Ⅰ. 數量關係 :. 奇數與偶數的關係. 兩個連續整數必有一個奇數與一個偶數, 它們之間的差為 b. 奇數與偶數的一般化 ( 或形式化 ) 偶數 : 因為偶數都是 的倍數, 而 的 倍即為, 故記為, 表所有整數 ; 所以 可為偶數的一般式 範例 4,6,8 4,0 5 因此可推得所有偶數皆可記為 :, 其中 為大於 之整數 奇數 : 因為奇數都是 的倍數減, 而 的 倍減, 故記為, 表所有整數 ; 所以 可為奇數的一般式 範例,5,7 4,9 5 因此可推得所有奇數皆可記為 :, 其中 為大於 之整數. 兩數量間的關係同種類的連續兩數間會有某種不變的關係或規律 範例 父子和兄弟間的年齡差距永遠不變 範例 台灣的街道號碼必定是一邊為連續奇數, 另一邊為連續偶數. 由數字方陣中觀察數的關係 數字方陣中, 直排稱為行, 橫排稱為列, 可尋找同一列 同一行或對角線上各數間的關係 範例 4 7 5 8 6 9 如上之數字方陣中, 直排的數字彼此差 ; 左下到右上對角線的數次彼此差 ; 橫排的數字彼此差 ; 左上到右下對角線的數字彼此差 4
例題 練習 如果奇數 5 7 9 的第 k 個數寫如果奇數 5 7 9 的第 k 個數寫為為 k, 那麼偶數 4 6 8 0 Λ k +, 那麼偶數 4 6 8 0 Λ 的第 k 個數寫為多少? 的第 k 個數寫為多少? 例題 練習 一 4 7 0 6 9 5 8 二 5 8 4 7 0 6 9 三 6 9 5 8 4 7 0 某郵局內 0 個信箱號碼排列如上圖 : () 第三列第 個信箱是幾號? () 第二列第 個信箱是幾號? () 第一列第 個信箱是幾號? 一 4 7 0 6 9 5 8 二 5 8 4 7 0 6 9 三 6 9 5 8 4 7 0 某郵局內 0 個信箱號碼排列如上圖 : () 第三列第 + 個信箱是幾號? () 第二列第 + 個信箱是幾號? () 第一列第 + 個信箱是幾號? 例題 練習 下圖為亞利安星球的月曆, 任意取其中 的數字方陣, 回答下列各題 : 日一二三四五六七八九 4 5 6 7 8 9 0 4 5 6 7 8 9 0 4 5 6 7 8 9 0 4 5 6 7 8 9 40 () 在 的方框內, 每一行的數字和 有何關係? () 在 的方框內, 每一列的數字和 有何關係? () 在 的方框內, 兩對角線的數字 和有何關係? 下圖為那美克星球的月曆, 任意取其中 的數字方陣, 回答下列各題 : 日一二三四五六七八九 4 5 6 7 8 9 0 4 5 6 7 8 9 0 4 5 6 7 8 9 0 4 5 6 7 8 9 40 () 在 的方框內, 每一行的數字和 有何關係? () 在 的方框內, 每一列的數字和 有何關係? () 在 的方框內, 兩對角線的數字 和有何關係?
