IIR 数字滤波器设计 南京航空航天大学 李军
IIR 的数字滤波器设计 基本概念 IIR 滤波器设计的特点 常用模拟低通滤波器的设计方法 用脉冲响应不变法设计 IIR 数字滤波器 用双线性变换法设计 IIR 数字滤波器 设计 IIR 滤波器的频率变换法
基本概念 经典滤波器 将输入信号 x 中的有用成分与希望去除的成分占有不 同的频带, 通过一个线性系统 滤波器, 可以将欲去除的成分去除掉 现代滤波器 将信号与噪声均视为随机信号, 利用它们的统计特征 自相关函数 功率谱 导出算法, 用硬件或软件加以实现 3
基本概念 选频滤波器的分类 在对信号的过滤 检测与参数的估计等处理中, 数字滤波器是使用最广泛的线性系统 数字滤波器是对数字信号实现滤波的线性时不变系统 它将输入的数字序列通过特定运算转变为输出的数字序列 一个输入序列 x, 通过一个单位脉冲响应为 h 的线性时不变系统后, 其输出响应 y 为 两边经过傅里叶变换 y x h j Y X m j h m x m Y j X j 及 j 分别为输出序列 输入序列及系统的的频谱函数 j 4
基本概念 输入序列的频谱 X j 经过滤波后, 变为 X j j 如果 j 的值在某些频率上是比较小的, 则输入信号中的这些频率分量在输出信号中将被抑制掉 因此, 按照输入信号频谱的特点和处理信号的目的, 适当选择 j, 使得滤波后的 X j j 符合人们的要求, 这就是数字滤波器的滤波原理 和模拟滤波器一样, 线性数字滤波器按照频率响应的通带特性可划分为低通 高通 带通和带阻几种形式 5
几种数字滤波器的理想幅频特性 j 低通 a - - o j 高通 b - - o j 带通 c - - o j 带阻 d - - o 系统的频率响应 j 是以 为周期的 6
基本概念 满足奈奎斯特采样定理时, 信号的频率特性只能限带于 < 的范围 理想低通滤波器选择出输入信号中的低频分量, 而把输入信号频率在 c < 范围内所有分量全部滤掉 相反地, 理想高通滤波器使输入信号中频率在 c 范围内的所有分量不失真地通过, 而滤掉低于 c 的低频分量 带通滤波器只保留介于低频和高频之间的频率分量 7
基本概念 滤波器的技术指标 理想滤波器 如理想低通滤波器 是非因果的, 其单位脉冲响应从 - 延伸到 +, 因此, 理想滤波器是不能实现的, 但在概念上极为重要 一般来说, 滤波器的性能要求往往以频率响应的幅度特性的允许误差来表征, 以低通滤波器为例 8
基本概念 +δ -δ j 频率响应有通带 过渡带及阻带三个范围 δ 为通带的容限,δ 为阻带的容限 通带过渡带阻带 δ o 低通滤波器频率响应幅度特性的容限图 9
基本概念 在通带内, 幅度响应以最大误差 ±δ 逼近于, 即 δ + δ j p 在阻带内, 幅度响应以误差小于 δ 而逼近于零, 即 j δ s p, s 分别为通带截止频率和阻带截止频率, 它们都是数字域 频率 幅度响应在过渡带 s - p 中从通带平滑地下降到阻 带 0
具体设计时, 往往使用通带允许的最大衰减 波纹 A p 和 阻带应达到的最小衰减 A s 描述,A p 及 A s 的定义分别为 : A p 0lg j0 j p 0lg j p 0 lg δ A s 0lg j0 j s 0lg j s 0lgδ 假定 j0 已被归一化 例如 j 在 p 处满足 j p 0.707, 则 A p 3dB; 在 s 处满足 j s 0.00, 则 A s 60dB
FIR 型滤波器和 IIR 型滤波器 数字滤波器按单位脉冲响应 h 的时域特性可分为无限长脉冲响应 IIR 滤波器和有限长脉冲响应 FIR 滤波器 IIR 滤波器一般采用递归型的实现结构 其 阶递归型数字滤波器的差分方程为 y M b x k k k 0 k a k y k
式中的系数 a k 至少有一项不为零 a k 0 说明必须将延时的输出序列反馈回来, 也即递归系统必须有反馈环路 相应的 IIR 滤波器的系统函数为 k 0 + M b k k a k k k IIR 滤波器的系统函数 在 Z 平面上不仅有零点, 而且有极点 3
FIR 滤波器的单位脉冲响应 h 是有限长的, 即 0 -, 该系统一般采用非递归型的实现结构, 但如果系统函数中出现零 极点相消时, 也可以有递归型的结构 如频率采样结构 FIR 滤波器的系统函数为 0 h 的极点只能在 Z 平面的原点 4
5 测试技术与数据处理 IIR 滤波器的设计特点 IIR 的系统函数又可以用极 零点表示如下 : + k k M k k k k k M k k k d c A a b 0 一般满足 M, 这类系统称为 阶系统, 当 M> 时, 可看成是一个 阶 IIR 子系统与一个 M- 阶的 FIR 子系统的级联 以下讨论都假定 M
IIR 数字滤波器的设计步骤 按照实际任务要求, 确定滤波器的性能指标 ; 转换为模拟低通滤波器的技术指标 ; 设计模拟低通滤波器 a s; 按一定的规则将 a s 转换成 6
IIR 滤波器的设计特点 利用模拟滤波器来设计数字滤波器, 就是从已知的模拟滤波器传递函数 a s 设计数字滤波器的系统函数 因此, 归根结底是一个由 S 平面映射到 Z 平面的变换, 这个变换通常是复变函数的映射变换, 这个映射变换必须满足以下两条基本要求 : 的频率响应要能模仿 a s 的频率响应, 也即 S 平面虚轴 jω 必须映射到 Z 平面的单位圆 j 上 7
因果稳定的 a s 应能映射成因果稳定的, 也即 S 平面的左半平面 R[s]<0 必须映射到 Z 平面单位圆的内部 < 首先介绍一下常用模拟低通滤波器的特性, 然后分别讨论由模拟滤波器设计 IIR 数字滤波器的两种常用的变换方法 : 脉冲响应不变法和双线性变换法 8
常用模拟低通滤波器的设计常用的模拟原型滤波器有巴特沃思 Buttrworth 滤波 器 切比雪夫 Chbyshv 滤波器 椭圆 Ellips 滤波 器 贝塞尔 Bssl 滤波器等 这些滤波器都有严格的设 计公式, 现成的曲线和图表供设计人员使用 这些典型的滤 波器各有特点 : 巴特沃思滤波器具有单调下降的幅频特性 ; 切比雪夫滤波器的幅频特性在通带或者在阻带有波动, 可提 高选择性 ; 贝塞尔滤波器通带内有较好的线性相位特性 根据具体要求可以选用不同类型的滤波器 9
各种理想模拟滤波器的幅频特性 jω a jω a jω a jω a 低通 高通 带通 带阻 o Ω o Ω o Ω o Ω 0
测试技术与数据处理由幅度平方函数来确定系统函数模拟滤波器幅度响应常用幅度平方函数 a jω 来表示, 即 * Ω Ω Ω j j j a a a 滤波器冲激响应 h a t 是实函数, 因而 a jω 满足 * Ω Ω j j a a 所以 Ω Ω Ω Ω j s a a a a a s s j j j a s 是模拟滤波器的系统函数, 它是 s 的有理函数 ; a jω 是滤波器的频率响应特性 ; a jω 是滤波器的幅度特性
常用模拟低通滤波器的设计方法 现在的问题变成 : 已知通带与阻带的 A P A S Ω S Ω P, 由其得到该时的 a jω 值, 来求得 a s
设 a s 有一个极点 或零点 位于 ss 0 处, 由于冲激响应 h a t 为实函数, 则极点 或零点 必以共轭对形式出现, 因而 ss 0 * 处也一定有一极点 或零点, 所以与之对应 a -s 在 s-s 0 和 -s * 0 处必有极点 或零点, a s a -s 在虚轴上的零点 或极点 对临界稳定情况, 才会出现虚轴的极点 一定是二阶的 a s a -s 的极点 零点分布是成象限对称的 3
jω S 平面 o σ 4
任何实际可实现的滤波器都是稳定的, 因此, 其系统函数 a s 的极点一定落在 s 的左半平面, 所以左半平面的极点一定属于 a s, 则右半平面的极点必属于 a -s 零点的分布则无此限制, 只和滤波器的相位特征有关 按照 a jω 与 a s 的低频特性或高频特性的对比确定出增益常数 由求出的 a s 的零点 极点及增益常数, 则可完全确定系统函数 a s 5
巴特沃思低通逼近 巴特沃思逼近又称最平幅度逼近 其低通滤波器幅度 平方函数定义为 Ω a j + Ω / Ωc 为正整数, 代表滤波器的阶数 当 Ω0 时, a j0 ; 当 ΩΩ c 时, a jω c / 0.707,0lg a j0/ a jω c 3dB,Ω c 为 3dB 截止频率 当 ΩΩ c 时, 不管 为多少, 所有的特性曲线都通过 -3dB 点 6
巴特沃思低通滤波器在通带内有最大平坦的幅度特性, 即 阶巴特沃思低通滤波器在 Ω0 处幅度平方函数 a jω 的前 - 阶导数为零, 因而它又称为最平幅度特性滤波器 随着 Ω 由 0 增大, a jω 单调减小, 越大, 通带内特性越平坦, 过渡带越窄 当 ΩΩ s, 即频率为阻带截止频率时, 衰减为 A s -0lg a jω s, A s 为阻带最小衰减 对确定的 A s, 越大,Ω s 距 Ω c 越近, 即过渡带越窄 7
