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1 Chapter Lear Trasformatos ad Matrces - Lear Trasformatos, Null Spaces, ad Rages A fucto T wth doma V ad codoma W s deoted by T: V W 定義域 為 V, 對應域 為 W 的函數註記為 T: V W DEFINTION. Lear trasformato Let V ad W be vector spaces (over F). We call a fucto T: V W a lear trasformato from V to W f, for all x,y V ad c F, we have (a) T(x+y) T(x)+T(y) ad (b) T(cx) ct(x). 令 V 與 W 為佈於 F 的向量空間 若 T 要稱為 由 V 映至 W 的線性轉換, 則表示對所有屬於 V 的 x y 與屬於 F 的 c 而言, 必須滿足 (a)t(x+y) T(x)+T(y);( b)t(cx) ct(x) 意即, 轉換要能滿足這兩個條件才能稱為線性轉換 We ofte smply call T lear. 常簡稱 T 為線性 Verfyg the followg propertes of a fucto T: V W. 驗證線性轉換 T: V W 所具備的性質 :. If T s lear, the T(). 若 T 是線性轉換, 則 T(). T s lear f ad oly f T(cx+y) ct(x) + T(y) for all x, y V ad c F. T 是線性 若且惟若 T(cx+y) ct(x) + T(y) ( 對所有 x, y V 且 c F) 3. If T s lear, the T(x-y) T(x) - T(y) for all x, y V. 若 T 是線性, 則 T(x-y) T(x) - T(y)( 對所有 x, y V) 4. T s lear f ad oly f, for x, x,, x V ad a, a,, a F, we have T a x a T(x ) T 是線性轉換 若且惟若 對所有 x, x,, x V 且 a, a,, a F T a x a T(x )

2 EXAMPLE Defe T: R R by T(a, a ) (a +a, a ). To show that T s lear. Let c R ad x, y R, where x (b, b ) ad y (d, d ). Sce cx+y c(b, b ) +(d, d ) (cb +d, cb +d ) T(cx+y) T(cb +d, cb +d ) ((cb + d ) + cb + d, cb +d ) Also ct(x) + T(y) ct(b,b ) + T(d,d ) c(b + b, b ) +(d +d, d ).. ((cb +d )+ cb +d, cb +d ) So T s lear. 定義 T: R R 為 T(a, a ) (a +a, a ), 驗證 T 是線性 利用 Property 得知 T 是線性轉換. T s lear f ad oly f T(cx + y) ct(x) + T(y) for all x,y V ad c F. DEFINITION. Rotato For ay agle θ, defe T θ : R R by the rule: T θ (a, a ) s the vector obtaed by rotatg (a, a ) couterclockwse by θ f (a, a ) (, ) ad T θ (, ) (, ). The T θ :R R s a lear trasformato that s called the rotato by θ. 定義 T θ : R R 為 : 若 (a,a ) (,), 則 T θ (a, a ) 為以逆時針方向將點 (a, a ) 旋轉 θ 角後所得到的向量 ; 若 (a, a ) (, ), 則 T θ (,) (,) T θ : R R 為線性轉換, 且稱 T θ 為將點 (a, a ) 旋轉 θ 角 導出 T θ 的公式 We determe a explct formula for T θ. Fx a ozero vector (a, a ) R. Let α be the agle that (a, a ) makes wth the postve x-axs, ad let r +. The a a a r cos α ad a r s α Also, T θ (a, a ) has legth r ad makes a agle θ + α wth the posvve x-axs. The explct formula for T θ 換轉公式 : T θ (a, a ) (rcos( θ + α ), rs( θ + α ))...(a cos θ -a s θ, a s θ +a cos θ ) Fally, observe that ths same formula s vald for (a, a ) (,) r 是 (a, a ) 與原點的距離, α 是 (a, a ) 與 x 軸的起始夾角

3 DEFINITION.3 Reflecto Defe T:R R by the rule: T(a, a ) ( a, -a ). T s called the reflecto about the x-axs. 定義 T:R R 為 T(a, a ) ( a, -a ) T 稱為繞 x 軸的鏡射 DEFINTION.4 Projecto Defe T: R R by the rule: T(a, a ) ( a, ). T s called the projecto o the x- axs. 定義 T:R R 為 T(a, a ) ( a, ) T 稱為在 x 軸的投影 EXAMPLE Defe T: M m (F) M m (F) by the rule: T(A) A t, where A t s called the traspose of A. To show that T s lear. 定義 T: M m (F) M m (F) 為 T(A) A t 其中 A t 為 A 的導置矩陣 證明 T 是線性轉換 利用 Property 證明 T 是線性轉換 : 令 A B M m (F) 且 a F, 則 T(aA+B) (aa+b) t aa t +B t at(a)+t(b) 故 T 是線性轉換. T s lear f ad oly f T(cx + y) ct(x) + T(y) for all x,y V ad c F. EXAMPLE 3 Defe T: P (R) P - (R) by T(f(x)) f (x), where f (x) deotes the dervatve of f(x). To show that T s lear. 定義 T: P (R) P - (R) 為 T(f(x)) f (x) 其中 f (x) 為 f(x) 的導數, 證明 T 是線性轉換 利用 Property 得知 T 是線性轉換 EXAMPLE 4 Let V C(R), the vector space of cotuous real-valued fuctos o R. Let a, b R, a<b. Defe T: V R by T (f ) f(t)dt for all f V. To show T s lear. b a 3

4 令 V C(R) 是 R 上連續實數函數的向量空間,a 與 b 為 R 的元素且 a<b 定義 T: V R 為 T (f ) b f(t)dt 證明 T 是線性轉換 a 利用 Property 證明 T 是線性轉換 : 函數 f(t) 的線性組合的定積分等於函數定積分的線性組合 : b T(cx + y) (cx + y)dt c xdt+ a a b a b ydt ct(x) + T(y) DEFINTION.5 Idetty trasformato For vector space V ad W, defe detty trasformato I v : V V by I v (x) x for all x V. V 與 W 為向量空間, 定義單位轉換 I v : V V 為 I v (x) x; 意即單位轉換為由 V 映至 V 的一種轉換, 定義域內的所有元素 x, 單位轉換後的 像 為本身, 即單位轉換是一種 像 等於 前像 的轉換 簡言之 :I 是 自己對到自己 DEFINTION.6 Zero trasformato For vector space V ad W, defe zero trasformato T : V W by T (x) for all x V. V 與 W 為向量空間, 定義零轉換 T : V W 為 T (x) ; 意即零轉換是一種 像為 的轉換 簡言之 :T 是對到, 即 像為 DEFINTION.7 Null space or Kerel Let V ad W be vector space, ad let T: V W be lear. We defe the ull space (or kerel) N(T) of T to be the set of all vectors x V such that T(x) ; that s, N(T) {x V: T(x) }. V 與 W 為向量空間, 且 T: V W 為線性轉換 定義線性轉換 T 的 Null space 為 V 內所有滿足 T(x) 的向量 x 所形成的集合, 註記為 N(T) Null space 的元素 x 經線性轉換 T 轉換後所對應的 像 為, 意即 T(x) Null space 內的元素的 像 皆為 簡言之 :T 的 NULL SPACE 是 V 內 T(x) 的元素所形成的集合, 定義域 V 這 4

5 一端的子集合 DEFINTION.8 Rage or Image Let V ad W be vector space, ad let T: V W be lear. We defe the rage (or mage) of T to be subset of W cosstg of all mages (uder T) of vectors V; that s, R(T) {T(x): x V}. V 與 W 為向量空間, 且 T: V W 為線性轉換 定義線性轉換 T 的 Rage 為所有 V 內的元素 x 的像 T(x) 所形成的集合, 是 W 的子集合, 註記為 R(T) Rage 是對應域 W 的子集合, 其所有元素係為 V 的所有元素 x 所對應的像 T( x) 意即 R(T) {T(x): x V} 簡言之 :T 的 RANGE 是 W 內 T(x) 所形成的集合, 對應域 W 那這一端 EXAMPLE 5 Let V ad W be vector spaces, ad let I: V V ad T : V W be the detty ad zero trasformato, respectvely. The N(I) {}, R(I) V, N(T ) V, ad R(T ) {}. V 與 W 為向量空間 Idetty trasformato I: V V 與 Zero trasformato T : V W 的 Null space 與 Rage, 分別為 N(I) {} R(I) V N(T ) V R(T ) {} 因 I(x) x 是自己對到自己, 會對到 者, 當然就是, 故 N(I) 當然就是 {}, Rage 當然就是定義域 V 因 T (x) 是對應到,Rage 當然就是 {},N(T ) 當然就是定義域 V! EXAMPLE 6 Let T: R 3 R be lear trasformato defed by T(a, a, a 3 ) (a -a, a 3 ). To verfy that N(T) { (a, a, ): a R} ad R(T) R. 定義線性轉換 T: R 3 R 為 T(a, a, a 3 ) (a -a, a 3 ) 驗證 T 的 N(T) 與 R(T) 分別為 N(T) {(a, a, ): a R} 與 R(T) R Null space:image 為 者, 其前像條件為 a a 且 a 3 Theorem. Let V ad W be vector spaces ad T: V W be lear. The N(T) ad R(T) are 5

6 subspaces of V ad W, respectvely. 令 V 與 W 為向量空間且 T: V W 為線性轉換 證明 N(T) 與 R(T) 分別為定義域 V 與對應域 W 的子空間 子空間的條件?W 為 V 的一子空間, 若且唯若下列三條件成立 :(a) W (b) 當 x W 且 y W 時, 則 x+y W (c) 當 c F 且 x W 時,cx W Proof Usg V ad W to deote the zero vectors of V ad W. Sce T( V ) W, we have that V N(T). Let x, y N(T) ad c F. The T(x+y) T(x) + T(y) W + W W, ad T(cx) ct(x) c W W. Hece x+y N(T) ad cx N(T), so that N(T) s a subspace of V. Because T( V ) W, we have that W R(T). Let x, y R(T) ad c F. The there exst v ad w V such that T(v) x ad T(w) y. So that T(v+w) T(v)+T(w) x + y, ad T(cv) ct(v) cx. Thus x+y R(T) ad cx R(T), so that R(T) s a subspace of W. 令 V 與 W 分別為 V 與 W 的零向量 依據線性轉換的特性 :T( V ) W, 所以 V N(T) 令 x y N(T) 且 c F, 則 T(x + y) T(x) + T(y) W + W W 且 T(cx) ct(x) c W W x + y N(T) 且 cx N(T) 滿足封閉性 N(T) 是 V 的子空間 依據線性轉換的特性 :T( V ) W, 所以 W R(T) 令 x y R(T) 且 c F, 則 V 中存在 v 與 w 使得 T(v) x 且 T(w) y 且 T(v+w) T(v)+T(w) x+y 且 T(cv) ct(v) cx x+y R(T) 且 cx R(T) 滿足封閉性 R(T) 是 W 的子空間 The ext theorem provdes a method for fdg a spag set for the rage of a lear trasformato. Theorem. 用來找尋線性轉換的值域的 spag set 6

