談地球上兩點間的球面距離 17 R r 1 (a) 小圓 (b) 大圓圖 1 地球的運動分公轉和自轉所謂公轉就是地球循橢圓形的軌跡繞太陽運行, 繞行一周約需一年地球除了公轉外, 它本身也以勻速自轉, 自轉的軸是一條貫穿南北兩極的直線, 這條直徑叫做地軸以地軸為直徑的大圓叫做經線 (

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只论皮
5 years ago
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1 談地球上兩點間的球面距離徐正梅地球是人類的老故鄉, 它具備了陽光空氣水三寶, 孕育了無數的生命人類的文明在這塊大地上萌芽滋長開花一代又一代永續不斷地傳承創新但是, 您是否明白 : 地球的長相? 從台北飛往倫敦, 經過那些地區航線較短? 一地球是圓形球體? 古代一些有智慧的人, 累積了許多生活上的經驗 : 太陽從地平線冒出來, 日正當中後又逐漸在海面上沈落船隻進港先見桅燈後見船身海天為何連成一線? 月蝕時月球上的圓形陰影何處來? 他們必也想過 : 大地由於地大廣無邊際, 難道不是平的, 而是彎曲的? 十六世紀初, 波蘭的科學家哥白尼 ( Copernicus ) 提出了地圓說, 1492 年哥倫布 (Columbus) 航海西行發現了美洲新大陸, 1522 年麥哲倫 (Magellan) 的環球一周的壯舉更證實了地球是圓的事實上, 地球在赤道附近的半徑約為 6378 公里, 在南北兩極的半徑約為 6358 公里, 二者相差僅 20 公里, 大約佔 6378 公里的 0313%, 這個差距微不足道我們把地球縮小成半徑 10 公分的地球儀, 南北兩極的半徑約為 9968 公分所以地球儀幾乎是圓形球體, 肉眼實難分辨它是微扁的球體二經度與緯度把地球看成一個渾圓球體 ( 如果不太計較的話 ), 地球上每一個點的位置是用經度緯度來確定的例如台北約位於東經 121, 北緯 25 上球面上以通過球心的平面所截出的圓最大, 此種圓叫做大圓 ( 大圓的半徑等於球的半徑 ) 不通過球心的平面所截出的圓都叫小圓如果球的半徑記作 R, 小圓的半徑記作 r, 球心與小圓圓心的距離記作 d ( 參照圖 1) 那麼 R 與 r 滿下列關係 : R 2 = r 2 + d 2 (d = 1 ) 16

2 談地球上兩點間的球面距離 17 R r 1 (a) 小圓 (b) 大圓圖 1 地球的運動分公轉和自轉所謂公轉就是地球循橢圓形的軌跡繞太陽運行, 繞行一周約需一年地球除了公轉外, 它本身也以勻速自轉, 自轉的軸是一條貫穿南北兩極的直線, 這條直徑叫做地軸以地軸為直徑的大圓叫做經線 ( 分東經線與西經線 ), 又稱子午線所有的經線必通過南極和北極除了南北極外, 地球上每一個點都恰有一條經線通過, 這條經線是由南北兩極與該點所決定的平面所截出的大圓通過英國倫敦市郊格林威治天文台的經線 ( 是一個半圓 ) 叫做 0 經線又叫本初子午線其餘各經線的度數就是該經線所在的半平面與 0 經線的半平面所夾的二面角的角度 ( 如圖 2) 0 經線以西的經線稱做西經線 ( 是一個半圓 ), 其度數取值的範圍是 0 180, 0 經線以東的經線稱做東經線 ( 是一個半圓 ), 它的度數也是圖 2 的 P 點位在東經 120 的經線上東經 180 和西經 180 是同一條經線 ( 半圓 ) 的度數, 東經 120 和西經 60 則是同一個大圓的東西兩條經線西 0 經線 120 S P 東東經 120 經線圖 2 與地軸垂直的圓叫做緯線, 其中的大圓叫做赤道, 又叫 0 緯線赤道以北的緯線 ( 都是小圓 ) 叫做北緯線, 赤道以南的緯線 ( 都是小圓 ) 叫做南緯線 ( 如圖 3), 地球上每一點都恰有一條緯線通過 ( 因為通過該點且垂直地軸的平面恰有一個 ), 緯線的度數就是經過緯線上任一點的球半徑與赤道面所夾的角度, 它們的度數是 0 90, 如圖 4, 點在北緯 40 的緯線上, 又在東經 120 的經線上, 所以我們稱點的位置是東經 120, 北緯 40

