零点启航教育 www.ligdiajy.com 05 年 MBA MEM MPAcc 管理类联考数学专题强化训练 一 整数的整除性 专题一 : 实数计算的典型问题. 如整数 m, 均能被 k 整除, 且 ab, 为整数, cd, 为正整数, 则 除 例 数 a 能被 8 整除 () a 为两个连续偶数的平方差 () a 为两个连续奇数的平方差 a c d + bm 也能被 k 整 解 :( 两个连续偶数可以写为 k,k+ ; 两个连续奇数可以写为 k,k+ ; 以上 k 为任意整数 ) 对 (), a = (k+ ) ( k) = 8k+ 4 = 4(k+ ), 其中 k + 为奇数, 不能被 整除, 从而 a 不能被 8 整除, 不充分 对 (), a = (k+ ) (k ) = 8k, 充分 答 (B) 例 8x + 0xy y 是 49 的倍数 () x, y 都是整数 () 4x y 是 的倍数 解 : 对 (), 如取 x=, y = 0 可见题干不成立, 不充分 对 (), 如取 x=, y = 0, 可 4 见题干不成立, 不充分 () () 联合, 8x + 0xy y = (x + y)(4 x y), 其中 4x y 是 的倍数, x + y = 4x (4 x y), 可见 x + y 也是 的倍数, 从而 8x + 0xy y 为 = 49的倍数, 充分 答 (C). 如 a, 均为整数, 且 a 能被整数 k 整除, a 和 k 没有大于 的公约数, 则 能被 k 整除 例 (008.0) 4 是一个整数 () 是一个整数, 且也是一个整数 4 () 是一个整数, 且也是一个整数 解 : 对 (), 和 4 没有大于 的公约数, 可见 能被 4 整除, 充分对 (), 如取 =, 则题干不成立, 不充分 答 (A). 如整数 m, 被正整数 k 除所得余数分别为 rs,, 则 + m被 k 除所得余数和 r+ s被 k 除所得余数相同 例 4 若整数 被 5 除余, 则 + 被 5 除的余数是 05 年 MBA 联考教材 决胜 MBA 数学初级篇 针对书丢多年 基础不好 时间不够的考生编写配套高清视频提供专业答疑电话 400-6-98 咨询 QQ 906
零点启航教育 www.ligdiajy.com (A)0 (B) (C) (D) (E)4 解 : 计算 + =, 被 5 除余, 答 (D) 由上述原理可得如下特殊情况 : () 连续的 k 个整数中, 必有且仅有一个整数可以被 k 整除 例 5 已知 为自然数, 有 5 名学生分别计算 的值, 得到如下 5 个答案, 其中只 有一个学生计算正确, 则正确的答案是 (A)6840 (B)684 (C)6845 (D)6848 (E)6854 解 : = ( ) = ( ) ( + ) 为三个连续整数的乘积, 其中至少有一个能被 整 除, 又必有一个能被 整除, 故 能被 6 整除, 在各选项中, 只有 (A) 能被 6 整除 答 (A) () 奇偶性分析 : 设 m, 为整数,k 为正整数, 则当 m, 奇偶性相同时, ± m为偶数 ; 当 m, 奇偶性不同时,± m为奇数 ; 当 m, 中至少有一个偶数时,m 为偶数 ; 当 m, 均 为奇数时,m 为奇数 ; k 和 的奇偶性相同 ; 和 奇偶性相同 ; 当 为整数时 和 奇偶性相同 a 例 6 ( ) = () x, ya, 均为整数, 且 x + y + x y = a () x, y 均为整数, 且 xy+ x y = a 解 : 对 (), 由于 x + y, a均为整数, 可见 x y 也是整数, x + yx, y有相同奇偶性, 从而 x + y, x y 有相同奇偶性,a 为偶数, 充分 对 (), xy, xy 有相同奇偶性,a 为 偶数, 也充分 答 (D) 二 整数不定方程. 