單元名稱 : 9 三角函數的積分 教學目標 : 使學生了解三角函數的積分 三角函數積分的類型及一些積分技巧 學習時數 : 約一小時
教學內容 :. [ 第一類型 ] 六個三角函數本身的積分. [ 第二類型 ] sin n 及 os n 的積分 sin os m n. [ 第三類型 ] 的積分 4. [ 第四類型 ] n 及 ot n 的積分 5. [ 第五類型 ] n 及 s n 的積分 m 6. [ 第六類型 ] 的積分 sin( m) os( n) 7. [ 第七類型 ] os( m ) os( n ) 的積分 sin( m) sin( n) n
9 三角函數的積分 當被積分函數為三角函數的乘積或乘方時, 大致有下列我們所要討論的七種類型, 或經由化簡而得我們所要討論的七種形式之一 首先介紹第一類型 三角函數本身的積分 第一類型 六個三角函數本身的積分 () sin d=-os+ () os d=sin+ () d=- ln os = ln (4) ot d= ln sin =- ln s (5) d= ln ln (6) s d= ln s ot =- ln s ot 我們只證明 () 與 (5), 其餘同學們自行練習證明
[Proof] () ) os ( os os sin d d d [Proof] (5) d d ) ( ln ) os ln( os ln = d = ) ( d ln = t ) )( ( ln + ln + ln = ) ln( + ln, 故定理得證
第一類型推論 () sinu du=-osu+ () osu du=sinu+ () u du ln os u ln u (4) otu du= ln sin u =- ln s u (5) u du= ln u u ln u u (6) su du= ln s u ot u ln s u ot u 例如 () d = () d ( ) = () d() ( 注意係數 ) = ln os( )
第二類型 型如 sin n d 或 os n d 者,nN,n n 解法 : () 當 n 為正奇數時 : 拆一個出來, 利用 sin d=-d(os) 或 os d=d(sin) 及 sin +os =, 化為餘函數, 再積分之 () 當 n 為正偶數時 : 利用半角公式 os = sin = os ; os, 再積分之 ( sin = os( ) ; os = os( ) )
例 求不定積分 os d Sol. 拆一個出來, 原式化為 os d = os os d ( 由速解法 ) = (-sin ) d(sin) =sin- sin + Ans. os d sin sin
例 求不定積分 sin d Sol. 利用半角公式, 原式化為 sin d = os() d = [-os()] d = [- sin()]+ = - 4 sin()+ Ans. sin d sin( ) 4
第三類型 型如 sin m os n d, m, nn 解法 : () 當 m 與 n 中至少有一為正奇數時 : 將正奇數那一項拆一個出來, 再利用第二類型 () 的解法解之 即利用 sin d=-d(os) d(os) 或 os d=d(sin) 及 sin +os =, 化為餘函數, 再積分之 () 當 m 與 n 均為正偶數時 : 與第二類型 () 的解法相同, 即利用半角公式解之 半角公式 : os sin = ; os os =, ( sin = os( ) ; os = os( ) )
例 求不定積分 sin os 4 d Sol. sin os 4 d = sin os 4 sin d = (-os ) os 4 d(-os) = ( os 4 -os 6 ) d(-os) = (os 6 -os 4 ) d(os) = 7 os7-5 os5 + Ans. sin os 4 d 7 os 7 5 os 5
例 4 求不定積分 sin os d Sol. sin os d = [ = os( ) os( ) ][ os () d 4 os(4) ( ) d = 4 = 4 os(4) d ] d = 8 [-os(4)]d = 8 [- 4 sin(4)]+ = - 8 sin(4)+ Ans. sin os d sin( 4 ) 8
第四類型 型如 n d 或 ot n d 者, n,n N 解法 : 拆兩個出來, 利用 l+ = 或 l+ot =s 及 d()= d 化為降階公式, 或 d(ot)=-s d, 每次降二階, 再積分之 若 n 為正奇數, 則降階至最後為 d 或 ot d, 故 d =- ln os + 與 ot d = sin ln +, 要記得
例 5 求不定積分 4 d Sol. 4 d = d = ( -) d = ( - ) d = d()- ( -) d = -(-)+ = -++ Ans. 4 d
