第三章 : 幾何與證明第一節 : 證明與推理一 選擇 1. ( ) 如圖, 已知 AD = BC, 1= 2, 則下列推論何者錯誤? (A) AB =CD (B) AO =OC (C) B= D=45 (D) BAC DCA 2. ( ) 老師問 : 在 ABC 和 DEF 中, 若 AC = DF,BC = EF, 如果要證明 ABC DEF 應該要加上哪一個條件? 甲生說 : AB = DE 乙生說 : C= F 丙生說 : A= D 丁生說 : B= E=90 請問哪一位說的條件無法證明? (A) 甲生 (B) 乙生 (C) 丙生 (D) 丁生 3. ( ) 若 a 為奇數, 則下列敘述何者正確? (A)7a+2 為奇數 (B)a+5 為奇數 (C)2a-3 為偶數 (D)a 2 為偶數 4. ( ) 已知 : 如圖, 1= 2, 3= 4 求證 : AC = BD 證明的過程有下列四個步驟 : (1) AC = BD (2) 1= 2, DAB= CBA (3) ABD BAC(ASA 全等性質 ) (4) 3= 4, AB = AB, CBA= DAB 請問證明的順序應為下列何者? (A)(2) (4) (3) (1) (B)(4) (2) (3) (1) (C)(1) (3) (2) (4) (D)(3) (4) (1) (2) 5. ( ) 已知 : 如圖, ABC 中, AB = AC, BD =CD 求證 : AD BC 證明 :(1) AB = AC, BD =CD, AD = AD (2) ABD ACD(SSS 全等性質 ) 1
(3) ˉ( 甲 )ˉ (4) 故 AD BC 請問甲應填入下列何者, 可得完整的證明? (A) 1= 2 (B) AD BC, 1= 2=90 (C) B= C, 1= 2 (D) 1= 2, 又 1+ 2=180, 1= 2=90 6. ( ) ABC 中, AD 垂直平分 BC, 且交 BC 於 D, 則下列哪些敘述是正確的? 甲 : ABC 是正三角形 乙 : AD 平分 BAC 丙 : ABD ACD 丁 : B= C (A) 全部正確 (B) 乙 丙 丁 (C) 甲 乙 丙 (D) 甲 丙 丁 7. ( ) 如圖, 已知 BC AB, AD AB, AC = BD, 則下列推論何者錯誤? (A) DE =CE (B) AD = BC (C) ABD= BAC (D) ABC BAD 是根據 SAS 全等性質 8. ( ) 如圖, AD 交 BC 於 O 點, 若 OA =OD,OB =OC, 則下列敘述哪些是正確的 : 甲 : AOB DOC 乙 : B= C 丙 : AB =CD 丁 : AB //CD (A) 甲 (B) 乙 丙 (C) 甲 丙 丁 (D) 甲 乙 丙 丁 9. ( ) 已知 : 如圖,ABCD 是正方形,A 在 L 上,DE L,BF L, 垂足分別為 E F( AE AF ) 求證 : ADE BAF 證明 :(1) ABCD 是正方形, AB = AD, 7=90 (2) DE L, BF L, 5= 6=90 (3) ˉ( 甲 )ˉ (4) ADE BAF(AAS 全等性質 ) 從下列選項中, 選出可填入 ( 甲 ) 中的正確證明過程 : 2
(A) DE L, BF L, 7=90, DE = BF (B) DE L, BF L, 7=90, 1= 4 (C) 7=90, 5= 6=90, 2= 3 (D) 7= 5=90, 1+ 2= 2+ 3 1= 3 10. ( ) 已知直角三角形的三邊長為 6 a b(a b 為正整數 ), 且 b 為斜邊, 則 (a+b) 必為下列哪一個數的因數? (A)36 (B)60 (C)72 (D)96 11. ( ) 如圖, 在 ABC 中, 已知 AB = AC, AD CD, AE BE, 若 1= 2, 則欲證明 ABE ACD 時, 可使用下列哪幾項條件來證明? (1) AB = AC (2) AD = AE (3) ABE= ACD (4) BAE= CAD (5) ABC= ACB (6) 