初二秋季第四讲课后作业答案 ( 尖端班 ) 几何变换 旋转 习题. 为等边 内一点, = 3, = 3, 求证 : 以 为边可以构成一个三角形, 并确定所构成的三角形的各内角的度数. 解析 绕点 旋转 到 ', 可得 ' 就是以 为边构成的三 角形, 则 ' = 3 60 = 63, ' = 3 60 = 53, ' = 80 63 53 = 64, 即三角形各个内角度数分别为 53 63 和 64 习题. 如图, 是正 内一点, = 30, 将 绕点 逆时针方向旋转 60 得到 ', 连结 ', 当 为多少度时, ' 是等腰三角形? ' 解析 令 = α, 则 = 30 α, 易得 ' 中, ' = α 60, ' = 70 α, 从而 ' = 70 显然, 当 α = 30, 00, 5 时, ' 是 等腰三角形 习题 3. 如图所示, 是等边 中的一点, =, = 3, = 4, 试求 的边长. 解题是一种实践性的技能, 就像游泳 滑雪或弹钢琴一样, 只能通过模仿 练习和钻研学到它 玻利亚 / 9
解析 由于有等边三角形, 故可考虑将 绕点 旋转 60, 使 出现在 一个三角形中, 从而构造出一个直角三角形. 将 绕点 逆时针旋转 60, 则 与 重合, 点转至 点, 点转至 点, 连接, 如图所示, 有 = =, =, = 60. 故 为等边三角形, = = 3, 在 中, = 4 = + ( 3) = +, 故 = 90, =, 从而有 = 30, 故 = + = 60 + 30 = 90. 所以, 在 Rt 中, = + = 4 + ( 3) = 8, = 7. 习题 4. ⑴ 如图所示, 在四边形 中, =, = 60, = 0, 证明 : + =. ⑵ 如图所示, 在四边形 中,=, = 60, 为四边形 内部一点, = 0, 证明 : + +. 解析 ⑴( 思想 : 以 为旋转中心将 旋转 60 到 ) 如图所示, 延长 至, 使 =. 连接, 由 = 0 可知 = 60, 又由 = 可知 为等边三角形, 即有 = =, = 60. 解题是一种实践性的技能, 就像游泳 滑雪或弹钢琴一样, 只能通过模仿 练习和钻研学到它 玻利亚 / 9
又因 =, = 60, 连接, 可知 为等边三角形, 即 = =, = 60. 在 和 中, 由 = 可得 : = + = + =. 而 =, =, 故. 于是 = = + = +, 即 + =. ' ⑵( 思想, 以 为旋转中心, 将 旋转 60 到 ) 如图所示, 在四边形 外侧作等边, 由 = 0 可知四边形 符合 () 的条件, 连接, 则 = +. 连接, 则易知 +, 即 + +. 此时, 解题的目标是证明 =. 因为 是等边三角形, 故 =, = 60. 连接, 易知 为等边三角形, 故 =, = 60. 在 和 中, = + = + =, =, =, 故. 从而 =. 故 + +. 解题是一种实践性的技能, 就像游泳 滑雪或弹钢琴一样, 只能通过模仿 练习和钻研学到它 玻利亚 3 / 9
习题 5. 如图, 已知在 中, =, = 90, 点 是 上的任意一点, 探究 : + 与 的关系, 并证明你的结论. 解析 探究得到的关系为 : + =. 证明 : 以 为边向三角形外作 =, 且 =, 连接. 在 和 中 = = = =, = + = 90 又 = + = 90 即 = 90 同理 = 90 = + = + + = + =, = + = + 即 = +. 习题 6. 是等腰 Rt 斜边 所在直线上的两点, 满足 = 35 ; 求证 : + =. 解题是一种实践性的技能, 就像游泳 滑雪或弹钢琴一样, 只能通过模仿 练习和钻研学到它 玻利亚 4 / 9
解析 将 绕点 逆时针旋转 90 得到 ', 证明 与 ' 全等即可. ' 习题 7. 问题 : 如图, 在菱形 和菱形 FG 中, 点,, 在同一条直线上, 是线段 F 的中点, 连结 G,. 若 = F = 60, 探究 G 与 的位置 G 关系及的值. G 图 F 图 G F 小聪同学的思路是 : 延长 G 交 于点 H, 构造全等三角形, 经过推理使问题得到解决. 请你参考小聪同学的思路, 探究并解决下列问题 : G ⑴ 写出上面问题中线段 G 与 的位置关系及的值 ; ⑵ 将图 中的菱形 FG 绕点 顺时针旋转, 使菱形 FG 的对角线 F 恰好与菱形 的边 在同一条直线上, 原问题中的其他条件不变 ( 如图 ). 你在 ⑴ 中得到的两个结论是否发生变化? 写出你的猜想并加以证明. G 解析 ⑴ 线段 G 与 的位置关系是 G ; 3 =. ⑵ 猜想 :⑴ 中的结论没有发生变化. H G 证明 : 如图, 延长 G 交 于点 H, 连结 H, G. F 是线段 F 的中点, F =. 解题是一种实践性的技能, 就像游泳 滑雪或弹钢琴一样, 只能通过模仿 练习和钻研学到它 玻利亚 5 / 9