Ⅱ. 數列與級數 :. 數列. 將一些 ( 通常為有限個 ) 數 ( 可重複的 ) 依序排成一列, 稱為 ( 有限 ) 數列 範例 以下數列 : {,,,4,5,6,7,8,9,0 } { 0,,4,6,8,0,,4,6,8,0 } {,,5,7,9,,,5,7,9,, } { 4,,,5,8,,4,7,0, } {,,,,,, Λ,, } { 4,,,5,8,,4,7,0, } {,,,,5,8,,,4,55,89 } {,,,5,7,9,, } {,,,5,7,9,, } {,,,,,, } 4 8 6 64 8 {,,,,,, 4 8 6 64 8 } 仔細觀察這些數列, 是否可以找出各數列有其規律性 注意 : 一般數列不一定都有規則性可循, 皆必須透過觀察其數列中 的數字變化才可推論出是否有規則可循 b. 在一數列中, 每一個數稱為項 ; 稱第一個數為第一項或首項 ( 通常記為 ), 第二個數為第二項 ( 通常記為 ),Λ 當數列為有限項時, 最後一個數為末項 範例 在數列 { 0,0,40,50,60,70 } 中, 首項為 0, 第二項為 0, 末項為 70. 等差數列 定義 : 如果在相鄰兩項的後面的項減去前面的項, 所得的差都是一樣, 就稱此數列為等差數列, 並稱所得的差為公差 通常以 d 代表公差, 代表首項, 代表第 項 範例 數列{ 0,0,40,50,60,70 }, 公差為 0 0 0 0 0 40 50 60 70 0 0 0 0 0
因為後面的項減去前面的項所得的差都是 0, 所以這是一個公差為 0 的等差數列 則 0 + 0 + 0 + 0 0 + 0 4 公式 () 設等差數列的首項是, 公差是 d, 第 項是, 則第 項公式 : + ( )d 範例 有一等差數列{ 4,,,5,8, }, 公差 ( 4 ), 4 5 8 4 5 則 + ( 5 ) d 4 + ( 5 ) 4 + 8 5 則 + ( 6 ) d 4 + ( 6 ) 4 + 5 6 6 () 若 b c 三數成等差數列, 則 b 叫做 與 c 的等差中項 + c 或算術中項 b ( 或 + c b ) 範例 有一等差數列{,6,0 }, 公差為 6 4, + 0 則等差中項 6 範例 有一等差數列, 其首項為 0, 公差為 0, 則 6 0 + 0 + 0 + 0 + 0 + 0 0 + 5 0 0 + ( 6 ) 0 + ( 6 ) d 範例 數列{,5,8,,4,7 }, 其首項為, 公差為 5, 則求第 6 項之求法為 : + ( 6 ) 7 6 + 9 範例 數列{,6,9 }, 其等差中項 6 之求法為 : 6 類題練習 在下列各空格中填入適當的數, 使得每個數列成為 等差數列 : () 5,8,, (),,, () 5,,,, (4), 9,, 4
(5),,, 4 4 (6) 6,,,,. 等差級數 問題 : 一等差數列為 {,,, Λ, 等差數列的規則性或公式來算出此數列的總和呢?, }, 我們是否可以利用 意義 : 將一個等差數列的每一項依次用 "+" 號連接, 稱為一個等差級數 公式 若等差級數之項數為, 首項為, 公差為 d, 前 項的和為, () 則 : ( + ) 已知首項 項數 末項時使用 ( 梯形公式 ) 公式推導 : 如果一個等差級數共有 項, 其首項為, 末項為, 公 差是 d, 則這各的等差級數的和通常以 表示, 即 : + + + Λ + 由 + + d ) + ( + d ) + Λ + [ + ( ) ] ( ) ( d 將 ( ) 式等號右邊各項的順序重新排列成為 : + ( ) d ] + + ( + d ) + ( + d ) [ Λ + ( ) 再將 ( ) ( ) 兩式相加, 即可得到 : [ + ( ) d ] + [ + ( ) d ] + Λ + [ + ( ) d ] 4 4 4 4 4 4 4 4 4 4 4 4 4 4 4 4 4 4 4 4 [ + ( ) d ] 共 組 [ + ( ) d ] Θ + ( ) d ( ) ( + ) 5