1= 2 (7) ADC=90 = AEB (A)(1)(2)(3)(4), 是根據 AAS 性質 (B)(1)(4)(6)(7), 是根據 AAS 性質 (C)(1)(2)(5)(6), 是根據 ASA 性質 (D)(1)(3)(5)(7), 是根據 RHS 性質 12. ( ) 下列對於連續正整數的敘述, 何者錯誤? (A) 連續正偶數 2 4 6 中, 第 n 項的數為 2n (B) 連續正偶數總和 2+4+6+ 中, 到第 n 項的總和為 n 2 (C) 連續正奇數 1 3 5 中, 第 n 項的數為 2n-1 (D) 連續正奇數總和 1+3+5+ 中, 到第 n 項的總和為 n 2 13. ( ) 如圖, AD 與 BC 相交於 O 點, 且 OA =OD,OB =OC, 則下列哪些敘述是正確的? 甲 : AOB DOC 乙 : B= C 丙 : A= C 丁 : AB //CD 戊 : AB =CD (A) 甲 乙 (B) 甲 乙 戊 (C) 甲 乙 丙 戊 (D) 甲 乙 丁 戊 14. ( ) 下列敘述, 何者錯誤? (A) 若 a 為奇數, 則 (a+1) 2 -a 2 必為奇數 (B) 若 a 為偶數, 則 (a+1) 2 必為奇數 (C) 若 a 為偶數, 則 a 2 必為 4 的倍數 (D) 若 a 為奇數, 則 3(a+1) 2 必為 24 的倍數 15. ( ) 如圖, 鋪色區域 A 1 A 2 A 3 A 4 為兩個相同的正方形之重疊部分, 其中 O 為正方形兩對角線之交點, 則下列敘述何者正確? 3
(A)A 1 >A 2 (B)A 2 >A 3 (C)A 3 >A 1 (D)A 1 =A 4 16. ( ) 已知 a b 兩整數的乘積為偶數,b c 兩整數的和為奇數, 如果 c 為奇數, 則下列敘述何者正確? (A)a 為偶數,b 為奇數 (B)a 可能是奇數或偶數 (C)a b 兩整數必定都是偶數 (D)a b 兩整數必定都是奇數 17. ( ) 如圖, 梯形 ABCD 中, AD // BC, AH BC 於 H 點,E F 分別為 AB CD 的中點, 直線 AF 與直線 BC 交於 G, 請問可根據下列哪一種全等性質得到 ADF GCF? (A)SSS (B)SAS (C)AAS (D)ASS 18. ( ) 小明欲將 11 2 表示成連續奇數的和, 則下列何者正確? (A)11 2 =1+3+5+7+9+11+13+15+17 (B)11 2 =1+3+5+7+9+11+13+15+17+19 (C)11 2 =1+3+5+7+9+11+13+15+17+19+21 (D)11 2 =1+3+5+7+9+11+13+15+17+19+21+23 19. ( ) 若 a 為正整數, 則下列哪一個式子所表示的數一定為 8 的倍數? (A)(a+1) 2 -a 2 (B)(a+2) 2 -a 2 (C)(a+3) 2 -a 2 (D)(a+4) 2 -a 2 20. ( ) 如圖, 半圓 O 中, AB 為直徑, 且 PQ 垂直 AB,Q 為垂足, 若 AB =10, PA=8, 則 PQ =? 24 (A) 5 26 (B)5 (C) 5 27 (D) 5 21. ( ) 如圖, ABC 中,AB = AC,BE 平分 ABC, 並交 AC 於 F, 且 AF = BF 若 DE // AC, 則下列推論何者正確? (A) A=18 (B) BCF 為等腰三角形 (C) ABF 為正三角形 (D) ABC BED 22. ( ) 如圖, 等腰梯形 ABCD 中, AD // BC, 且 AB = DC, 甲生想證明 AC = DB, 他的證明過程如下 : 因為四邊形 ABCD 為等腰梯形, 所以 ABC= DCB, 在 ABC 和 DCB 中, 因為 ABC= DCB, AB = DC, 4
