第三單元 平面座標與直線的斜率

第四十五單元 條件機率 貝氏定理與獨立事件 林信安老師編寫 ( 甲 ) 條件機率 () 條件機率的意義 : 例一 : 假設小安參加一個電視益智節目, 他必須在 個信封 ( 顏色分別是紅 黃 綠 ) 中選一 個, 然後會得到所選信封中紙片上所寫的金額 : 其中有兩個信封中的紙片寫的是 00 元, 第三個寫的是十萬元 情況一 : 如果主持人沒有給任何提示, 小安任選一個信封, 得到十萬元的機率是 情況二 : 如果主持人在小安選擇之前, 先打開紅信封, 並給小安看裡面的紙片寫著 00 元, 那麼小安再選信封, 得到十萬元的機率是 2, 而非情況一中的 在這個例子中很容易可以看出, 得到十萬元的機率有兩個不同的值, 因此一個事件的 機率會隨著情境的不同 ( 提供訊息的改變 ) 而可能會有所改變, 這便是條件機率的意義 (2) 條件機率的定義 : (a) 定義 : 若設 A B 為樣本空間 S 的兩事件, 且 A) 0, 則在事件 A 發生的條件下, 事件 B 發生的機率稱為條件機率, 符號為 B A), 其值定義成 B A)= A B) A) [ 討論 ]: () 在古典機率的情形下,A B)= n(a B) n(s),a)= n(a) n(s) 故 B A)= A B) A) [ 結論 ]: (a) B A) = A B) A) = n( A B) n( S) n( A) n( S) n( A B) = n( A) n( A B) = n( A) ( 在古典機率的情形下 ) (b) 以樣本空間 S 的觀點來說,B A) 為 A B) 與 A) 的比值 ; n(a B) (c) 若以事件 A 為新的樣本空間, 則 B A) 可視為 n(a) S B A 例如 : 擲一均勻骰子, 在點數和為 6 的條件下, 求其中有一骰子出現 2 點的機率 [ 解法 ]: 設 A 代表點數和為 6 的事件,B 代表其中有一骰子出現 2 點的事件 ~ 45 ~

樣本空間 S={(x,y) x,y 6,x,y 為自然數 },n(a)=5,n(b)=6,n(a B)=2 B A)= A B) A) = 2 6 5 6 = 2 5 = n(a B) n(a) 林信安老師編寫 [ 例題 ] 某高中高一新生健康檢查的結果, 體重超重佔 40%, 有心臟疾病者佔 0%, 兩者都有的佔 8%, 今任選一人檢驗, () 若已知此人的體重超重, 則他有心臟疾病的機率為多少? (2) 若已知此人有心臟疾病, 則他的體重超重的機率為多少? Ans:() 5 (2)4 5 [ 例題 2] 設袋中有 8 個白球 4 個紅球 從袋中逐次取出 4 球, 若每次取球時, 每一球被取中的機會相等, 逐次在抽中 個白球的條件下, 第三次抽中白球的機率 Ans: 4 [ 取後放回 ]: [ 取後不放回 ]: ~ 45 2~

() 條件機率的性質 : A) 是 在 A 發生的條件下, 就是把樣本空間換成 A 來看, 設 A B B B 2 為樣本空間 S 中的事件 林信安老師編寫 (a)φ A)=0, (b)a A)= (c)0 B A) (d)b / A)= B A) (e)b B 2 A)=B A)+B 2 A) B B 2 A) [ 證明 ]: [ 例題 ] 設 A,B 為二事件,A)= 8,B)= 4,A B)=7 8, 試求 : / / / () PAB= ( ) (2) PA ( B= ) () PA ( B ) = Ans:() (2) 2 () 2 ( 練習 ) 假設根據統計, 汽車駕駛人中有 0.005 是酒醉駕車, 又酒醉駕車且肇事者占駕駛人的 0.00, 求駕駛人在酒醉的情況下肇事的機率為 Ans: 5 ( 練習 2) 假設有一個人摸黑回家, 走到家門口時, 四周黑漆漆的, 他鑰匙圈上的 ~ 45 ~