7 Theorem. Let V ad W be vector spaces, ad let T: V W be lear. If {v, v,, v } s bass for V, the R(T) spa(t()) spa({t(v ), T(v ),,T(v )}). 令 V 與 W 為向量空間, 且 T: V W 為線性轉換 若 {v, v,, v } 是定義域 (Doma)V 的基底, 則 T 的值域 Rage R(T) 可由 T() 來生成 意即 R(T) spa(t()) spa({t(v ), T(v ),, T(v )}) 提醒 : 令 V 是一空間向量且 {u, u,, u } 為 V 的子集合, 則 是 V 的基底的條件 若且惟若 V 內每一個向量 v 皆能被唯一表達為 內向量 u, u,, u 的線性組合 :v a u + a u + + a u, 且線性組合的係數 a, a,, a 是唯一的 提醒 : 令 S 是向量空間 V 的非空子集合, 則 S 的生成集, 註記為 Spa(S), 是一個集合, 該集合的元素是由 S 內向量經線性組合而成 Proof 從 spa({t(v ), T(v ),,T(v )}) R(T) 與 R(T) spa({t(v ), T(v ),,T(v )}) 兩個方向 R(T) spa(t()) spa({t(v ), T(v ),,T(v )}) Clearly T(v ) R(T) for each. Because R(T) s a subspace of W, R(T) cotas spa({t(v ), T(v ),,T(v )}) spa(t()) by Theorem.5. Now suppose that w R(T). The w T(v) for some v V. Because s bass for V, we have v a v for some a, a,, a F. Sce T s lear, t follows that w T(v) a T(v ) spa(t( )). So R(T) s cotaed spa(t()). 先證明 spa({t(v ), T(v ),,T(v )}) R(T) 很清楚地 :T(v ) R(T) 由定理.5 得知 :R(T) 是 W 的一子空間, R(T) 包含 T(v ) 的生成集, 即 spa({t(v ), T(v ),,T(v )}) spa(t()) R(T) 再證明 R(T) spa({t(v ), T(v ),,T(v )}) 假設 w R(T), 則對某些 v 而言,w T(v) 7

8 因 {v, v,, v } 是 V 的基底, 故 V 中任意元素 v 可以寫成 {v, v,, v } 的 線性組合 : v a v 由於 T 是線性轉換, 故 w T(v) T( a v ) a T(v 又依據 Spa 的定義 :a T(v ) spa(t( )) ) 因此 R(T) 是被包含在 spa(t()) 中, 即 R(T) spa({t(v ), T(v ),,T(v )}) spa(t()) R(T) spa(t()) spa({t(v ), T(v ),,T(v )}) Theorem.5 向量空間 V 的任意子集合 S 的生成集 (Spa of S) 為 V 的子空間 意即 spa(s) 是 V 的子空間 進而言之, 包含 S 的向量空間 V(S 為 V 的子集合 ), 其任意子空間 W 也必然包含 S 的生成集 意即 spa(s) W 簡言之 :T 的值域是由對應域 V 的基底 {v, v,, v } 的元素 v, v,, v 的像 T(v ), T(v ),,T(v ) 所構成的集合 {T(v ), T(v ),,T(v )} 來生成 It should be oted that Theorem. s true f s fte, that s, R(T) spa({t(v):v }). 若 是無限集合時,Theorem. 亦為真 The ext example llustrates the usefuless of Theorem.. EXAMPLE 7 Defe the lear trasformato T: P (R) M (R) by f () f () T(f(x)) f () Sce {v, v,, v } {, x, x } s a bass for P (R), we have R(T) spa(t()) spa({t(v ), T(v ),, T(v )}) spa({t(), T(x), T(x )}) spa 3,, spa, Thus we have foud a bass for R(T), ad so dm(r(t) ). P (R) 的基底為 {v, v,, v } {, x, x } 由 Theorem. 得知 R(T) spa({t(), T(x), T(x )}) T():f(x) f() - f() f() 8

9 T(x):f(x) x f() - f() - f() T(x ):f(x) x f() - f() -3 f() 故 R(T) spa 3,, 3 因 與 線性相依, 所以 R(T) spa 與 為 R(T) 的基底 dm(r(t), 以維度來表示子空間的大小, 至於 N(T) 與 R(T) 的大小? 給予專有名詞 DEFINITION.9 Let V ad W be vector spaces, ad let T: V W be lear. If N(T) ad R(T) are ftedmesoal, the we defe the ullty of T, deoted ullty(t), ad the rak of T, deoted rak(t), to be the dmesos of N(T) ad R(T), respectvely. V 與 W 為向量空間, 且 T: V W 為線性轉換 定義 T 的核次數 (Nullty):ullty(T) dmesos of N(T) 定義 T 的秩 (Rak):rak(T) dmeso of R(T) 核次數 (Nullty) 與秩 (Rak) 分別代表 N(T) 與 R(T) 的維度 註 :T 的 NULL SPACE 是 V 內 T(x) 的元素所形成的集合, 定義域 V 這一端的子集合 註 :T 的 RANGE 是 W 內 T(x) 所形成的集合, 對應域 W 那這一端 Theorem.3 (Dmeso Theorem) Let V ad W be vector spaces, ad let T: V W be lear. If V s fte-dmesoal, the Nullty(T)+rak(T) dm(v) T 的核次數 (Nullty) 與秩 (Rak) 的和, 等於定義域的維度 dm(v) Proof Suppose that dm(v), dm(n(t)) k, ad {v, v,, v k } s a bass for N(T). By the corollary to Theorem., we may exted {v, v,, v k } to a bass {v, v,, v } for V. We clam that S {T(v k+ ), T(v k+ ),,T(v )} s a bass for R(T). 9

10 Frst we prove that S geerates R(T). Usg Theorem. ad the fact that T(v ) for k, we have R(T) spa({t(v ), T(v ),,T(v )}) spa({t(v k+ ), T(v k+ ),,T(v )}) spa(s) Now we prove that S s lear depedet. Suppose that k+ b T(v ) for b k+, b k+,, b F. Usg the fact that T s lear, we have T b v k+ So b v N(T) k+ Hece there exst c, c,, c k F such that k+ k b v c v or b v ( c )v k + k+ Sce s a bass for V, we have b for all. Hece S s learly depedet. Notce that ths argumet also shows that T(v k+ ), T(v k+ ),,T(v ) are dstct; therefore rak(t) -k. 假設 dm(v) dm(n(t)) k 且 {v, v,, v k } 是 N(T) 的基底 依據 Theorem. 的推論得知, 可將 {v, v,, v k } 拓展至 {v, v,, v }, 使得 {v, v,, v } 成為 V 的基底 N(T) 是 V 的子空間 要證明者即為 S {T(v k+ ), T(v k+ ),,T(v )} 是否為 R(T) 的基底? 首先證明 S 可生成 R(T) 利用 Theorem. 與 T(v ) for k ({v, v,, v k } 是 N(T) 的基底 ; 故依 Null space 定義,T(v ) for k) 的事實, 得知 : R(T) spa({t(v ), T(v ),,T(v )})(Theorem.) spa({t(v k+ ), T(v k+ ),,T(v )}) spa(s)({v, v,, v k } 是 N(T) 的基底 ; 故依 Null space 定義,T(v ) for k) 其次證明 S {T(v k+ ), T(v k+ ),,T(v )} 為線性獨立 假設 b T(v ) k+ for b k+, b k+,, b F 並利用 T 是線性的事實, 得知 T b v k+ 依據 Null space N(T) 定義 :T(x), 即 Null space 內的元素的像皆為 故 b v N(T) k+

11 又因 {v, v,, v k } 是 N(T) 的基底 因此, 存在 c, c,, c k F 使得 k+ k b v c v 或 b v ( c )v k + k+ 由於 是 V 的基底, 為線性獨立子集, 故 b, 意即 S {T(v k+ ), T(v k+ ),, T(v )} 為線性獨立 因此 rak(t) - k Corollary to Theorem. If W s a subspace of a fte-dmesoal vector space V, the ay bass for W ca be exteded to a bass for V. W 是 V 的子空間, 則 W 的任一基底可以延伸為 V 的基底 Theorem. Let V ad W be vector spaces, ad let T: V W be lear. If {v, v,, v } s bass for V, the R(T) spa(t()) spa({t(v ), T(v ),,T(v )}). 令 V 與 W 為向量空間, 且 T: V W 為線性轉換 若 {v, v,, v } 是定義域 (Doma)V 的基底, 則 T 的值域 Rage R(T) 可由 T() 來生成 即 R(T) spa(t()) spa({t(v ), T(v ),, T(v )}) Theorem.4 (Oe-to-oe) Let V ad W be vector spaces, ad let T: V W be lear. The T s oe-to-oe f ad oly f N(T) {}. V 與 W 為向量空間, 且 T: V W 為線性轉換 則 T 是一對一 若且唯若 N(T) {} Proof T s oe-to-oe N(T) {} Suppose that T s oe-to-oe ad x N(T). The T(x) T(). Sce T s oe-to-oe, we have x. Hece N(T) {}. T 是一對一 N(T) {} 依據 Null space 的定義 :T(x), 即 Null space 內的元素的像皆為 再依據 T 是線性轉換的 Property: 若 T 是線性轉換, 則 T() 若 T 是線性且 x N(T), 則 T(x) T() 若 T 是一對一, 則 x, 即 N(T) {} N(T) {} T s oe-to-oe Now assume that N(T) {}, ad suppose that T(x) T(y). The T(x) - T(y) T(x - y). Therefore x,y N(T) {}. So x-y, or x y.

