- 三元一次方程組 目標 i 能利用加減消去法與代入消去法解三元一次方程組及三元一次方程組的應用 ii 除 i 之教材外 利用三階行列式解三元一次方程組或討論三平面的幾何關係 討論. 在三元一次方程式 4 6 中 由於 的係數不為 任意給 的值 都可求得 例如 5 令 時 4 6 4 5 4 5 得到方程式的一解 4 由此可知 4 6 有無限多解 一般而言 三元一次方程式 中 不皆為 假設 則 故任意給定 的值 都能得到 所以方程式有無限多解 另一方面 坐標空間中三元一次方程式 的圖形是一平面 平面上有無限多個點 故方程式有無限多解. 兩平面 E E E 與 E 的關係可為平行 重合 交於一線 故方程組 的解為無解 平行 或無限多解 重合 交於一線 如果期待三元一次方程組有唯一解 則需要三個方程式聯立才有可能 從幾何方面看 坐標空間中 當三平面中的兩平面交於一直線 此直線又交第三平面於一點 則三平面恰交於一點 給定三個三元一次方程式所成的方程組時 仍可用消去法先消去其中一個未知數 再就兩個二元一次方程式聯立求解. 在三元一次方程組中 先消去 再解 事實上 解方程組時 可以依個別情況 先消去 中任一未知數 主要的考量是何者簡便 9
4. 二元一次方程組有克拉瑪公式可以求解 那麼三元一次方程組可否比照處理呢? 考慮方程組 由 得 由 得 消去 得 以二階行列式表示 即 同理 消去 可得 得 代入 消去 得 整理之 以三階行列式表示 即 同理可得 及 設 則有 當 時 原方程組得到唯一解
5. 一般而言 求解給定係數的方程組 使用消去法即可 但當係數中有未定數時 克拉瑪公式就可派上用場 如同坐標平面上的向量一樣 坐標空間中的向量也可將其坐標寫成直式 例如將 v 4 表為 v 4 設空間中三向量 若 則 時 線性相依 時 線性獨立 令向量 行列式 下面就 是否為 討論三元一次方程組 的解 線性獨立 故存在唯一的一組係數 使 以坐標表示即 亦即 故 為方程組的唯一解 而此解就 是 且 中有一不為 線性相依 表示 落 在同一平面 E 上 又設 則 線性獨立 表示 不在平面 E 上 故 不能表成 的線性組合 即原方程組無解 且 落在同一平面上 當 在 同一直線 L 上且 不在 L 上時 不能表為 的線性組合 故方 程組無解 ; 當 在同一直線上或 不在同一直線上 時 表成 線性組合的係數有無限多種 故方程組有無限多解 以方程組 及 為例 顯然都有 但前者無解 而後者有無限多解
定義. 克拉瑪公式 三元一次方程組 中 令 當 時 方程組有唯一解 即. 三元一次方程組解的判別 三元一次方程組 中 令 則方程組的解可判別如下 時 有唯一解 不皆為 時 無解 無解或無限多解
討論. 設坐標空間中三平面 E E E 令方程組 中行列式 的意義如前所述 三平面的相交關係討論如下 三平面法向量平行 即三平面兩重合一平行及三重合 中的三列 兩兩成比例 故 ; 又 的三列中兩兩成比例 導致三行也兩兩成比例 於是 中各有兩行成比例 故 可再細分為三種情形 即 i 三平面平行而不重合 圖 時 方程組無解 ii 兩平面重合另一平行 圖 時 方程組無解 iii 三平面重合 圖 時 方程組有無限多解 兩兩平行不重合 兩平面重合與另一平行 三平面重合 兩平面的交線平行於第三平面或在第三平面上 設平面 E 與 E 的交線為 L 即 L 則 L 的方向向量為 其中 不皆為 不妨設 此時 與平面 E 的法向量 垂直 故 另一方面 所以 再分兩種情形 即 i 直線 L 落在平面 E 上 即三平面交於一直線 L 如圖 及 令 為直線 L 上一點 則
兩平面重合與另一平面交於一線 三相異平面交於一線 於是 同理 故 而此時 方程組有無限多解 ii 直線 L 平行於平面 E 如圖 及 此時 有唯一解 即 亦即 於是點 是直線 L 上一點 但此點不在平面 E 上 即 不等於 設此數為 k 即 k 於是 k k 故 且 不皆為 而此時 方程組無解 兩平面平行與另一平面相交 兩兩交於一線 三平面不相交 4