设 x, y 为未知整数, abc,, 为整数, 求解方程 ax + by = c 例 (00.0) 一次考试有 0 道题, 做对一题得 8 分, 做错一题扣 5 分, 不做不计分, 某同学共得 分, 则该同学没做的题数是 (A)4 (B)6 (C) (D)8 (E)9 x+ y+ z = 0L 解 : 设该同学做对 做错 未做的题数分别为 x y z. 则有 : 8x 5z = L 5+: x +5z=, 以 z=4 6 8 9 依次代入可见只有当 z= 时 5z 可以被 整除 答 (C) 例 8 某人左手中石子数乘 加上右手中石子数乘 4 之和为 9, 则他右手中石子数为 (A) 奇数 (B) 偶数 (C) 质数 (D) 合数 (E) 以上结论均不正确解 : 设其左 右手中石子数分别为, m, 则 +4 m =9, 由 9= +4 5 方程改写为 ( ) = 4(5 m), 从 m, 均为自然数及 m 可被 整除, 可知有 m =, =; 或 m =5, = 两解 由于 m, m 均为质数 答 (C). 设 x, y 为未知整数, abc,, 为整数, 求解方程 xy+ ax+ by = c 例 9 已知 ab, 为正整数, 且 a + b =, a b, 则 a+ b的值是 (A)8 (B)5 (C)49 (D)56 (E)64 解 : 所给即 ab = a + b或 ( a )( b-)=49 由于 ab, 在题中具有对称性, 不妨设 05 年 MBA 联考教材 决胜 MBA 数学初级篇 针对书丢多年 基础不好 时间不够的考生编写配套高清视频提供专业答疑电话 400-6-98 咨询 QQ 906
a 零点启航教育 www.ligdiajy.com < b 4 的约数只有 ±, ±, ± 49, 经检查只有 a = a= 8, 即, 是唯一可能解 b = 49 b= 56 a+ b= 64 答(E). 某些整数方程可用解不等式方式求解 0 例 0 设 x, yz, 为方程 x + = 的正整数解, 则 x y z依次构成 y + z (A) 等差数列 (B) 等比数列 (C) 常数列 (D) 非等差又非等比的单调增加数列 (E) 非等差又非等比的单调减少数列 0 解 : 由 y + > 0, 知 x <, 可见 =., = -. z x 从而 = 可得 y < 故 y 可能取值只 y + z z 有 如 y =, 则 z 非整数, 故只有 y =, 从而 z = x y z构成等差数列 答 (A) 三 质数和质因数分解. 熟悉较小的质数 (50 以内的质数有 5 9 9 4 4 4) 例 ( 0. ) 设 a b c 是小于 的三个不同的质数 ( 素数 ), 且 a b + b c + c a = 8, 则 a+ b+ c= (A)0 (B) (C)4 (D)5 (E)9 解 : 由题中 a b c 的对称性, 可不妨设 a> b> c, 则有 : a b+ b c+ a c= 8, 即 a b= 4. 从小于 的质数表中可见只有 a=, b= 5, c= 才能符合要求. a+ b+ c= 5. 答 ( D). 利用仅有一个偶质数 作奇偶性分析 p 例 设 p q均为质数, m 为正整数, 且满足 p = m+, q = m, 则 m (A) (B) 5 (C) (D) (E) 以上结果均不对 解 : q为质数, 即 m 中必有一个为. 由题中 m, 的对称性, 不妨设 m =, 则 + q=, p = + q, 可见只有 p=, q=, 所求为 = 答(D) +. 正整数质因数分解式的应用 例 四个互不相等的整数 a b c d, 满足 abcd = 9, 则 a + b + c + d = (A)0 (B) (C)4 (D)6 (E)8 解 :9=, 可见 a b c d必分别为,-,,-, a+ b+ c+ d = 0 答 (A) p + q + q m = 05 年 MBA 联考教材 决胜 MBA 数学初级篇 针对书丢多年 基础不好 时间不够的考生编写配套高清视频提供专业答疑电话 400-6-98 咨询 QQ 906