巴特沃思低通滤波器的幅度特性 a jω 4 8 o Ω c 低通逼近 Ω 8
9 测试技术与数据处理在幅度平方函数式中, 代入 Ωs/j, 可得 c a a j s s s Ω + 巴特沃思滤波器的零点全部在 s 处, 在有限 S 平面内只有极点, 因而属于所谓 全极点型 滤波器 a s a -s 的极点为 + Ω Ω k j c c k j s k,,, a s a -s 的 个极点等间隔分布在半径为 Ω c 的巴特沃思圆上, 极点间的角度间隔为 / rad
jω jω / 4 / 3 o Ω c σ o Ω c σ a 3 b 4 3 和 4 时 a s a -s 的极点分布 30
可见, 为奇数时, 实轴上有极点 ; 为偶数时, 实轴上没有极点 但极点决不会落在虚轴上, 这样滤波器才能是稳定的 为形成稳定的滤波器, a s a -s 的 个极点中只取 S 左半平面的 个极点为 a s 的极点, 而右半平面的 个极点构成 a -s 的极点 a s 的表示式为 a s k Ω c s s k 3
分子系数为 Ω c, 由 a s 的低频特性决定, 代入 a 0, 可求得分子系数为 Ω c, 而 s k 为 s k Ω c j + k k,,, 模拟低通滤波器的设计指标由参数 Ω p,a p,ω s 和 A s 给出, 对于巴特沃思滤波器情况下, 设计的实质就是为了求得由这些参 数所决定的滤波器阶次 和设计通带截止频率 Ω c 要求 : 在 ΩΩ p,-0lg a jω A p, 或 p 0lg + Ω p / Ω A c 3
或 在 ΩΩ s, -0lg a jω A s, 0lg + / Ω As Ωs c 由上面二式解出 和 Ω c, 有 lg[0 A /0 p /0 lg Ω / Ω p s A s /0 ] 一般来说, 上面求出的 不会是一个整数, 要求 是一个整数且 满足指标要求, 就必须选 [ ] A /0 A /0 /0 lg 0 p lg Ω p / Ω s s 33
这里运算符 [x] 的意思是 选大于等于 x 的最小整数, 例如 [4.5]5 因为, 实际上 选的都比要求的大, 因此技术指标上在 Ω p 或在 Ω s 上都能满足或超过一些 为了在 Ω p 精确地满足指标 要求, 则由有 Ω c Ω p A / 0 p 0 或者在 Ω s 精确地满足指标要求, 则有 Ω c Ω s s 0 A / 0 34
35 测试技术与数据处理令 a s 代表归一化系统的系统函数, a s 代表截止频率为 Ω c 的低通系统的传递函数, 那么归一化系统函数中的变量 s 用 s/ω c 代替后, 就得到所需滤波器的系统函数 a s, 即 : Ω Ω c a a c s s s s
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例导出三阶巴特沃思模拟低通滤波器的系统函数, 设 Ω c rad/s 解 幅度平方函数是 jω + Ω / 6 由 sjω, 则有 各极点满足式 a s a s 6 6 s / s k k j + 6 k,,, 6 37
38 测试技术与数据处理而按式, 前面三个 s k k,, 3 就是 a s 的极点 所给出的六个 s k 为 : 3 3 3 3 3 6 0 5 3 5 4 3 4 3 3 j s s j s j s s j s j j j j j j + + 由 s, s, s 3 三个极点构成的系统函数为 8 8 4 8 3 3 3 + + + Ω s s s s s s s s s s c a
例 设计一个满足下面要求的模拟低通巴特沃思滤波器 : 通带截止频率 :Ω p 0.; 通带最大衰减 :A p 7 db 阻带截止频率 :Ω s 0.3; 阻带最小衰减 :A s 6dB 解由式 0.7.6 lg[0 /0 ] lg0. / 0.3.79 3 为了准确在 Ω p 满足指标要求, 由式 Ω c 0. 0 6 0. 7 0.4985 39
为了准确在 Ω p 满足指标要求, 由式得 Q c 0.3 0.5. 0 6 6 在上面两个数之间可任选 Ω c 值 现选 Ω c 0.5, 这样就必须设计一个 3 和 Ω c 0.5 的巴特沃思滤波器 与前例类例, 模拟滤波器 a s 的设计类似 最后可得 a 0.5 s s + 0.5 s + 0.5s + 0.5 40
切比雪夫低通逼近巴特沃思滤波器的频率特性无论在通带与阻带都随频率变换而单调变化, 因而如果在通带边缘满足指标, 则在通带内肯定会有富裕量, 也就会超过指标的要求, 因而并不经济 所以, 更有效的办法是将指标的精度要求均匀地分布在通带内, 或均匀地分布在阻带内, 或同时均匀地分布在通带与阻带内 这样, 在同样通带 阻带性能要求下, 就可设计出阶数较低的滤波器 精度均匀分布的办法可通过选择具有等波纹特性的逼近函数来实现 4
切比雪夫滤波器的幅度特性就是在一个频带中 通带或阻带 具有这种等波纹特性 幅度特性在通带中是等波纹的, 在阻带中是单调的, 称为切比雪夫 Ⅰ 型 幅度特性在通带内是单调下降的, 在阻带内是等波纹的, 称为切比雪夫 Ⅱ 型 4
a jω a jω.0 +ε.0 +ε A A o Ω c Ω s Ω o Ω c Ω s Ω 为奇数 为偶数 切比雪夫 Ⅰ 型低通滤波器的幅度特性 43
a jω a jω.0 +ε.0 +ε A A o Ω c Ω s Ω o Ω c Ω s Ω 为奇数 为偶数 切比雪夫 Ⅱ 型低通滤波器的幅度特性 44
以切比雪夫 Ⅰ 型低通滤波器为例来讨论 切比雪夫 Ⅰ 型低通滤波器的幅度平方函数为 a jω + ε C Ω / Ω c ε 为小于 的正数, 它是表示通带波纹大小的一个参数,ε 越大, 波纹也越大 Ω c 为通带截止频率, 是滤波器的某一衰减分贝处的通带宽度 在切比雪夫滤波器中,Ω c 不一定是 3dB 的带宽 45
C x 是 阶切比雪夫多项式, 定义为 x cos arccos x cosh arccoshx C x 通带 x > 阻带 当 时, 切比雪夫多项式的递推公式为 C + xxc x-c - x 切比雪夫多项式的零值点 或根 在 x 间隔内 当 x 时, C x 是余弦函数, 故 C x 46
且多项式 C x 在 x 内具有等波纹幅度特性 ; 对所有的,C, 为偶数时 C 0±; 为奇数时 C 00 当 x > 时, C x 是双曲余弦函数, 它随 x 增大而单调增加 显然, 切比雪夫滤波器的幅度函数为 其特点如下 : a jω + ε C Ω / Ω c 当 Ω0, 为偶数时, a j0 ; 当 为奇数时, + ε a j0 47
ΩΩ c 时 a jω + ε 所有幅度函数曲线都通过 / + ε 点, 所以把 Ω c 定义为 切比雪夫滤波器的通带截止频率 在这个截止频率下, 幅度函数不一定下降 3dB, 可以是下降其他分贝值, 例如 db 等, 这是与巴特沃思滤波器不同之处 48
3 在通带内, 即当 Ω <Ω c 时, 则 Ω /Ω c <, a jω 在 ~ / + ε 之间等波纹地起伏 4 在通带之外, 即当 Ω >Ω c 时, 随着 Ω 的增大, 迅速满足 ε C Ω/Ω c >> 使 a jω 迅速单调地趋近于零 49
由幅度平方函数式看出, 切比雪夫滤波器有三个参数 : ε,ω c 和 Ω c 是通带宽度, 一般是预先给定的 ; ε 是与通带波 纹有关的一个参数 通带波纹 A p 表示成 A p jω a max a max 0lg 0lg db a jω mi a jω mi jω a jω max 表示通带幅度响应的最大值 jω + ε a mi / Ω, 表示通带幅度响应的最小值, 故 A p 0lg A 0 / 0 + ε 因而 p ε Ω c 50
给定通带波纹值 A p db 后, 就能求得 ε, 这里应注意通带波纹值不一定是 3dB, 也可以是其他值 滤波器阶数 等于通带内最大值和最小值的总数 前面已 经说过, 为奇数时, 在 Ω0 处, a jω 为最大值 ; 为偶 数时, 在 Ω0 处, a jω 为最小值, 的数值 可由阻带衰减来确定 设阻带起始点频率为 Ω s, 此时阻带幅 度平方函数值满足 / + ε a jω A 5
所以 A 是常数 如果用 A s 的分贝数表示, 则有 A s A 0 lg / A 0 0 0lg A A s / 0 0.05A s 设 Ω s 为阻带截止频率, 当 ΩΩ s 时 a jω s + ε C Ωs / Ωc A 5
53 测试技术与数据处理由此得出 Ω Ω A C c s ε 由于 Ω s /Ω c >, 所以, 有 arccos cosh Ω Ω Ω Ω A h C c s c s ε 可得 [ ] [ ] / arccos / 0 arccos / arccos / arccos 0. c s A c s h h h A h s Ω Ω Ω Ω ε ε
如果要求阻带边界频率上衰减越大 即 A 越大, 也就是过渡带内幅度特性越陡, 则所需的阶数 越高 或者对 Ω s 求解, 可得 Ωs Ωc cosh arccos h A ε Ω c cosh arccos h ε Ω c 是切比雪夫滤波器的通带宽度 0 0. A s ε, Ω c, 给定后, 就可以求得滤波器的传递函数 a s, 这可参考有关模拟滤波器手册 54
脉冲响应不变法设计 IIR 数字滤波器 变换原理 利用模拟滤波器来设计数字滤波器, 也就是使数字滤波器能模仿模拟滤波器的特性 脉冲响应不变法是从滤波器的脉冲响应出发, 使数字滤波器的单位脉冲响应序列 h 模仿模拟滤波器的冲激响应 h a t, 即将 h a t 进行等间隔采样, 使 h 正好等于 h a t 的采样值, 满足 hh a T T 是采样周期 55
如果令 a s 是 h a t 的拉普拉斯变换, 为 h 的 Z 变换, 利 用采样序列的 Z 变换与模拟信号的拉普拉斯变换的关系, 得 X X s jk Ω a s T T s st X j k a k k T 脉冲响应不变法将模拟滤波器的 S 平面变换成数字滤波器的 Z 平面, 这个从 s 到 的变换 st 正是从 S 平面变换到 Z 平面的标准变 换关系式 56
jω 3 / T jim[] / T o σ - o R[] - / T -3 / T S 平面 Z 平面 脉冲响应不变法的映射关系 57
混叠失真 数字滤波器的频率响应和模拟滤波器的频率响应间的关系为 j a j T k T k 数字滤波器的频率响应是模拟滤波器频率响应的周期延拓 正如采样定理所讨论的, 只有当模拟滤波器的频率响应是限带 的, 且带限于折叠频率以内时, 即 Ω a jω 0 Ω T s 58
混叠失真 才能使数字滤波器的频率响应在折叠频率内重现模拟滤波 器的频率响应, 而不产生混叠失真, 即 j a j < T T 但是, 任何一个实际的模拟滤波器频率响应都不是严格限带 的, 变换后就会产生周期延拓分量的频谱交叠, 即产生频率响 应的混叠失真 这时数字滤波器的频响就不同于原模拟滤波器 的频响, 而带有一定的失真 当模拟滤波器的频率响应在折叠 频率以上处衰减越大 越快时, 变换后频率响应混叠失真就越 小 这时, 采用脉冲响应不变法设计的数字滤波器才能得到良好的效果 59
a jω T - T o T T Ω j -3 - - o 3 Ω T 脉冲响应不变法中的频响混叠现象 60
对某一模拟滤波器的单位冲激响应 h a t 进行采样, 采样频率为 f s, 若使 f s 增加, 即令采样时间间隔 T/f s 减小, 则系统频率响应各周期延拓分量之间相距更远, 因而可减小频率响应的混叠效应 6
模拟滤波器的数字化方法 由于脉冲响应不变法要由模拟系统函数 a s 求拉普拉斯反 变换得到模拟的冲激响应 h a t, 然后采样后得到 hh a T, 再取 Z 变换得, 过程较复杂 下面我们讨论如何由脉冲响 应不变法的变换原理将 a s 直接转换为数字滤波器 设模拟滤波器的系统函数 a s 只有单阶极点, 且假定分母的阶次大于分子的阶次 一般都满足这一要求, 因为只有这样才相当于一个因果稳定的模拟系统, 因此可将 a s k k s A s k 6
63 测试技术与数据处理其相应的冲激响应 h a t 是 a s 的拉普拉斯反变换, 即 k t s k a a t u A s F t h k ] [ 在脉冲响应不变法中, 要求数字滤波器的单位脉冲响应等于对 h a t 的采样, 即 k T s k k T s k a u A u A T h h k k
64 测试技术与数据处理脉冲响应不变法设计 IIR 数字滤波器 k T s k k T s k k T s k A A A h k k k 0 0 对 h 求 Z 变换, 即得数字滤波器的系统函数将式 a s 和式 加以比较, 可以看出 : S 平面的每一个单极点 ss k 变换到 Z 平面上 s k T 处的单极点 a s 与 的部分分式的系数是相同的, 都是 A k
3 如果模拟滤波器是因果稳定的, 则所有极点 s k 位于 S 平面的左半平面, 即 R[s k ]<0, 则变换后的数字滤波器的全部极点在单位圆内, 即 s k T R[s k ]T <, 因此数字滤波器也是因果稳定的 4 虽然脉冲响应不变法能保证 S 平面极点与 Z 平面极点有这种代数对应关系, 但是并不等于整个 S 平面与 Z 平面有这种代数对应关系, 特别是数字滤波器的零点位置就与模拟滤波器零点位置没有这种代数对应关系 65
66 测试技术与数据处理从式看出, 数字滤波器频率响应幅度还与采样间隔 T 成反比 : T j T a j < 如果采样频率很高, 即 T 很小, 数字滤波器可能具有太高的增益 为了使数字滤波器增益不随采样频率而变化, 可以作以下简单的修正, 令 hth a T 则有 : k T s k TA k T j k T j T j a k a j
67 测试技术与数据处理例 3 设模拟滤波器的系统函数为 3 3 4 + + + + s s s s s a 试利用脉冲响应不变法将 a s 转换成 IIR 数字滤波器的系统函数 解得到数字滤波器的系统函数为 T T T T T T T T T T 4 3 3 3 + + 设 T, 则有 0.083 0.477 0.38 +
68 测试技术与数据处理模拟滤波器的频率响应 a jω 以及数字滤波器的频率响应 j 分别为 : 0.083 0.477 0.38 4 3 j j j j a j j + Ω + Ω Ω 把 a jω 和 j 画在图上
a jω o j / T / T Ω 由于 a jω 不是充分限带的, 所以 j 产生了严重的频谱混叠失真 o 幅频特性 69
脉冲响应不变法的优缺点 优点 脉冲响应不变法使得数字滤波器的单位脉冲响应完全模仿模拟滤波器的单位冲激响应, 也就是时域逼近良好, 而且模拟频率 Ω 和数字频率 之间呈线性关系 ΩT 因而, 一个线性相位的模拟滤波器 例如贝塞尔滤波器 通过脉冲响应不变法得到的仍然是一个线性相位的数字滤波器 70
缺点 : 脉冲响应不变法的最大缺点是有频率响应的混叠效应 所以, 脉冲响应不变法只适用于限带的模拟滤波器 例如, 衰减特性很好的低通或带通滤波器, 而且高频衰减越快, 混叠效应越小 至于高通和带阻滤波器, 由于它们在高频部分不衰减, 因此将完全混淆在低频响应中 如果要对高通和带阻滤波器采用脉冲响应不变法, 就必须先对高通和带阻滤波器加一保护滤波器, 滤掉高于折叠频率以上的频率, 然后再使用脉冲响应不变法转换为数字滤波器 当然这样会进一步增加设计复杂性和滤 波器的阶数 7
用双线性变换法设计 IIR 数字滤波器变换原理 脉冲响应不变法的主要缺点是产生频率响应的混叠失真 这 是因为从 S 平面到 Z 平面是多值的映射关系所造成的 为了克服 这一缺点, 可以采用非线性频率压缩方法, 将整个频率轴上的频 率范围压缩到 -/T~/T 之间, 再用 st 转换到 Z 平面上 即 : 先将整个 S 平面压缩映射到 S 平面的 -/T~/T 一条横带里 ; 再通过标准变换关系 s T 将此横带变换到整个 Z 平面上去 使 S 平面与 Z 平面建立了一一对应的单值关系, 消除了多值变 换性, 也就消除了频谱混叠现象 7
jω jω jim[] o / T - σ o σ o - / T R[] S 平面 S 平面 Z 平面 双线性变换的映射关系 73
双线性变换法 将 S 平面的整个虚轴 jω 压缩到 S 平面 jω 轴上的 -/T 到 /T 段上, 可以通过以下的正切变换实现 T 仍是采样间隔 Ω Ω ta T T 当 Ω 由 -/T 经过 0 变化到 /T 时,Ω 由 - 经过 0 变化到 +, 也即映射了整个 jω 轴 将上式写成 jω T jω jω T / T / + jω jω T / T / 74
75 测试技术与数据处理将此关系解析延拓到整个 S 平面和 S 平面, 令 jωs, jω s, 则得 T s T s T s T s T s T s T T s / / / / + + 再将 S 平面通过以下标准变换关系映射到 Z 平面 : s T 从而得到 S 平面和 Z 平面的单值映射关系为 : + T s s T s T s T s T + + S 平面与 Z 平面之间的单值映射关系, 这种变换都是两个线性函数之比, 因此称为双线性变换
逼近的情况 进行双线性变换满足映射变换的两点要求 首先, 把 j 代入变换式可得 s j j ta j T + T jω 即 S 平面的虚轴映射到 Z 平面的单位圆 76
77 测试技术与数据处理 其次, 将 sσ+jω 代入变换式, 得 Ω Ω + + j T j T σ σ 因此 + Ω + Ω + σ σ T T
由此看出, 当 σ<0 时, <; 当 σ>0 时, > 也就是说,S 平面的左半平面映射到 Z 平面的单位圆内,S 平面的右半平面映射到 Z 平面的单位圆外,S 平面的虚轴映射到 Z 平面的单位圆上 因此, 稳定的模拟滤波器经双线性变换后所得的数字滤波 器也一定是稳定的 78
优缺点 双线性变换法的优缺点 双线性变换法与脉冲响应不变法相比, 其主要的优点是避免了频率响应的混叠现象 这是因为 S 平面与 Z 平面是单值的一一对应关系 S 平面整个 jω 轴单值地对应于 Z 平面单位圆一周, 即频率轴是单值变换关系 这个关系如式所示, 重写如下 : Ω ta T S 平面上 Ω 与 Z 平面的 成非线性的正切关系 79
双线性变换法的频率变换关系 Ω ta T - o 80
由图看出, 在零频率附近, 模拟角频率 Ω 与数字频率 之间的变换关系接近于线性关系 ; 但当 Ω 进一步增加时, 增长得越来越慢, 最后当 Ω 时, 终止在折叠频率 处, 因而双线性变换就不会出现由于高频部分超过折叠频率而混淆到低频部分去的现象, 从而消除了频率混叠现象 8
双线性变换的这个特点是靠频率的严重非线性关系而得到的, 由于这种频率之间的非线性变换关系, 就产生了新的问题 : 一个线性相位的模拟滤波器经双线性变换后得到非线性相位的数字滤波器, 不再保持原有的线性相位了 ; 这种非线性关系要求模拟滤波器的幅频响应必须是分段常数型的, 即某一频率段的幅频响应近似等于某一常数 这正是一般典型的低通 高通 带通 带阻型滤波器的响应特性, 不然变换所产生的数字滤波器幅频响应相对于原模拟滤波器的幅频响应会有畸变 8
Ω Ω Ω Ω a jω o j o o arg[ a jω] o o o arg[ j ] 双线性变换法幅度和相位特性的非线性映射 83
对于分段常数的滤波器, 双线性变换后, 仍得到幅频特性为分段常数的滤波器, 但是各个分段边缘的临界频率点产生了畸变, 这种频率的畸变, 可以通过频率的预畸来加以校正 也就是将临界模拟频率事先加以畸变, 然后经变换后正好映射到所需要的数字频率上 84
85 测试技术与数据处理模拟滤波器的数字化方法双线性变换法比起脉冲响应不变法来, 在设计和运算上也比较直接和简单 由于双线性变换法中,s 到 之间的变换是简单的代数关系, 所以可以直接将变换式代入到模拟系统传递函数, 得到数字滤波器的系统函数, 即 + + T s a T s a 频率响应也可用直接代换的方法得到 Ω Ω ta ta T j j T a j
86 测试技术与数据处理设模拟系统函数的表达式为 k k k k k k a s B s B B s B s A A s A s A s B s A s + + + + + + + + L L 0 0 0 0 应用变换式 + c s a s T C 得 k k k k k k b b b a a a a b a + + + + + + + + L L 0 0 0
87
数字带通滤波器的设计? 88
Ω Ω Ω 4 Ω 3 Ω Ω a jω o o j o 3 4 双线性变换时频率的预畸变 89
如果给出的是待设计的带通滤波器的数字域转折频率 通 阻带截止频率 3 4 及采样频率 /T, 则 直接利用式 Ω ta T 计算出相应的模拟滤波器的转折频率 Ω Ω Ω 3 和 Ω 4 这样得到的模拟滤波器 a s 的转折频率 Ω Ω Ω 3 和 Ω 4, 经 双线性变换后就映射到数字滤波器 的原转折频率 3 和 4 90
如果给出的是待设计的带通滤波器的模拟域转折频率 通 阻带截止频率 f f f 3 f 4 和采样频率 /T, 则需要进行频率预畸变 首先, 计算数字滤波器的转折频率 通 阻带截止频率 3 和 4 ft 再利用式 Ω ta T 9
对频率预畸变, 得预畸变后的模拟滤波器的转折频率 Ω Ω Ω 3 和 Ω 4 这样得到的模拟滤波器 a s 的转折频率 Ω Ω Ω 3 和 Ω 4, 经双线性变换后映射到数字滤波器 的转折频率 3 4, 并且能保证数字域频率 3 4 与给定的模拟域转折频率 f f f 3 f 4 成线性关系 按 Ω Ω Ω 3 和 Ω 4 等指标设计模拟滤波器的系统函数 a s 9
93 测试技术与数据处理 3 将代入 a s, 得 为 + T s + + T s a T s a 其频率响应为 Ω Ω ta T j j a T a j 上述这些步骤比用脉冲响应不变法设计滤波器要简便得多
需要特别强调的是, 若模拟滤波器 a s 为低通滤波器, 应 用 s 变换得到的数字滤波器 也是低通滤波器 ; 若 T + a s 为高通滤波器, 应用 s 变换得到的数字滤波器 T + 也是高通滤波器 ; 若为带通 带阻滤波器也是如此 在 IIR 数字滤波器的设计中, 当强调模仿滤波器的瞬态响应时, 采用脉冲响应不变法较好 ; 而在其余情况下, 大多采用双线性变换法 94
95 测试技术与数据处理例 4 设计一个一阶数字低通滤波器,3dB 截止频率为 c 0.5, 将双线性变换应用于模拟巴特沃思滤波器 / c a s s Ω + 解数字低通滤波器的截止频率为 c 0.5, 相应的巴特沃思模拟滤波器的 3 db 截止频率是 Ω c, 就有 T T T c c 0.88 0.5 ta ta Ω 模拟滤波器的系统函数为 0.88 / / st s s c a + Ω +
96 测试技术与数据处理将双线性变换应用于模拟滤波器, 有 0.459 0.90 ] / 0.88[ / + + + + s T s a T 不参与设计, 即双线性变换法中用设计与用设计得到的结果一致, + s Ω ta Ω + ta, T T s
97 测试技术与数据处理例 5 用双线性变换法设计一个三阶巴特沃思数字低通滤波器, 采样频率为 f s 4k 即采样周期为 T50μs, 其 3dB 截止频率为 f c k 三阶模拟巴特沃思滤波器为 3 / / / c c c a s s s s Ω + Ω + Ω + 解首先, 确定数字域截止频率 c f c T0.5 第二步, 根据频率的非线性关系式, 确定预畸变的模拟滤波器的截止频率 T T T c c 0.5 ta ta Ω
98 测试技术与数据处理第三步, 将 Ω c 代入三阶模拟巴特沃思滤波器 a s, 得 3 / / / st st st s a + + + 最后, 将双线性变换关系代入就得到数字滤波器的系统函数 3 3 3 3 3 + + + + + + + + + + + s T s a
应该注意, 这里所采用的模拟滤波器 a s 并不是数字滤波 器所要模仿的截止频率 f c k 的实际滤波器, 它只是一个 样 本 函数, 是由低通模拟滤波器到数字滤波器的变换中的一个中 间变换阶段 99
.0 0.5 j 由于频率的非线性变换, 使截止区的衰减越来越快 最后在折叠频率处形成一个三阶传输零点 这个三阶零点正是模拟滤波器在 Ω c 处的三阶传输零点通过映射形成的 0 0.5 0.0.0 f / k 用双线性变换法设计得到的三阶巴特沃思数字低通滤波器的幅频特性 00
IIR 滤波器的频率变换法 模拟原型 模拟域频率变换 模拟低通 高通带通 带阻 数字化 数字低通 高通带通 带阻 a 模拟原型 频率变换 数字低通 高通带通 带阻 b 两种等效的设计方法 a 先模拟频率变换, 再数字化 ; b 将 a 的两步合成一步设计 0
第一种方案, 重点是模拟域频率变换, 即如何由模拟低通原型滤波器转换 为截止频率不同的模拟低通 高通 带通 带阻滤波器, 这里我们不作详细推 导, 下表列出一些模拟到模拟的频率转换关系 一般直接用归一化原型转换, 取 Ω c, 可使设计过程简化 截止频率为 Ω c 的模拟低通滤波器到其它频率选择性滤波器的转换公式 0
第二种方法实际上是把第一种方法中的两步合成一步来实现, 即把模拟低通原型变换到模拟低通 高通 带通 带阻等滤波器的公式与用双线性变换得到相应数字滤波器的公式合并, 就可直接从模拟低通原型通过一定的频率变换关系, 一步完成各种类型数字滤波器的设计, 因而简捷便利, 得到普遍采用 请大家参考相关教材 03
FIR 数字滤波器设计 南京航空航天大学 李军
有限长冲激响应滤波器 线性相位 FIR 滤波器的特点 用窗函数法设计 FIR 滤波器 用频率采样法设计 FIR 滤波器 FIR 滤波器和 IIR 滤波器的比较
线性相位 FIR 滤波器的特点 线性相位特性 分二种情况进行讨论 线性相位 FIR 滤波器的幅度特性分四种类型进行讨论其幅度特性 线性相位 FIR 滤波器的零点位置 3
线性相位特性 如果 FIR 数字滤波器的单位脉冲响应 h 是实数序列, 而且满足偶对称或奇对称的条件, 即 hh-- 或 h-h-- 则滤波器就具有严格的线性相位特点 4
线性相位特性 为奇数 h a 0 - 偶对称单位冲激响应示意图 0 为偶数 h 0 - b 0 5
线性相位特性 为奇数 h C 0-0 奇对称响应示意图 为偶数 h d 0-0 6
7 测试技术与数据处理线性相位特性先看 h 偶对称的情况 : hh-- 0 - 其系统函数为 0 0 h h 将 m-- 代入 0 0 m m m m m h m h
8 测试技术与数据处理线性相位特性即 上式改写成 + + + 0 0 ] [ ] [ h h
9 测试技术与数据处理线性相位特性滤波器的频率响应为 0 cos j j h j 上式的 Σ 以内全部是标量, 如果我们将频率响应用相位函数 θ 及幅度函数 表示 θ j j
0 测试技术与数据处理线性相位特性那么有 : cos 0 h θ 幅度函数 是标量函数, 可以包括正值 负值和零, 而且是 的偶对称函数和周期函数 ; 而 j 取值大于等于零, 两者在某些 值上相位相差 相位函数 θ 具有严格的线性相位
线性相位特性 θ o - - h 偶对称时线性相位特性
线性相位特性 数字滤波器的群延迟 τ 定义为 d τ [ θ ] d 当 h 满足偶对称时,FIR 数字滤波器具有 -/ 个采样的延时, 它等于单位脉冲响应 h 长度的一半 也就是说, FIR 数字滤波器的输出响应整体相对于输入延时了 -/ 个采样周期
3 测试技术与数据处理线性相位特性其系统函数为 0 0 0 0 m m m m m h m h h h 因此 - -- - h 奇对称 h-h-- 0 -
4 测试技术与数据处理线性相位特性同样可以改写成 [ ] 0-0 ] [ h h
5 测试技术与数据处理线性相位特性其频率响应为 + 0 / 0 si si j j j j h h j j 所以有 si 0 θ + h
线性相位特性幅度函数 可以包括正值 负值和零, 而且是 的奇对称 函数和周期函数 相位函数既是线性相位, 又包括 / 的相移 - - o 3 θ 当 h 为奇对称时,FIR 滤波器不仅有 -/ 个采样的延时, 还产生一个 90 的相移, 称为 90 移相器 它和理想低通滤波器 理想微分器一样, 有着极重要的理论和实际意义 h 奇对称时线性相位特性 当 h 为奇对称时,FIR 滤波器将是一个具有准确的线性相位的正交变换网络 6
线性相位 FIR 滤波器的幅度特性 四种类型 第一种类型 : h 为偶对称, 为奇数 第二种类型 : h 为偶对称, 为偶数 第三种类型 : h 为奇对称, 为奇数 第四种类型 : h 为奇对称, 为偶数 7
8 测试技术与数据处理线性相位 FIR 滤波器的幅度特性从 h 偶对称的幅度函数式 h cos 0 可以看出, 不但 h 对于 -/ 呈偶对称, 而且也对 -/ 呈偶对称, 即 : cos cos cos cos
9 测试技术与数据处理可以将 Σ 内两两相等的项合并, 例如 0 项与 - 项合并, 项与 - 项合并, 等等 但是, 由于 是奇数, 两两合并的结果必然还剩下一项, 即 -/ 项是单项, 无法和其他项合并, 这样, 幅度函数就可以表示为 + 3 / 0 cos h h 再进行一次换元, 即令, 则上式可改写为 m + / cos m m m h h
0 测试技术与数据处理可表示为 / 0 cos a 式中 : 0 h a h a 按照式, 由于式中 cos 项对 0,, 皆为偶对称, 因此幅度函数 对于 0,, 也呈偶对称,,3,,-/
线性相位 FIR 滤波器的幅度特性 第一种类型 : h 为偶对称, 为奇数 第二种类型 : h 为偶对称, 为偶数 第三种类型 : h 为奇对称, 为奇数 第四种类型 : h 为奇对称, 为偶数
测试技术与数据处理线性相位 FIR 滤波器的幅度特性推导过程和前面 为奇数相似, 不同点是由于 为偶数, 因此式中无单独项, 全部可以两两合并得 h cos / 0 令, 代入上式可得 m cos / m m h m 因此 cos / b
式中 : b h cos 按照式, 当 时, 0, 余弦项对 呈奇对称, 因此 0, 即 在 j - 处必然有一个零点, 而且 对 呈奇对称 当 0 或 时, cos 或 -, 余弦项对 0, 为偶对称, 幅度函数 对于 0, 也呈偶对称 如果数字滤波器在 处不为零, 例如高通滤波器 带 阻滤波器, 则不能用这类数字滤波器来设计,, 3,, / 3
线性相位 FIR 滤波器的幅度特性 第一种类型 : h 为偶对称, 为奇数 第二种类型 : h 为偶对称, 为偶数 第三种类型 : h 为奇对称, 为奇数 第四种类型 : h 为奇对称, 为偶数 4
5 测试技术与数据处理将 h 奇对称的幅度函数式重写如下 : 0 si h 由于 h 对于 -/ 呈奇对称, 即 h-h--, 当 - / 时, h h h 因此,, 即 h 奇对称时, 中间项一定为零 此外, 在幅度函数式中, 也对 -/ 呈奇对称 0 h si
6 测试技术与数据处理 si si si 因此, 在 Σ 中第 项和第 -- 项是相等的, 将这两两相等的项合并, 共合并为 -/, 即 h si 3 / 0
7 测试技术与数据处理令, 则上式可改写为 m si / m m h m 即 si / m c 式中 : h c,, 3,, -/
由于 si 在 0,, 处都为零, 并对这些点呈奇对称, 因此幅度函数 在 0,, 处为零, 即 在 ± 上都有零点, 且 对于 0,, 也呈奇对称 如果数字滤波器在 0,, 处不为零, 例如低通滤波器 高通滤波器 带阻滤波器, 则不能用这类数字滤波器来设计, 除非不考虑这些频率点上的值 8
线性相位 FIR 滤波器的幅度特性 第一种类型 : h 为偶对称, 为奇数 第二种类型 : h 为偶对称, 为偶数 第三种类型 : h 为奇对称, 为奇数 第四种类型 : h 为奇对称, 为偶数 9
30 测试技术与数据处理和前面情况 3 推导类似, 不同点是由于 为偶数, 因此式中无单独项, 全部可以两两合并得 / 0 0 si si h h 令, 则有 m si / m m h m
3 测试技术与数据处理因此 si / d m 式中 : /,,,3, h d L 当 0, 时,, 且对 0, 呈奇对称, 因此 在 0, 处为零, 即 在 处有一个零点, 且 对 0, 也呈奇对称 0 si
当 时, si 或, 则对 si 呈偶对称, 幅度函数 对于 也呈偶对称 如果数字滤波器在 0, 处不为零, 例如低通滤波器 带阻滤波器, 则不能用这类数字滤波器来设计 3
线性相位 FIR 滤波器的幅度特性 偶对称单位冲激响应 hh-- 情况 相位响应 θ θ o 为奇数 h 0 a 0 - o / a 0 cos -- 为偶数 h / b cos 情况 b 0 - o 0 33
线性相位 FIR 滤波器的幅度特性 奇对称单位脉冲响应 h-h-- 情况 3 相位响应 θ + θ o 为奇数 h C 0-0 / c o si 3 为偶数 h / d si 情况 4 d 0 0 - o 34
线性相位 FIR 滤波器的零点位置 线性相位 FIR 滤波器的系统函数有以下特点 : ± -- - 因此, 若 i 是 的零点, 即 i 0, 则它的倒数 / i - i 也一定是 的零点, 因为 - i ± - i i 0; 而且当 h 是实数时, 的零点必成共轭对出现, 所以 i * 及 * i - 也一定是 的零点, 因而线性相位 FIR 滤波器的零点必是互为倒数的共轭对 35
互为倒数的共轭对有四种可能性 : i 既不在实轴上, 也不在单位圆上, 则零点是互为倒数的两组共轭对, 如图 a 所示 i 不在实轴上, 但是在单位圆上, 则共轭对的倒数是它们本身, 故此时零点是一组共轭对, 如图 b 所示 3 i 在实轴上但不在单位圆上, 只有倒数部分, 无复共轭部分 故零点对如图 c 所示 4 i 既在实轴上又在单位圆上, 此时只有一个零点, 有两种 可能, 或位于, 或位于 -, 如图 d 所示 36
线性相位 FIR 滤波器的零点位置 jim[] - 0 * R[] jim[] jim[] - 0 R[] - 0 R[] a b c jim[] jim[] - 0 R[] - 0 R[] d 线性相位 FIR 滤波器的零点位置图 37
由幅度响应的讨论可知, 第二种类型的线性相位滤波器由于 0, 因此必然有单根 - 第四种类型的线性相位滤波器由于 00, 因此必然有单根 而第三种类型的线性相位滤波器由于 00, 因此这两种单根 ± 都必须有 了解了线性相位 FIR 滤波器的特点, 便可根据实际需要选择 合适类型的 FIR 滤波器, 同时设计时需遵循有关的约束条件 讨 论线性相位 FIR 滤波器的设计方法时, 都要用到这些特点 38
线性相位 FIR 滤波器的特点 例 如果系统的单位脉冲响应为 0 4 h 0 其他 显然, 这是第一种类型的线性相位 FIR 数字滤波器 该系统的频率响应为 j 4 0 j j5 j j si5 / si / j jϕ 该系统的振幅 相位和群延迟示于图中 因为 h 的长度 5, 群延迟也是整数,τ-/ 39
线性相位 FIR 滤波器的特点 j 5 3.7.50 系统的频率响应 a 振幅特性 ; b 相位 ; c 群延迟 a b.5 ϕ 4 0 0 0 - -4 0 τ 4 3 3 3 c 0 0 3 40
线性相位 FIR 滤波器的特点 例 系统的单位脉冲响应为 0 5 h 0 其他 h 为偶对称且长度 6, 因此, 这是第二种类型的线性相位 FIR 数字滤波器 该系统的频率响应为 5 j6 5 j j j j 0 si3 si / 4
线性相位 FIR 滤波器的特点 j 4.5 3.0 系统的频率响应 a 振幅特性 ; b 相位 ; c 群延迟 a b.5 0 0 ϕ 4 0 - -4 0 τ 4 3 3 3 c 0 0 3 4
线性相位 FIR 滤波器的特点 例系统的单位脉冲响应为 hδ-δ- h 为奇对称且取长度 3, 因此, 这是第三种类型的线性相位 FIR 数字滤波器 该系统的频率响应为 j j j j j j j [si ] j + j [ si ] 43
线性相位 FIR 滤波器的特点 j.4.6 a 0.8 0 0 3 ϕ 系统的频率响应 a 振幅特性 ; b 相位 ; c 群延迟 b 3.0.5 0 -.5-3.0 0 3 τ.0.5.0 c 0.5 0 0 3 44
线性相位 FIR 滤波器的特点 例系统的单位脉冲响应为 hδ-δ- h 为奇对称且长度, 这是第四种类型的线性相位 FIR 数 字滤波器 该系统的频率响应为 j j j j j j j [ si ] j + j [ si ] 45
线性相位 FIR 滤波器的特点 j 3..4.6 0.8 0 0 3 系统的频率响应 a 振幅特性 ; b 相位 ; c 群延迟 ϕ 3.0.5 0 -.5-3.0 0 3 τ.0.5.0 0.5 0 0 3 46
例 线性相位 FIR 滤波器的特点 一个 FIR 线性相位滤波器的单位脉冲响应是实数的, 且 <0 和 >6 时 h0 如果 h0 且系统函数在 0.5 j/3 和 3 各 有一个零点, 的表达式是什么? 解因为 <0 和 >6 时 h0, 且 h 是实值, 所以当 在 0.5 j/3 有一个复零点时, 则在它的共轭位置 0.5 -j/3 处一定有另一个零点 这个零点共轭对产生如下的二阶因子 : -0.5 j/3 - -0.5 -j/3 - -0.5 - +0.5-47
线性相位 FIR 滤波器的特点线性相位的约束条件需要在这两个零点的倒数位置上有零 点, 所以 同样必须包括如下的有关因子 : [ 0.5 j / 3 ][ 0.5 j / 3 ] + 4 系统函数还包含一个 3 的零点, 同样线性相位的约束条件 需要在 /3 也有一个零点 于是, 还具有如下因子 : 3 3 3 48
线性相位 FIR 滤波器的特点 由此有 + + A 0.5 0.5 4 3 3 多项式中零阶项的系数为 A, 为使 h0, 必定有 :A 49
窗函数法设计 FIR 滤波器 设计方法 设计 FIR 数字滤波器最简单的方法是窗函数法 这种方法一般是先给定所要求的理想滤波器的频率响应 d j, 要求设计一 个 FIR 滤波器频率响应 j 0 h, 去逼近理想的频率响 应 d j 窗函数法设计 FIR 数字滤波器是在时域进行的, 因 此, 必须首先由理想频率响应 d j 的傅里叶反变换推导出对应 j 的单位脉冲响应 h d h d j d j d 50
窗函数法设计 FIR 滤波器由于许多理想化的系统具有非因果的和无限长的脉冲响 应, 即 h d 一定是无限长的序列, 且是非因果的 而我们要设 计的是 FIR 滤波器, 其 h 必定是有限长的, 所以要用有限长的 h 来逼近无限长的 h d, 最简单且最有效的方法是截断 h d h h 0 d 0 - 其他 把 h 表示为所需单位脉冲响应与一个有限长的窗口函数序 列 w 的乘积, 即 hh d w 5
用窗函数法设计 FIR 滤波器如果采用简单截取, 则窗函数为矩形窗 w R 0 0 - 其他 例, 要求设计一个 FIR 低通数字滤波器, 假设理想低通滤波 器的频率响应为 d j 0 jα c c < 5
用窗函数法设计 FIR 滤波器相应的单位脉冲响应 h d 为 h d c c jα j si[ c a] a d 这是一个中心点在 a 的偶对称 无限长 非因果序 列 为了构造一个长度为 的线性相位滤波器, 只有将 h d 截取一段, 并保证截取的一段对 -/ 对称, 故 中心点 a 必须取 a-/ 53
用窗函数法设计 FIR 滤波器 h d a o - / R b o - h c o - / - 理想低通的单位脉冲响应及矩形窗 54
55 测试技术与数据处理用窗函数法设计 FIR 滤波器由复卷积定理可知, 时域相乘, 频域是卷积, 故 h 的频率特性为 θ θ θ d W j j d j j 能否逼近 d j 取决于窗函数的频谱特性 W j 0 j j w W 选用矩形窗 R, 其频谱特性为 / si / si 0 W j j j j j R
用窗函数法设计 FIR 滤波器 幅频特性和相频特性为 W R j W R j 式中 : W R si / si / W R 是周期函数, 主瓣宽度为 4/, 两侧有许多衰减振荡的旁瓣 通常主瓣定义为原点两边第一个过零点之间的区域 56
dθ 的影响a - - c o c θ - / W R θ / b o θ d θ W R -θ c c o c θ d θ d d θ o c - W R -θ θ c - o c + W R -θ θ c + 0.0895 f 0.5 - c o 0.0468 c 0.5 0.0468-0.0895 矩形窗对理想低通幅频特性57
58 测试技术与数据处理用窗函数法设计 FIR 滤波器若将理想滤波器的频率响应也写成 j d j d < 0 c c d 可以得到实际设计的 FIR 滤波器频率响应 j 则其幅频特性 θ θ θ θ θ θ θ θ d W d W R d j j R j d j
用窗函数法设计 FIR 滤波器 设 j 则实际设计的 FIR 滤波器的幅频特性为 j d θ WR θ dθ 对实际 FIR 滤波器的幅频特性 有影响的只是窗 函数的幅频特性 W R 实际 FIR 滤波器的幅频特性是 理想低通滤波器的幅频特性与窗函数的幅频特性的复卷积 59
影响 : 用窗函数法设计 FIR 滤波器 加窗函数处理后, 对理想频率响应产生以下几点 将 d 在截止频率处的间断点变成了连续曲线, 形成一个过渡带, 过渡带的宽度等于窗的频率响应 W R 的主瓣 宽度 Δ4/, 即正肩峰与负肩峰的间隔为 4/ 窗函数的 主瓣越宽, 过渡带也越宽 在截止频率 c 的两边即 c ±/ 的地方, 出现最大的肩峰值, 肩峰的两侧形成起伏振荡, 其振荡幅度取决于旁瓣的相对幅度, 而振荡的多少, 则取决于旁瓣的多少 60
用窗函数法设计 FIR 滤波器 3 改变, 只能改变窗谱函数的主瓣宽度, 改变 的坐标 比例以及改变 W R 的绝对值大小 例如, 在矩形窗情况下, W R 式中,x/ si / si / si / / si x x 当截取长度 增加时, 只会减小过渡带宽度 4/, 但 不能改变主瓣与旁瓣幅值的相对比例 ; 同样, 也不会改变肩峰的 相对值 这个相对比例是由窗函数形状决定的, 与 无关 换句 话说, 增加截取窗函数的长度 只能相应的减少过渡带, 而不能 改变肩峰值 6
用窗函数法设计 FIR 滤波器 由于肩峰值的大小直接影响通带特性和阻带衰减, 所以对滤波器的性能影响较大 例如, 在矩形窗情况下, 最大相对肩峰值为 8.95%, 增加时,/ 减小, 起伏振荡变密, 最大相对肩峰值则总是 8.95%, 这种现象称为吉布斯 Gibbs 效应 6
用窗函数法设计 FIR 滤波器 矩形窗截断造成的肩峰值为 8.95%, 则阻带最小衰减为 0 lg8.95%-db, 这个衰减量在工程上常常是不够大的 为了加大阻带衰减, 只能改变窗函数的形状 只有当窗谱逼近冲激函数时, 也就是绝大部分能量集中于频谱中点时, 才会逼近 d 这相当于窗的宽度为无限长, 等于不加窗口截断, 这没有实际意义 63
用窗函数法设计 FIR 滤波器 窗函数序列的形状及长度的选择很关键, 一般 希望窗函数满足两项要求 : 窗谱主瓣尽可能地窄, 以获取较陡的过渡带 ; 尽量减少窗谱的最大旁瓣的相对幅度 也就是能量尽量集中于主瓣, 这样使肩峰和波纹减小, 就可增大阻带的衰减 64
矛盾 当选用主瓣宽度较窄时, 虽然得到较陡的过渡带, 但通带和阻带的波动明显增加 ; 当选用最小的旁瓣幅度时, 虽能得到平坦的幅度响应和较小的阻带波纹, 但过渡带加宽, 也即主瓣会加宽 实际所选用的窗函数往往是它们的折衷 在保证主瓣宽 度达到一定要求的前提下, 适当牺牲主瓣宽度以换取相对旁瓣的抑制 以上是从幅频特性的改善对窗函数提出的要求 实际上设计的 FIR 滤波器往往要求具有线性相位 65
用窗函数法设计 FIR 滤波器 hh d w 因此, 除了要求 h d 满足线性相位条件外, 对 w 也要求长度 有限, 且以 -/ 为其对称中心, 即 ww-- 综上所述, 窗函数不仅起截断作用, 还能起平滑作用, 在很多领域都得到广泛应用 因此, 设计一个特性良好的窗函数有着重要的实际意义 66
67 测试技术与数据处理 FIR 滤波器设计的常用窗函数. 矩形窗 0 R w 0 - 其他 / si / si W W W R j R j R
68 测试技术与数据处理. 三角形 Bartltt 窗 0 w w 的傅里叶变换为 / si 4 / si / si 4 si j j j W 近似结果在 >> 时成立 此时, 主瓣宽度为 8/, 比矩形窗主瓣宽度增加一倍, 但旁瓣却小很多
69 测试技术与数据处理 3. 汉宁 aig 窗汉宁窗又称升余弦窗 cos si R R w 利用傅里叶变换特性, 可得 + + + 0.5 0.5 j j R R R j W W W W W
70 测试技术与数据处理 + + + W W W W R R R 0.5 0.5 当 >> 时,-, 所以窗函数的幅频函数为这三部分之和, 使旁瓣互相抵消, 能量更集中在主瓣, 它的最大旁瓣值比主瓣值约低 3dB 但是代价是主瓣宽度比矩形窗的主瓣宽度增加一倍, 即为 8/
7 测试技术与数据处理 4. 海明 ammig 窗海明窗又称改进的升余弦窗 把升余弦窗加以改进, 可以得到旁瓣更小的效果, 窗形式为 0.46cos 0.54 R w w 的频率响应的幅度特性为 + + + + + + W W W W W W W R R R R R R 0.3 0.54 0.3 0.54 与汉宁窗相比, 主瓣宽度相同, 为 8/, 但旁瓣又被进一步压低, 结果可将 99.963% 的能量集中在窗谱的主瓣内, 它的最大旁瓣值比主瓣值约低 4dB
7 测试技术与数据处理 5. 布拉克曼 Blackma 布拉克曼窗又称二阶升余弦窗为了进一步抑制旁瓣, 对升余弦窗函数再加上一个二次谐波的余弦分量, 变成布拉克曼窗, 故又称二阶升余弦窗 4 0.08cos 0.5cos 0.4 R w + w 的频率响应的幅度特性为 + + + + + + 4 4 0.04 0.5 0.4 W W W W W w R R R R R
w 0.8 矩形窗 三角窗 0.6 0.4 0. 0 海明窗 海宁窗 布拉克曼窗 - / - 五种常用的窗函数 73
a b c 0-0 -40-60 -80-00 0-40 -80-0 -60-00 A / db 0-40 -80-0 -60-00 A / db d 0-0 -40-60 -80-00 A / db 0-40 -80-0 -60-00 A / db A / db 各种窗函数的傅里叶变换 5,A0 lg W/W0 74 a 矩形窗 ; b 巴特利特窗 三角形窗 ; c 汉宁窗 ; d 海明窗 ; 布拉克曼窗
用窗函数法设计 FIR 滤波器 c a b c 0-30 -60-90 -0-50 A / db 0-30 -60-90 -0-50 A / db 0-30 -60-90 -0-50 A / db c c 理想低通滤波器加窗后的幅度响应 5, A0lg /0 a 矩形窗 ; b 巴特利特窗 三角形窗 ; c 汉宁窗 ; d 海明窗 ; 布拉克曼窗 75 d 0 0-30 -60-90 -0-30 A / db 0 0-30 -60-90 -0-30 A / db c c
用窗函数法设计 FIR 滤波器五种窗函数基本参数的比较 76
用窗函数法设计 FIR 滤波器下面将窗函数法的设计步骤归纳如下 : 给定希望逼近的频率响应函数 d j 求单位脉冲响应 h d h j d d j d 如果 d j 很复杂或不能直接计算积分, 则必须用求和代替 积分, 以便在计算机上计算, 也就是要计算离散傅里叶反变换, 一般都采用 FFT 来计算 将积分限分成 M 段, 也就是令采样频率 为 k k/m,k0,,,, M-, 则有 77
用窗函数法设计 FIR 滤波器 h M M M k 0 d k k j j M M 频域的采样, 造成时域序列的周期延拓, 延拓周期是 M, 即 r h h + rm M d 由于 h d 有可能是无限长的序列, 因此严格说, 必须当 M 时,h M 才能等于 h d 而不产生混叠现象, 即 h 实际上, 由于 h d 随 的增加衰减很快, 一般只要 M 足够大, 即 M>>, 近似就足够了 d lim h M M 78
用窗函数法设计 FIR 滤波器 3 由过渡带宽及阻带最小衰减的要求, 可选定窗形状, 并 估计窗口长度 设待求滤波器的过渡带用 Δ 表示, 它近似等 于窗函数主瓣宽度 因过渡带 Δ 近似与窗口长度成反比, A/Δ,A 决定于窗口形式 例如, 矩形窗 A4, 海明窗 A8 等,A 参数选择参考表 按照过渡带及阻带衰减情况, 选择 窗函数形式 原则是在保证阻带衰减满足要求的情况下, 尽量选 择主瓣窄的窗函数 4 计算所设计的 FIR 滤波器的单位脉冲响应 hh d w 0-79
用窗函数法设计 FIR 滤波器 5 由 h 求 FIR 滤波器的系统函数 0 h 通常整个设计过程可利用计算机编程来实现, 可多选择几 种窗函数来试探, 从而设计出性能良好的 FIR 滤波器 80
用窗函数法设计 FIR 滤波器例根据下列技术指标, 设计一个 FIR 低通滤波器 通带截止频率 p 0., 通带允许波动 A p 0.5dB; 阻带截止频率 s 0.3, 阻带衰减 A s 50dB 解查表可知, 海明窗和布拉克曼窗均可提供大于 50 db 的衰 减 但海明窗具有较小的过渡带从而具有较小的长度 所要设计的滤波器的过渡带为 Δ 0.3 0. 0. s p 由表可知, 利用海明窗设计的滤波器的过渡带宽 Δ8 /, 所以低通滤波器单位脉冲响应的长度为 8
8 测试技术与数据处理 80 0. 8 8 Δ 3 db 通带截止频率为 5 0. + p s c 理想低通滤波器的单位脉冲响应为 ] si[ α α h c d α 海明窗为 0.46cos 0.54 R w
83 测试技术与数据处理用窗函数法设计 FIR 滤波器则所设计的滤波器的单位脉冲响应为 0.46cos 0.54 ] si[ ` R h c α α 80 所设计的滤波器的频率响应为 0 j j h 利用计算机编程实现, 结果如图所示
理想低通滤波器的单位脉冲响应 h d h d 测试技术与数据处理 用窗函数法设计 FIR 滤波器 0.3 0. 0. w 0.8 0.6 0.4 海明窗函数 实际低通滤波器的单位脉冲响应 h h 0-0. 0 0 40 60 80 a 0.3 0. 0. 0-0. 0 0 40 60 80 c 0 lg j / j0 /db 0. 0 0 0 40 60 80 b 0 50 / 0-50 -00-50 d 实际低通滤波器的幅频特性 j, 以 db 为单位 滤波器长 80, 实际阻带衰减为 A s 53dB, 通带波动为 A p 0.036 db 低通滤波器设计结果 84
用窗函数法设计 FIR 滤波器 窗口法设计的主要优点是简单, 使用方便 窗口函数大多有封闭的公式可循, 性能 参数都已有表格 资料可供参考, 计算程序简便, 所以很实用 缺点是通带和阻带的截止频率不易控制 85
频率采样法设计 FIR 滤波器 频率采样法是从频域出发, 把给定的理想频率响应 d j 以等间隔采样 j k j d k / d d k 以 d k 作为实际 FIR 数字滤波器的频率响应的采样值 k, 即 k d k d j k/ k0,,,, - 3 知道 k 后, 由 IDFT 定义, 可以用这 个采样值 k 来惟一确定有限长序列 h, 即 h k 0 k k W 0,,,, - 86
87 测试技术与数据处理频率采样法设计 FIR 滤波器 h 为待设计的滤波器的单位脉冲响应 4 其系统函数 为 0 h 以上就是频率采样法设计滤波器的基本原理 此外, 由频域内插公式知道, 利用这 个频域采样值 k 同样可求得 FIR 滤波器的系统函数 0 k k W k
频率采样法设计 FIR 滤波器 线性相位的约束 如果我们设计的是线性相位的 FIR 滤波器, 则其采样值 k 的幅度和相位一定要满足前面所讨论的四类线性相位滤波器的约束条件 对于第一类线性相位滤波器, 即 h 偶对称, 长度 为奇数时, 式中 : j jθ θ 88
频率采样法设计 FIR 滤波器 第一类线性相位滤波器幅度函数 关于 0,, 为偶对称, 即 如果采样值 k jk/ 也用幅值 k 纯标量 与相角 θ k 表 示, 即 k jk / k jθ k 并在 0~ 之间等间隔采样 点 k k k0,,,, - 89
90 测试技术与数据处理频率采样法设计 FIR 滤波器将 k 代入, 并写成 k 的函数, 有 : k k k k k θ k 满足偶对称要求
频率采样法设计 FIR 滤波器 对于第二类线性相位 FIR 滤波器, 即 h 偶对称, 为 偶数, 则其 j 的表达式仍为 : j θ jθ 其幅度函数 关于 是奇对称的, 关于 0, 为偶对称, -- 所以, 这时的 k 也应满足奇对称要求 k - -k 9
频率采样法设计 FIR 滤波器 3 对于第三类线性相位 FIR 滤波器, 即 h 奇对称, 为奇数, 时, j jθ 式中 : θ + 第三类线性相位滤波器幅度函数 关于 0,, 为奇 对称, 即 9
频率采样法设计 FIR 滤波器 将 k k/ 代入式中, 并写成 k 的函 数, 得 : θ k k + k + k k k 满足奇对称要求 93
频率采样法设计 FIR 滤波器 4 对于第四类线性相位 FIR 滤波器, 即 h 奇对称, 为偶 数, 则其 j 的表达式仍为 : θ j jθ + 但是, 其幅度函数 关于 是偶对称的, 关于 0, 为 奇对称, 即 所以, 这时的 k 也应满足偶对称要求 k k 而 θ k 则与前面公式式相同 94
逼近误差及其改进措施 频率采样法是比较简单的, 但是我们还应进一步考察, 用这 种频率采样所得到的系统函数究竟逼近效果如何? 我们知道, 利 用 个频域采样值 k 可求得 FIR 滤波器的频率响应 j, 即 k k Φ j 0 k Φ 是内插函数 Φ si / si / j / 95
在各频率采样点 k/,k0,,,, - 上, Φ- k/, 因此, 采样点上滤波器的实际频率响应是严格地和理想频率响应数值相等的 在采样点之间的频响则是由各采样点的加权内插函数的延伸叠加而成的, 因而有一定的逼近误差, 误差大小取决于理想频率响应曲线形状 理想频率响应特性变化越平缓, 则内插值越接近理想值, 逼近误差越小 例如, 图 b 中的理想特性是一梯形响应, 变化很缓和, 因而采样后逼近效果就较好 反之, 如果采样点之间的理想频率特性变化越陡, 则内插值与理想值的误差就越大, 因而在理想频率特性的不连续点附近, 就会产生肩峰和起伏 例如, 图 a 中是一个矩形的理想特性, 它在频率 采样后出现的肩峰和起伏就比梯形特性大得多 96
频率采样法设计 FIR 滤波器 j d j k j a o j b o 频率采样的响应 97
d, k a o c c d, k c c b o c d, k cc c o c c3 加过渡带 a 一点过渡带 ; b 二点过渡带 ; c 三点过渡带 98
在频率响应的过渡带内插入一个 c 或两个 c, c 或三个 c, c, c3 采样点, 这些点上采样最佳值由计算机算出 这样就增加 了过渡带, 减小了频带边缘的突变, 减小了通带和阻带的波动, 因而增大了 阻带最小衰减 这些采样点上的取值不同, 效果也就不同, 每一个频率采样 值都要产生一个与内插函数 si//si/ 成正比并且在频率上位移 k/ 的频率响应, 而 FIR 滤波器的频率响应就是 k 与内插函数 Φ k 的线性组合 如果精心设计过渡带的采样值, 就有可能使它的相邻频带波动 得以减小从而设计出较好的滤波器 一般过渡带取一, 二, 三点采样值即 可得到满意结果, 在低通设计中, 不加过渡采样点时, 阻带最小衰减为 - 0dB, 一点过渡采样的最优化设计阻带最小衰减可提高到 -44dB 到 -54dB 左 右, 二点过渡采样的最优化设计可达 -65dB 到 -75dB 左右, 而加三点过渡采样 的最优化设计则可达 -85dB 到 -95dB 左右 99
频率采样法设计 FIR 滤波器 例用频率采样法设计一线性相位滤波器,5, 幅度采样值为 : k 0 k 0.5 k,4 0 k,3, L,3 试设计采样值的相位 θ k, 并求 h 及 j 的表达式 解因本题所给 5, 且 k -k 满足偶对称条件, 0, 由表可知, 这是第一类线性相位滤波器 相位因此有 : θ 00
0 测试技术与数据处理频率采样法设计 FIR 滤波器 θ k k k 5 4 0 k 4 + + + θ θ θ 5 4 5 cos 5 0.5 0.5 5 5 5 4 5 4 4 5 5 4 5 5 4 0 0 0 0 0 W k W k h j j k j k j k k j k j k k k k j k j k k k k k k 0 4
0 测试技术与数据处理 + + + Φ 5 4 si / 5 si si 5 si 5 / 4 si 4 si 0.5 / si si 0.5 si si / si si 4 5 4 4 5 4 4 0 0 j j j j j k j k j k k k k k
频率采样法设计 FIR 滤波器 例利用频率采样法, 设计一个线性相位低通 FIR 数字滤波器, 其理想频率特性是矩形的 d j 0 0 c 其他 已知 c 0.5, 采样点数为奇数 33 试求各采样点的幅值 k 及相位 θ k, 也即求采样值 k 解 33, 且低通滤波器幅度特性 0 由表可知, 这属 于第一类线性相位滤波器 第一类线性相位滤波器的幅度特性 关于 为偶对称, 即 03
04 测试技术与数据处理频率采样法设计 FIR 滤波器 j j 且有 : k j k k θ 则 k 满足偶对称特性, 因而有 : θ k k k k k 33 3 0 k 3
又 c 0.5, c 0.5 33 / 8.5 故 k 0 0 k 7, 5 k 3 8 k 4 jθk k k 0 k 3 05
频率采样法设计 FIR 滤波器 频率采样法的优点是可以在频域直接设计, 并且适合最优化设计 ; 缺点是采样频率只能等于 / 的整数倍, 因而不能确保截止频率 c 的自由取值, 要想实现自由地选择截止频率, 必须增加采样点数, 但这又使计算量加大 06
FIR 与 IIR 滤波器的比较从性能上说,IIR 滤波器可以用较少的阶数获得很高的选择 特性, 所用存储单元少, 运算次数少, 较为经济而且效率高 但是这个高效率的代价是以相位的非线性得来的 选择性越好, 非线性越严重 相反,FIR 滤波器可以得到严格的线性相位 但是, 如果需要获得一定的选择性, 则要用较多的存储器和较多的运算, 成本比较高, 信号延时也较大 然而,FIR 滤波器的 这些缺点是相对于非线性相位的 IIR 滤波器比较而言的 如果按 相同的选择性和相同的相位线性要求的话, 那么,IIR 滤波器就 必须加全通网络来进行相位校正, 因此同样要大大增加滤波器的节数和复杂性 所以如果相位要求严格一点, 那么采用 FIR 滤 波器不仅在性能上而且在经济上都将优于 IIR 07
FIR 滤波器与 IIR 滤波器的比较 从结构上看,IIR 必须采用递归型结构, 极点位置必须在单位圆内 ; 否则, 系统将不稳定 此外, 在这种结构中, 由于运算过程中对序列的四舍五入处理, 有时会引起微弱的寄生振荡 相反,FIR 滤波器主要采用非递归结构, 不论在理论上还是在实际的有限精度运算中都不存在稳定性问题, 运算误差也较小 此外,FIR 滤波器可以采用快速傅里叶变换算法, 在相同阶数的条件下, 运算速度可以快得多 08
FIR 滤波器与 IIR 滤波器的比较 从设计工作看,IIR 滤波器可以借助模拟滤波器的成果, 一般都有有效的封闭函数的设计公式可供准确的计算 又有许多数据和表格可查, 设计计算的工作量比较小, 对计算工具的要求不高 FIR 滤波器设计则一般没有封闭函数的设计公式 窗口法虽然仅仅对窗口函数可以给出计算公式, 但计算通阻带衰减等仍无显式表达式 一般,FIR 滤波器设计只有计算程序可循, 因此对计算工具要求较高 09
FIR 滤波器与 IIR 滤波器的比较 此外, 还应看到,IIR 滤波器虽然设计简单, 但主要是用于设计具有片段常数特性的滤波器, 如低 高 带通及带阻等, 往往脱离不了模拟滤波器的格局 而 FIR 滤波器则要灵活的多, 尤其是频率采样设计法更容易适应各种幅度特性和相位特性的要求, 可以设计出理想的正交变换 理想微分 线性调频等各种重要网络 因而有更大适应性和更广阔的天地 0
FIR 滤波器与 IIR 滤波器的比较 从以上简单比较, 可以看到 IIR 滤波器与 FIR 滤波器各有所长, 在实际应用时要从多方面考虑来加以选择 从使用要求来看, 如对相位要求不敏感的语言通讯等, 选用 IIR 较为合适 而对图像信号处理 数据传输等以波形携带信息的系统, 一般对线性相位要求较高, 这时采用 FIR 滤波器较好 当然, 在实际设计中, 还应综合考虑经济上的要求以及计算工具的条件等多方面的因素