所以 ABC DCB, 故 AC = DB 乙生看了證明後, 表示在證明 ABC DCB 的過程中缺了一個條件, 你認為應加上下列哪一個條件, 才能使證明完整? (A) BE =CE (B) BC = BC (C) AEB= DEC (D) AED= BEC 23. ( ) 欣欣樂園內有一座滑水道, 爬梯 AC 長 20 公尺, 滑水道高 AD 為 16 公尺, 若 AB 與 AC 的 夾角為 90, 則滑水道底部到爬梯底部 BC 的距離為多少公尺? (A) 64 3 (B) 80 3 (C) 90 3 (D) 100 3 24. ( ) 在 ABC 中, 已知 AB = AC, 則下列敘述何者錯誤? (A) B 可能為鈍角 (B) B= C (C) A+ B+ C=180 (D) A 可能為鈍角 25. ( ) 如圖, 坐標平面上, 圓 O 的圓心為原點 (0, 0), 其半徑等於 1, 若由點 P(2, 0) 對圓作切線, 切點為 Q 點, 則 Q 點坐標為何? 1 3 1 3 1 3 1 3 (A)(, ) (B)(, ) (C)(, ) (D)(, ) 2 2 4 4 6 6 8 8 26. ( ) 如圖, 有大小兩圓外切於 M 點,P 為兩圓外一點, 過 P 點做兩圓的公切線, 公切線交大 圓於 A B 兩點, 交小圓於 C D 兩點, 連接 AB 及 CD, 則下列敘述中, 正確的有幾個? 甲 : AC = BD 乙 : PAB~ PCD 丙 : BAC=90 丁 : 四邊形 ABDC 是等腰梯形 戊 : AB 的中垂線會通過大圓圓心, 但不會通過小圓圓心 (A)2 (B)3 (C)4 (D)5 5
27. ( ) 有一個數學遊戲如下圖所示 : 由左方入口進入, 依框內指示, 根據下圖兩個三角形判斷正確的路徑, 則出口為何? (A) 甲 (B) 乙 (C) 丙 (D) 丁 28. ( ) 如圖, 上午 9 時, 樹影 BD =15 公尺, 下午 2 時, 樹影 CD =6 公尺, 若已知兩次光線的 夾角 1=90, 則樹高 AD 約多少公尺? (A)7 (B)8 (C)9 (D)10 29. ( ) 如圖, 分別以 ABC 的兩邊 AB AC 為邊, 向外作正三角形 ABD 和 ACE, 求證 :BE =CD, 小安的證明過程如下 : (1) ABD 為正三角形 AB = AD, BAD=60 同理 : AE = AC, CAE=60 (2) AB = AD, AE = AC, CAE= BAD ABE ADC(SAS 全等性質 ), 故 BE =CD 阿宏發現小安的證明過程中有一個地方錯誤, 請問是下列何者? (A) AB = AD (C) AE = AC (B) CAE= BAD (D) 利用 SAS 全等性質證明全等 30. ( ) 如圖, ABC 為直角三角形, ABC=90, 過 AC 中點 D 作 DE BC, 且交 BC 於 E 點, 則下列敘述何者正確? 甲 : CDE BDE, 1= 2 乙 : CDB ADB, C= 4 6
丙 : CED~ CBA, DE : AB =1:2 丁 : DE // AB, 又 CD = DA, CE = EB (A) 甲 乙 (B) 甲 乙 丙 (C) 甲 丙 丁 (D) 乙 丙 31. ( ) 兩個直角三角形在下列何種條件下不一定全等? (A) 兩銳角對應相等 (B) 一斜邊及一股等長 (C) 兩股對應相等 (D) 一斜邊及一銳角對應相等 32. ( ) 如圖, ABC 中, 若 ABC=90, BH AC, BD 平分 ABC 已知 AB =3, BC =4, 則 DH =? 12 (A) 35 17 (B) 35 21 (C) 35 27 (D) 35 33. ( ) 如圖, ABC 和 CDE 均為正三角形, 且 BDC=150, 則下列敘述何者錯誤? (A) ADC BEC (B) BD 2 + DE 2 = BE 2 (C) BD 2 + DC 2 = AD 2 (D) ADC BDC 34. ( ) 如圖,BD 平分 ABC,P 為 BD 上一點, 連接直線 AP 交 BC 於 F 點, 連接直線 CP 交 AB 於 E 點, 且 PE AB, PF BC, 則下列敘述何者錯誤? (A) BPE BPF, PE = PF (B) PE AB, PE = AE (C) APE CPF, AP =CP (D) BAP BCP, BAP= BCP 35. ( ) 如圖, 在 ABC 中, AB = AC, 且 AD BE 分別平分 BAC ABC, 下列敘述何者不一定正確? (A) AD BC (C) BD = CD (B) ADC ADB (D) CBE= CAD 7