由题意可知 FG. GF = H. 又 GF = H, GF H, G = H, GF = H. 四边形 是菱形, =, H = = 60. 由 = F = 60, 且菱形 FG 的对角线 F 恰好与菱形 的边 在同一条直线上, 可得 G = 60. H = G. 四边形 FG 是菱形, GF = G, H = G. H G, H = G, H = G. H + H = G + H = 0, 即 HG = 0. H ⑶ G G = G, H = G, G, G = H = 60. 3 =. = tan ( 90 α ). 证明过程略. 习题 8. 已知 : 在 Rt 中, =, 在 Rt 中, =, 连结, 取 的中点, 连结 和. ⑴ 若点 在边 上, 点 在边 上且与点 不重合, 如图, 探索 的关系并给予证明 ; ⑵ 如果将图 中的 绕点 逆时针旋转小于 45 的角, 如图, 那么 ⑴ 中的结论是否仍成立? 如果不成立, 请举出反例 ; 如果成立, 请给予证明. 图 图 ⑶ 如图, 例题条件不变, 将等腰直角三角形 绕 点按逆时针方向旋转 45 o, 结论 : 为等腰直角三角形, 成立吗? ⑷ 如图将等腰直角三角形 绕点 按逆时针方向旋转 90 o, 其余条件不变, 结论 : 为等腰直角三角形还成立吗? 解题是一种实践性的技能, 就像游泳 滑雪或弹钢琴一样, 只能通过模仿 练习和钻研学到它 玻利亚 6 / 9
解析 ⑴ =, 在 Rt 中, 是斜边 的中点, = = =. =. 在 Rt 中, 是斜边 的中点, = = =. =. =, + = ( + ) + = = 45, = = 90, 即. ⑵ 当 Δ 绕点 逆时针旋转小于 45 的角时, ⑴ 中的结论成立. 连结, 延长 至点 F, 使得 = F, 连结 F F, 延长 交 于点 H. F H = F, = F, =, 四边形 F 是平行四边形. F, =, = F. F, H = F. = 45 H = 45 90 H = H 45, ( ) F = F 45, = F. 又 =, F. = F, = F. 解题是一种实践性的技能, 就像游泳 滑雪或弹钢琴一样, 只能通过模仿 练习和钻研学到它 玻利亚 7 / 9
+ = F +, F = = 90. 在 Rt F 中, 由 = F, = F, 得 = 且. ⑶ 延长 交 于点 T, T 为等腰直角三角形,, = T 又 =, 又 = T T, = T, = T = = T, = T. = T, T, 结论得证 ⑷ 延长 交 于 H, 连结 H, 由上题易知 H, = H 又 =, H = =, = H H, = H, = H H = 90 o, = = 45 o, 结论得证 习题 9. 如图所示, 在 中, = 0, 是 内部一点, 试比较 + + 与 + 的大小关系. 解析 如图所示, 将 绕点 逆时针旋转 60, 得到 Q, 连接 Q, 则 Q =, =, Q =, 解题是一种实践性的技能, 就像游泳 滑雪或弹钢琴一样, 只能通过模仿 练习和钻研学到它 玻利亚 8 / 9
= Q, 与 Q 均为等边三角形, 从而 Q = 60, =, Q =. 而 + = 80, 故 三点共线. 因此 + + = Q+ Q+ > = + = +, 即 + + > +. 习题 0. 在矩形 中, = 600, = 000, 是内部一点,Q 是 边上任意一点, 试确定点 Q 的位置, 使得 + + Q最小, 并求出这个最小值. Q 解析 点 Q 是 边的中点, 点 在 的中垂线上, 满足 = = 0. 最小 值为 600 + 500 3. ' H Q 解题是一种实践性的技能, 就像游泳 滑雪或弹钢琴一样, 只能通过模仿 练习和钻研学到它 玻利亚 9 / 9