5 支鑰匙中有一把可以打開大門 如果此人隨意選, 請問第一次就試對的機率為何? 如果此人同一支鑰匙他不會試第二次, 則已知第一把不對 之後, 他試第二支試對的機率為何?Ans: 5, 4 ( 練習 ) 某一家庭有兩個小孩, () 若已知兩個小孩至少有一個男孩, 求兩個均為男孩的機率 = (2) 若已知大孩子為男孩, 求兩個都是男孩的機率 = Ans:() (2) 2 ( 練習 4) 擲三次均勻骰子, 設三次中至少出現一次 6 點的事件為 A, 至少出現一次 點的事件為 B, 則 B A)= Ans: 0 9 ( 練習 5) 擲三枚相同且均勻的銅板一次, 則在至少出現一個正面的條件下, 恰好 出現兩個正面的機率為 Ans: 7 ( 練習 6) 設袋中有 0 個球, 其中白球 6 個, 紅球 4 個, 今自袋中取球每次取一個, 取後不放回共取三次, 假設在取出之三球中恰有二白球的條件下, 求第二次抽到白球的機率 Ans: 2 ( 練習 7) 設 A,B 為樣本空間 S 中的二事件, 且 A)=,B)= 4, A B )= 6, 求 ()A B) (2)B A) ()A / B / ) (4)B / A / ) Ans:() 2 (2) 2 () 7 7 (4) 9 8 (4) 條件機率的乘法與加法原理 : 例子 : 一袋中有藍球 個 白球 5 個, 從袋中取球取後不放回, 試求 : 第一次取得籃球而第二次取得白球的機率 [ 解法 ]: 設 A 代表第一次取得籃球的事件,B 代表第二次取得白球的事件, 因此我們要求 A B) [ 古典機率的觀點 ]: 考慮兩次取球取後不放回的隨機試驗, 一袋中有 b,b 2,b,w,w 2,w,w 4,w 5 八個球 令 K={ b,b 2,b,w,w 2,w,w 4,w 5 }, 樣本空間 S={(x,y) x y,x,y K}, 故 n(s)=8 7 A B={(b,w ) (b,w 2 ), (b,w 5 )},n(a B)= 5 故 A B)= 5 8 7 ~ 45 4~

[ 條件機率的觀點 ]: 設 A 代表第一次取得籃球的事件,B 代表第二次取得白球的事件, 這兩個事件 A B 它的發生可能會有時間順序,A 發生後再發生 B, 要求 A B), 可以考慮使用條件機率 因為 A B)=A).B A)= 8.5 7, 這個結果與古典機率的觀點所求出來的值相同 (a) 條件機率的乘法原理 : 設 A,B 為任意二事件, 若 A)>0,B)>0, 則 A B)=A)B A)=B)A B) A) A B A) B A B)=A)B A) 設 A B C 為任意三事件, 若 A B)>0, 則 A B C)=A) B A) C A B) A) B A) C A B) A B C 一般而言, 我們可利用數學歸納法, 得出以下的結果 A B C)=A) B A) C A B) : 條件機率的乘法原理 : 設 A,A 2,,A k 為 k 事件, 若 A A 2 A k )>0, 則 A A 2 A k )=A ) A 2 A ) A A A 2 ) A k A A 2 A k ) 例子 : 設甲袋中有藍球 個 白球 5 個 ; 乙袋中有藍球 2 個 白球 個 紅球 2 個 先依機會均等的原則選出甲袋或乙袋, 再從中取出一球, 求取出藍球的機率 [ 解法 ]: 設 A 代表選出甲袋的事件,B 代表取出藍球的事件, 因為整個隨機試驗的過程是先選袋子再取球, 因此我們取球之前要先考慮取出來是甲袋或乙袋 ~ 45 5~

若取中甲袋, 則取出藍球的機率 = 8 ; 若取中乙袋, 則取出藍球的機率 = 2 5 林信安老師編寫 因此取出藍球的機率 = 2 8 + 2 2 5 = 80 上述的過程牽涉到條件機率, 我們用符號來說明 : A)=A / )= 2,B A)= 8,B A/ )= 2 5 因為 B=(B A) (B A / ) 且 (B A) (B A / )=φ 所以 B)=B A)+B A / ) =A) B A)+A / ) B A / ) = 2 8 + 2 2 5 = 80 (b) 條件機率的加法原理 : B)=A B)+A / B)=A)B A)+A / )B A / ) A B B A / B 一般而言 : n B)= B A k ) = Ak ) B A k ) k = n k = [ 例題 4] 一袋中有 5 個白球 8 個黑球 從袋中連續取出 個球, 取出之球不再放回 求 () 依序取出白球 黑球 白球的機率 (2) 第一次取出為黑球的機率 () 第二次取出黑球的機率 Ans: () 60 76 (2) 8 () 8 ~ 45 6~

[ 例題 5] 一袋內有 m 支籤, 其中 n 支是獎籤 (<n<m), 甲 乙 丙依次抽籤, 每人各取一次, 每次從袋內任取 支籤取後不放回, 則甲 乙 丙三人抽中獎籤的 n 機率依次為 Ans: 三人均為 m [ 例題 6] 設甲袋中有 5 個白球 2 個紅球, 乙袋中有 4 個白球 個紅球, 今擲骰子一次, 擲得,2 點則選取甲袋, 擲得,4,5,6 點則選取乙袋, 從選出的袋中任取 2 球, 求選出的球為 白 紅的機率 Ans: 4 6 ( 練習 8) 袋中有 4 個白球, 個黑球, () 任取 球, 求取得 2 白球 黑球之機率 (2) 每次任取一球, 取後不放回, 求依次取得白球 白球 黑球的機率 () 每次任取一球, 取後放回, 取 次, 求取得 2 次白球 次黑球的機率 Ans:() 8 5 (2) 6 5 ()44 4 ( 練習 9) 某公司產 20 個產品中, 有 4 個不良品, 現在逐一加以檢查, () 取出後不放回, 在第四次發現第二個不良品之機率為 (2) 取出後放回, 在第四次發現第二個不良品之機率為 Ans:() 24 2 (2) 48 625 ( 練習 0) 0 支籤中, 有獎籤 支, 今依甲 乙之順序抽籤, 試求下列問題 : () 甲乙均抽中有獎籤的機率為 (2) 甲沒抽中有獎籤, 乙抽中有獎籤的機率為 () 在甲沒抽中有獎籤的條件下, 乙抽中有獎籤的機率為 (4) 甲抽中有獎籤和乙抽中有獎籤之機率為 ~ 45 7~