範例 已知一等差級數的首項為, 第 0 項為 88, 求前 0 項 的和 解 Θ 首項, 0 88, 項數 0 0 ( + 88 ) 90 範例 已知ㄧ等差級數的首項為, 第 0 項為 65, 求前 0 項 解 Θ 首項, 0 65, 項數 0 則 + ( 0 ) d 65 9 d 0 + 9 d 87 d 0 + ( 0 ) d + 9 ( ) 5 0 [ + ( 5 ) ] 0 0 () [ + ( ) d ] 已知首項 項數 公差時使用 公式推導 : 由前面可知 + ( )d, 再由 加以推導可得 ( + ) 之公式 ( + ) [ + + ( ) d ] [ + ( ) ] d 範例 已知一等差級數的首項為 且公差 5, 求前 0 項的和 解 Θ 首項, 公差 d 5, 項數 0 0 0 [ + ( 0 ) d ] [ + ( 0 ) 5 ] 0 00 6
範例 已知一等差級數的首項為 0 且公差為 解 首項 0, 公差 d, 項數 0 0 [ + ( 0 ) d ] 0, 求前 0 項之和 0 0 + ) ( 0 0 範例 已知等差級數 ( 6 ) + ( ) + + Λ + 的和為 64, 求 的值 解 6, d ( ) ( 6 ) 4 [ ( 6 ) + ( ) 4 ] 64 ( + 4 4 ) 64 4 6 64 4 6 8 0 4 0 ( + 4 ) ( 8 ) 0 8 或 4 ( 不合, 項數必須為正數 ) 範例 4 00 到 00 的整數中, 能被 7 整除的所有數的和等於多少? 解 00 到 00 的整數中,7 最小的倍數為 05,7 最大的倍數為 94 05, 94, d 7 94 05 + ( ) 7 8 8 ( 05 + 94 ) 8 4 99 5586 7
4. 補充公式 : () 等差級數 : () 等差級數 : 項數 中央項 範例 一等差級數的 0 55 45, 9 則 0 0 9 55 45 0 範例 一等差級數為 + + + Λ + 9, 其項數為 9, 中央項為 5, 5. 級數專用符號 : 則 9 5 45 9 範例 要表示 + + + 4 + 5 + 6 + 7 + 8 + 9 + 0 的簡易式可用如右之符號 : i 0 i 0 0 ( + 0 ) 即 i + + + 4 + 5 + 6 + 7 + 8 + 9 + 0 55 i ( 上面符號的 i 表示 i 累加到 i 0 ) 00 範例 i 0 + + + Λ + 98 + 99 + 00 0 ( + + Λ + 99 + 00 ) ( + + Λ + 9 + 0 ) ( + 00 ) 0 ( 0 ) 00 + 5050 55 4995 類題練習 有一等差級數 7 + 5 + + Λ, 求前十項之和 類題練習 求等差數列{, 5, 8, }, 求前 0 項之和 8
類題練習 求等差數列 {,6,9, Λ,0 } 之總和 類題練習 4 設一等差級數的首項為 5, 前十一項和為 440 求公差及第十項 類題練習 5 設某一三角形的三個角的度數成等差數列 若已知最大的 角是 05 度, 則最小的角是幾度? 類題練習 6 假設一等差數列的前十項和為 0, 前九項和為 99 解 : 求公差為何? 9
. 等比數列 意義 : 一個數列, 如果它任意相鄰兩項的後項除以前項所得的數都一樣, 亦即, 後項比前項的比值都相同, 則此數列稱為等比數列 範例 {,,,,,,,,,,, } 4 8 6 64 8 {,,,,,,, } 9 7 8 4 79 87 {,,0.5,0.5,0.5,0.065,0.05 } {,,,,,, 4 8 6 64 8 } {,,,,,, 4 8 6 64 8 } 公式. 設等比數列的首項為, 公比為 r, 第 項為, 則求出 之值公式 : r 公式推導 : 如果一個等比數列的首項為, 公比為 r, 則由等比數列的 定義可知 : 4 Λ r ; r ; r r r r r ; 4 4 r r r r r ; Μ r 範例 等比數列{ 4,8,6, }, 其首項為 4, 而公比為 8 4, 4 則第 4 項 : 4 4 4 4 0
b. 若 b c 三數成等比數列, 則 b 叫做 與 c 的等比中項或 幾何中項 : b c ( 或 b ± c ) 範例 一等比數列{,,48 }, 其公比為 4, 則等比中項為 ± 48 ± 44 ± ( 負不合 ) 類題練習 在下列各空格填入適當的數, 使得每一數列成為等比數列 : () 5,0,, () 5,5,, (),,, 4 (4), 5,, (5),,, 8 (6),,,8 (7),,,, 5 0 類題練習 () 已知某一等比數列的首項為, 公比為, 求第五項 () 已知某一等比數列的首項為 4, 第四項為 寫出此數列的前五項 () 已知某一等比數列第二項為 8, 第五項為 求首項及公比