下列是利用质因数分解式的典型问题 () 最大公约数和最小公倍数 零点启航教育 www.ligdiajy.com 例 4 ab, 均为合数, 它们的最大公约数为, 最小公倍数为, 则 a+ b= (A)4 (B)5 (C)6 (D) (E)8 解 :=, ab, 没有公共的质因数, 且不能为, 只有一个为 所求 a+ b=. 答 ( D) =8, 另一个为 =9, 例 5 若干人列队, 如三人一排多 人, 五人一排多 4 人, 七人一排多 6 人, 已知总人数在 00~00 之间, 则总人数是 (A)09 (B)0 (C) (D)9 (E)94 解 : 总人数加 人即可被 5 均整除 5 的最小公倍数为 5 =05, 所求应为 04+ k 05形式, 要求在 00~00 之间, 只有 k =, 所求为 04+05=09. 答 (A) 例 6 一批机器总数在 80 台到 00 台之间, 则该批机器共有 99 台 () 用小车运输, 每车装 4 台, 则最后一车只装 台, 用大车运输, 每车装 5 台, 则最后一车仍只装 台 () 用小车运输, 每车装 4 台, 则最后一车只装 台, 用大车运输, 每车装 5 台, 则最后一车只装 4 台解 : 设机器总数为 台 对 (), - 应是 4 和 5 的公倍数,4 和 5 的最小公倍数为 0, 可见 -=80, =8, 不充分 对 (), + 应是 4 和 5 的公倍数, 可见 + = 00, = 99, 充分 答 (B) 例 正整数 a 去除 88 和 4, 得到的余数均为 9, 则 a 的各位数码之和为 (A)8 (B)0 (C) (D)4 (E)6 解 :88-9=59=,4-9=85=5,a 必为 59 和 85 的公约数, 因此只有 和 有可能, 但又有 a > 9, 可见 a =, 所求为 +=0. 答 (B) 例 8 自然数 除 64 余 4, 则符合条件的最大 为 0 () 除 55 余 5 () 除 8 余 解 : 对 (), 应为 64 4 = 60 和 55 5 = 50 的最大公约数,60= 5,50= 5, = 5=0, 充分 对 (), 应为 60 和 8 =80 的最大公约数,60 能整除 80, 故 =60, 不充分 答 (A) () 完全平方数 例 9 满足条件的正整数 不存在 () 是一个完全平方数 () 是一个完全平方数 解 : 对 (), 取 = 符合条件, 不充分对 (), 取 = 符合条件, 也不充分 () () 联合之, 设 = k 为完全平方数, 则 = k, 其质因数分解中, 必有奇数个, 05 年 MBA 联考教材 决胜 MBA 数学初级篇 针对书丢多年 基础不好 时间不够的考生编写配套高清视频提供专业答疑电话 400-6-98 咨询 QQ 906 4
零点启航教育 www.ligdiajy.com 又设 = L 为完全平方数, 则 = L, 其质因数分解式中 必有偶数个, 由 质因数分解 式的唯一性知这是不可能的, 充分 答 (C) 四 有理数和无理数. 有理数 无理数的运算性质两个有理数的和 差 积 商 ( 分母不为 0) 仍为有理数, 一个有理数和一个无理数的和 差必为无理数, 一个非 0 有理数乘或除一个无理数必为无理数, 两个无理数的和 差 积 商可能是有理数, 也可能是无理数 例 0 设 x 是无理数, ( x )( x+ 6) 是有理数, 则 (A) x 是有理数 (B) ( x + 6) 是有理数 (C) ( x+ )( x 6) 是无理数 (D) ( x + ) 是无理数 (E) 以上结论均不正确 解 : ( x + )( x 6) = ( x )( x+ 6) 8x 由于 ( x )( x+ 6) 是有理数,8x 是无理数, 故 其必为无理数 答 (C) ( 说明 : x = ( x )( x+ 6) 4x+ 是有理数减无理数, 必为无理数, 故 (A) 不正确, ( x 6) ( x )( x 6) 8x 48 + = + + + 是有理数加无理数, 必为无理数, 故 (B) 不正确, ( x ) ( x )( x 6) 6 + = + + 是两个有理数之和, 必为有理数, 故 (D) 不正确 ). 