3 18 數學傳播 23 卷 2 期民 88 年 6 月北緯線南緯線北緯 40 線 0 經線赤三時差北極 S 南極圖 3 道赤圖 4 S 道地球以南北極的連線為軸心, 自轉一周所需時間廿四小時, 面向太陽照射的半球為白天, 背向太陽的半球為黑夜天文學家以東經線西經線劃分時區, 地球的經線每小時轉動 15, 由於 = 360 所以由 0 經線起, 每隔 15 的經線形成一個時區天文學家將某地的子午線 ( 經線 ) 正對著太陽時定義為該地的格林威治時間中午 12 時地球由西向東自轉, 所以經線每往東增加 15, 該地的時間與格林威治時間的時差就增加一小時以台灣位於東經 121 為例, 因小時 ( 約 ) 故台灣的時間與倫敦市外的格林威治, 有八小時的時差, 當格林威治中午十二時, 同一時間在台灣是晚上八點東經 180 與西經 180 是一條重疊的經線, 名叫國際換日線這條想像中的經線, 從北極劃過白令海太平洋斐濟的 Taveuni 島, 直達南極從地球儀上審視, 此條換日線的左側 ( 含亞洲的那一側 ) 比它的右側 ( 含美洲的那一側 ) 提早了一天, 比如說, 當國際換日線正對太陽時, 其左側是一月二日的中午十二點, 右側就整整晚了一天, 正是一月一日的中午四球面上兩點間的最短路徑從台北飛往倫敦那一條路徑最短? 用細線去量地球儀, 您將發現下列路徑比較短台北鄭州包頭阿爾泰山烏拉山脈列寧格勒哥本哈根倫敦因為它是通過台北倫敦兩地的大圓路徑 ( 近似 ) 球面上通過兩點之許多路徑中, 顯然以共平面的路徑較近, 而共平面的路徑就是通過兩點之各種不同半徑的圓弧, 這些圓弧又以

4 談地球上兩點間的球面距離 19 通過兩點之大圓的劣弧為最短我們應用三角函數的基礎知識來證明這一重要事實, 先給出兩個引理 1 圖 5 引理 1 設 0 < α < π 2, 則 sin α < α < tanα 證明 : 如圖 6, 單位圓與 x 軸正向交於 (1, 0) 點點在第一象的單位圓上且 = α 點 C 是過點的切線與直線的交點 Y 圖 6 C (1, 0) X 由面積 < 扇形 Ô 面積 < C 面積, 得到 sin α < α < tanα ( 半徑 = 1) sin α < α < tanα 註 : 由圖 6 sin α =, α = Â( 弧長 ), tanα = C, 即 < Â < C Y 引理 2 α 圖 7 D C X 設 0 < α < < π 2, 則 < sinα α 證明一 : 如圖 7, 設是單位圓上的兩個點且 X = α, X =, 直線與 x 軸交於 C 點, 過點的切線與 x 軸交於 D 點, 分別是在 x 軸上的正射影, 則 sin α = = C C = 1 + C (1) 另一方面 < ( 弧長 ) = α, C > D = tanα > α (2)