類題練習 () 已知, m, 8 三數成等比數列, 求 m 之值 () 已知 5, m,0 三數成等比數列, 求 m 之值. 等比級數問題 : 一等比數列為 {,,, Λ, 等比數列的規則性或公式來算出此數列的總和呢? 意義 : 將一個等比數列的每一項依次用 + 號連接, 稱為一個等比級數 ( 幾何級數 ), 即 + + + Λ +, }, 我們是否可以利用 + 法則 若等比級數之項數為, 首項是, 公比是 r, 前 項的和為, () 當 r 時, + + + Λ + 4 4 4 4 4 4 共 項 範例 一等比數列 {,,,,,,,,,, }, 公比 r, 則 0 + 4 + Λ 4 4 + 0 0 0 個 ; () 當 r 時, ( r ) r 或 ( r ) r 公式推導 : 若 + + + Λ + + r + Λ + r + r Λ Λ ( ) 將 ( ) 式左右同乘 r : r r + + r + Λ + r r Λ Λ ( ) 將 ( ), ( ) 聯立 : r + r + Λ Λ Λ Λ r + r + r + Λ Λ Λ Λ Λ + r + r + r
上下相減可得 : r r ) ( ) ( r r ) ( ) ( r r ( 或 ) ( ) ( r r ) 符號應用 : 我們可以用 i i r 來表示 亦即 + + + i i r r Λ ) ( ) ( r r 範例 等比數列 {,,4,8, Λ, 0 }, 其 r, 則 ( ) 0 0 0 類題練習 () 已知某一等比級數的首項為 7, 公比為, 且有 0 項 求此級數的和 () 已知一等比級數, 首項為 4, 公比為, 和為 00, 求此級數之項數
類題練習 () 已知某一等比級數的首項為 5, 公比為, 且此級數共有 5 項, 求此等比級數的和 () 已知某一等比級數的首項為, 公比為, 且此級數總和為 9 求此等比級數之項數 類題練習 已知某一等比級數的首項為 4, 公比為, 且此級數總和 為 508 求項數為何? 類題練習 4 已知某一等比級數的和為 80, 公比為, 且共有 6 項 求首項為何? 類題練習 5 已知某一種細菌每經過一天, 個數繁殖為原來的兩倍 今有此細菌一個, 請問至少需要經過多少天後, 細菌個數會超 過 500 個? 4
類題練習 6 已知有 5 個桶子 在第一個桶子放入一個球, 第二個桶子放入 個球, 第三個桶子放入 9 顆球, 以此類推, 也就是說 : 後一個桶子放入的球數為前一個桶子球數的三倍 請問這五個桶子共有幾個球? 類題練習 7 已知某依等比級數的和為 80, 公比為, 且此級數共有 6 項 求首項 例題 練習 有一等差數列為 6 9, 有一等差數列為 4 7 0, 求 : 求 : () 第 5 項 ; () 第 5 項 ; () 若第 項為 5, 求 的值 () 若第 項為 6, 求 的值 5
例題 練習 如果等差級數的首項為 5, 公差為, 如果等差級數的首項為 8, 公差為 4, 求第 5 項及前 5 項的和 求第 0 項及前 0 項的和 例題 練習 設一個等差級數的首項為 7, 末項為, 和為 47 求此等差級數的項數與公差 設一個等差級數的首項為 5, 末項為 40, 和為 80 求此等差級數的項數與公差 例題 4 練習 4 快樂表演廣場共有 5 排坐位, 依次每一排比前一排多 個坐位, 已知最後一排有 80 個坐位, 那麼快樂表演廣場共有多少個坐位? 第一表演廣場共有 0 排坐位, 依次每一排比前一排多 個坐位, 已知最後一排有 0 個坐位, 那麼第一表演廣場共有多少個坐位? 6
例題 5 練習 5 若一個等比數列的首項為 5, 公比為, 若一個等比數列的首項為, 求此等比數列的第 4 項 公比為, 求此等比數列的第 5 項 例題 6 練習 6 阿東家於年初時購買一輛新車, 售價是 60 萬元售車人員告訴他們 : 新車第一年的折舊率是 0%( 亦即車子的價錢只剩原來的 80%), 以後每年的折舊率是前一年車價的 0%, 則 : () 第二年年初時 ( 年後 ), 該車價值多少? () 第五年年初時 ( 4 年後 ), 該車價值多少? 阿西家於年初時購買一輛新車, 售價是 60 萬元售車人員告訴他們 : 新車第一年的折舊率是 0%( 亦即車子的價錢只剩原來的 70%), 以後每年的折舊率是前一年車價的 5%, 則 : () 第二年年初時 ( 年後 ), 該車價值多少? () 第四年年初時 ( 年後 ), 該車價值多少? 例題 7 練習 7 求 4 + 4 + 4 + Λ 至第六項的和 求 + ( ) + ( ) + Λ 至第 7 項的 和 7