Ans:() 5 (2) 7 0 () (4) 都是 0 林信安老師編寫 ( 乙 ) 貝氏定理 () 貝氏定理的引入 : 例一 : 勤業公司由甲乙兩個供應商分別提供 70% 與 0% 的映像管, 經過組裝生產出電腦螢幕 若 從勤業公司生產的電腦螢幕中任意抽出一個, 則此電腦螢幕的映像管來自甲供應商的機率 是 0.7, 來自乙供應商的機率是 0., 這兩個機率稱為 事前機率 如果提供抽樣的螢幕 是不良品, 而且由過去的資料顯示 : 甲供應商提供的映像管有 % 是不良品, 乙供應商提 供的映像管有 6% 是不良品, 以上的資訊即為映像管是不良品的資訊, 那麼此不良品來自 甲供應商的機率是否仍為 0.7 呢? [ 解法 ]: 令 A 表示映像管來自甲供應商的事件,B 表示映像管是不良品的事件 則 事前機率 電腦螢幕的映像管來自甲 乙供應商的機率分別是 A)=0.7 A / )=0. 但當我們提供了映像管是不良品的資訊, 即 B A)=0.0 B A / )=0.06 那麼不良品來自甲供應商的機率 =A B)= A B) B) 我們分別計算 A B) 與 B) B)=B A)+B A / )=A).B A)+A / ).B A / ) A B)= A B) B) = A).B A) A).B A)+A / ).B A / ) = 0.7.0.0 0.7.0.0+0..0.06 = 2 9 事前機率 資訊 事後機率 因此當未提供 不良品 資訊時, 映像管來自甲供應商的機率是 0.7, 但是提供了 不 2 良品 資訊後, 此映像管來自甲供應商的機率是 9 0.585, 此機率稱為 事後機率, 機率可能會隨著提供的資訊而有所變化 例二 : 醫學上常用心電圖篩檢心臟疾病, 根據統計, 有 90% 的心肌梗塞病患可由心電圖篩檢出來, 但也有 5% 的健康者的心電圖會被誤判為患有心肌梗塞 如果某一個城市有 0.2% 的市民患有心肌梗塞的疾病 請問若某人的心電圖檢查結果被判定成患有心肌梗塞的疾病, 則他真正患有心肌梗塞疾病的機率是多少? ~ 45 8~

[ 解法 ]: 令 A 表示此城市真正患有心肌梗塞人之事件, B 表示此城市心電圖檢查顯示有心肌梗塞的人之事件 根據所給的資料可知 A)=0.002,A / )=0.998,B A)=0.9,B A / )=0.05 對於一個醫療檢查而言, 已知有病, 再檢查出有病, 並不是關注的問題, 而檢查出有病, 真的有病才是醫療檢查是否有效的關鍵 因此事前機率 A)=0.002,A / )=0.998 會隨著提供心電圖的新資訊 :B A)=0.9, B A / )=0.05, 而得出事後機率 A B),A B) 代表心電圖的準確率 B)=B A)+B A / )=A).B A)+A / ).B A / ) A B)= A B) B) = A).B A) A).B A)+A / ).B A / ) 0.002 0.9 = 0.002 0.9+0.998 0.05 = 0.008 0.008+0.0499 = 8 57 0.048 事前機率 資訊 事後機率 從已知資訊看來, 事後機率 0.048 這個值似乎太低了, 不過在沒做心電圖檢查之前, 我們假設某個人患有心肌梗塞的機率是 0.002, 提供了 心電圖檢查被判定成患有心 肌梗塞 的資訊之後, 某人患有心臟病的機率增加到了 0.048 (2) 貝氏定理貝氏定理是機率論中較早的結果, 於西元 76 年在貝士 (Thomas Bayes, 十八世紀英國牧師 ) 的遺著中所發現的, 這個定理說明了我們觀測到一個事件之後, 應如何修正原先的機率 ( 稱為事前機率 ), 而得到之後的機率 ( 稱為事後機率 ) (a) 分割 : 設 A,A 2 A r 為樣本空間 S 中的任意 r 個事件 若這 r 個事件滿足 : 聯集為 S, 兩兩的交集為 φ, 則稱 { A,A 2 A r } 為樣本空間 S 的一個分割 例如 : 設 S={a,b,c,d}, 則 {{a},{b},{c},{b}},{{a,b},{c},{d}} 都是 S 的分割 (b) 設 A,B 為樣本空間 S 中的任意二事件, 若 A)>0,B)>0, 則 A B)= A B) B) = A) B A) B), 而由條件機率的乘法原理, 可得 B)= =B A)+B A / )=A) B A)+A / ) B A / ) A A k A B)= A).B A) A).B A)+A / ).B A / ) A 2 B (c) 設 { A,A 2 A r } 為樣本空間 S 的一個分割,B 為任意的事件 ~ 45 9~