12 Ths meas that T s oe-to-oe. N(T) {} T 是一對一依據 T 是線性轉換的 Property: 若 T 是線性轉換, 則 T(x - y) T(x) - T(y) 假設 N(T) {} 且 T(x) T(y), 則 T(x) - T(y) T(x-y) 若 x,y N(T) {}, 則 x-y 或 x y, 即 T 是一對一 Theorem.5 Let V ad W be vector spaces of equal (fte) dmeso, ad let T: V W be lear. The the followg are equvalet: V 與 W 為向量空間, 具有相等的維度, 且 T: V W 為線性轉換, 則下列敘述等價 : (a) T s oe-to-oe. (b) T s oto. (c) rak(t) dm(v). ONTO: 當 f:a B, 若 f(a) B, 則稱 f 為映成 (ONTO) 函數, 故 f 是映成若且唯若 f 的值域等於對應域 Proof From Theorem.3 (dmeso theorem), we have ullty(t)+rak(t) dm(v). Now, wth the use of Theorem.4, we have that T s oe-to-oe f ad oly f N(T) {}, f ad oly f ullty(t), f ad oly f rak(t) dm(v), f ad oly f rak(t) dm(w), ad f ad oly f dm(r(t)) dm(w). By Theorem., ths equalty s equvalet to R(T) W, the defto of T beg oto. 由 Theorem.3+Theorem.4 Rak(T) dm (V) 由定理. dm(r(t)) dm (W) R(T) W Theorem.3 Let V ad W be vector spaces, ad let T: V W be lear. If V s ftedmesoal, the Nullty(T)+rak(T) dm(v). T 的核次數 (Nullty) 與秩 (Rak) 的和, 等於定義域的維度 dm(v) Theorem. Let W be a subspace of a fte-dmesoal vector space V. The W s fte-dmesoal ad dm(w) dm(v). Moreover, f dm(w) dm(v), the V W. 設 W 為有限維度的向量空間 V 內的子空間, 則 W 為有限維度且 dm(w) dm(v) 若 dm(w) dm(v), 則 W V

13 If T s lear ad oe-to-oe, the a subset S s learly depedet f ad oly f T(S) s learly depedet. 若 T 為線性且為一對一, 則定義域內子集合 S 為線性獨立 若且唯若 條件為 T(S) 是線性獨立 We ote that f V s ot fte-dmesoal ad T: V V s lear, the t does ot follow that oe-to-oe ad oto are equvalet. 若 V 不是有限且 T: V V 為線性, 則一對一與映成並非為等價 The learty of T Theorem.4 ad.5 s essetal. For t s easy to costruct examples of fuctos from R to R that are ot oe-to-oe, but oto, ad vce versa. 在 Theorem.4 與.5 中, T 為線性 是必備條件, 因為吾人可容易舉出一些由 R 映至 R 的函數, 非 一對一 卻為 映成 者 反之亦然 The ext two examples make use of the proceedg theorems determg whether a gve lear trasformato s oe-to-oe or oto. 以下兩個例子將利用前述定理來判斷已知線性轉換是 一對一 或 映成 EXAMPLE 8 Let T: P (R) P 3 (R) be the lear trasformato defed by T(f(x)) f (x)+ x 3 f (t)dt Now R(T) spa({t(), T(x), T(x ) }) spa ({3x, +3x /, 4x+x 3 }). Sce {3x, +3x /, 4x+x 3 } s learly depedet, dm(r(t)) 3 rak (T). Sce dm (P 3 (R)) 4, T s ot oto. From the dmeso theorem, ullty(t)+3 dm(p ) 3. So ullty(t), ad therefore, N(T) {}. We coclude from Theorem.4 that T s oe to oe. 定義 T: P (R) P 3 (R) 為 T(f(x)) f (x)+ x 3 f (t)dt P (R) 的基底為 {, x, x }, 得知 R(T) spa({t(), T(x), T(x ) }) spa ({3x, +3x /, 4x+x 3 }). 因 {3x, +3x /, 4x+x 3 } 為線性獨立, 故 dm(r(t)) 3 rak (T) 先交代 dm 3

14 (R(T)) 3 再交代 rak(t) 3 然因 dm (P 3 (R)) 4, 故 T 非 ONTO T 為 ONTO 的條件是 dm(p 3 (R)) dm(r(t)) 依據 Theorem.3 (Dmeso Theorem): ullty(t) + 3 dm(p ) 3, 故 ullty(t) 且 N(T) {},T 為一對一 dm(v) dm(p ) 3 Theorem.3 Let V ad W be vector spaces, ad let T: V W be lear. If V s ftedmesoal, the Nullty(T) + rak(t) dm(v). T 的核次數 (Nullty) 與秩 (Rak) 的和, 等於定義域的維度 dm(v) 註 :P (R) 與 P 3 (R) 的維度不同, 不可引用 Theorem.5 Theorem.4 T 是一對一 若且唯若 N(T) {} EXAMPLE 9 Let T: F F be the lear trasformato defed by T(a, a ) (a +a, a ) It s easy to see that N(T) {}; so T s oe-to-oe. Hece Theorem.5 tells us that T must be oto. 令 T: F F 為線性轉換且 T(a, a ) (a +a, a ) 依據 Null space 的定義 :N(T) {x V: T(x) } {}, 所以 T 為 oe-to-oe( 依據 Theorem.4) 再依據 Theorem.5,T 為 ONTO Theorem.4 Let V ad W be vector spaces, ad let T: V W be lear. The T s oe-tooe f ad oly f N(T) {}. V 與 W 為向量空間, 且 T: V W 為線性轉換 則 T 是一對一 若且唯若 N(T) {} Theorem.5 V 與 W 為向量空間, 具有相等的維度, 且 T: V W 為線性轉換, 則下列敘述等價 : (a) T s oe-to-oe. (b) T s oto. (c) rak(t) dm(v). EXAMPLE Let T: P (R) R 3 be the lear trasformato defed by T(a + a x + a x ) (a, a, a ) 4

15 Clearly T s lear ad oe-to-oe. 依據 Null space 的定義 :N(T) {x V: T(x) } {}, 故 T 是 oe-to-oe Theorem.4 T 是一對一 若且唯若 N(T) {} Let S {-x+3x, x+x, -x }. The S s learly depedet P (R) because T(S) {(, -, 3), (,, ), (,, -)} s learly depedet R 3. 令 S {-x+3x, x+x, -x }, 因 T(S) {(, -, 3), (,, ), (,, -)} 為線性獨立的集合, 故 S 為 P (R) 內線性獨立的子集合 NOTE: If T s lear ad oe-to-oe, the a subset S s learly depedet f ad oly f T(S) s learly depedet. If T s lear ad oe-to-oe, the a subset S s learly depedet f ad oly f T(S) s learly depedet. 若 T 為線性且為一對一, 則定義域內子集合 S 為線性獨立 若且唯若 條件為 T(S) 是線性獨立 Theorem.6 Let V ad W be vector spaces over F, ad suppose that {v, v,, v } s a bass for V. For w, w,, w W, there exsts exactly oe lear trasformato T:V W such that T(v ) w for,,,. 令 V 與 W 為佈於 F 的向量空間 設 {v, v,, v } 為 V 的基底, 對 W 內的 w, w,, w 而言, 存在一由 V 映至 W 的線性轉換 T, 使得 T(v ) w Proof Let x V The x a v, where a, a,, a are uque scalars. V 內任一向量 x 可以表達為基底 {v, v,, v } 的線性組合 Defe T:V W by T (x) a w 定義由 V 映至 W 的線性轉換 T 為 T (x) (a) T s lear ( 先證明 T 是線性轉換 ) Suppose that u, v V ad d F. a w 5

16 設 u 與 v 為 V 任意向量 The we may have u b v ad v c v for some scalar b, b,, b, c, c,, c. u 與 v 可表達成基底的線性組合 Thus du + v (db + c ) v So, T(du+v) T(du + v) (db + c )w dt(u) + T(v) 依據線性轉換的 Property,T 為線性轉換 (b) Clearly T(v ) w for,,,. (c) T s uque( 再證明 T 是唯一 ) Suppose that U: V W s lear ad U(v ) w for,,,. 假設還有另一個線性轉換 U: V W 且 U(v ) w for,,, The for x V wth x a v we have U(x) a U(v ) a w T(x) Hece U T. Corollary Let V ad W be vector spaces over F, ad suppose that V has a fte bass {v, v,, v }. If U, T: V W are lear ad U(v ) T(v ) for,,,. the U T. 令 V 與 W 為兩個佈於 F 的向量空間, 設 V 具有一個有限的基底 {v, v,, v } 若兩個由 U 映至 W 的線性轉換 U 與 T 相等且 U(v ) T(v ) for,,,, 則 U T EXAMPLE Let T: R R be the lear trasformato defed by T(a,a ) (a -a, 3a ) ad suppose that U: R R s lear. If we kow that U(, ) (3, 3) ad U(, ) (, 3), the U T. Ths follows from the corollary ad from the fact that { (, ), (, )} s a bass for R. 6

