基礎統計

統計學 ( 二 ) 第十四章無母數統計檢定 (Nonparametric Statistics) 授課教師 : 唐麗英教授 國立交通大學工業工程與管理學系聯絡電話 :(03)5731896 e-mail:litong@cc.nctu.edu.tw 2015 本講義未經同意請勿自行翻印

本課程內容參考書目 教科書 P. Newbold, W. L. Carlson and B. Thorne(2013). Statistics for Business and the Economics, 8 tt Edition, Pearson. 參考書目 Berenson, M. L., Levine, D. M., and Krehbiel, T. C. (2009). Basic business statistics: Concepts and applications, 11 tt EditionPrentice Hall. Larson, H. J. (1982). Introduction to probability theory and statistical inference, 3 rr Edition, New York: Wiley. Miller, I., Freund, J. E., and Johnson, R. A. (2000). Miller and Freund's Probability and statistics for engineers, 6 tt Edition, Prentice Hall. Montgomery, D. C., and Runger, G. C. (2011). Applied statistics and probability for engineers, 5 tt Edition, Wiley. Watson, C. J. (1997). Statistics for management and economics, 5th Edition. Prentice Hall. 唐麗英 王春和 (2013), 從範例學 MINITAB 統計分析與應用, 博碩文化公司 唐麗英 王春和 (2008), SPSS 統計分析, 儒林圖書公司 唐麗英 王春和 (2007), Excel 統計分析, 第二版, 儒林圖書公司 唐麗英 王春和 (2005), STATISTICA 與基礎統計分析, 儒林圖書公司 統計學 ( 一 ) 唐麗英老師上課講義 2

Part 2: 1. 一組樣本或成對樣本之無母數檢定 : 符號檢定 (sign test) 魏克生符號檢定 (Wilcoxon Signed Ranked Test) 2. 兩獨立樣本之無母數檢定 : 曼恩 - 惠尼 U 檢定 (Mann-Whitney U Test) 魏克生等級和檢定 (Wilcoxon Rank Sum Test) 3. 三組以上獨立樣本之檢定 : Kruskal-Wallis Test 統計學 ( 一 ) 唐麗英老師上課講義 3

1. 一組樣本或成對樣本之無母數檢定 : Sign Test 與 Wilcoxon Signed Rank Test 統計學 ( 一 ) 唐麗英老師上課講義 4

無母數統計 (Nonparametric Statistics) 當群體分佈未知 不為常態分佈, 或樣本數為小樣本時的統計 推論方法, 稱為無母數統計 統計學 ( 一 ) 唐麗英老師上課講義 5

無母數檢定 (Nonparametric tests) 前面所介紹的很多統計檢定, 如 : Z 檢定 t 檢定 χ 2 檢定 ( 檢定 σ 2 ) 及 ANOVA F 檢定等, 都只能應用在常態群體假設成立時 若群 體分佈未知或不為常態分佈時, 這些檢定方法均不適用, 因此 必須發展一個不需要假設群體呈常態分佈之統計檢定方法, 這 些方法稱為無母數統計檢定 統計學 ( 一 ) 唐麗英老師上課講義 6

無母數檢定 (Nonparametric tests) 關於單一群體中心位置 ( 中位數 ) 或成對群體的分佈是否相同的 假說檢定有 : 1. 符號檢定 (Sign Test) 2. 魏克生符號等級檢定 (Wilcoxon Signed-Rank Test) 統計學 ( 一 ) 唐麗英老師上課講義 7

1. 符號檢定 (Sign Test) 統計學 ( 一 ) 唐麗英老師上課講義 8

無母數檢定 (Nonparametric tests) 1. 符號檢定 符號檢定是用來檢定單一群體中位數 (η) 為某一特定值或成對群 體的分佈是否相同的檢定 ( 即 η 1 = η 2 ) 統計學 ( 一 ) 唐麗英老師上課講義 9