如正整数 非完全平方数, 则 为无理数 例 设 m 为正整数, 则 为无理数 () = m + () = m m 解 : 对 (), 如 m + = k,k 为正整数, 则 k k m, k+ m, 上式不可能成立, 所以 对 (), 如取 m =, 则 = 0, 不充分 答 (A) m =, 或 ( k m)( k+ m) =, 而 m + 非完全平方数, 必为无理数, 充分. 有理系数方程 () 如 ab, 为有理数,c 为非完全平方数的正整数, 且 a+ b c = 0, 则必有 a = b= 0 例 已知关于 x 的方程 ax + bx + = 0有一个根为, 其中 ab, 为有理数, 则其另 一个根是 (A) (B) (C) (D) (E) + a + = 0 解 : 应有 a+ b + = 0, 即, 或 a =, b = 0, 原方程为 b = 0 x + = 0 或 x =, 另一根为 答(D) 05 年 MBA 联考教材 决胜 MBA 数学初级篇 针对书丢多年 基础不好 时间不够的考生编写配套高清视频提供专业答疑电话 400-6-98 咨询 QQ 906 5
零点启航教育 www.ligdiajy.com () 如 a b为有理数, c d 为正整数, c d 中至少有一个非完全平方数, 且 a+ c = b+ d, 则必有 a= b, c= d. 例 设正整数 a m 满足 a 4 = m, 则 a m 的允许取值 (A) 仅有一组 (B) 有二组 (C) 有三组 (D) 有四组 (E) 不存在 a = m+ 解 : 已知即 a 4 = m+ m, 则必有, m 中如一个为, 另一个 m = 8 为 4, 则 a = 6, a 非正整数, 可见 m 中必一个为, 另一个为 8, 从原式知 m, 即 m= 8, =, a = 9, a=. 只有唯一一组解 答 (A) () 如 a b为有理数, c d为正整数, c d, c d均为最简根式, 且 a c = b d, 则必有 a= b= 0 例 4 a b为有理数, 且 ( a+ ) a+ ( b ) b 5 = 0, 则 ab = (A) (B) (C)5 (D) 5 (E)0 a + b 5 = 0 a 解 : 所给即 ( a + b 5) + ( a b ) = 0. 必有, = 解得, a b = 0 b = 4 a = 4, 两组解均有 ab = 答(A) b = 五. 算术平均值和几何平均值. 按定义计算平均值 例 5 (00.) 设变量 x x L x0的算术平均值为 x, 若 x 是定值, 则诸 x i ( i = L 0) 中可以任意取值的变量有 (A)0 个 (B)9 个 (C) 个 (D) 个 (E)0 个 解 : 由于 x+ x + L + x0 = 0x为定值, 可见诸 x i 中可以任意取值的有 9 个 答 (B) 例 6 已知实数 a b c, 它们每二个的算术平均值分别是 6, 则 a b c的 算术平均值是 (A) (B) (C) (D) (E) 5 6 8 6 解 : a+ b b+ c c+ a ( a+ b+ c) = ( + + ) = (+ + 6 ) = 答(C) 8 例 (00.0) 某学生在军训时进行打靶训练, 共射击 0 次, 他的第 6 8 9 次射击分别射中 9.0 环 8.4 环 8. 环 9. 环, 他的前 9 次射击的平均环数高于前 5 次的平均环数, 若要使 0 次射击的平均环数超过 8.8 环, 则他第 0 次射击至少应该射中 ( ) 环 ( 报靶成 绩精确到 0. 环 ) (A)9.0 (B)9. (C)9.4 (D)9.5 (E)9.9 解 :( 本题题意应理解为 使 0 次射击的平均成绩有可能超过 8.8 环, 如理解为 使 0 & & & 次射击的平均成绩必然超过 8.8 环, 则本题无解 ) 前 5 次射击的总环数 < 5 & & 4 (9+8.4+8.