17 令 T: R R 為線性轉換並定義為 T(a,a ) (a -a, 3a ) 另令 U: R R 為線 性轉換 若已知 U(, ) (3, 3) 且 U(, ) (, 3), 則 U T 由推論與事實可知 { (, ), (, )} 是 R 的一組基底 NOTE:T(, ) (3, 3) 且 T(, ) (, 3) Kerel ad Rage Let T: U V be a lear trasformato. The set of vectors U that are mapped to the zero vector of V s called the kerel of T. The kerel s deoted ker(t). The set of vectors V that are the mages of vectors U s called rage of T. The mage s deoted rage(t). Theorem Let T: U V be a lear trasformato. Let V ad U be the zero vectors of U ad V. The T( U ) V That s, a lear trasformato maps a zero vector to vector. Proof Let u be a vector U ad let T(u) ) v. Let be the zero scalar. Sce u U ad v V ad T s lear, we get T( U ) T(u) ) T(u) ) v v Theorem Let T: U V be a lear trasformato. The kerel of T s a subspace of U. The rage of T s a subspace of V. V Theorem Let T: U V be a lear trasformato. Let V ad U be the zero vectors of U ad V. The T( U ) V That s, a lear trasformato maps a zero vector to vector. Proof Let u be a vector U ad let T(u) ) v. Let be the zero scalar. Sce u U ad v V ad T s lear, we get T( U ) T(u) ) T(u) ) v v Example / Fd the kerel ad rage of the lear operator T(x, y, z) (x,( y,, ) Sce the operator T maps R 3 to R 3, the kerel ad rage wll both be subspaces of R 3. Kerel: ker(t) ) s the subset that s mapped to (,, ). T(x,, y, z) (x, y, ) (,, ), f x, y Thus ker(t) ) s the set of all vectors of the form (,, z). We express ths as ker(t) ) {(,,z)} Geometrcally, ker(t) ) s the set of all vectors that le o the z axs. Example / Rage: : The rage of T s the set of all vectors of the form (x,( y,, ). rage(t) ) {(x, y,, )} Rage(T) ) s the set of all vectors that le the xy plae. Projecto f(x, y, z) ) (x,( y,, ). The Matrx Represetato of a Lear Trasformato I ths secto, we embark o oe of the most useful approaches to the aalyss of a lear trasformato o a fte-dmesoal vector space: the represetato of a lear trasformato by a matrx. I fact, we develop a oe-to-oe correspodece betwee 7

18 matrces ad lear trasformato that allows us to utlze propertes of oe to study propertes of the other. 利用矩陣來表達線性轉換 - 是分析有限維度向量空間線性轉換的最有用方法 DEFINITION. Let V be a fte-dmesoal vector space. A ordered bass for V s a bass for V edowed wth a specfc order; that s, a ordered bass for V s a fte sequece of learly depedet vectors V that geerates V. 令 V 是一有限維度的空間向量 V 的有序基底為一組賦予一定次序的基底 V 的有序基底指 V 中可生成 V 的一組線性獨立 有限序列 (Fte sequece) 向量 EXAMPLE I R 3, {e, e, e 3 } ca be cosdered a ordered bass. Also {e, e, e 3 } s a ordered bass, but as ordered bases. {e, e, e 3 } 是有序基底 {e, e, e 3 } 也是有序基底 同樣是有序基底, 但 For the vector space F, we call {e, e,, e } the stadard ordered bass for F. Smlarly, for the vectors space P (F), we call {, x,, x } the stadard ordered bass for P (F). {e, e,, e } 是 F 的標準有序基底,{, x,, x } 也是 P (F) 的標準有序基底 DEFINITION. Let {u, u,, u } be a ordered bass for a fte-dmesoal vectors space V. For x V, let a, a,, a be the uque scalars such that 令 {u, u,, u } 為有限向量空間 V 的有序基底, 則存在唯一的一組純量 a, a,, a, 使得 V 內任意向量, 均可表達成該組基底的線性組合 : x a u we defe the coordate vector of x relatve to, deoted [x], by 8

19 [x] a a : a. 稱為 x 相對於有序基底 的座標向量 EXAMPLE Let V P (R), ad let {, x, x } be the stadard ordered bass for V, If f(x) 4+6x- 7x, the 令 V P (R) 且 {, x, x } 為 V 的標準有序基底 將 f(x) 4+6x-7x 表達成 {, x, x } 的線性組合 f(x) 4 + 6x - 7x 4 [f] 6 稱為 f(x) 相對於有序基底 {, x, x } 的座標向量 7 DEFINITION. Suppose that V ad W are fte-dmesoal vector spaces wth ordered bases {v, v,, v } ad {w, w,, w }, respectvely. Let T: V W be lear. The for each j, j, there exst uque scalars a j F, m, such that m T( v ) a w for j j j We call the m matrx A defed by A j a j the matrx represetato of T the ordered bases ad ad wrte A [T]. If V W ad, the we wrte A [T]. 設 V 與 W 分別為有限維度的向量空間, {v, v,, v } 與 {w, w,, w } 分別為 V 與 W 的有序基底, 且 T: V W 為 V 映至 W 的線性轉換 對每一個 j( j ) 而言, 存在唯一的純量 a j F( m), 使得 m T( v ) a w j j 將 m 的矩陣 A 定義為 A j a j, 並稱呼 A 為線性轉換 T 的矩陣表達方式 在 V 與 W 分別以 與 作為有序基底下,A 可註記為 A [T] 若 V W 且, 則 A [T] 9

20 m 提示 : T( v ) a w 為 將 v j 的像 T(v j ) 表達成有序基底 的線性組合 j j The jth colum of A s smply [T(v j )]. 矩陣 A 的第 j 行, 註記為 [T(v j )] By corollary to Theorem.6: If U,T: V W s a lear trasformato such that [T] [U], the U T. 依據 Theorem.6 的推論, 若 U,T: V W 為一線性轉換且 [T] [U], 則 U T 由 Example 3 即可看出 A [T] 的第 jth Colum 所對應者為 v j 若只要第 j 行, 則只須代入 v j, 求出 T(v j ) 相對於 的座標向量 [T(v j )] EXAMPLE 3 Let T: R R 3 be the lear trasformato defed by T(a, a ) (a +3a,, a -4a ) Let ad be the stadard ordered bases for R ad R 3, respectvely. Now {(,), (,)} {(e,e,e 3 )} 令 T: R R 3 線性轉換且定義為 T(a, a ) (a +3a,, a -4a ) 令 {v, v } {(,), (,)} 與 {(e,e,e 3 )} 分別為 R 與 R 3 的標準有序基底 並將 T(v ) 與 T(v ) 表達成有序基底 {(e, e, e 3 )} 的線性組合 : T(v ) T(, ) (,, ) e + e + e 3 T(v ) T(, ) (3,, -4) 3e + e - 4e 3 3 Hece [T] ( st 行代表 v, d 行代表 v ) 4 4 If we set {(e 3,e,e )}, the [T] ' 若 變成, [T] [T] ' 4 3

21 EXAMPLE 4 Let T: P 3 (R) P (R) be the lear trasformato defed by T(f(x)) f (x). Let {, x, x, x 3 } ad {, x, x } be the stadard ordered bases for P 3 (R) ad P (R), respectvely. The 令 T: P 3 (R) P (R) 為線性轉換且定義為 T(f(x)) f (x) 令 {, x, x, x 3 } 與 {, x, x } 分別為 P 3 (R) 與 P (R) 的標準有序基底 將 T() T(x) T(x ) 與 T(x 3 ) 表達成有序基底 {, x, x } 的線性組合 : T() + x+ x T(x) + x+ x T(x ) + x+ x T(x 3 ) + x+3 x [T] ( st 行代表 v, d 行代表 v x,3 rd 行代表 v 3 x,4 th 3 行代表 v 4 x 3 ) DEFINITION.3 T+U & at Let T,U: V W be arbtrary fuctos, where V ad W are vector spaces over F, ad let a F. We defe T+U: V W by (T+U)(x) T(x)+U(x) for all a F, ad at: V W by (at)(x) at(x) for all x V. Theorem.7 Let V ad W be vector spaces over a feld F, ad let T, U: V W be lear. (a) For all a F, at+u s lear (b)usg the operatos of addto ad scalar multplcato the precedg defto, the collecto of all lear trasformatos from V to W s a vector space over F. V 與 W 為佈於 F 的向量空間, 且 T, U: V W 為線性轉換 則 (a) 對所有 a F 而言,aT + U 為線性轉換 (b) 利用 Defto.3 所定義的加法與純量乘積運算, 所有由 U 到 W 的線性

22 轉換所形成的集合, 為佈於 F 的空間向量 Proof 依據 Defto.3:T(cx+y) ct(x) + T(y) for all x,y V ad c F at+u 為線性? Let x,y V ad c F. The (at + U)(cx + y) a T(cx + y) + U(cx + y) a[ct(x)+ T(y)] +cu(x) + U(y) act(x) + cu(x) +at(y) + u(y) c(at+u)(x)+(at+u)(y) So at + U s lear. DEFINITION.4 (V) Let V ad W be vector spaces over F. We deote the vector space of all lear trasformatos from V to W by (V, W). I the case that V W, we wrte (V) stead of (V, W). 令 V 與 W 為佈於 F 的向量空間 將所有 V 映至 W 的線性轉換所形成的向量空間註記為 (V, W) 當 V W, 則將 (V, W) 改寫成 (V) 由 Defto.3 得知 all lear trasformatos from V to W s a vector space over F Theorem.8 Let V ad W be fte-dmesoal vector spaces wth ordered bases ad, respectvely, ad let T, U: V W be lear trasformatos. The 令 V 與 W 分別為有限維度的向量空間, {v, v,, v } 與 {w, w,, w } 分別為 V 與 W 的有序基底, 且令 T, U: V W 為線性轉換, 則 (a) (b) [T + U] [T] [U] ad + [at] a[t] for all scalars a. Proof Let {v, v,, v } ad {w, w,, w }. There exst uque scalar a j ad b j ( m, j ) such that m T( v j ) a jw vj ) Hece m U( b w for j (Defto.) j m (T + U)(v ) T(v ) + U(v ) (a + b ) w (Defto.3) j j j j j

23 Thus ([T + U] ) j aj + bj ([T] + [U] ) j Defto.3 Let T,U: V W be arbtrary fuctos, where V ad W are vector spaces over F, ad let a F. We defe (a) T+U: V W by (T+U)(x) T(x)+U(x) for all a F, ad (b) at: V W by (at)(x) at(x) for all x V. EXAMPLE 5 Let T: R R 3 ad U: R R 3 be the lear trasformato respectvely defed by T(a,a ) ( a +3a,, a -4a ) ad U(a,a ) ( a -a, a, 3a +a ). Let ad be the stadard ordered bases of R ad R 3, respectvely. The 令 T: R R 3 與 U: R R 3 皆為線性轉換且分別定義為 : T(a,a ) ( a +3a,, a -4a ) 底 U(a,a ) ( a -a, a, 3a +a ) 令 {(,), (,)} 與 {(,, ),(,, ),(,, )} 分別為 R 與 R 3 的有序基 T(,) (,, ), T(,) (3,, -4) U(,) (,, 3), U(,) (-,, ) 3 [T] ad [U] 4 3 If we compute T+U usg the precedg deftos, we obta (T+U) (a,a ) ( a +3a,, a -4a ) + ( a -a, a, 3a +a ) ( a +a, a, 5a -a ) So [T + U] 5 Whch s smply [T] + [U] Defto.3 Let T,U: V W be arbtrary fuctos, where V ad W are vector spaces over F, ad let a F. We defe (a) T+U: V W by (T+U)(x) T(x)+U(x) for all a F, ad (b) at: V W by (at)(x) at(x) for all x V. 3