例題 8 練習 8 9 求等比級數求等比級數 + + + + Λ 至第六項 4 08 00 + ( 60 ) + 6 + ( ) + Λ 的和 5 至第七項的和 例題 9 設一球每次落地後反彈高度為原高度的, 現有一球 自 8 公尺高處落下, 則此球自開始落下至第 4 次著地 所經過的總路程是多少公尺? 8
例題 9 設一球每次落地後反彈高度為原高度的, 現有一球自 8 公尺高處落下, 則此球自開 始落下至第 5 次著地所經過的總路程是多少公尺? 例題 0 練習 0 已知某一種細菌每經過一天, 個數繁殖為原來的三倍 今有此細菌一個, 請問至少需要經過多少天後, 細菌個數會超過 0000 個? 已知某一種細菌每經過一天, 個數繁殖為原來的二倍 今有此細菌二個, 請問至少需要經過多少天後, 細菌個數會超過 000 個? 9
I. 重疊圖形的周長與面積 :. 正方形重疊的周長 將 個邊長 公分的正方形邊靠邊並排成長方形, 此長方形周長 為 ( + ) 公分 範例 將 5 個邊長 公分的正方形邊靠邊並排成長方形, 由右圖可知所排成長方形周 長為 5 + 公分. 三角形重疊的周長 將 個邊長 公分的三角形邊靠邊並排成長條形, 此長條形周長 為 ( + ) 公分 範例 將 5 個邊長 公分的三角形邊靠邊並排成長條 形, 此長條形周長為 5 + 7 公分. 圖形周長的比較用 個邊長 公分的正方形所拼成的長方形周長比用 個邊長 公分的三角形所拼成的長條形周長多 公分 範例 如以上述兩個範例中的圖形周長作比較可知 7 5 公分 4. 重疊圖形的面積 若一圖形面積 公分, 用 個這種圖形以重疊 b 平方公分的方式拼排, 則所成的圖形面積是 : ( b ) + b 平方公分 範例 用 6 個邊長為 公分的中空正方形, 以重疊三個小正方形的 方式拼排成的長條形, 其面積是多少? 方法 : 代入公式 ( 8 ) 6 + 平方公分 方法 : 原來 公分的中空小正方形是由 8 個 公分的 小正方形構成, 而重疊 個就如下圖看成 8 5 個 小正方形的凹形, 所以重疊後的圖形看成 6 個凹型和 一長方形, 全部面積為 : 5 6 + 平方公分 0
方法 : 每兩個正方形重疊處是 公分的長方形,6 個正方形 有 5 個重疊處, 所以全部面積是 : 8 6 5 平方公分 範例 用 5 個邊長為 公分的中空正方形, 以重疊 個小正方形的方式拼排成的長條形, 其面積是多少? 方法 : 代入公式 ( 8 ) 5 + 6 平方公分 方法 : 邊長 公分的中空小正方形是由 8 個 公分的小正方形構成, 而重疊 個就如下圖看成 8 7 個, 所以全部面積為 : 7 5 + 6 平方公分 例題 以 個邊長為 公分的正方形邊靠邊並排拼成的長方形的周長是多少 公分? 例題 如右下圖, 用 5 個邊長為 公分的正方形, 以重疊一個邊長為 的正方形方 式並排成長條形, 求此長條形的周長是多少?
例題 () 用 6 個邊長為 公分的中空正方形, 以重疊 個小正方形的方式拼排成長條形, 求此長條形的面積為何? () 用 個邊長為 公分的中空正方形, 以重疊 個小正方形的方式拼排成長條形, 求此長條形的面積為何? 例題 4 將一個邊長為 公分的正方形紙片對摺兩次, 可形成 4 個相同的小正方形, 在每個小正方形上分別標上數字,,,4( 如右圖 ): () 取 個數字正方形, 以重疊一個小正方形的方式拼排成長條形, 此 長條形可看見的數字和是多少? () 取 個數字正方形, 以重疊一個小正方形的方式拼排成長條形, 此 長條形可看見的數字和是多少?
進階補充 由小正方形組成相連圖形的邊數. 若以火柴圍成 m 的長方形共需 [( m + ) + ( + ) m ] 根火柴 範例 圍成 的長方形所需要的棉花棒總數如下 : 直的需 ( + ) 根, 橫的需 ( ) 所以共 ( ) + ( + ) 7 + 根, + ( 根 ). 圍成 的正方形共需 [ ( + ) ] 根火柴 範例 若要排出 的正方形則需要火柴總數如下 : ( + ) 4 4 ( 根 ) 例題 5 將棉花棒排成接連的三角形, 若排成 個接連的三角形, 共需多少根棉花棒? 解 : 排成需要 根棉花棒 ; 排成需要 5 根棉花棒 ; 排成 需要 7 根棉花棒 Μ 由此可推知 : 排成 個接連的三角形, 共需要 + 根棉花棒 例題 6 將棉花棒排成如右圖接連的正三角形 () 欲排出邊長 的正三角形需 根棉花棒, 排邊長 的正三角形需 9 根棉花棒, 則排邊長 的正三角形需幾根棉花棒? () 欲排出邊長 4 的正三角形需幾根棉花棒?