+9.) =4.5, 可见最多可能为 4.4 环 前 9 次总环数最多可能为 4.4+9+8.4+8.+9.=8. 环 要求 0 次总环数大于 88 环, 即至少为 88. 环, 可见所求为 88.-8.=9.9 环 答 (E) 例 8 a b 为正实数, 则 的算术平均值为 a b () a b 的算术平均值为 05 年 MBA 联考教材 决胜 MBA 数学初级篇 针对书丢多年 基础不好 时间不够的考生编写配套高清视频提供专业答疑电话 400-6-98 咨询 QQ 906 6
零点启航教育 www.ligdiajy.com () a b 的几何平均值为 解 :() () 单独明显均不充分, 联合之 从 () 知 + a+ b= 9, 即 a+ b= 8 从() 知 ab =, 即 ab = 8, 所求为 ( + + ) a b a+ b = ( + ) =, 充分 答 (C) ab. 平均值的性质 算术平均值和几何平均值有如下的性质 : 如实数 a a L a 的算术平均值和实数 b b L bm 的算术平均值相同, 则它们和 a a L a b b L b m 的算术平均值也相同, 其逆命题也成立 如正实数 a a L a 的几何平均值和正实数 b b L bm 的几何平均值相同, 则它们和 a a L a b b L b m 的几何平均值也相同, 其逆命题也成立 例 9 设 a b c d 为正实数, 则下列命题中错误的是 (A) 如 a b c 的算术平均值等于 d, 则 a b c d 的算术平均值也等于 d (B) 如 a b c 的几何平均值等于 d, 则 a b c d 的几何平均值也等于 d (C) 如 a b的算术平均值等于 a b c d 的算术平均值, 则 a b的算术平均值等于 c d 的算术平均值 (D) 如 a b的几何平均值等于 a b c d 的几何平均值, 则 a b的几何平均值等于 c d 的几何平均值 (E) 以上结论不全正确解 : 由以上介绍的性质知 (A) (B) (C) (D) 均正确 答 (E) 练习题. 该四位数能被 整除 () 该四位数第 位数字和与第 4 位数字和相等 () 该四位数第 位数字和比第 4 位数字和大. 整数 能被 整除 6 () 乘以后仍为整数, 且能被 整除 () 乘以后仍为整数, 且能被 整除. 已知 x y z为整数,x + y 5z 是 的倍数, 那么,x + 4y+ z 除以 的余数是 (A)0 (B) (C) (D)5 (E) a+ b b+ c c+ a 4. 中至少有一个整数 ()a b c 是三个任意整数 ()a b c 是三个连续的整数 5.(0.) 在年底的献爱心过程中, 某单位共有 00 人参加捐款, 经统计, 捐款总额是 9000 元, 个人捐款数额有 00 元 500 元和 000 元三种, 该单位捐款 500 元的人数为 (A) (B)8 (C)5 (D)0 (E)8 05 年 MBA 联考教材 决胜 MBA 数学初级篇 针对书丢多年 基础不好 时间不够的考生编写配套高清视频提供专业答疑电话 400-6-98 咨询 QQ 906
零点启航教育 www.ligdiajy.com 6. 已知 x y 为正整数, 且满足 x 5y = 0,0 x+ y 80, 则 x+ y = (A) (B)4 (C)5 (D)6 (E)8. 关于 x y 的方程 x y = 00, 其整数解的情况是 (A) 有唯一解 (B) 无解 (C) 有二组解 (D) 有四组解 (E) 有无穷多组解 8. 已知 p q 均为质数, 且满足 5p + q= 59, 则以 p+ p+ q p+ q 4为边的三角 形是 (A) 锐角三角形 (B) 直角三角形 (C) 钝角三角形 (D) 等腰三角形 (E) 等边三角形 9. 已知 x y m均为质数, 且 m= x y, 则 m= (A) (B)4 (C)5 (D)6 (E) 不能确定 0. 