若 B)>0,A i )>0,i=,2,r, 對自然數 k 而 k r 則 A k [ 證明 ]: B) = r A ) B A ) i= k A ) B A ) i 由條件機率的定義, 可知 A k B)= A k B) B) k i 又 A,A 2 A r 為樣本空間 S 的一個分割, 且 B 為樣本空間 S 中的一事件 B=B S=B (A A 2 A r )=(B A ) (B A 2 ) (B A r ) 又對於任意 i j,(i,j=,2,,r),a i A j =φ, 所以 (B A i ) (B A j )=φ 因此 B)=B A )+B A 2 )+ +B A r ) r r = B A i ) = i= i= A ) B Ak ) B Ak ) 故 Ak B) = r A ) B A ) i= i i i A i ) 林信安老師編寫 貝氏定理是統計推理的基礎, 在定理中 A i ) (i=,2,,r) 稱為事前機率, 必須知道它, 才能推算 A i B), 稱為事後機率 通常 A i ) 的值已過去的經驗為基礎, 由事件發生前 的資訊為依據, 才能推算事後機率 [ 例題 7] 醫療主管機關在持續追蹤某傳染病多年後, 發現如果體檢受檢人感染該傳染病, 就一定可以檢測出來 但是卻有 4% 的機率, 將一不患該傳染病之受檢者誤檢為患有該病 已知全部男性人口中有 0.2% 的機率患有此病 現於兵役體檢時進行檢測, 若該梯次役男共有十萬人受檢, 而且某役男被告知患有該病 請問下列哪些敘述為真? (A) 該役男確實染病的機率大於 % (B) 該役男確實染病的機率大於 4% (C) 該役男確實染病的機率大於 5% (D) 該役男確實染病的機率大於 90% Ans:(A)(B) (2002 指定考科甲 ) ~ 45 0~

[ 例題 8] 設某工廠由甲 乙 丙三台機器製造某一產品 甲生產全部產品的 50%, 乙生產全部產品的 0%, 丙生產全部產品的 20% 又依過去的經驗知甲的產品中有 %, 乙有 4%, 丙有 5% 為不良品 從產品中任選一產品, () 求選出之產品為不良品的機率 ;(2) 若該產品為不良品, 求此產品為甲機器製造的機率 Ans:()0.07(2) 5 7 [ 例題 9] ( 遞迴方法求機率 ) 不透明箱子內有編號 號到 9 號的九個球, 每次隨機取出一個球, 紀錄其編號後放入箱內 ; 以 n) 表示前 n 次取球的編號之總和為偶數的機率 已知存在常數 r,s 使得 n+)=r+sn) 對於任意正整數 n 都成立, 則 (r,s)= Ans:( 5 9, 9 ) ( 練習 ) 有某種診斷方法, 依過去的經驗知道患癌症的人, 經過檢驗後發現有癌症的可能性為 0.90, 不患癌症的人經過同樣的檢驗後發現有癌症的可能性為 0.05 假設一群人中有 6% 的人患有癌症 現從此群人中任選一人而加以檢驗, 求 () 檢驗出有癌症的機率 ;(2) 設檢驗出有癌症, 求此人確有癌症的機率 Ans:()0.0(2) 54 0 ( 練習 2) 某校橋藝社由甲 乙 丙三班同學組成, 各佔 40%,0%,0% 社員中甲班人數的, 乙班人數的, 丙班人數的 也是籃球校隊的隊員 4 5 某次橋藝社推選新社長, 每人當選的機會均等, 則籃球隊員當選的機率為 (A) (B) 2 (C) (D) 4 (E) 5 Ans:(C) 50 50 50 50 50 ~ 45 ~