24 .3 Composto of Lear Trasformato ad Matrx Multplcato How the matrx represetato of a composte of lear trasformatos s related to the matrx represetato of each of the assocated lear trasformatos. We use the more coveet otato of UT rather tha U T for the composte of lear trasformatos U ad T. 之前已經介紹如何結合線性轉換與矩陣, 如何以矩陣的和及純量乘積代表線性轉換的和及純量乘積 現在要介紹如何利用矩陣來代表線性轉換的合成 利用 UT 來表示線性轉換 U 與 T 的合成 U T 令 A B C 皆為集合且 f:a B 且 g:b C 皆為函數, 則 g f(followg f wth g;g 接著 f 得到的函數, 先 f 後 g):a C 稱為 g 與 f 的合成 (Composto ) 函數 (g f)(x) g (f(x)), x A Theorem.9 Let V, W, ad Z be vector spaces over the same feld F, ad let T: V W ad U: W Z be lear. The UT: V Z s lear. 令 V W 與 Z 為佈於 F 的向量空間, 且 T: V W U:W Z 分別為線性轉換, 則 U 與 T 的合成 UT: V Z 為線性轉換 Proof Let x,y V ad a F. The UT(ax+y) U(T(ax + y)) U(aT(x)+T(y)) au(t(x)) + U(t(y)) a(ut)(x) + UT(y) Theorem. Let V be a vector space. Let T, U, U (V). The 令 V 為向量空間, 且 T, U, U (V), 即 T, U, U 都是由 V 映至 V 的線性轉換, 則 : (a) T(U + U ) TU + TU ad (U + U )T U T + U T. (b) T(U U ) (TU )U (c) TI IT T. 4

25 (d) a(u U ) (au )U U (au ) for all scalars a. 註 : 令 V 與 W 為佈於 F 的向量空間 將所有 V 映至 W 的線性轉換所形成的向量空 間註記為 (V, W) Let T: V W ad U: W Z be lear trasformatos, ad let A [ U ] ad B [ T ] α, where α {v, v,, v }, {w, w,, w m }, ad {z, z,, z p } are ordered bases for V, W, ad Z, respectvely. 令 T: V W 與 U: W Z 為線性轉換, 且 A [ U ] B [ T ] α ; 其中,α {v, v,, v } {w, w,, w m } 與 {z, z,, z p } 分別為 V W Z 的有序基底 We would lke to defe the product AB for two matrces so that AB [ UT. 矩陣 A 與矩陣 B 的乘積為 AB,AB [ UT ] α ] α Cosder the matrx [ UT. For j, we have ] α (UT)(v ) U(T(v j m B kj k j )) U p A k z k m B p kj w k m k A k m k B kj B kj z U(w p k ) C j z for j where C j m k A k B kj DEFINITION.5 Product of A ad B Let A be a m matrx ad B be a p matrx. We defe the product of A ad B, deoted AB, to be the m p matrx such that A 為 m 的矩陣與 B 為 p 的矩陣, 則 AB 的乘積 (Product of A ad B) 為 m p 的矩陣 (AB) A B for m, j p j k k kj Recallg the defto of the traspose of a matrx. If A s a m matrx ad B s a p matrx, the (AB) t B t A t. 5

26 轉置矩陣的定義 :(AB) t B t A t Sce t t t t t (AB) j (AB) j AjkBk ad (B A ) j (B ) k(a ) kj k k k B k A jk The traspose of a product s the product of the traspose the opposte order. 矩陣乘積的轉置為矩陣轉置並以相反次序相乘 :(AB) t B t A t Theorem. Let V, W, ad Z be fte-dmesoal vector space wth ordered bases α,, ad, respectvely. Let T: V W ad U: W Z be lear trasformato. The [UT] α [U] [T] 令 V W 與 Z 是有限維度的向量空間,α 與 分別為 V W 與 Z 的有序基底 令 T: V W( 先 α ) 且 U: W Z( 後 ), 則提示 : 令 T: V α W ( 先 ) 且 U: W Z ( 後 ) [UT] [U] [T] α α α Corollary Let V be fte-dmesoal vector space wth ordered bass. Let T, U (V). The [UT] [U] [T] 令 V 為有限維度的向量空間, 為 V 的有序基底 令 T 與 U (V), 即 T 與 U 都是由 V 映至 V 的線性轉換, 則 [UT] 座標向量等於 U 與 T 分別相對有序基底 的座標向量的乘積 ) [U] [T] (UT 合成後相對有序基底 的 EXAMPLE Let U: P 3 (R) P (R) ad T: P (R) P 3 (R) be the lear trasformatos respectvely defed by U(f(x)) f (x) ad T (f (x)) x f (t)dt Let α ad be the stadard ordered bases of P 3 (R) ad P (R), respectvely. From calculus, t follows that UT I, the detty trasformato o P (R). To llustrate Theorem., observe that 令 U: P 3 (R) P (R) 及 T: P (R) P 3 (R) 分別定義為 U(f(x)) f (x) 6

27 I T (f (x)) x f (t)dt 令 α {, x, x, x 3 } 與 {, x, x } 分別為 P 3 (R) 與 P (R) 的標準有序基底 UT [UT] [U] [T] [I] 3 3 α α matrx s called a detty matrx( 單位矩陣 )) ( 3 3 dagoal DEFINITION.6 We defe the kroecker delta δ j by δ j f j ad δ j f j. The detty matrx I s defed by (I ) j δ j. Kroecker delta 的定義及 detty matrx 的表達方式 Theorem. Let A be a m matrx, B ad C be p matrces, ad D ad E be q m matrces. The (a) A(B+C) AB+AC ad (D+E)A DA+EA. (b) a(ab) (aa)b A(aB) for ay scalar a. (c) I m A A AI. (d) If V s a -dmesoal vector space wth a ordered bass, the (d) 若 V 是一維度為 的向量空間, 為其基底, 則 [ I ] I V [ I V] I. 註 :Idetty trasformato I v : V V by I v (x) x for all x V. 註 :[ I V ] 為以 作為基底的單位轉換矩陣表示式 Corollary Let A be a m matrx,, B, B,,B k be p matrces, C, C,,C k be q m matrces, ad a, a,,a k be scalars. The k A( a B ) a AB ad ( a C )A k k k a C A 7

28 For a matrx A, we defe A A, A AA, A 3 A A, ad geeral, A k A k- A for k,3,...,. We defe A I. A. Wth ths otato, we see that f A the A (the zero matrx) eve though From A A A A, we would coclude that A s FALSE. 注意 : 即使 A, 也可能出現 A Theorem.3 Let A be a m matrx ad B be p matrces. For each j ( j p), let uj ad v j deote the j th colums of AB ad B, respectvely. The A 為 m 的矩陣與 B 為 p 的矩陣,u j 與 v j 分別為 AB 與 B 的第 j 行 ( j p) 則 (a) u j A v j. (b) v j B e j, where e j s the j th stadard vector of F p. Proof (AB) (AB) : (AB) j k j j u k k j j A k mj k A A A k : mk B B B k j k j B B : B j j Av From Theorem.3, the colum j of AB s a lear combato of the colum of A wth the coeffcets the lear combato beg the etres of colum j of B. A aalogous result holds for rows; that s, row of AB s a lear combato of the rows of B wth the coeffcets the lear combato beg the etres of row of A. 由定理.3 得知,AB 的第 j 行 (Colum) 是 A 的所有行向量, 以 B 的第 j 行 元素作為係數 的一個線性組合 同理,AB 的第 列 (Row) 是 B 的所有列向量, 以 A 的第 列元素作為係數 的一個線性組合 j 8

29 Theorem.4 Let V ad W be fte-dmesoal vector spaces havg ordered bases ad, respectvely, ad let T: V W be lear. The, for each u V, we have [T(u)] [T] [u] V 與 W 為有限維度的向量空間, 與 分別 V 與 W 的有序基底 令 T: V W 為線性轉換, 則 V 中的 u 映至 W 的結果 T(u) 相對於有序基底 的座標向量為 [T(u)] [T] [u] Proof Fx u V, ad defe the lear trasformatos f: F V by f(a) au ad g:f W by g(a) at(u) for all a F. Let α {} be the stadard ordered bass for F. Notce that g Tf. Idetfyg colum vectors as matrces ad usg Theorem., we obta [T(u)] [g()] [g] α [Tf] α [T] [f] α [T] [f()] [T] [u] 固定 u V 且定義 f: F V 為 f(a) au 與 g:f W 為 g(a) at(u) 令 α {} 為 F 的標準有序基底 並注意 g(f W) 為 T(V W, 後 ) 與 f(f V, 先 ) 的合成 g T f 把行向量視為矩陣, 並利用定理., 得知 [T(u)] 為 V 中的 u 映至 W 的結果 T(u) 相對於有序基底 的座標向量 由 g(a) 與 f(a) 定義中得知 :g() T(u),f() u 因此, [T(u)] [g()] [g] α [Tf] α [T] [f] α [T] [f()] [T] [u] Theorem. 令 V W 與 Z 是有限維度的向量空間,α 與 分別為 V W 與 Z 的有序基底 令 T: V W( 先 ) 且 U: W Z( 後 ), 則 α [UT] [U] [T] α EXAMPLE Let T: P 3 (R) P (R) be the lear trasformatos defed by T(f(x)) f (x), ad let ad be the stadard ordered bases for P 3 (R) ad P (R), respectvely. If A [ T ], the from Example 4 of Secto., we have A [ T ] 3 We llustrate Theorem.4 by verfyg that 9 [T(p(x))] [T] [p(x)], where p(x) P 3 (R) s the polyomal p(x) -4x+x +3x 3. Let q(x) T(p(x)), the q(x) p (x) -