这三个质数的乘积的最大可能值是 5 () 这三个质数的和是 9 () 这三个质数的和是 8. 若干人列队, 如三人一排多 人, 五人一排也多一人, 六人一排还是多一人, 已知总人数在 80~00 之间, 则总人数为 (A)8 (B)84 (C)86 (D)9 (E)96. 甲 乙两数的乘积是 00, 它们的最大公约数是 5, 则它们的最小公倍数是 (A)0 (B)40 (C)60 (D)80 (E)00. 设 a 为大于 的正整数, 则 a =9 () a 除 00 和 6 得到的余数相同 () a 除 00 和 05 得到的余数相同 4. 设正整数 < 00, 且为符合条件的最大正整数, 则 < 40 () 除 和 的余数相同 () 除 和 的余数相同 5 满足条件的正整数 不存在 () 是一个完全平方数 ()5 是一个完全平方数 6. 若 a 是无理数,b 是实数, 且 ab a b + = 0, 则 b 是 (A) 负有理数 (B) 正有理数 (C) 负无理数 (D) 正无理数 (E) 有理数 无理数均可能. 设 x 为无理数, x + x + 是有理数, 那么 (A)( x )( x+ ) 是无理数 (B)( x+ )( x+ ) 是有理数 (C) x +x+ 是无理数 (D) ( x+ )( x ) 是有理数 (E) 以上结论均不正确 05 年 MBA 联考教材 决胜 MBA 数学初级篇 针对书丢多年 基础不好 时间不够的考生编写配套高清视频提供专业答疑电话 400-6-98 咨询 QQ 906 8
零点启航教育 www.ligdiajy.com 5 8. 已知 p q为有理数, x= 是方程 x + px + q=0的根, 则 p + q = (A) (B) (C) (D) (E)4 9. 如正整数 x y 满足 y + x = 4, 则 x+ y = (A)4 (B)5 (C)6 (D) (E) 不能确定 0. 已知正整数 x y 满足 ( x + y) = x+ y且 x+ y 0, 则 x+ y = (A) (B) (C)4 (D)5 (E)6. 设 a+ b+ c= 50, 则 a的值可以确定 () c= 4a b () a是 b和 c的算术平均值. a b为不相等的正整数, 和的算术平均值为 a b 6, 则 a b 的算术平均值为 (A)0 (B)8 (C)6 (D)4 (E) 不能确定. 在不大于 0 的正整数中既是奇数又是合数的数的几何平均值为 (A) 5 (B) 5 (C) (D)45 (E) 95 4. 已知 a b 为整数, 则 a+b=8 ()a b 是两个连续的奇数, 且它们的几何平均值为 5 ()a b 是两个连续的整数, 且它们的几何平均值为 5. 设 a a L a的算术平均值为 b, a a a 的算术平均值为 b, 则 + + L aa L a 的算术平均值是 (A) b + b (B) ( ) b + b (C) ( b ) + b (D) ( b+ b) (E) 以上结论均不正确 6. 设正数 a a L a的几何平均值为 b, 正数 a+ a+ L a的几何平均值为 b, a a L a的几何平均值是 则 (A) b+ b (B) bb (C) bb (D) bb (E) 以上结论均不正确 05 年 MBA 联考教材 决胜 MBA 数学初级篇 针对书丢多年 基础不好 时间不够的考生编写配套高清视频提供专业答疑电话 400-6-98 咨询 QQ 906 9
零点启航教育 www.ligdiajy.com 练习题答案.(D) (B) (A) 4(D) 5(A) 6(A) (B) 8(B) 9(C) 0(A) (D) (B) (C) 4(C) 5(C) 6(B) (C)8(A) 9(D) 0(A) (D) (B) (B) 4(A) 5(B) 6(D) 05 年 MBA 联考教材 决胜 MBA 数学初级篇 针对书丢多年 基础不好 时间不够的考生编写配套高清视频提供专业答疑电话 400-6-98 咨询 QQ 906 0