性遞延年金低估比例 PCA) 圖 4-51 女性遞延年金低估比例 (PCA) 在比較即期終身年金純保費低估比例部份, 同樣計算採用固定的 2005 年的估計死亡率和變動死亡率計算出來的保費相差比例, 購買即期年金年齡有三種 :50 歲 60 歲與 70 歲, 利率固定為 3% 各別兩種模型計算結果之後, 最後再比較 PCA 對於 Lee-Carter 數值之絕對差異從圖 4-52~ 圖 4-53 得知兩模型即期年金保費低估比例結果不像壽險結果具規律, 在 Lee-Carter 部分, 除了日本女性之外, 低估比例的大小隨年紀遞增而遞減, 低估比例落於 2%~7%;PCA 部分, 除了亞洲國家和法國女性之外, 低估比例的大小隨年紀遞增而遞減, 低估比例則落於 1%~9% 兩模型差異大小以洲別分述, 在亞洲國家, 除了台灣男性之外, 其他國家皆是 PCA

19 低估比例高於 Lee-Carter, 且差異隨年齡遞增而遞增 ; 在美洲國家, 除加拿大男性以外,Lee-Carter 低估比例皆高於 PCA, 且差異隨年紀遞增而遞增 ; 在歐洲部份, 除法國男性 70 歲之外,PCA 的低估比例高於 Lee-Carter 的低估比例, 不同於亞洲國家的部份, 兩模型差異隨年紀遞增而遞減圖 4-52 即期年金保費低估比例 (Lee-Carter)

20 圖 4-53 即期年金保費低估比例 (PCA) 圖 4-54 Lee-Carter 與 PCA 估計即期年金保費低估比例之差異在比較遞延年金時, 我們計算 40 歲的三種遞延期間, 即三種領取年金年齡 : 50 歲 60 歲與 70 歲, 比較基準如上所述從以下的圖得知, 各國的兩模型之遞

21 延年金保費低估比例都是隨年紀遞增而遞增, 低估比例高於即期年金落於 5%~40% 而從圖 4-81 觀察兩模型之絕對差異大小, 以洲別分述之, 亞洲國家除了台灣男性之外,PCA 的低估比例皆高於 Lee-Carter, 而差異大小隨年紀遞增而遞增 ; 美洲部分, 除加拿大男性之外,Lee-Carter 低估比例高於 PCA, 且隨年紀遞增而遞增 ; 歐洲國家則較一致, 皆為 PCA 低估比例高於 Lee-Carter, 且隨年紀遞增而遞增圖 4-55 遞延年金保費低估比例 (Lee-Carter)

22 圖 4-56 遞延年金保費低估比例 (PCA) 圖 4-57 Lee-Carter 與 PCA 估計遞延年金保費低估比例之差異

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