36. ( ) 如圖, 四邊形 ABCD 為正方形, 且 DF = EC, 則下列敘述何者正確? (A) ADF DCE (B) ADF ABE (C) AE = DE (D) AE = AF 37. ( ) 在 ABC 和 DEF 中, 已知 AB = DE, BC = EF, 若欲證明 ABC DEF, 試判斷下列敘述何者錯誤? (A) 欲使用 SSS 全等, 應加條件 AC = DF, 方能使兩個三角形全等 (B) 欲使用 SAS 全等, 應加條件 C= F, 方能使兩個三角形全等 (C) 欲使用 RHS 全等, 應加條件 C= F=90, 方能使兩個三角形全等 (D) 欲使用 RHS 全等, 應加條件 A= D=90, 方能使兩個三角形全等 38. ( ) 若直線 L 為 BC 的中垂線, 且 A 為 L 上一點, 則 ABC 必為何種三角形? (A) 正三角形 (B) 等腰三角形 (C) 直角三角形 (D) 不等邊三角形二 填充 1. 如圖, ABC 中, C=90, CD AB 於 D, 若 AC =3, BC =4, 則 : (1) AD BD 的值為 ˉˉˉˉ (2) AD =ˉˉˉˉ (3) ABC 面積 : CBD 面積 =ˉˉˉˉ 2. 已知 : 如圖, AB =CD, AC = DB 求證 : ABC DCB 證明 AB =ˉˉˉˉ( 已知 ) AC =ˉˉˉˉ( 已知 ) BC =ˉˉˉˉ( 共用邊 ) ABC DCB(ˉˉˉˉ 全等性質 ) 3. 如圖, 泳池內有一座小型滑水道, 其中 AB 與 AC 的夾角為 90, 已知 AC 長 1.5 公尺, AD 為 1.2 公尺, 則 BC 為 ˉˉˉˉ 公尺 4. 如圖, 已知直角三角形 ABC 的面積為 18 3, AD BC, 且 AC =6, 則 AB:BD =ˉˉ: 3 8
5. ABC 中, BAC=90, AD BC, 若 AB : AC =2:1, 且 BC =15, 則 : (1)CD =ˉˉˉˉ (2) ABC 面積 =ˉˉˉˉ 6. 完成下列空格 已知 : 如圖, AB 與 CD 交於 O 點, 且 AO = BO,CO = DO 求證 : CAO= DBO 證明 AO =ˉˉˉˉ( 已知 ) AOC=ˉˉˉˉ (ˉˉˉˉ 相等 ) CO =ˉˉˉˉ( 已知 ) AOC ˉˉˉˉ (ˉˉˉˉ 全等性質 ) CAO= DBO 7. 附圖是一個溜滑梯, 已知 BAC=90,BD =4 公尺,A 點離地面 BC 的高度 AD 為 6 公尺, 則 CD =ˉˉˉˉ 公尺 8. 若將連續正整數 1 2 3, 依序每 5 個分成一組, 如下所示, 則 : 第一組 :1 6 11 第二組 :2 7 12 第三組 :3 8 13 第四組 :4 9 14 第五組 :5 10 15 (1)11111 分在第組 (2)55555 分在第組 (3) 第三組的第 n 個數為 ( 以 n 表示 ) (4) 第四組的第 (n+1) 個數為 ( 以 n 表示 ) 9. 完成下列空格 已知 : 如圖, AD 為 BAC 的角平分線 求證 : 若直線 L AD 且交 AB AC 於 E F 兩點, 則 AE = AF 證明 ˉˉˉˉ=ˉˉˉˉ ( AD 為 BAC 的角平分線 ) ˉˉˉˉ=ˉˉˉˉ ( 共用邊 ) ˉˉˉˉ=ˉˉˉˉ ( AD L) 9