5 20 數學傳播 23 卷 2 期民 88 年 6 月由 (1) (2) 得故 sin α = 1 + C < 1 + D < 1 + α = α α sin α < α ( 或寫成證明二 : 不等式 sin < sin α α 要條件為 sin α α > 0 α + δ < sin α α ) 成立之充當 0 < α < < π 2 時, 令 = (0 < δ < π 2 ), 則 sin α α = (α + δ) sinα α sin(α + δ) = (α + δ) sinα α(sin α cosδ + cosαsin δ) > (α + δ) sinα α(sin α + δ cosα) ( 0 < sin δ < δ, 0 < cosδ < 1) = δ(sin α α cosα) = (δ cos α)(tanα α) > 0 現在我們在引理 1 引理 2 的基礎上來證明下面定理 : 定理 : 通過球面上兩點間的許多圓弧中, 以大圓的劣弧為最短 1 圖 8 大圓小圓證明 : 如圖 8, 通過球面上兩點之大圓的劣弧長記作 S, 過兩點之小圓 1 的劣弧長記作 S 1, 並且令 R = = ( 球的半徑 ), r = 1 = 1 ( 小圓的半徑 ), = 2α, 1 = 2, 則由圖 9 得 sin α α > 0 即證明三 : 考慮函數 f(x) = sin x x 之遞增遞減 f (x) = x cos x 1 sinx = x 2 sin (0 < x < π 2 ) < sin α α (cos x)(x tan x) x 2 < 0 ( 因 0 < x < tan x), 故函數 f(x) = sin x x 在開區間 (0, π 2 ) 內是嚴格遞減當 0 < α < < π 2 時, 恆有 f(α) > f() 即 sinα α ( 或寫成 sin α < α ) sin < 故 R α S 圖 9 1 S 1 R sin α = 1 () = r 2 sin α = R r (1)

6 談地球上兩點間的球面距離 21 由 R > r 及 (1) 式知 sin α < 即 0 < α < < π 2 (Â 為劣弧, 1 = 2α < π) 另一方面, 由引理 2 知由 (1), (2) 得 sin α < α (2) R r < α R(2α) < r(2) S < S 1 上面這個定理指出了 : 地球上兩點間的最短路徑就是經過此兩點的大圓路徑 ( 劣弧 ) 定義 : 通過球面上兩點之大圓 ( 此大圓唯一存在 ), 在此兩點間的一段劣弧長叫做這兩點的球面距離五一些具體例子給定地球上兩點之經緯度, 我們想求此兩點的球面距離, 假設地球的半徑 R = 6400 公里例 1: 設地球上兩點之位置為位於東經 121 北緯 25, 位於東經 121 北緯 55, 估計間的球面距離 ( 之球面距離記作 S(, )) 解 : 因 = = 30 = π ( 弧度 ) ( 圖 10), 故間的球面距離 6 S(, ) = R π ( 公里 ) 圖 10 例 2: 假設都在北緯 45 圈上, 且在西經 145, 在東經 125, 求 S(, ) 解 : 設地心為, 北緯 45 圈的圓心為 1, 我們祇要算出之弧度, 那麼 S(, ) = R ( 的弧度 ) ( 圖 11) 1 中有 : 1 圖 11 1 = 360 ( )=90, 1 = 45 = 1 1 = 1 = R sin 45 = 2 = = R 2 = R = = 2 2 R 故是正三角形, = π 3, S(, ) = R π ( 公里 )