無母數檢定 -Sign Test for One-sample A. 符號檢定 : 用來檢定單一群體中位數 (η) 為某一特定值 (η 0 ) 假設 (X 1, X 2,...,X n ) 是一組樣本數為 n 的隨機樣本, 我們欲檢定以下假說 : H 0 : η=η o H 1 : η η o > < 令 D=X-η o, 若 D>0 則標為正號,D<0 則標為負號, D=0 則剔除 ; 令 Y 為在所有 D 中出現正號之個數, 則 Y 呈 P=0.5 之二項分佈, 即 Y~Bino(n, P=0.5), 設 P= 在所有 D 中出現正號 D 之個數的機率, 則上述之假說可以改寫成以下 : H 0 :P=0.5 H 1 :P 0.5 > < 則符號檢定可簡化為檢定母體比例 P=0.5 之檢定 統計學 ( 一 ) 唐麗英老師上課講義 10

無母數檢定 -Sign Test for One-sample 符號檢定之計算 p-value 的方式 : a. 右尾檢定 : H 1 :P > 0.5, 則 p-value= P(Y S + ), S + 為樣本觀測值中出現正號 D 的個數 b. 左尾檢定 : H 1 :P < 0.5, 則 p-value= P(Y S + ) c. 雙尾檢定 : H 1 :P 0.5, 令 S=max(S +,S - ), 其中 S + 為樣本觀測值中出現正號之個數, 其中 S - 為樣本觀測值中出現負號之個數 ; 則 p-value=2 P(Y S) ( 二項分佈機率值可查課本附表之二項分佈機率表 ) 統計學 ( 一 ) 唐麗英老師上課講義 11

無母數檢定 -Sign Test for One-sample 在符號檢定中, 若非 0 的樣本觀測值數 n 很大 (n 20), 則符號檢定之檢定統 計量 Y 可轉成 Z 檢定 : Z = Y μ σ = Y 0.5n 0.5 n 其中 µ=np=0.5n,σ 2 =npq=0.25n ( 假設 H 0 :P =0.5 為真 ); 統計學 ( 一 ) 唐麗英老師上課講義 12

無母數檢定 -Sign Test for One-sample 大樣本 (n 20) 之符號檢定的程序 1. H 0 : η=η o vs H 1 : η η o H 0 :P=0.5 vs H 1 :P 0.5 > < > < 2. 統計檢定 :Z= Y 0.5n 0.5 n 3. 棄卻域 : 查 Z 表 統計學 ( 一 ) 唐麗英老師上課講義 13

無母數檢定 -Sign Test for One-sample 例 1: 某速食店之經理設計問卷以調查顧客對該店新推出之漢堡 包裝的反應 她假設顧客對漢堡新包裝喜歡或不喜歡的程度大 致相同 為了驗證她的假說, 她問了 12 位顧客以下的問題 : 你對漢堡的新包裝有什麼意見?, 答案依喜好程度分成七個 等級,1= 強烈的不喜歡,7= 強烈的喜歡,4= 沒有什麼特別的 感覺 她從 12 位顧客的問卷得到以下結果 : 7 3 5 4 7 1 2 2 5 7 6 5 請用符號檢定法來檢定顧客對產品包裝喜好程度的中位數是 否為 4( 即顧客對產品設計的喜惡程度相同或無意見 )? ( 本例改編自 Basic business statistics by Berenson, Levine and Krehbiel ) 統計學 ( 一 ) 唐麗英老師上課講義 14

無母數檢定 -Sign Test for One-sample 例 1 解 : 1. H 0 :η=4 H 0 :P = 0.5 H 1 :η 4 H 1 :P 0.5 2. α=0.05 令 D=x i η 0 = x i -4 後之正或負號 y= 大於 η 0 之觀測值個數 =D 為 正號 之個數 D: +-+0+---++++ n= 非 0 之 D 的個數 =11 3. 檢定統計量 :y = S + = 7, S=max(S +, S )=max(7,4)=7 4. 棄卻域 ( 或 p-value):( 本例 n<20, 用 bino. Prob. 算 p-value) Y~Bino(n=11,p=0.5) p-value=2 1 P(Y 6) = 2 1 0.726 = 0.548 > 0.05 5. 結論 : 此資料 _ 沒有 提供足夠資訊顯示顧客對包裝的喜惡程度無意見或相同 統計學 ( 一 ) 唐麗英老師上課講義 15