7 ( 練習 ) 甲說實話的機率為 0, 9 乙說實話的機率為 0, 今有一袋內藏 白球,7 黑球, 自袋中任取一球, 甲乙二人均說是白球, 則此球確實為白球之機率為何? Ans: 9 0 ( 練習 4) 交通規則測驗時, 答對有兩種可能 : 一種是會做而答對, 一種是不會做但猜對 已知小華練習交通規則筆試測驗, 會做的機率是 0.8 現有一題 5 選 的交通規則選擇題, 設小華會做就答對, 不會做就亂猜 已知此題小華答對, 試問在此條件之下, 此題小華是因為會做而答對 ( 不是亂猜 ) 的機率是多少?( 以最簡分數表示 ) (89. 學科 ) Ans:20/2 ( 練習 5) 某地區之天氣, 依多年的統計得知, 每年晴天佔了 40%, 非晴天佔了 60%, 又天氣預報可能不完全準確, 將晴天說成晴天的機率為 0.7, 將非晴天說成晴天之機率為 0.2, 試問 : 若天氣預報說明天是晴天, 則明天確為晴天的機率為 Ans: 7 0 ( 丙 ) 獨立事件 () 引入獨立事件 : 設一個袋子中有 5 個紅球, 個白球, 甲乙二人依序在袋中抽取一球, (a) 若取後不放回, 則在甲抽中紅球的情形下, 求乙抽中紅球的機率? (b) 若取後放回, 則在甲抽中紅球的情形下, 求乙抽中紅球的機率? [ 解法 ]: 設 A 代表甲抽中紅球的情形,B 代表乙抽中紅球的情形 (a) 取後不放回 :B A)= 4 7, 另一方面,B)=A) B A)+A / ) B A / )= 5 8 4 7 + 8 5 7 =5 8 B A) B) 顯然甲取中紅球會影響到乙取中紅球的機率 (b) 取後放回 :B A)= 5 8, 另一方面,B)=A) B A)+A / ) B A / )= 5 8 5 8 + 8 5 8 =5 8 B A)=B) 顯然甲取中紅球並不會影響到乙取中紅球的機率 一般而言, 當事件 B 發生的機率不會受事件 A 是否已發生的影響, 我們就稱事件 A B 是獨立的, 寫成數學式子為 B A)=B) 又因為 B A)= B A) A) =B) A B)=A) B) 因此可用 A B)=A) B) 來定義獨立事件 ~ 45 2~

(2) 定義 : (a) 當兩事件 A B 滿足 A B)=A).B) 的關係時, 稱 A B 為獨立事件 ( 或稱 A B 是獨立的 ) (b) 若 A,B 不為獨立事件, 則稱 A,B 為相關事件 例如 : 擲一骰子, 設事件 A B C 各為 A={,2,},B={2,4},C={4,5,6} 因為 A) B)= 2 = 6 =A B), 所以 A B 為獨立事件 因為 A) C)= 2 2 = 4 A C)=0, 所以 A C 不是獨立事件 這個例子告訴我們, 即使是同一個隨機試驗, 各個事件之間有的獨立有的相關, 沒有 一定的關係, 因此判別兩事件獨立, 不可憑直覺, 一定要從定義出發 () 性質 : (a) 若 A,B 獨立, 則 A /,B A,B / A /,B / 也是獨立事件 [ 證明 ]: A' B) = B) A B) = B) A) B) = P ( B)( A)) = A' ) B) A' B' ) = A B) = A) B) + A B) = A) B)+A) B) = ( P ( A))( B)) = A') B') (b) 任何一事件與空事件必為獨立事件 (c) 任何一事件與全事件必為獨立事件 (d) 設 A,B 為互斥事件, 且 A)>0,B)>0, 則 A,B 必為相關事件 [ 證明 ]: A B)=φ)=0,A) B)>0 A B) A) B) A,B 必為相關事件 如果 A B 互斥, 則二者不可能同時發生, 因此若其中一個發生了, 就提供了有關另一個的資訊, 也就是說, 另一個事件必定沒有發生 而若 A B 二事件獨立, 則兩者就一定有可能同時發生, 這兩個性質差異很大 (4) 三事件獨立 : () A B) = A) B) (2) A C) = A) C) (a) 定義 : 若 四式同時成立, () B C) = B) C) (4) A B C) = A) B) C) 則稱三事件 A,B,C 獨立,4 個條件均必得成立, 缺一不可 由定義知 : ~ 45 ~

若 A,B,C 三事件獨立時, 則 A 與 B,B 與 C,A 與 C 兩兩事件必為獨立事件 A,B,C 三事件中任兩事件獨立時,A,B,C 不一定獨立 ( 因為還要 (4)) 例如 : 袋中有 9 個球, 編號為 ~9 自袋中取一球, 取到,5,9 的事件為 A, 取到 2,5,8 的事件為 B, 取到,5,7 的事件為 C, 問 A,B,C 是否獨立? 答案 : 否 理由 : () PA ( B) = PAPB ( ) ( ) (2) PA ( C) = PAPC ( ) ( ) () PB ( C) = PBPC ( ) ( ) 但 (4) PA ( B C) = PAPBPC ( ) ( ) ( ) (b) 性質 : 若 A,B,C 獨立, 則 A,B,A /,B,A,B /,A /,B / A,C,A /,C,A,C /,A /,C / B,C,B /,C,B,C /,B /,C / A /,B,C,A,B /,C,A,B,C / A /,B /,C,A /,B,C /,A,B /,C / 6A /,B /,C / 獨立 獨立 獨立 獨立 獨立 獨立 [ 證明 ]: 若三事件 A,B,C 獨立, 則三事件 A / B / C / 為獨立事件 林信安老師編寫 ~ 45 4~