兩平面的交線交第三平面於一點 三平面交於一點 設平面 E 與 E 的交線為 L 則 為 L 的方向向量 此時 與平面 E 的法向量 不垂直 故 又 參考 故 三平面交於一點 結論. 三元一次方程組 中 令 並設三平面 E E E 的關係如下表 則方程組的解及三平面的相交狀況與 三平面的相交關係方程組的解 是否為 兩兩平行不重合無解兩平面重合與另一平行三平面重合 兩平面重合與另一平面交一線無限多解三相異平面交於一線兩平面平行與另一平面相交無解 不皆為 兩兩交於一線 三平面不相交 唯一解 三平面交於一點 克拉瑪公式 方法. 給定係數的三元一次方程組可用代入消去法或加減消去法求解 其解可能為唯一解 無解或無限多解. 給定二次函數 f 圖形上的三點坐標 可解三元一次方程組求得係數. 給定圓 e f 上三點坐標 可解三元一次方程組求得係數 e f 5
定義. 元一次 m 式聯立方程式 稱為 元一次 m 式聯立方程式 m m m m 一般通稱為一次方程組 性質. 解聯立方程組 二元一次與三元一次方程組可用加減消去法或代入消去法逐步簡化處理 以便求得其解 一次方程組可用高斯消去法 Gussi Elimitio 求解 問題. 試討論空間中三平面的所有可能的相交情形? 共有幾種? 解 三平面重合 兩平面重合 另一平面與之平行 三平面互相平行 4 兩平面重合 另一平面與之相交於一線 5 三平面相交於一線 6 兩平面平行 另一平面與之各相交於一線 兩線互相平行 7 三平面兩兩交於一線 三線兩兩互相平行 8 三平面交於一點. 試討論空間中三相異平面的所有可能的相交情形? 共有幾種? 解 5 種 6
7 公式. 二元一次方程組 解二元一次方程組 使用代入消去法解之得 當 時 解得唯一解. 二元一次方程組與二階行列式 二元一次方程組 令 則 當 時 為唯一解 稱為克拉瑪公式 Krmer formul 當 時 方程組無解 當 時 方程組有無限多組解 討論. 二元一次方程組的解及其幾何意義 當 時 方程組有唯一解 此稱為克拉瑪公式 以幾何意義表示即為兩直線不平行也不重合 也就是恰有一交點 當 時 方程組無解 表示這兩直線平行 當 時 方程組無限多解 表示這兩直線重合 項目解個數幾何意義交點數係數 唯一解 兩相交直線一個 無解兩平行直線無 無限多解兩重合直線無限多個
8 定義 法一 三元一次方程組及克拉瑪公式 考慮三元一次方程組 由 使用代入消去法解之得 由二元一次方程組之求解可得 整理可得...5...4 將 得...6 45 代入 6 消去 整理之後得...7 觀察 7 式 等號左端 的係數中 將 分別換成 即成為右端的式子 若將 表為 三階行列式 則 可寫成
9 因此 7 可改寫成 同理若令 及 則可得 法二 設 三平面交點為 同理
討論 三元一次方程組解及其幾何意義 試討論三元一次聯立方程組 E E E 解的幾何意義. 當 時 方程組有唯一解 此稱克拉瑪公式 因前兩平面交線的方向向量 與第三個平面的法向量 不垂直故內積不為零即
. 當 且 時 為無解 設前兩平面平行故 行列式 中兩列成比例 故 又前兩平面不重合則 k k k 但 k 且 不妨設 即 則 k k 因三法向量共平面 故 又後兩平面不重合則且 不妨設 即 又設點 在平面 E E 的交線上 但不在平面 E 上 故得 且 則
. 當 時 為無解或無限多解 因三平面重合 四個行列式中的任兩列都成比例 故 因兩平面重合並與另一平面平行 四個行列式中的某兩列都成比例 故 4 5 因三平面平行 故 四個行列式中的某兩行都成比例 故 因兩平面重合 四個行列式中的某兩列都成比例 故 因三法向量共平面 又設 為三平面交線上的一點 故 同理
例如 為無限多解 但 為無解 齊次方程組 E E E 至少會有 的解 所以. 若 則齊次方程組只有一組解 即. 若 則有無限多解即齊次方程組除了 之外 尚有其他的解 註 此種情形中 至少有一樣其中兩行成比例