無母數檢定 -Sign Test for One-sample 例 2: 二十個秘書接受打字訓練, 以下為她們在訓練課程後可增加的打字速度 ( 字 / 每分鐘 ): +7-6 +3 +1 +6 +4 +9-5 +9-7 -3 +7-9 +8 +6-4 +4 +9-6 +1 請問資料是否提供足夠的證據指出打字訓練可顯著增加打字速度? 請用符號檢定 ( 本例改編自 Basic business statistics by Berenson, Levine and Krehbiel ) 統計學 ( 一 ) 唐麗英老師上課講義 16

無母數檢定 -Sign Test for One-sample 例 2 解 : 1. H 0 :η 0 H 1 :η > 0 2. α= 0.05 3. 檢定統計量 :Z y nn nnn = 13 10 2.24 = 1.34 4. 棄卻域 :Z 0.05 =1.645 5. 結論 :Do not reject H 0 統計學 ( 一 ) 唐麗英老師上課講義 17

無母數檢定 -Sign Test for Paired-sample B. 符號檢定用來檢定成對群體之中位數是否有差異 令成對群體中位數之差異為 η D =η 1 η 2 時, 則可使用符號檢 定來檢定成對群體之中位數是否有差異 符號檢定程序 (for n 20): 1. H 0 :η D =0( 或 P=0.5) H 1 :η D 0( 或 P 0.5) 2. 統計檢定 :Z= Y 0.5n 0.5 n 3. 棄卻域 : 查 Z 表 統計學 ( 一 ) 唐麗英老師上課講義 18

無母數檢定 -Sign Test for Paired-sample 例 3: 試用符號檢定來檢定兩家不同銀行對有 20 家企業的貸款額是 否有差異? ( 單位 :10 萬元 ) 企業 甲銀行 乙銀行 1 85 90 2 80 60 3 85 113 4 70 100 5 30 45 6 75 99 7 67 86 8 60 85 9 60 85 10 85 87 11 70 50 12 85 90 13 70 93 14 77 115 15 70 62 16 50 85 17 55 72 18 75 125 19 81 103 統計學 ( 一 ) 唐麗英老師上課講義 20 20 60 19 ( 本例改編自 Basic business statistics by Berenson, Levine and Krehbiel )

無母數檢定 -Sign Test for Paired-sample 例 3 解 : 1. H 0 : η D = 0 H 0 : P= 0.5 H 1 : η D 0 H 1 : P 0.5 2. α= 0.05 η D = η 甲 η 乙 y= D 為 + 的個數 =2 3. 檢定統計量 : Z= y μ y σ y 4. 棄卻域或 p-value: 5. 結論 :Reject at α= 0.05 = 2 10 2.24 = 3.57-1.96 1.96 n = 20, p = 0.5 μ y = nn = 10 σ y = nnn = 2.24 統計學 ( 一 ) 唐麗英老師上課講義 20

無母數檢定 -Sign Test for Paired-sample 例 3 解 : 企業 甲銀行 乙銀行 D= 甲 - 乙 1 85 90-2 80 60-3 85 113-4 70 100-5 30 45-6 75 99-7 67 86-8 60 85-9 60 85-10 85 87-11 70 50 + 12 85 90-13 70 93-14 77 115-15 70 62 + 16 50 85-17 55 72-18 75 125-19 81 103-20 20 60 - 統計學 ( 一 ) 唐麗英老師上課講義 21

Part 2: 2. 魏克生符號等級檢定 Wilcoxon Test for Paired or Matched Samples (Sections 14.4 之 2) 統計學 ( 一 ) 唐麗英老師上課講義 22

無母數統計 -Wilcoxon Signed Rank Test 檢定單一群體中位數或檢定成對群體的中位數是否有差異的方法有 : (1) 符號檢定 (Sign Test) (2) 魏克生符號等級檢定 (Wilcoxon Signed-Rank Test) 統計學 ( 一 ) 唐麗英老師上課講義 23

無母數統計 -Wilcoxon Signed Rank Test 符號檢定的檢定統計量僅使用到一組樣本 觀測值與其中位數或兩組成對樣本觀測值間差異的符號是正號或負號, 而未考慮到差異值的大小 魏克生符號等級檢定修正了符號檢定此項缺失, 不僅使用到差異值的正負號, 也同時考慮到差異值的大小 因此魏克生符號等級檢定的檢定力比符號檢定強 統計學 ( 一 ) 唐麗英老師上課講義 24

無母數統計 -Wilcoxon Signed Rank Test A. 魏克生符號等級檢定 : 檢定單一群體中位數 η o 假設一組樣本數為 n 的隨機樣本 (X 1, X 2,...,X n ), 我們欲檢定以下假說 : H 0 : η=η o 或 H 0 : η D =η 1 -η 2 = 0 (η D 表成對樣本之真時差異 ) H 1 : η η o H 1 : η D =η 1 -η 2 0 統計學 ( 一 ) 唐麗英老師上課講義 25

無母數檢定 (Nonparametric tests) 1. 令 D i =X i -η o ( 表單一樣本個別觀察值與特定中位數之差異 ), 或 D=X 1i -X 2i ( 表兩成對樣本觀察值之差異 ) 若 D=0 則剔除 ; 將非 0 之 D 值取絕對值, 並由小到大排序, 給與等級 ( 最小之絕對值等級為 1) 若 D 值相同, 以其平均等級為等級 2. 令 R + 為正的 D 值的等級和, 令 R - 為負的 D 值的等級和 令 T=min(R +, R - ), 則魏克生符號等級檢定的檢定統計量為 T, 當 n 20 時,T 近似常態分佈, 其 μ =E(T)= n(n+1)/4, σ 2 =Var(T)= T T n(n+1)(2n+1)/24 統計學 ( 一 ) 唐麗英老師上課講義 26

無母數檢定 (Nonparametric tests) 大樣本 (n 20) 之魏克生符號等級檢定程序 1. H 0 : η=η o vs H 1 : η η o H 0 :η D =η 1 -η 2 = 0 vs H 1 : η D =η 1 -η 2 0 2. 統計檢定 :Z= T μ T σ T, 3. 棄卻域 : 查 Z 表 其中 μ = n(n+1),σ = n(n + 1)(22 + 1)/22 T T 4 統計學 ( 一 ) 唐麗英老師上課講義 27

無母數檢定 (Nonparametric tests) 例 4: 試用魏克生符號等級檢定例 3 中兩家不同銀行對有 20 家企業 所給的貸款額是否有差異? ( 單位 :10 萬元 ) ( 本例改編自 Basic business statistics 企業 甲銀行 乙銀行 1 85 90 2 80 60 3 85 113 4 70 100 5 30 45 6 75 99 7 67 86 8 60 85 9 60 85 10 85 87 11 70 50 12 85 90 13 70 93 14 77 115 15 70 62 16 50 85 17 55 72 18 75 125 19 81 103 統計學 ( 一 ) 唐麗英老師上課講義 20 20 60 28 by Berenson, Levine and Krehbiel )

無母數檢定 (Nonparametric tests) 解 : 1. H 0 : η D = η 甲 η 乙 = 0 H 1 : η D 0 ( 雙尾 ) 2. α= 0.05 3. 檢定統計量 :T=Min(R +, R ) = Min 13,189 = 13 4. 棄卻域或 p-value: -1.96 1.96 5. 結論 :Reject H 0, 甲乙兩家銀行對 企業貸款額有顯著差異統計學 ( 一 ) 唐麗英老師上課講義 29

解 T 之計算過程 : 1. 令 D= 甲 - 乙 2. 刪去 D=0 後, 將 D 由小排到大, 最小之 D 序號為 1, 相同 D 值取平均序號 3. 將 D 之正 負號放回 4. 計算有正號及負號 D 之等級和 : R + 及 R, R + = 13, R = 189 5. 取 T=Min(R +, R ) = Min 13,189 = 13 企業甲銀行乙銀行 D= 甲 - Rank Signed Signed D 乙 of D Rank(+) Rank(-) 1 85 90 - -5 1.5-1.5 2 80 60 - -10 5-5 3 85 113 - -28 15-14 4 70 100 - -30 16-15 5 30 45 - -15 6-6 6 75 99 - -24 12-12 7 67 86 - -19 8-8 8 60 85 - -25 13.5-13.5 9 60 85 - -25 13.5-13.5 10 85 87 - -2 1-1 11 70 50 + +20 9 +9 因本例 n 20,T~NNNNNN(μ T, σ T ) 12 85 90 - -5 1.5-1.5 n(n + 1) 20 21 13 70 93 - -23 11-11 μ T = = = 105 14 77 115 - -38 18-17 4 4 15 70 62 + +8 4 +4 16 50 85 - -35 17-16 n(n + 1)(2n + 1) σ T = = 26.78 17 55 72 - -17 7-7 24 18 75 125 - -50 20-19 19 81 103 - -22 10-10 Z= 13 105 20 20 60 - -40 19-18 26.78 統計學 ( 一 ) 唐麗英老師上課講義 30

二. 兩獨立樣本之無母數檢定 : Mann-Whitney U 檢定與 Wilcoxon Rank Sum Test 統計學 ( 一 ) 唐麗英老師上課講義 31

兩獨立樣本之無母數檢定 檢定兩獨立群體的中位數是否有差異的方法 1. 曼恩 惠尼 U 檢定 (Mann-Whitney U Test,M-W U Test) 2. 魏克生等級和檢定 (Wilcoxon Rank Sum Test) 統計學 ( 一 ) 唐麗英老師上課講義 32

曼恩 惠尼 U 檢定 (Mann-Whitney U Test,M-W U Test) 1. M-W 檢定 : M-W U 檢定是用來取代檢定二獨立常態分配平均值是否相等的 t 檢定 U 檢定不需要常態分佈的假設 M-W U 檢定之假設 : 1. 二母體皆為連續分配, 且變異程度相同 2. 二樣本為隨機樣本, 且樣本大小分別為 n 1 與 n 2 M-W U 檢定程序 : 1. H 0 : η 1 -η 2 = 0 VS H 1 :η 1 -η 2 0 2. 檢定統計量 U =[n 1 n 2 + n 1 (n 1 +1)]/2-R 1 其中 n 1 為第一組樣本之樣本數, n 2 為第二組樣本之樣本數, R 1 為混和兩組樣本後第一組樣 本之等級和 統計學 ( 一 ) 唐麗英老師上課講義 33

曼恩 惠尼 U 檢定 (Mann-Whitney U Test,M-W U Test) 檢定統計量 U 之計算過程 : 1. 整合第一組樣本 n 1 個觀測值和第二組樣本 n 2 個樣本觀測值, 再依次由最小值到最大值排序所有 n 1 + n 2 個觀測值 2. 每個觀測值給予順序等級 ( 最小的觀測值得等級為 1) 3. 將第一組樣本觀測值的等級加總, 定義為 R 1 4. 將第二組樣本觀測值的等級加總, 定義為 R 2 5. 計算檢定統計量 U=[n 1 n 2 + n 1 (n 1 +1)]/2-R 1 當 n 1 和 n 2 皆 10,U 近似於常態分配, 其 μ u = n 1 n 2 /2, σ μ 2 = n 1 n 2 (n 1 + n 2 +1)/12,U 可標準化成 Z=(U-μ U )/σ U. 統計學 ( 一 ) 唐麗英老師上課講義 34

曼恩 惠尼 U 檢定 (Mann-Whitney U Test,M-W U Test) 例 5: 下列為 15 位男性和 12 位女性填完某份求職履歷表所花的時間 : 男性 :16.5, 20.0, 17.0, 19.8, 18.5, 19.2, 19.0, 18.2, 20.8, 18.7, 16.7,18.1, 17.9, 16.4, 18.9 女性 :18.6, 17.8, 18.3, 16.6, 20.5, 16.3, 19.3, 18.4, 19.7, 18.8, 19.9,17.6 請用 M-W U test 來檢定男性與女性填履歷表的時間是否有差異? ( 本例改編自 Basic business statistics by Berenson, Levine and Krehbiel ) 統計學 ( 一 ) 唐麗英老師上課講義 35

曼恩 惠尼 U 檢定 (Mann-Whitney U Test,M-W U Test) 解 : 1. H 0 : η 1 =η 2 H 1 : η 1 η 2 2. α=0.05 3. 檢定統計量 : R 1 = 第一組樣本 ( 男性 ) 之等級和 =208 U=n 1 n 2 + n 1(n 1 +1) R 2 1 =15 12+ 15(15+1) 2 本例 n 1 和 n 2 皆 10, U 可標準化成 Z: Z = μ μ μ σ μ = 92 90 420 208 = 92 = 0. 0000 其中 μ μ = n 1n 2 σ μ = 15 12 20.4939 =0.098 σ 2 μ = n 1n 2 (n 1 +n 2 +1) =420 12 σ μ =0.098 男性 Rank 女性 Rank 16.5 3 18.6 15 20.0 25 17.8 8 17.0 6 18.3 12 19.8 23 16.6 4 18.5 14 20.5 26 19.2 20 16.3 1 19.0 19 19.3 21 18.2 11 18.4 13 20.8 27 19.7 22 18.7 16 18.8 17 16.7 5 19.9 24 18.1 10 17.6 7 17.9 9 n 2 =12 16.4 2 18.9 18 n 1 =15 R 1 =208 4. 棄卻域 : Z 0.025 =1.96 5. 結論 : 此資料 未 提供顯著的證據指出男女填表所花之時間有顯著差異 統計學 ( 一 ) 唐麗英老師上課講義 36

曼恩 惠尼 U 檢定 (M-W U Test) 例 6:The following table shows the numbers of hours per week students claim to spend studying for introductory finance and accounting courses. The data are collected from independent random samples of 10 finance students and 12 accounting students. Do the data indicate a difference in the median number of hours per week that students spend studying for introductory finance and accounting courses? (using M-W U Test) 本例取自 Statistics for Business and the Economics by Newbold Finance Rank Accounting Rank 10 13 6 17 8 14 10 12 12 10 13 9 11 15 9 16 5 11 11 8 統計學 ( 一 ) 唐麗英老師上課講義 37 9 7

曼恩 惠尼 U 檢定 (M-W U Test) 例 6:( 續 ) Finance Rank Accounting Rank 10 10 13 17.5 6 2 17 22 8 4.5 14 19 10 10 12 15.5 12 15.5 10 10 13 17.5 9 7 11 13 15 20 9 7 16 21 5 1 11 13 11 13 8 4.5 9 7 7 3 n 1 = 10, R 1 =93.5, n 2 = 12 統計學 ( 一 ) 唐麗英老師上課講義 38

曼恩 惠尼 U 檢定 (M-W U Test) 解 : 1. H 0 :η 1 =η 2 H 1 : η 1 η 2 2. α= 0.05 3. 檢定統計量 : Z = U μ U σ U = 81.5 60 230 = 1.42 4. 棄卻域 : U=n 1 n 2 + n 1(n 1 +1) 2 μ U = n 1n 2 2 = 10 12 2 σ U 2 = n 1n 2 n 1 +n 2 +1 12 R 1 = 10 12 + = 60 = 222, σ U = 230 10 10+1 2 93.5 = 81.5-1.96 1.96 5. 結論 :The data do not indicate a difference in the median number of hours per week that students spend studying for introductory finance and accounting courses. 統計學 ( 一 ) 唐麗英老師上課講義 39

魏克生等級和檢定檢定程序 1. H 0 : η 1 -η 2 = 0 VS H 1 :η 1 -η 2 0 2. 檢定統計量 T = 第一組樣本的等級和 (T 與 M-W 檢定中之 R 1 相同 ) 3. 當 n 1 和 n 2 皆 10,T 近似於常態分配, 其 μ T = n 1 (n 1 +n 2 +1)/2,σ 2 T = n 1 n 2 (n 1 + n 2 +1)/12, T 可標準化成 Z= (T-μ T )/σ T 4. 棄卻域 : 查 Z 表 統計學 ( 一 ) 唐麗英老師上課講義 40

魏克生等級和檢定檢定 (Wilcoxon Rank Sum Test) 例 7 : 利用 Wilcoxon Rank Sum Test 重作例 6 的問題 1. H 0 :η 1 =η 2 H 1 : η 1 η 2 2. α =0.05 3. 檢定統計量 : Z = T μ T = 93.5 115 σ T 230 = 1.42 4. 棄卻域 : T=R 1 = 93.5 (n 1 = 10, n 2 = 12) μ T = n 1(n 1 +n 2 +1) 2 σ T 2 =230, σ T = 230 = 10(10+12+1) 2 = 115-1.96 1.96 5. 結論 : The data do not indicate a difference in the median number of hours per week that students spend studying for introductory finance and accounting courses. 統計學 ( 一 ) 唐麗英老師上課講義 41