7 22 數學傳播 23 卷 2 期民 88 年 6 月從例 1 例 2 中可以看出 : 求 S(, ) 之步驟 (i) 先依題設條件, 算出弦長 (ii) 在中, = = R ( 球半徑 ), 再由餘弦定理可求出地心對弦的張角 (iii) S(, ) = R ( 弧度 ) 例 3: 設位於東經 125, 北緯 60, 位於西經 145, 南緯 30 試求 S(, ) 解 : 如圖 12, 設地心為, 北緯 60 圈, 南緯 30 圈的圓心分別為 1 2, 作直線 C 垂直於南緯 30 之截面圓於 C 點, 則四面體 2 C 的高是 C = C 2 1 S 圖 12 (i) 2 = C 2 + C 2 C 2 = ( ) 2 = = (cos 30 ) 2 +( sin 30 ) 2 +2 cos 30 sin 30 = R 2 + R 2 sin 60 3 = (1 + 2 )R2 C 2 = 2 C = = (sin 30 ) 2 +( cos 30 ) 2 = R = ((1 + 2 ) + 1)R2 3 = (2 + 2 )R2 (ii) 設 = α, 則 cosα = = 3 4 = (5) π 故 < α < π, 令 α = π 2 2 +α (0 < α < π ) 代入 (1) 得 sin α = 查三角函數值表 : α = 51π 360 ( 弧度 ) α = π + 51π = 77π (iii) S(, ) = R α = π ( 公里 ) 六結語地球上通過兩點的最短路徑, 天文學家稱之為測地線多年來筆者任教的一些資優生都提問過 : 測地線是最短路徑的證明問

8 談地球上兩點間的球面距離 23 題當然, 用積分求弧長的方法對高中生而言少了一份親切感卻多了三分迷惑筆者通常先用平面圖形 ( 參見圖 13) 做直觀的解說 : C 1 C 2 C 圖 13 以 i (i = 1, 2, 3) 為圓心, 在同一平面上作通過兩點的劣弧, 易見, 隨半徑 1, 2, 3 逐漸增長, 它所對應的劣弧長 C 1, C 2, C 3 亦愈來愈短, 並逐漸趨近線段的長所以兩點間的各種劣弧中, 半徑愈大的, 其對應的弧長愈短而球面上所有通過兩點的劣弧, 都可以繞弦旋轉到大圓所在的同一平面上 ( 此大圓由球心三點所確定 ), 問題就變成圖 13 的情形了這種說明對一般的高中生有一分真實感, 但對數學資優生總覺得不夠嚴謹, 乃用初等幾何及三角知識 ( 高中生可以理解的 ) 寫了這篇短文, 雅俗共賞, 也許對擔任資優班的數學教師有一些助益本文的關鍵在於引理 2, 因此筆者嘗試用三種方式去論證 : ( 證一 ) 是較直觀的幾何法, ( 證二 ) 是用三角知識進行邏輯推理, ( 證三 ) 是從函數的高觀點證明 f(x) = sinx 在 (0, π) 是遞減 x 2 ( 用到微分, 高三學生可以理解 ) 三月廿日 ( 星期六 ) 上午, 中央研究院數學研究所葉永南教授, 邀請了湖北武漢市武鋼三中的數學教師錢展望先生到建國高中演講, 參與座談的除了本校部分師生外, 尚有北一女師大附中的數學同仁會後葉教授私下懇請中學老師對數學傳播多賜稿筆者先拋磚, 並寄望中學數學教師將您的數學心得, 研究成果透過數學傳播, 與大家分享本文作者任教於台北市建國中學

1. Ans: 4 a a 10 a 4c 2 0 b 12 a b c 4 2 5c b 0 c 2 2. Ans:(B)(C) 第九章直線與圓 P123~P124 第一單元 1/2 L L L 三線共點, 交於 (3,2) k=-2 不能圍成的情況有 (2)L

1. Ans: 4 a a 10 a 4c 2 0 b 12 a b c 4 2 5c b 0 c 2 2. Ans:(B)(C) 第九章直線與圓 P123~P124 第一單元 1/2 L L L 三線共點, 交於 (3,2) k=-2 不能圍成的情況有 (2)L . Ans: a 5 a 0 a c 0 b a b c 5c b 0 c. Ans:(B)(C) 第九章直線與圓 P~P 第一單元 / L L L 三線共點, 交於 (,) k=- 不能圍成的情況有 ()L //L k / () L //L k /. Ans: () () (A)(B)(C)(E) () 如右圖, 虛線為符合題意的直線斜率最小為 m () m m 0 0 a c a c. Ans: