第三章 傅里叶变换
3. 引言 时域分析 -> 变换域分析, 要讨论的变换 傅氏变换 复频域分析 L 离散信号的 Z 域变换 信号的分解 - 正交基底函数 的发展 965 年 的内容 周期的模拟信号 S 非周期的模拟信号 离散的非周期序列 今后讨论
3. 周期信号的傅氏级数分析 狭利赫利条件 一个周期内, 周期信号绝对可积 一个周期内, 周期信号的极值数目有限 一个周期内, 周期信号只有有限个间断点 周期信号 周期 可展成傅氏级数 三角函数形式 复指数形式
三角形式的傅氏级数 a a cos b si ] cos d cos d a cos d a cos cos md d m m
c a b c c a b cosϕ siϕ 任何周期信号在满足 Dirchl 条件下, 均可分解为直流分量基波分量和谐波分量 周期信号的谱为离散谱
指数形式的傅氏级数 si cos b a b a 欧拉公式 cos si a a b
c d a c d a b c
例 : 某周期信号基频, 由有限项谐波组成的表达式为 : 3 3 / /8 / 4 / 6 设系数 均为实数, 求 的三角表示形式 3 3
cos6 3 cos4 cos 4 6 4 8 6 6 4 4
函数的对称性与傅氏级数的关系 波形对称性对被积函数积分区间的奇偶性的判断可简化计算 奇函数 ] 偶函数 奇函数 奇函数 ] 奇函数 偶函数 偶函数 ] 偶函数 偶函数 奇函数展开时 偶函数展开时 a, a b
偶函数 - si 4 cos 4 / E d E a / E d E a
奇函数 --
奇谐函数 --± / a 半周期镜像信号 a a b b 只含有基波及奇次谐波
傅氏级数与最小方均误差 周期信号的傅氏级数 a a cos b si ] N a a cos b si ] 误差函数 ε N d C ] rkr r 完备的正交函数集 ε N d a a b ]
N3 N 既是偶函数, 又是奇谐函数 N5 a E si,3,5...
ε N d a a b] N ε /4 E E d.5 E /4 4 N 3 ε /4 E E E d.e /4 4 3
E.5E, E3.E, E5. 5 E N 越大, 相加后的波形越接近, 误差越小 高频分量对应跳变, 低频分量影响脉冲的顶部 Gibbs 现象 不连续点的幅度为, 不论 N 多大, 峰值为.9
3.3 典型周期信号的傅氏级数 周期矩形脉冲信号 ] u u E si Sa E E a E a cos Sa E E
E Sa 离散谱线, 间隔为, 幅度正比于 E, 反比于 谱线包络为 Sa 函数,m/ 为零点 信号的主要能量宽度 第一个零点以内 频带宽度, B /
保持不变,, 5 时的频谱
保持不变, /, /5 时的频谱 频带宽度变化
周期全波整流信号 cos cos E E cos 4 4 E E
3.4 傅里叶变换 周期信号的离散谱到非周期信号的连续谱 E Sa
周期信号 非周期信号谱线间隔愈来愈密离散谱 连续谱
周期信号的 S 非周期信号 d d d
Δ d d d,,, / / 频谱密度函数连续频率离散频率 < 绝对可积 d 存在的充分条件 :
σ σ σ σ σ σ σ σ d d d d d d ] si ] ] 设 ] ] si lim lim δ σ σ σ σ σ Sa δ σ σ d d lim I ], ]
例 : 求图中矩形脉冲的 ESa d / E / d E / / 连续谱 具有收敛性 峰值比较
3.5 常见信号的傅里叶变换 单边指数信号 a U a a > a d d a a /a ϕ
符号函数 a a a d d U U Sg U U Sg a a a a a a a a a a lim ] lim ] lim ] lim 不满足绝对可积条件奇函数 只有虚部
升余弦脉冲函数 Haig ] ] cos cos Sa E Sa E Sa E d E d E d E d E 主瓣加宽 倍副瓣的幅度抑制
直流信号 偶函数 只有实部 E lim E d Elim si si Elim Elim Eδ
3.6 冲激信号及阶跃信号的 阶跃信号 δ δ δ u Sg Sg u ] ] ] /
冲激信号 δ ] δ d 白色频谱
冲激偶的 δ ] d δ d δ d d δ ] d δ ] d
d d d d d d d d d d d δ δ δ δ δ δ ] ] ] 次微分 : 证 : 求证 :
3.7 傅里叶变换的基本性质 ] ] 唯一性
线性 c c c c 则 : 若 :
对称性 ] ] > 若 : 则 : ] ] δ δ δ ] d dx x dx x d d x x x x
ESa c E csa c E U U c ]
3 奇偶虚实性 是实函数 * 若 R X * R X * R X R R 实部偶对称 X X 虚部奇对称 d cos d si d 实偶 实偶 实奇 虚奇 d * * ] d]* d] * *
是虚函数虚部偶对称实部奇对称若 * * * X X R R X R X R X R ] ] * * * * d d d 虚偶 实奇 虚奇 虚偶
] 4 尺度变换特性 a] a a
5 时移特性 ] x dx x x d 幅度谱不变, 有附加相移
例 : 求三脉冲的频谱 cos ] cos ] ] Sa E Sa E
> < > < > < c c c c c c c c c c c Sa Sa Sa ] ]} { 令 求 : 例 :
6 频移特性 ] ] 时移频移 ] ] si ] ] cos ] si ] cos 载频信号
], si > a a a a G u g a a a 求例 : 已知
7 微分特性 ] ] d d d d d ] ] d d d d 频域微分特性 d
4 ] 4 4 cos 4 ] ] ' ' ] ' ' ] ] ' ] ] δ δ δ Sa E Sa E Sa E E E E u u E u u E u u E u u E 例 : 求图示三角脉冲信号的频谱
8 积分特性 ] ] ] δ d d d d 积分特性 积分引起的直流或平均值 ] ] ] ] ] ] δ δ δ δ δ δ δ u d du d u
9 卷积特性 时域卷积 ] ] ] ] ] * d d dx x d dx x d d d d x x
频域卷积 ] du u u d du u d du u d u u ] ]
例 : 用卷积定理证明积分特性 ] ] * ] * δ δ u d d d u u
利用卷积定理求余弦脉冲的频谱例 : 已知 / / / cos > E ] ] ] * ] cos δ δ δ δ Sa E Sa E Sa E Sa E G
利用卷积定理求三角脉冲的频谱例 : 已知 > E 4 ] 4 4 Sa E Sa E Sa E G
3.9 周期信号的傅里叶变换 周期信号 -S 非周期信号 - 研究的问题 : 如何确定周期信号的? 它与 S 的谱系数的关系如何?
正弦信号及余弦信号的 ] si ] cos, cos δ δ δ δ δ δ 同理, / si, / cos ± ± ±
一般的周期信号 周期信号的 是由一系列在谐频处的冲激函数组成, 冲激的强度是谱系数的 倍 δ
周期性脉冲序列的 与单脉冲信号 关系 / / / / SI SI d d
3 周期单位冲激序列的 S 及 d d / / / / δ δ δ δ δ δ δ δ δ δ δ δ 间隔越大, 频域间隔越小, 幅值也越小
4 周期信号的 δ d p δ d * δ p ] δ δ
例 : 周期矩形脉冲信号的 S 及
3. 抽样信号的 信号的抽样 抽样 : 连续信号, 用该信号的等间隔的离散序列,s, S, 来表示, 这一过程称为抽样
时域抽样 s s s s s s s P P P P P p P p ] ~ ~ δ δ δ 周期信号原来的频谱发生周期延拓, 其重复周期为 s, 幅度乘 P
周期矩形脉冲抽样
冲激抽样
频域抽样 时域上以 s 抽样, 频域上以 s 为周期延拓 s s s 频域上以 s 抽样, 时域上以 s 为周期延拓 s s
周期矩形抽样信号 周期信号 -> 离散谱冲激抽样 -> 周期延拓周期性的离散谱
ASa δ p A Sa δ p s p ms s m A Sa δ m s s m
3. 抽样定理 抽样定理 : 数字信号传输, 数字信号处理的基本理论依据 模拟信号 A/D 抽样信号 数字信号 时域抽样定理 若 s h, 则 s 可唯一表示 s Nyquis rqucy
由抽样信号恢复原来信号 ]. * * c c > < s c s c s s s s s c c s s Sa h d h d h h Sa d h h H H c c δ δ 理想低通 :
作 业 P. 6 3-4 3-3- 3-9 3-33 3-37bc 3-38 3-4