[ 例題 0] 甲, 乙, 丙三人同射一靶, 各打一發, 2 設甲 乙 丙三人的命中率分別為,, 且三人射擊互不影響, 則 4 5 () 此靶被命中的機率為 (2) 此靶被打中三發的機率為 () 此靶被打中二發的機率為 (4) 此靶恰被打中一發的機率 (5) 若此靶恰中一發, 則是甲命中的機率為 Ans:() 9 0 =54 60 (2) 0 = 6 60 () 2 60 (4) 25 60 (5) 25 [ 例題 ] 在下面的電路圖中有 4 個開關, 以 A, B, C, D 表示 電流通過各個開關的機率依次為 2, 4, 2, 5 每一開關彼此互不影響, 試求在某一瞬間, 電流能從左端 L 通到右端 R 的機率 = Ans: 5 8 ( 練習 6) 愛國者飛彈之命中率為 40%, 今要使打中敵方飛彈的機率達到 90% 以上, 則一次要發射若干枚飛彈?( 設每枚飛彈射擊不互相影響, 且 log2=0.00,log=0.477) Ans:5 枚 ( 練習 7) 以 A,B 分別表示甲 乙活過十年以上的事件 設 A)= 4,B)= 若 A,B 二事件為獨立事件, 試求 () 兩人都活過十年以上的機率 ;(2) 至少有一人活十年以上的機率 ;() 沒有一人活過十年以上的機率 Ans:() 2 (2) 2 () 2 ~ 45 5~

( 練習 8) 甲乙丙三射手同設一靶, 設甲乙丙命中率各為 0.5,0.6,0.8; 並設各人中靶的事件為獨立事件 則 () 各射一發, 求靶面恰中一發的機率 (2) 各射一發, 求沒有人命中靶的機率 () 若靶面恰中一發, 求是由甲命中的機率 Ans:()0.26 (2)0.04 () 2 ( 練習 9) 右圖有 5 個開關, 以 A,A 2,A,A 4,A 5 表示, 7 2 電流通過各開關的機率分別為,,,,, 0 5 5 2 2 若各開關的操作獨立, 求電流從左端 L 流到右端 R 的機率為 Ans: 25 ( 練習 20) 設某藥物對一般病人有過敏反應的機率為 0., 今有三位病人接受此藥物的治療, 如果此三位病人是否有過敏反應互不影響, 試求至少有一位病人有過敏反應的機率 Ans:0.27 ~ 45 6~

綜合練習 () 某棒球比賽有實力完全相當的甲乙丙丁四隊參加, 先將四隊隨機抽籤分成兩組比賽, 兩組的勝隊再參加冠亞軍決賽 如下圖 : 根據過去的紀錄, 所有隊伍比賽時各隊獲勝的機率均為 0.5 則冠亞軍決賽由甲 乙兩隊對戰的機率為 ( 四捨五入到小數三位 ) (2007 指定乙 ) (2) 彩票公司每天開獎一次, 從 2 三個號碼中隨機開出一個 開獎時, 如果開出的號碼和前一天相同, 就要重開, 直到開出與前一天不同的號碼為止 如果在第一天開出的號碼是, 則在第五天開出號碼同樣是 的機率是 ( 以最簡分數表示 ) (2002 指定甲 ) () 甲 乙 丙三人參加一投擲公正銅板的遊戲, 每一局三人各擲銅板 次 ; 在某局中, 當有一人投擲結果與其他二人不同時, 此人就出局且遊戲終止 ; 否則就進入下一局, 並依前述規則繼續進行, 直到有人出局為止 試問下列哪些選項是正確的? (A) 第一局甲就出局的機率是 (B) 第一局就有人出局的機率是 (C) 第三局才有人出局的機率是 64 (D) 已知第十局才有人出局, 則甲出局的機率 是 (E) 該遊戲在終止前, 至少玩了六局的機率大於 000 (2008 指定甲 ) (4) 擲三粒均勻的骰子, 已知點數和為 5 的倍數, 求點數和不超過 0 的機率 (5) 由 到 9 的 9 個數字中任取 2 數, 且取過的數字不再取, 若其和為偶數, 求二者均為偶數的機率 (6) 設 A B C 為獨立事件, 若 A)=,A B C)= 6,A/ B / C / )= 6, 則 B)+C)=? (7) 擲一公正之銅板兩次, A 表第一次出現反面之事件, B 表第二次出現正面之事件, C 表示正面 反面均出現一次之事件, ~ 45 7~