30 4+x+9x. Hece [ T(p(x)) ] [ q(x) ] [ T ] [ p(x) ] A[ p(x) ] 4, but also 令 T: P 3 (R) P (R) 為線性轉換並定義為 T(f(x)) f (x), 且 {, x, x, x 3 } 與 {, x, x } 分別為 P 3 (R) 與 P (R) 的有序基底 若 A [ T ], 則依據 Secto. Example 4 的結果 : A [ T ] 3 依據 Theorem.4 來驗證 [T(p(x))] [T] [p(x)] 其中, 多項式 p(x) P 3 (R) 且 p(x) -4x+x +3x 3 ( 相當於 Theorem.4 的 u), 令 q(x) T(p(x)), 則 q(x) p (x) -4+x+9x, 因此 q(x) 相對有序基底 {, x, x } 的 座標向量為 [ T(p(x)) ] [ q(x) ] 4 9 同時,[ T ] [ p(x) ] A[ p(x) ] DEFINITION.7 Let A be a m matrx wth etres from a feld F. We deote by L A the mappg L A : F F m defed by L A (x) Ax (the matrx product A ad x) for each colum vector x F. We call L A a left-multplcato trasformato. 令 A 是 m 的矩陣, 所有元素均來自 F L A 為 F 映至 F m 的線性轉換並定義為 L A (x) Ax, 其中 x 為行向量 (Colum vector) 且 x F L A 被稱為左乘法轉換 3

31 EXAMPLE 3 Let A The A M 3(R) ad L A : R 3 R. If x 3, 6 The L A (x) Ax 3. Theorem.5 Let A be a m matrx wth etres from a feld F. The the left-multplcato trasformato L A : F F m s lear. Furthermore, f B s ay other m matrx wth etres from a feld F ad ad be the stadard ordered bases for F ad F m, respectvely, the we have the followg propertes. 令 A 為 m 的矩陣, 左乘法轉換 L A : F F m 為線性 若 B 為另一個 m 的矩 陣, {e, e,, e } 與 {e, e,, e m } 分別為 F 與 F m 的標準有序基底, 則左 乘法轉換具有下列性質 : (a)[l A ] A. (b) L A L B f ad oly f A B. (c) L A+B L A + L B ad L aa a L A for all a F. (d) If T: F F m s lear, the there exsts a uque m matrx C such that T L C. I fact C [T]. (e) If E s a p matrx, the L AE L A L E. (f) If m, the L I I F. Theorem.3 A 為 m 矩陣與 B 為 p 矩陣,u j 與 v j 分別為 AB 與 B 的第 j 行 ( j p) 則 (a) u j A v j. (b) v j B e j, where e j s the j th stadard vector of F p. Theorem.4 V 與 W 為有限維度的向量空間, 與 分別 V 與 W 的有序基底 令 T: V W 為線性轉換, 則 T(u) 相對有序基底 的座標向量 [T(u)] 為 3

32 [T(u)] [T] [u]. Theorem.6 Assocatve Let A, B, ad C be matrces such that A(BC) s defed. The (AB)C s also defed ad A(BC) (AB)C; that s, matrx multplcato s assocatve. 矩陣乘法具有結合性 Proof Usg Theorem.5 (e) L A(BC) L A L BC L A (L B L C ) ( L A L B ) L C L AB L C L (AB)C. So from theorem.5 (b), t follows that A(BC) (AB)C. Composto of Lear Trasformatos Let U,V, ad W be vector spaces ad T :U V, T :V W be lear trasformatos betwee these spaces. These two trasformatos ca be combed to a sgle composte trasformato T:U W W. Let u be a vector U. The T(x) ) T (T (x)) Ths composto trasformato s defed by TT T. Theorem The composte of two lear trasformato s tself a lear trasformato. Let U, V ad W be vector spaces ad T : U V, T : V W be lear trasformatos. Let u ad v be vectors U ad c be a scalar. We use the learty of T ad T to get T o T (u + v) T (T (u + v)) T (T (u) + T (v)) T o T (cu) T (T (cu)) T (ct (u)) ct (T (u)) ct o T (u) Thus T T s lear. T (T (u)) + T (T (v)) T o T (u) + T o T (v) Example Fd the T T of the trasformato T (x, y) ) (3x, x + y) ad T (x, y) ) (x, y). Determe the mage of (, 3). We get T ot ( x, y) T ( T ( x, y)) T (3x, x + y) (6x, x y) The mage of (, 3) s T ot (, 3) (,). Composto of Matrx Trasformatos Lear trasformatos defed by matrces are partcularly mportat. Let T : R R m ad T : R m R be matrx trasformatos defed by T (x)) A x ad T (x)) A x. The composte trasformato s defed by the the product matrx A A. T o T (x) T (T (x)) T (Ax) AAx If T (x) Ax ad T (x) Ax, the T o T (x) AAx 3

33 Example Let T (x)) A x ad T (x)) A x be defed by the followg matrces A ad A. Let T T T. Fd the mage of the vector x uder T. A 3 A 4 4 x 4 T s defed by the product matrx A A. We get Thus A 4 A 3 4 T (x) Ivertblty ad Isomorphsms 可逆性與同構轉換 DEFINITION.8 Let V ad W be vector spaces, ad let T:V W be lear. A fucto U:W V s sad to be a verse of T f TU I w ad UT I v. If T has a verse, the T s sad to be vertble. If T s vertble, the the verse of T s uque ad s deoted by T -. 令 V 與 W 為向量空間, 且 T: V W 為線性轉換 若 U: W V 可稱為 T 的逆轉換, 其條條件為 TU I w 且 UT I v TU: W W,UT: V V 若 T 具有逆轉換, 則 T 稱為可逆轉換 若 T 為可逆轉換, 則 T 的逆轉換為唯一, 並註記為 T - The followg facts hold for vertble fuctos T ad U. 可逆轉換函數 T 與 U 具有下列性質 :. (TU) - U - T -.. (T - ) - T; partcular, T - s vertble. 3. Let T: V W be a lear trasformato, where V ad W are fte-dmesoal spaces of equal dmeso. The T s vertble f ad oly f rak(t) dm(v). 令 T 為線性轉換且 V W 為有限且維度相等的向量空間, 則 T 為可逆的 若且唯若 條件為 rak(t) dm(v) Nullty(T) + rak(t) dm (V) ; rak(t) dm(r(t));nullty(t) dm(n(t)) EXAMPLE Let T: P (R) R be the lear trasformarto defed by T(a+bx) (a, a+b). The T - : 33

34 R P (R) s defed by T - (c,d) c+(d-c)x. T - s also lear. 由 T: P (R) R 及定義 T(a+bx) (a, a+b), 得知 T - : R P (R) 及其定義 T - (c,d) c+(d-c)x T 為線性,T - 亦為線性 Theorem.7 Let V ad W be vector spaces, ad let T: V W be lear ad vertble. The T - :W V s lear. 令 V 與 W 為向量空間, 且 T: V W 為線性且為可逆, 則 T - :W V 亦為線性 Proof Let y, y W ad c F. Sce T s oto ad oe-to-oe, there exst uque vector x ad x such that T(x ) y ad T(x ) y. Thus x T - (y ) ad x T - (y ); So T - (cy +y ) T - [ct(x )+T(x )] T - [T(cx +x )] cx +x ct - (y )+T - (y ) 利用線性轉換應具備的 Property:T 是線性轉換 若且惟若 T(cx+y) ct(x)+t(y) for all x,y V ad c F 由於 T 為映成且一對一, 故存在唯一的向量 x 與 x, 使得 T(x ) y 與 T(x ) y 因此 x T - (y ) 且 x T - (y ) 所以 T - (cy +y ) T - [ct(x )+T(x )] T - [T(cx +x )] cx +x ct - (y )+T - (y ) DEFINITION.9 Let A be a matrx. The A s vertble f there exsts ad matrx B such that AB BA I. If A s vertble, the the matrx B such that AB BA I s uque. The matrx B s called the verse of A ad s deoted by A -. 令 A 為 的矩陣, 則 A 為可逆的條件為 存在一 的矩陣 B, 使得 AB BA I 若 A 為可逆, 則使得 AB BA I 的矩陣 B 為唯一,B 可註記為 A - Lemma 引理 Let T be a vertble lear trasformato from V to W. The V s fte-dmesoal 34

35 f ad oly f W s fte-dmesoal. I ths case, dm(v) dm(w). 令 T 為 V W 為可逆且為線性, 則 V 是有限維度 若且唯若 W 是有限維度 在此情況,dm(V) dm(w) Theorem.8 Let V ad W be fte-dmesoal vector spaces wth ordered bases ad, respectvely. Let T: V W be lear. The T s vertble f ad oly f [T] s vertble. - Furthermore, [T ] ([T] ). 令 V 與 W 是有限維度的向量空間, 與 分別為 V 與 W 的有序基底 令 T: - V W 為線性 T 可逆的 若且唯若 條件為 [T] 是可逆 再者,[T ] ([T] ) Proof 先證明 T 是可逆 [T] 可逆且 [T - ] ([T] ) Suppose that T s vertble. By the lemma, we have dm(v) dm(w). Let dm(v). So[T] s a matrx. Now T - :W V satsfes TT - I w ad T - T I v. - Thus I [I ] [T T] [T ] [T] Smlarly, So ) v - [T] [T ] I. [T] s vertble ad ([T] - ) [T ] 假設 T 為可逆, 故依 Lemma 可知 dm(v) dm(w) 令 dm(v), 所以 [T] 為一 的矩陣 已知 T 為可逆, 其逆轉換 T - :W V 滿足 TT - I w 且 T - T I v 依據 Theorem. (d) I [I v ] [ I ] [T T] v ( 先 T 後 T - ; 先 後 依據 Theorem. [T 依據 Theorem. (d) T] ) 依據 Theorem. [TT I. - [T ] [T] ( 先 T 後 T - ; 先 後 ) [I ] w [ I ] [TT ] - 故 [T] 為可逆且 ([T] ) [T ] 再證明 [T] 可逆且 [T Now suppose that A - ] ] ([T] w ( 先 T - 後 T; 先 後 - [T] [T ] ( 先 T - 後 T; 先 後 ) ) [T] s vertble. T 是可逆 The there exsts a matrx B such that AB BA I. 35