AEG ˉˉˉˉ (ASA 全等性質 ) AE = AF 10. 如圖, 梯子 AB 斜放在垂直於地面的牆上, 為了要讓梯子更穩定, 多加了支架 CD 支撐, 已知 CD AB, 且 AB =16 公尺, AC =12 公尺, 則 AD =ˉˉˉˉ 公尺 11. 直角 ABC 中, BAC=90, AD BC 於 D, BC =2 AB, 則 ABD 面積 : CAD 面積 =ˉ ˉˉˉ 12. 在 ABC 中, 已知 BAC=90, AD BC 於 D, 若 BD =3,CD =2, 則 AB 2 + AC 2 + AD 2 = ˉˉˉˉ 13. 美玲想在泳池內建造一座滑水道, 樓梯 AC 長 6 公尺, 且 CD 為 4 公尺, 若 AB 與 AC 的夾角為 90, ADC 亦為 90, 則滑水道底部到樓梯底部 BC 的距離為 公尺 三 證明 1. 已知 :a 為任意一個奇數,b 為任意一個偶數, 且 a>b 求證 :(a+b)(a-b) 為奇數 2. 已知 :a 為任意一個奇數,b 為任意一個偶數 求證 :a b 為偶數 3. 已知 :a>b>0 求證 :a 2 >b 2 4. 已知 : 直角 ABC 的三邊長為 a b c(a b c 均為正整數 ), 其中 c 為斜邊 求證 :b 2 是 (c+a) 的倍數 5. 已知 :a 為任意一個偶數,b 為任意一個奇數 10
求證 :(a 2 +b 2 ) 為奇數 6. 已知 : 如圖,D 為 BC 的中點, DE AB, DF AC, DE = DF 求證 : ABC 為等腰三角形 7. 已知 : 如圖, AD =CE, AB // EF, AB = EF 求證 : BC // DF 8. 已知 : 如圖, AB = AC, 1= 2 求證 :(1)OB =OC (2) OD =OE 9. 已知 : 如圖, 1= 2, 3= 4 求證 : AC = BD 11
10. 已知 : 如圖, BD 為長方形 ABCD 的對角線,E 為 AD 中點,CE 交 BD 於 F 點 1 求證 : DF = BD 3 11. 已知 : 如圖, ABC 中, DE // BC, EF // AB 求證 : AD : DB = BF : FC 12. 已知 :a>b>c>0 a a + c 求證 : > b b + c 13. 已知 : 如圖, 1= 2, B= C, BE =CF 求證 : AB =CD 14. 已知 : 如圖, 直角 ABC 中, ABC=90, BD AC 求證 : AB 2 = AC AD 12
15. 已知 : 直角三角形三邊長為 a b a+4(a b 為正整數 ), 其中 (a+4) 為斜邊長 求證 :b 2 為 8 的倍數 16. 已知 : 如圖, 四邊形 ABCD 為平行四邊形 求證 : ABC CDA 17. 已知 : 如圖,A B D 三點共線,A C E 三點亦共線, 而且 AB = AC, BD =CE 求證 : DF = EF 18. 已知 : 如圖,L 1 //L 2,O 為 AB 的中點 求證 : 若直線 L 過 O 點, 且與 L 1 L 2 相交於 C D 兩點, 則 CO = DO 13
19. 已知 : 如圖,L 1 L 2 分別為 AB AC 的中垂線且相交於 D 點 求證 : BD =CD 20. 已知 : 如圖, ABC 和 ADE 皆為正三角形 求證 : BD =CE 21. 已知 : 如圖, ABC 中, AB = AC, BD 平分 ABC,CE 平分 ACB 求證 : BD =CE 22. 已知 : 如圖, AB = AC, AD = AE, BP =CQ 求證 : DQB= EPC, DQ = EP 14
23. 已知 : 如圖, ABC 和 BDE 皆為正三角形 求證 : AE =CD 24. 已知 :a b 為連續的正偶數 (a>b) 求證 :(a 2 -b 2 ) 為 4 的倍數 25. 已知 : 如圖, AB = AD, B= D=90 求證 : BC = DC 26. 已知 : 如圖, ABC 中,D E F 分別為 BC AC AB 的中點 求證 : DEF 面積 = AEF 面積 = BDF 面積 = CDE 面積 27. 已知 : 如圖, ABC 中,M 為 AC 的中點,N 為 BM 的中點, 直線 AN 交 BC 於 P 點 求證 :CP =2 BP 15