則下列何者為獨立事件? 何者為相關事件? (a)a,b 為 事件 (b)b,c 為 事件 (c)a,c 為 事件 (d)a,b,c 為 事件 林信安老師編寫 (8) 設正整數 x,y,z 為偶數的機率為 2,, 4, 在 xy 為偶數的條件下,xy+z 為奇數的機率為 (9) 甲乙丙三袋中, 甲袋有 2 黑球 白球, 乙袋有 2 黑球 2 白球, 丙袋有 黑球 2 白球, 今自甲乙丙三袋中各取一球, 則至少取出 2 黑球的機率為 (8 社 ) (0) 若一個袋子中有 20 個球, 其中 4 個白球, 每次取一個球, 取出後不放回, 若第二次取到白球, 求第三次也取到白球的機率為 () 設袋中有 2 個球, 其中有 8 個白球, 從袋中逐次取出 4 球, 若每次取球時, 每球被取到的機會相等, 試求 (a) 取後放回, 抽中 白球的機率 = (b) 取後放回, 在抽中 白球的條件下, 第三個是白球的機率 = (c) 取後不放回, 抽中 白球的機率 = (d) 取後不放回, 在抽中 白球的條件下, 第三個是白球的機率 = (2) 袋中有 4 紅球, 白球, 今自袋中每次取一球, 連取 4 次, 每次均不放回, 問第 次取到白球的機率 = () 某公司共有 6 個工廠, 各工廠的產量都一樣, 且所生產的產品都放進同一倉庫 k 中 由過去的經驗知道, 第 k 個工廠的產品不良率為 50, 其中 k =,2,, 4,5,6, 為了檢驗倉庫中這一批產品的品質, 從倉庫中任意抽出一件, 若為不良品, 則此不良品是來自第五個工廠的機率為 (2007 指定甲 ) (4) 課外活動社團共有 20 位同學參加, 已知其中高一 高二 高三同學所佔的比例分別為 55% 25% 20% 若由該社團中任選二人, 則此二人是不同年級學生的機率 = (90 社 ) (5) 某校橋藝社由甲乙丙三班同學組成, 各佔 40% 0% 0% 社員中甲班人數 的 5, 乙班人數的 5, 丙班人數的 亦為籃球校隊隊員 某次橋藝社推選新社長, 每人當選的機會相等, 求 (a) 籃球隊員當選的機率 ;(b) 若籃球隊員當選社長, 求他是甲班同學的機率 (6) 甲乙丙三人同時翻譯一封用密碼寫成的信, 甲乙丙三人亦出之機率依次為 5 4, 且每人譯出均不互相影響, 求此封信被譯出之機率為, 若此封信被譯出, 求恰是甲一人譯出的機率 = ~ 45 8~

(7) 假設被選中參加一項刑案審判的陪審團, 不論被告有罪或無罪, 都有 0.95 的機率做出正確判決 另外還假設當地警方執法非常嚴謹, 在被審判的人當中, 有 99% 事實上是有罪的 若已知陪審團判某被告無罪, 則該名被告真的是無罪之機率是多少? (8) 根據過去紀錄知, 某電腦工廠檢驗其產品的過程中, 將良品檢驗為不良品的機率為 0.20, 將不良品檢驗為良品的機率為 0.6 又知該產品中, 不良品佔 5%, 良品佔 95% 若一件產品被檢驗為良品, 但該產品實際上為不良品之機率為 (9) 某項胸部 X 光檢查的可靠程度如下 : 對於有結核病者,90% 可發現,0% 未發現 對於無結核病者,90% 為正確, % 不正確 設地區廣大人口中患有結核病者佔 0.%, 若其中任意一人經 X 光檢查有結核病嫌疑, 則此人確有結核病的機率為 (20) 宿舍大門在晚上 0 點到 點之間上鎖的機率為 某生的抽屜中有 0 把鑰 2 匙, 其中有兩把是大門鑰匙 有一天中午, 此生任意抓走 把鑰匙外出 請問他在晚上 0 點半回來時, 能打開宿舍大門的機率是? (2) 設每次甲訪問別人家裏而告辭時忘記帶傘的機率為, 某日甲帶傘出去, 順次 5 去乙, 丙, 丁的家訪問, 最後回家時發現傘沒有帶回, 問此傘遺忘在丙家之機率是? (22) 設兩人同時被一家公司任用, 一年之後兩人是否離職或繼續在該公司是獨立 4 的 若一年之後兩人中至少有一人仍在該公司的機率是 9, 而只有一人仍在該 2 公司工作的機率是 9, 請計算一年後兩人都在公司的機率 (2) 某工業區的防盜系統都與轄區的派出所連線, 如果警報器響了, 派出所就會派一名員警過去查看 假設每次派出所收到示警訊息, 其為假警報的機率為 0., 而每次訊號之間互相獨立 若這間派出所在 24 小時內總共收到了四次警報訊號, 則四次都是真的的機率為多少? 四次當中恰有一次為假警報的機率為多少? (24) 甲乙丙三射手同射一靶, 每人一發, 設甲乙丙三人命中率依序為 0.4 0.5 及 0.6, 且各人命中靶面的事件為獨立事件, 試求 (a) 靶面恰中二發之機率 =? (b) 已知靶面恰中二發, 求是由甲及乙命中的機率 =? (25) 一種飛彈命中目標的機率每發為 0 (a) 求發射 n 次中, 至少命中一發的機率為何? (b) 求發射至少幾發, 才能使至少命中一發之機率大於 0.98? ~ 45 9~