例 6 求不定積分 ot d Sol. ot d ot ot d = ot (s -) d = (ot s -ot) d = ot d(-ot)- ot d = ot - ln sin + Ans. ot d ot ln sin
n n 第五類型 型如 d 或 s d 者, n,nn N 解法 : () 當 n 為正偶數時 : 拆兩個出來, 利用 d()= d 及 l+ = 或 l+ot =s 化為 或 d(ot)=-s d, 或 ot 之形式, 再積分之 () 當 n 為正奇數時 : 同 (l) 之解法, 再利用分部積分法 (I.B.P.), 再移項, 化為降階公式, 每次降二階, 再積分之 與 若 n 為正奇數, 降至最後必為 d 或 s d, 故 d ln 之型式, s d ln s ot, 要記得
例 7 求不定積分 4 d Sol. 4 4 d = d ( ) d ( ) =+ + Ans. 4 d
例 8 求不定積分 d Sol. d d d ( ) = - d = - d = - ( -) d = - d+ d 移項可得 = + d d 兩邊同除以 得 = + ln + (I.B.P.) d = [ + ln ]+ ) ( 其中 ' Ans. d [ ln ]
第六類型 型如 m n d 或 s m ot n d 者,m,nN 解法 : () 當 m 為正偶數時 : 正偶數那一項拆兩個出來, 利用 l+ = 或 l+ot =s 及 d()= d 或 d(ot)=-s d, 化為 m+n- d() 或 ot m+n- d(ot) 的型式, 再積分之 () 當 n 為正奇數時 : 每項各拆一個出來, 利用 l+ = 或 l+ot =s 及 d( )= d 或 d(s )=-s ot d, 化為 m+n- d() 或 s m+n- d(s) 的型式, 再積分之 () 當 m 為正奇數且 n 為正偶數時 : 利用 l+ = 或 l+ot =s 化為 m+n d 或 s m+n d 之型式, 再積分之, 其中 m+n 為正奇數, 即同第五類型 () 之解法
例 9 求 () 4 d; () d Sol. () 4 d = d = (+ ) d() = ( + 4 ) d() = + 5+ 5 () d = d = ( -) d() = ( 4 - ) d() = 5 5 - + Ans. () 4 d 5 5 5 5 ( ) d
例 0 求不定積分. d Sol.. d =.( -) d = ( -) d = d- d = [.+ ln ]-ln + ( 由例 8) = [.- ln ]+ Ans. d [ ln ] d [ ln ] [ 例 8]
第七類型 型如 sin(m) 第七類型 型如 sin(m).os(n) d 或 os(m) os(n) d 或 os(m).os(n) os(n) d 或 sin(m).sin(n) d, m, n R 解法 : 利用積化和差公式積分之 積化和差公式 : sinα osβ= [sin(α+β)+sin(α-β)] osα osβ= [os(α+β)+os(α-β)] sinα sinβ= [os(α+β)-os(α-β)] = [os(α-β)-os(α+β)] os(α+β)]
例 求不定積分 sin().sin() sin() d Sol. 利用積化和差公式, sinα sinβ= sinβ [os(α+β)-os(α-β)] β)] 可得 sin().sin() d = [os( ) os( )] d = [os( 5 ) os ] d ( 由簡單的變數變換法 ) [ sin( 5 ) sin ] 5 = sin(5)+ 0 sin+ Ans. sin() sin() d sin(5) 0 sin
例 求不定積分 sin( 5 ) os( ) d Sol. 利用積化和差公式, sinα osβ= [sin(α+β)+sin(α-β)] β)] 可得 sin( 5 ) os() d = [sin(5+)+sin(5-)] d = [sn(8)+sin()] d os(8)+ = [ 8 os()]+ ( 由簡單的變數變換法 ) = 6 4 os(8)- 4 os()+ Ans. sin(5) os() d os(8) os() 6 4
習題 9 三角函數的積分. 求 sin ( ) os ( ) d. 求 s 4 ( ) d 4 4. 求 d 4. 求 os () () d os 5. 求 d 4 6. 求 sin os( 4 ) os() d ot 7. 求 d 4 8. 求 s sin d 5 8 9. 求 sin( ) sin() d 0. 求 sin os d 4. 求 sin d. 求 os d 7 8. 求 d 4. 求 s ot d