28. 已知 : 如圖, 四邊形 ABCD 是平行四邊形, 且 AE //CF 求證 : BE = DF, AE =CF 29. 已知 : 如圖, AB BC,CD BC, AC = BD 求證 : AB =CD 30. 已知 : 如圖, 四邊形 ABCD 為正方形,E F 分別在 BC CD 上, AEF 為正三角形 求證 : BE = DF 31. 已知 : 如圖, AB = AC, AD = AE 16
求證 : D= E 32. 已知 : 如圖, ADE 中, FC // BE, BC // DE 求證 : AF : FB = AB : BD 33. 已知 : 如圖, A= D, B= C, BE =CF 求證 : AB =CD 34. 已知 : 如圖, 平行四邊形 ABCD 中, DE AC, BF AC 求證 : BF = DE 35. 已知 : 如圖, 以 ABC 的兩邊 AB AC 為邊作正方形 ABGF ACDE 求證 : BE =CF 17
36. 若 a 為正整數, 且 a 被 8 除後餘 4, 則 a 是偶數, 還是奇數? 請說明你的理由 37. 已知 : 如圖, AC = BD, AD = BC 求證 : A= B 38. 已知 : 如圖, AD = AE, BD = BE,C 點在直線 AB 上 求證 :CD =CE 39. 已知 : 如圖, ABC 中, AB = AC, BE AC,CF AB 求證 :(1) AE = AF (2) 1= 2 18
40. 已知 : 如圖, 已知 AB = AC, AD = AE, 1= 2 求證 : BD =CE 41. 已知 : 如圖, DE 為 BC 的中垂線 求證 : AEC 周長 = AB + AC 42. 已知 : 如圖, FG =CG, AG = DG 求證 : BG = EG 43. 已知 : 如圖, 正方形 ABCD 中, BE = BG 求證 : BD 垂直平分 EG 44. 已知 : 如圖, ABC 為正三角形, 且 AD = BE =CF 19
求證 : DEF 為正三角形 45. 已知 : 如圖, AC = BD, B= C=90 求證 : AB =CD 46. 已知 : 如圖, AB = DE, BF =CE, AC = DF 求證 :(1) AB // DE (2) AF //CD 47. 如圖, 以 ABC 的兩邊 AB AC 各向外側作正 ABD 和正 ACE, 試回答下列問題 : (1) 求證 : BE =CD (2) DFB=? 48. 已知 :a b 為正整數, 且 a > b 求證 :a> ab >b 20
49. 已知 : 如圖, 四邊形 ABCD 中, AB = AD, B= D 求證 : BC = DC 50. 已知 :a b 為正整數, 且 a>b a +b 求證 :a> >b 2 51. 已知 :a b 均為正數 a +b 求證 : ab 2 52. 已知 : 如圖, ADE 中, BC // DE 求證 : AB : BD = AC :CE 53. 已知 : 如圖, ABC 是正三角形, 且 AD = BE =CF 求證 : DEF 為正三角形 21
四 計算 1. 如圖, 直角 ABC 中, BAC=90, AD BC, 若 AB =20, AC =15, 則 BD =? 2. 如圖, 直角 ABC 中, BAC=90, AD BC, 若 BD =( 3-1) 公分,CD =(1+ 3 ) 公分, 則 AD =? 3. 如圖, ABC 中, BAC=90, AD 為斜邊 BC 上的高, 若 AD =4,CD =2, 試求 : (1) AC =? (2) BD =? 4. 如圖, 早上 10 點豔萍測得某樹的影長 2 公尺, 到了下午 5 時又測得該樹的影長為 8 公尺, 若兩次日照的光線互相垂直, 則樹的高度約為多少公尺? 5. 如圖, ABC 中, AB =4, BC =3, 四邊形 ACDE 是正方形, 求 BD 及 BE 的長 22
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