36 By Theorem.6, there exsts U (W,V) such that U(w ) b v for j,,. j k j j Where {w,w,,w } ad {v,v,,v }. It follows that [U] B. To show that U T -, observe that [UT] [U] [T] BA I [I ] v So UT I v, ad smlarly, TU I w. 假設 A [T] 是可逆, 則存有另一個 的矩陣 B, 使得 AB BA I 依據 Theorem.6, 存在由 W 映至 V 的轉換 U(U (W,V)), 使得 U(w j ) v j for j,,, U(w ) b v for j,, j k j j 其中, {w,w,,w }, {v,v,,v } 分別為 W 與 V 的有序基底 於是,[U] B 至於 U 是否為 T -? [UT] [U] [T] BA I UT I v [I ] 同理 TU I w U 當然為 T - v DEFINITION.8 令 V 與 W 為向量空間, 且 T: V W 為線性轉換 若 U: W V 可稱為 T 的逆轉換, 其條條件為 TU I w 且 UT I v Theorem.6 Let V ad W be vector spaces over F, ad suppose that {v, v,, v } s a bass for V. For w, w,, w W, there exsts exactly oe lear trasformato T:V W such that T(v ) w for,,,. 令 V 與 W 為佈於 F 的向量空間 設 {v, v,, v } 為 V 的基底, 對 W 內的 w, w,, w 而言, 存在一由 V 映至 W 的線性轉換 T, 使得 T(v ) w Theorem. Let V, W, ad Z be fte-dmesoal vector space wth ordered bases α,, ad, respectvely. Let T: V W ad U: W Z be lear trasformato. The [UT] α [U] [T] α. 令 V W 與 Z 是有限維度的向量空間,α 與 分別為 V W 與 Z 的有序基底 令 T: V W( 先 ) 且 U: W Z( 後 ), 則 [UT] [U] [T] Theorem. Let A be a m matrx, B ad C be p matrces, ad D ad E be q m matrces. The (a) A(B+C) AB+AC ad (D+E)A DA+EA. α α 36

37 (b) a(ab) (aa)b A(aB) for ay scalar a. (c) I m A A AI. (d) If V s a -dmesoal vector space wth a ordered bass, the [ I V] I. EXAMPLE Let ad be the stadard ordered bases of P (R) ad R, respectvely. Let T: P (R) R be the lear trasformarto defed by T(a + bx) (a, a + b). T - : R P (R) defed by T - (c, d) c + (d - c)x s also lear. We have [T] ad [T - ], where {, x} ad {(, ), (, )} {, x} 與 {(, ), (, )} 分別為 P (R) 與 R 的標準有序基底 T: P (R) R 為線性轉換並定義為 T(a + bx) (a, a + b) T - : R P (R) 為線性並定義為 T - (c, d) c + (d - c)x, 則 [T] [T - ] Corollary Let V be fte-dmesoal vector space wth a ordered bass, ad let T: V V be - lear. The T s vertble f ad oly f [T] s vertble. Furthermore, [T ] ([T] ). V 為有限維度的向量空間, 是 V 的有序基底, 令 T: V V 為線性轉換 T 為 - 可逆的 若且唯若 條件為 [T] 可逆 再者,[T ] ([T] ) Corollary Let A be a matrx. The A s vertble f ad oly f L A s vertble. Furthermore, (L A ) - L - A. 令 A 為 的矩陣 A 為可逆的 若且唯若 條件為 L A 可逆 再者,(L A ) - L - A 37

38 DEFINITION.9 Isomorphsm Let V ad W be vector spaces. We say that V s somorphc to W f there exsts a lear trasformato T: V W that s vertble. Such a lear trasformato s called a somorphsm from V oto W. V 與 W 為向量空間, 稱 V 同構於 W, 表示存在一線性轉換 T: V W 為可逆 這種線性轉換稱為 由 V 映成至 W 的同構轉換 Is somorphc to s a equvalece relato. So we eed oy say that V ad W are somorphc. 由於 同構於 是一種等價關係, 故 V 同構於 B 可簡稱 AB 同構 EXAMPLE 3 Defe T: F P (F) by T(a,a ) a +a x. It s easly checked that T s a somorphsm; so F s somorphc to P (F). 定義 T: F P (F) 為 T(a, a ) a + a x T 為同構轉換? 若 T 為同構轉換, 則稱 F 同構於 P (F) Theorem.9 Let V ad W be fte-dmesoal vector spaces. The V s somorphc to W f ad oly f dm(v) dm(w). V 與 W 為有限向量空間 V 同構於 W 的 若且唯若 條件為 dm(v) dm(w) Proof 先證明 V 同構於 W dm(v) dm(w) Suppose that V s somorphc to W ad that T: V W s a somorphsm from V to W. By the lemma preceedg Theroem.8, we have that dm(v) dm(w). 若 V 同構於 W, 表示由 V 到 W 的線性轉換 T 為可逆且為 ONTO 故依據 Lemma to Theorem.8, 可知 dm(v) dm(w) 再證明 dm(v) dm(w) V 同構於 W Now suppose that dm(v) dm(w), ad let {v, v,, v } ad {w, w,, w } be bases for V ad W, respectvely. By Theorem.6, there exsts T:V W such that T s lear ad T(v ) w for 38

39 ,,.,. Usg Theorem., we have R(T) spa(t()) spa() W. So T s oto. From Theorem.5, we have that T s also oe-to-oe. Hece T s a somorphs. By the lemma to Theorem.8, f V ad W are somorphc, the ether both of V ad W are fte-dmesoal or both are fte-dmesoal. 假設 dm(v) dm(w), 並令 {v, v,, v } 與 {w, w,, w } 分別為 V 與 W 的基底 依據 Theorem.6 得知 : 存在線性轉換 T:V W, 使得 T(v ) w for,,., 依據 Theorem. 得知 :T 的值域 Rage R(T) 可由 T() 來生成, 意即 R(T) spa(t()) spa() W 所以 T 是映成 (R(T) W, 即值域等於對應域 ) 依據 Theorem.5 得知 T 也是一對一 故 T 為 V 映至 W 的同構轉換 Theorem. Let V ad W be vector spaces, ad let T: V W be lear. If {v, v,, v } s bass for V, the R(T) spa(t()) spa({t(v ), T(v ),,T(v )}). 令 V 與 W 為向量空間, 且 T: V W 為線性轉換 若 {v, v,, v } 是定義域 (Doma)V 的基底, 則 T 的值域 Rage R(T) 可由 T() 來生成 意即 R(T) spa(t()) spa({t(v ), T(v ),, T(v )}) Theorem.5 V 與 W 為向量空間, 具有相等的維度, 且 T: V W 為線性轉換, 則下列敘述等價 : (a) T s oe-to-oe. (b) T s oto. (c) rak(t) dm(v). Theorem.6 Let V ad W be vector spaces over F, ad suppose that {v, v,, v } s a bass for V. For w, w,, w W, there exsts exactly oe lear trasformato T:V W such that T(v ) w for,,,. 令 V 與 W 為佈於 F 的向量空間 設 {v, v,, v } 為 V 的基底, 對 W 內的 w, w,, w 而言, 存在一由 V 映至 W 的線性轉換 T, 使得 T(v ) w Lemma to Theorem.8 Let T be a vertble lear trasformato from V to W. The V 39

40 s fte-dmesoal f ad oly f W s fte-dmesoal. I ths case, dm(v) dm(w). 令 T 為 V W 為可逆且為線性, 則 V 是有限維度 若且唯若 W 是有限維度 在此 情況,dm(V) dm(w) Corollary Let V be a vector space over F. The V s somorphc to F f ad oly f dm(v). 令 V 為佈於 F 的向量空間, 則 V 同構於 F 若且唯若 條件為 dm(v) Theorem. Let V ad W be fte-dmesoal vector spaces over F of dmesos ad m, respectvely, ad let ad be ordered bases for V ad W, respectvely. The the fucto Φ: (V, W) M m (F), defed by Φ(T) [T] for T (V, W), s a somorphsm. 令 V 與 W 為佈於 F, 維度分別為 與 m 的向量空間, 且 與 分別為 V 與 W 的基底 函數 Φ: (V, W) M m (F) 是同構轉換, 其中,Φ(T) [T] Corollary Let V ad W be fte-dmesoal vector spaces of dmesos ad m, respectvely. The (V, W) s fte-dmesoal of dmeso m. 令 V 與 W 為佈於 F, 維度分別為 與 m 的向量空間, 則 (V,W) 為有限維度且維度為 m DEFINITION.4 Let V ad W be vector spaces over F. We deote the vector space of all lear trasformatos from V to W by (V, W). I the case that V W, we wrte (V) stead of (V, W). 令 V 與 W 為佈於 F 的向量空間 將所有 V 映至 W 的線性轉換所形成的向量空間註記為 (V, W) 當 V W, 則將 (V, W) 改寫成 (V) DEFINITION. Stadard represetato Let be a ordered bass for a -dmesoal vectors space V over the feld. The stadard represetato of V wth respect to s the fucto Φ : V F defed by Φ (x) [x] for each x V. 令 是維度為 的向量空間 V 的有序基底, 則 V 相對於 的標準表示式為由 V 映至 F 的函數 Φ (x)(φ : V F ), 該函數定義為 Φ (x) [x] ; 其中,x V 4

41 EXAMPLE 4 Let {(, ), (, )} ad {(, ), (3, 4)}. It s easly observed that ad are ordered bases for R. For x (, -), we have Φ (x) [x] ad Φ (x) [x] 5 Theorem. For ay fte-dmesoal vector space V wth ordered bass, Φ s somorphsm. 對任一有限維度 具有有序基底 的向量空間 V 而言,Φ 為一同構轉換 Let V ad W be vector spaces of dmesos ad m, respectvely, ad let T: V W be a lear trasformato. Defed A [T], where ad are arbtrary ordered bases of V ad W, respectvely. We are ow able to use Φ ad Φ to study the relatoshp betwee the lear trasformatos T ad L A :F F m. 令 V 與 W 分別為維度 與 m 的向量空間,T 為 V W 的線性轉換 定義 A [T], 其中 與 分別為 V 與 W 的有序基底 我們現在要利用 Φ 與 Φ 來探討線性 轉換 T 與 L A :F F m 的關係 Let us frst cosder the below fgure. Notce that there are two compostes of lear trasformato that maps V to F m. V T W Φ () () Φ F L A F m. Map V to F wth Φ ad follow ths trasformato wth L A ; ths yelds the 4

42 composte L A Φ. V F 的 Φ ( 先 ) 與 L A ( 後 ) 合成為 L A Φ. Map V to W wth T ad follow t by Φ to obta the composte Φ T. V W 的 T( 先 ) 與 Φ ( 後 ) 合成為 Φ T We coclude that L A Φ Φ T. EXAMPLE 5 The lear trasformato T: P 3 (R) P (R) by T(f(x)) f (x). Let {, x, x, x 3 } ad {, x, x } be the stadard ordered bases for P 3 (R) ad P (R), respectvely, ad letφ : P 3 (R) R 4 ad Φ : P (R) R 3 be the correspodg stadard represetato of P 3 (R) ad P (R). If A [T], the 令 T: P 3 (R) P (R) 為線性轉換且定義為 T(f(x)) f (x), {, x, x, x 3 } 與 {, x, x } 分別為 P 3 (R) 與 P (R) 的標準有序基底 令 Φ : P 3 (R) R 4 及 Φ : P (R) R 3 為 P 3 (R) 與 P (R) 的對應標準表示式 若 A A 3 [T], 則 Cosder the polyomal p(x) +x-3x +5x 3. We show that L A Φ (p(x)) Φ T(p(x)). 考慮多項式 p(x) +x-3x +5x 3, 證明 L A Φ (p(x)) Φ T(p(x)) 分別 Now Φ (p(x)) ( 相當於 p(x) +x-3x +5x 3 相對於 {, x, x, x 3 } 的座標向量 3 5 ) Φ L A (p(x)) 6 ( 先 Φ 後 L A ) But sce T(p(x)) p (x) -6x+5x, we have Φ T(p(x)) 6 ( 先 T 後 Φ )( 相當於 T(p(x)) p (x) -6x+5x 相對於 5 4

43 {, x, x } 的座標向量 ) So L A Φ (p(x)) Φ T(p(x)). NOTE: L A : R 4 R 3.5 The Chage of Coordate Matrx I may areas of mathematcs, a chage of varable s used to smplfy the appearace of a expresso. For example, 利用變數轉換來化簡式子 x u u x xe dx e du e + c e + c by makg the chage of varable u x 在微積分中利用變數變換 u x Smlary, geometry the chage of varable 在平面幾何中利用變數轉換 x x' y' y x' y' 5 ca be used to trasform the equato x -4xy+5y to the smpler equato (x ) +6(y ), whch t s easly see to be the equato of a ellpse. 將 x -4xy+5y 變成一個橢圓方程式 (x ) +6(y ) y y x x 43

44 x x' Geometrcally, the chage of varables s a chage the way that the y y' posto of a pot P the plae s descrbed. Ths s doe by troducg a ew frame of referece, ad x y -coordate system wth coordate axes rotated from the orgal xycoordate axes. I ths case, the ew coordate axes are chose to le the drecto of the axes of the ellpse. The ut vectors alog the x -axs ad the y -axs form a ordered bass. 引進另一個參考座標系統 x y 座標系, 新座標系統位於橢圓的雙軸方向上, 沿 x 軸與 y 軸, 成為一新的有序基底 ', 5 5 For R x, ad the chage of varable s actually a chage from [ P], the coordate y x' vector of P relatve to the stadard ordered bass {e,e }, to [ P] ', the coordate y' vector of P relatve to the ew rotated bass. x 這種變數轉換, 使得相對標準有序基底 {e, e } 的 P 座標向量 [ P], 轉換 y x' 至相對旋轉基底 的座標向量 [ P] ' y' How ca a coordate vector relatve to oe bass be chaged to a coordate vector relatve to the other? Notce that the system of equatos relatg the ew ad old coordates ca be represeted by the matrx equato x y 5 x' y' 新舊座標以矩陣方程式表示 Notce also that the matrx Q equal [ I] ', where I deotes the detty 5 trasformato( 單位轉換 I: R R )o R. Thus [ v] Q[v] ' for all v R. 單位轉換 I v : V V 為 I v (x) x 44

45 Theorem. Let ad be two ordered bases for a fte-dmesoal vector space V, ad let Q [ I ] The v ', 則 令 與 為有限維度空間向量 V 的兩個有序基底, 且 Q (a) Q s vertble. (b) For ay v V, Proof [ v] Q[v] ' (a) Sce I v s vertble, Q s vertble by Theorem.8. 因為 I v 為可逆, 依據 Theorem.8 得知 [ I ] v ' 為可逆 (b) For ay v V, [ v] [I v (v)] [I v ] ' [v] ' Q[v] ' by Theorem.4. [ I ] ( v ' 由 I: V V) 對於任一屬於 V 中的 v 而言 (v V), 依據 Defto.5: [ v] [I v (v)] 依據 Theorem.4: [ v] [I v (v)] [I v ] ' [v] ' Q[v] ' DEFINITION.5 For vector space V ad W, defe detty trasformato I v : V V by I v (x) x for all x V. V 與 W 為向量空間, 定義單位轉換 I v : V V 為 I v (x) x; 意即 單位轉換為由 V 映至 V 的一種轉換, 定義域內的所有元素 x, 轉換後所對應的 像 為本身, 即 像 等於 前像 的一種轉換 Theorem.4 Let V ad W be fte-dmesoal vector spaces havg ordered bases ad, respectvely, ad let T: V W be lear. The, for each u V, we have [T(u)] [T] [u]. V 與 W 為有限維度的向量空間, 與 分別 V 與 W 的有序基底 令 T: V W 為線 性轉換, 則 T(u) 相對有序基底 的座標向量 [T(u)] 為 [T(u)] [T] [u] Theorem.8 Let V ad W be fte-dmesoal vector spaces wth ordered bases ad, respectvely. Let T: V W be lear. The T s vertble f ad oly f [T] s vertble. - Furthermore, [T ] ([T] ). 令 V 與 W 是有限維度的向量空間, 與 分別為 V 與 W 的有序基底 令 T: V W 為線性 T 可逆的 若且唯若 條件為 [T] 是可逆 再 者,[T - ] ([T] ) The matrx Q [ defed by Theorem. s called a chage of coordate matrx. I v ] ' Because of part (b) of the Theorem, we say that Q chages coordates to -coordates. Observe that f {x, x,, x } ad {x, x,, x }. The 45

46 x' j Qjx for j,,...,; that s, the jth colum of A s [x' j ] 相當於探討 中 的 x j 相對於 的座標向量 Theorem. 所定義的 Q [ I ] v ' 稱為座標轉換矩陣 (Chage of coordate matrx) 依 Theorem.(b) 稱 Q 為由 座標系變換至 座標系的座標變換矩陣 若 {x, x,, x } 且 {x, x,, x }, 則 x' j Qjx [x' j ] ' 是 Q 矩陣的第 j 行 反之, 由 座標系變換至 ' 座標系者為 Q - EXAMPLE I R, {(, ), (, -)} ad {(, 4), (3, )}. Sce (, 4) 3(, )-(, -) ad (3, ) (, )+(, -), the matrx that chages -coordates to -coordates s 3 Q ( 由 座標系變換至 座標系 ) 3 Thus, for stace [(, 4)] Q [(, 4)] Q 例如 : 內的 (,4) 相對於 的座標向量 Theorem.3 Let T be a lear operator o a fte-dmesoal vector space V, ad let ad be ordered bases for V. Suppose that Q s the chage of coordate matrx that chages coordates to -coordates. The [T] ' Q [T] Q. T 為有限維度的向量空間 V 上的一個線性運算子, 令 與 為有限維度空間向量 V 的兩個有序基底, 且 Q 為由 座標系變換至 座標系的座標變換矩陣, 則 [T] ' Q [T] Q Proof Let I be the detty trasformato o V. The T IT TI; hece, by Theorem., Therefore [T] ' ' Q [T] ' [I] ' [T] ' [IT] ' [TI] ' [T] [I] ' [T] Q [T] Q 令 I 是 V 上的單位轉換 (Idetty trasformato I v : V V by I v (x) x for all x V) Q 46

47 , 則 IT TI T 因 Q [ I ] ' v ' Q[T] ' [I] '[T] ' 依據 Theorem. 得知 : ' Q [T] ' [I] ' [T] ' [IT] ' [TI] ' [T] [I] ' [T] 因此,[T] ' Q [T] Q Theorem. Let V, W, ad Z be fte-dmesoal vector space wth ordered bases α,, ad, respectvely. Let T: V W ad U: W Z be lear trasformato. The [UT] α [U] [T] α. 令 V W 與 Z 是有限維度的向量空間,α 與 分別為 V W 與 Z 的有序基底 令 T: V W( 先 ) 且 U: W Z( 後 ), 則 Q [UT] [U] [T] α α EXAMPLE Let T be the lear operator R defed by a 3a b T b a + 3b ad let {(, ), (, -)} ad {(, 4), (3, )} be the ordered bases. 3 註 [T] 3 The chage of coordate matrx that chages coordates to -coordates s 3 Q (, 4) 3(, )-(, -) ad (3, ) (, )+(, -) ad t s easly verfed that Q 5 3 Hece, by Theorem.3 4 [T] ' Q [T] Q To show that ths s the correct matrx, we ca verfy that the mage uder T of each vector of s the lear combato of the vectors of wth the mage of the secod vector s 為驗證所求出來的矩陣, 可以 的每一向量經 T 映射的像是 中諸向量的線性 組合, 而對應行的元素是該線性組合的係數 T + (3, ) 是 中第 個向量,(, ) 是 [ T] ' 的第二個行 6 4 註 : 47