(26) 某次考試共有 0 題是非題, 每題答對得 分, 答錯倒扣 分, 不作答得 0 分 設甲生確定會作答得有 4 題, 其餘 6 題都不經考慮隨意猜答 如果甲生確定會的 4 題都答對, 那麼甲生得分超過 4 分的機率為 (27) 設有甲 乙兩個袋子, 甲袋內有一白球 一黑球, 乙袋內有兩個白球 今從甲袋取一球放入乙袋, 再從乙袋取一球放入甲袋, 然後再由甲袋取一球放入乙袋, 最後再由乙袋取一球放入甲袋 試求 : (a) 最後甲袋內有一白球一黑球的機率 = (b) 最後乙袋內有一白球一黑球的機率 = (28) 下圖是一個繼電器構造, 每個繼電器 能正常讓電流暢通的機率為 p, 且所有繼電器獨立運作, 試求下列的電路電流從 L 到 R 暢通的機率? (a) (b) 進階問題 (29) 有 8 個人 ( 含甲乙兩人 ) 同時乘坐一輛有 4 節車廂的火車, 在已知剛好每兩人乘坐一車廂的情形下, 求甲乙兩人同坐一車廂的機率? (0) 設甲袋中有 5 個銀幣 個金幣,乙袋中有 個銀幣,今自甲袋中任取 4 個硬幣放入乙袋,再由乙袋中任取 5 個硬幣放入甲袋.試求 (a) 金幣在乙袋的機率? (b) 若金幣在甲袋,則甲取得 4 銀幣的機率? () 一袋中有 6 個紅球,4 個黑球, 依次在袋中任取一球, 取後不放回, 在已知紅球先取完的情形下, 求前 6 次取出皆為紅球的機率 =? (2) 一圓形跑道上有 S A B 三地點, 一跑車自 S 出發, 經 A 再經 B 環繞跑道, 但跑車再 A B 兩處發生故障 ( 停止不動 ) 的機率分別為 0 2, 且在 A B 兩處故障的情形互不影響, 試求 : (a) 跑車能繞完一圈的機率 (b) 跑車能完成 n 圈且在第 n+ 圈發生故障的機率 (c) 跑車環繞跑道圈數的期望值 (90 台北區指定考科模擬測驗甲 2) () x,y,z 為自然數, 每個數為偶數之機率皆為 p, 試求下列問題 : (a) 試求 xy+z 為奇數的機率為 f(p)=? (b) 若 f(p)> 2, 請求出 p 的解集合 () 0.67 綜合練習解答 ~ 45 20~

(2) 8 () (C)(D) (4) 4 (5) 8 (6) 5 6 (7) (a) 獨立 (b) 獨立 (c) 獨立 (d) 相關 (8) 4 (9) /0 9 (0) () (a) 2 8 (b) 4 (c) 224 495 (d) 4 (2) 這是抽籤問題, 第 次白球 )= 第 次白球 )= 7 林信安老師編寫 () 5 2 (4) 9 90 (5) (a) 24 00 (b) (6) 5 6 (7) 0.6( 這個機率看起來, 好像太低了, 不過在沒審判之前, 我們假設 這名被告無罪的機率是 0.0, 在經過審判獲判無罪之後, 這個值增加到 了 0.6) (8) 96 (9) 0 2 (20) (2) (22) 2 0 [ 提示 : 正面解法 5 9 反面解法 + C 2 C 8 0 C ) + 2 2 C + C 2 8 2 ( 0 C = 4 5 5 20 = 4 4 4 6 + 5 5 5 5 5 (2) (0.9) 4,C 4 (0.9) (0.) (24) (a) 9 50 (b) 4 9 7 0 = 2 0 ] ~ 45 2~ 2 C 8 2 = + 2 8 0 2 = 0

(25) (a)-( 9 0 )n (b)8 發 (26) 2 林信安老師編寫 (27) (a) 5 9 (b) 4 9 (28) (a) p 2 (2-2p 2 +p )(b) p 2 -p -2p 4 +p 5 (29) 7 (0) (a) 4 2,(b) 7 7 [ 提示 : 0 (a) 金幣在乙袋的機率為 5. 6 2 = 4 2. 5. (b) 所求條件機率為 5 = 7 0 5 5. +. 7.] 5 2 5 () 84 [ 提示 : 設 A 代表紅球先取完的情形,B 代表前 6 次取出皆為紅球的情形 A)= 4 6 5 4 2 0,A B)= 0 9 8 7 6 5 = 20 ] (2) (a) 6 7 (b)(6 7 )n 7 (c)6 [ 提示 :(a) 跑完一圈 )= 在 A 處不故障且在 B 處不故障 )=( 0 )( 2 )=6 7 (b) 不能跑完一圈 )= 6 7 = 7 完成 n 圈且在第 n+ 圈發生故障 )= ( 6 7 )n 7 (c) 期望值 E= 6 7 7 +2(6 7 )2 7 + +n(6 7 )n 7 +... 6 7 E= (6 7 )2 7 +2(6 7 ) 7 + +n(6 7 )n+ 7 +. 6 7 E= 6 7 7 + (6 7 )2 7 + (6 7 ) 7 + = 7 7 = 6 6 7 E= 6 7 7=6 7 () (a)p( p)( 2p) (b) 2 2 2 <p< 2 ~ 45 22~