Nonparametric Tests for K Independent Random Samples K 組獨立樣本之無母數檢定 : The Kruskal-Wallis 檢定 (Section 15.3) 統計學 ( 一 ) 唐麗英老師上課講義 42

The Kruskal-Wallis Test for K Indepe ndent Random Samples K 獨立樣本之 K-W 檢定 統計學 ( 一 ) 唐麗英老師上課講義 43

K 獨立樣本之 K-W 檢定 The Kruskal-Wallis Test(K-W test) K-W 檢定是檢定 K 個獨立群體的中位數是否有差異的無母數方法 K-W 檢定不需要常態分佈的假設 當資料不呈常態分佈時, 即 K-W 檢定是取代檢定 K 個獨立常態群體之平均值是否相等 One-way ANOVA F-test K-W 檢定之假設 : K 個群體皆為連續分配, 且變異程度相同 由 K 個群體隨機抽出之 K 個隨機樣本, 樣本大小分別為 n 1,,n K 統計學 ( 一 ) 唐麗英老師上課講義 44

K 獨立樣本之 K-W 檢定 K-W 檢定程序 : 1. H 0 : η 1 = =η k VS H 1 : 至少有一 η i 0 2. 檢定統計量 W= 11 k n(n+1) i=1 R 2 i n i 3(n + 1) 3. 棄卻域 : 查 Z 表 統計學 ( 一 ) 唐麗英老師上課講義 45

K 獨立樣本之 K-W 檢定 檢定統計量 W 之計算過程 : 1. 整合群體 1 至群體 k 的樣本觀測值,n=n 1 + +n k, 再依次排列 ( 最小值到最大值 ) 若有數筆觀測值有相同值時, 則給予平均等級 2. 每個觀測值給予順序等級 ( 最小觀測值為 1) 3. 將從第 i 個樣本得到的樣本觀測值的等級加總, 定義為 R i 4. 計算 W= 11 n(n+1) k i=1 R 2 i n i 3(n + 1) 2 ) 5. 當 n i 5 時,W 近似卡方分佈 (χ k 1,α 統計學 ( 一 ) 唐麗英老師上課講義 46

K 獨立樣本之 K-W 檢定 例 8: The Sample mean fuel consumptions for three types of automobiles are giving in the following Table( 以下是三型車子的油耗量的樣本資料 ): A-Cars B-Cars C-Cars 22.2 24.6 22.7 19.9 23.1 21.9 20.3 22.0 23.2 21.4 23.5 24.1 21.2 23.6 22.1 21.0 22.1 23.4 20.3 23.5 統計學 ( 一 ) 唐麗英老師上課講義 47

K 獨立樣本之 K-W 檢定 例 8:( 續 ) Do the data provide sufficient evidence to indicate that the population mean fuel consumptions are different for the three types of automobiles? Use Kruskal-Wallis Test and α= 0.01. ( 本例取自 Statistics for Business and the Economics by Newbold ) [ 解 ] 1. H O : The fuel consumptions are the same for three types of car H 1 :At least one fuel consumptions is different from others. 2. α=0.01 統計學 ( 一 ) 唐麗英老師上課講義 48

K 獨立樣本之 K-W 檢定 例 8:[ 解 ] 3. 檢定統計量 : A-Cars Rank B-Cars Rank C-Cars Rank 22.2 11 24.6 20 22.7 12 19.9 1 23.1 13 21.9 7 20.3 2.5 22.0 8 23.2 14 21.4 6 23.5 16.5 24.1 19 21.2 5 23.6 18 22.1 9.5 21.0 4 22.1 9.5 23.4 15 20.3 2.5 23.5 16.5 Rank Sum 32 101.5 76.5 W = 11 (22)(22) (33) 2 7 (111. 5)2 + 7 + (77. 5)2 統計學 ( 一 ) 唐麗英老師上課講義 49 6 3 22 = 11. 11 > 9. 222

K 獨立樣本之 K-W 檢定 例 8:[ 解 ] 4. 棄卻域 : 0 9.210 χ 2 2 5. 結論 : The data do provide sufficient evidence to indicate that the population mean fuel consumptions are different for the three types of automobiles 統計學 ( 一 ) 唐麗英老師上課講義 50

K 獨立樣本之 K-W 檢定 例 8: Minitab 報表 統計學 ( 一 ) 唐麗英老師上課講義 51

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