題目 : 行星運動定律四百年 摘要 : 在物理發展歷史的教學中, 克卜勒行星運動定律扮演了承先啟後的重要角色 前有革命性的哥白尼的日心地動說, 後則啟發牛頓推導萬有引力定律, 在高中物理教學是必修的基礎內容 在第三定律發表即將屆滿四百年的此時, 天文物理學儼然又再度面臨了重大挑戰, 筆者值得向學生介紹這個問題的發展現狀 天文學家發現在盤狀星系中運行的恆星並不遵守克卜勒第三定律 ( 簡稱週期定律 ) 中距離三次方和週期平方成正比的規律, 反而表現出簡單的一次方線性比例關係 目前解釋此星系旋轉問題的主要學說是暗物質模型, 而另一個已知模型則是修改牛頓運動定律模型 我們也指出一推廣的高斯重力場通量模型, 配合一個柱對稱的高斯環狀曲面, 在上下盤面的重力場通量極小時, 重力場將集中在盤的側環面而得到足夠重力導致觀測到的一次方週期定律 引言 : 現代物理學以及科學的正式建立一般都追溯到牛頓在 1687 年發表 自然哲學的數學原理, 牛頓在這本書裡主要提出了著名的三個運動定律和萬有引力定律 而牛頓並非無中生有憑空創造, 這兩大力學定律, 是站在巨人的肩膀上, 主要就是克卜勒在距今大約四百年前提出的三條行星運動定律 高中生應該認識克卜勒三大行星運動定律在物理史上的地位是關鍵且承先啟後的, 前有哥白尼的日心說最終取代了地球中心說, 後則有牛頓萬有引力的推導 行星第一和第二運動定律發表於 1609 年, 而第三定律完成於 1618 到 1619 年, 至今這四百年的物理學發展在人類有文字記載的歷史中其實並不長, 而事實上克卜勒行星定律的故事並未結束 以第三定律即週期定律而言, 在四百年後的今天正上演著精彩的續集 這個定律所描述的次天體環繞主天體公轉周期與主天體結構的關係在行星和恆星的兩個系統都是正確無誤的, 然而到了恆星繞行盤狀星系的尺度, 例如太陽繞銀河系中心的公轉, 科學家已經發現了極大的岐異, 這個差異是導致宇宙中暗物質模型的主要現象之一, 而一般公認暗物質是當今物理的最重大問題之 1
一 以下是相關的理論及觀測發展, 同時簡單介紹在教學過程中發現的不均勻重力場的一種推廣高斯定律嘗試性假設, 這假設可用來解釋在盤狀星系為何克卜勒第三定律不適用 本文 : 一. 四百年前的一場革命 : 從地心說到日心說 尼古拉 哥白尼 (1473~1543) 在所著 " 天體運行論 " 中提出了地球繞太陽運行的地動說, 直接挑戰古希臘學者托勒密的地球中心 (1) 說 地心說是當時天主教會公認的世界觀, 哥白尼晚年著作出版之後不久便過世了, 而他的日心地動學說卻給後人開啟了一扇通往科學殿堂的大門 1600 年義大利學者布魯諾 (1548~1600) 因為包括大力宣揚哥白尼的學說等不為教會所容的言論而被羅馬天主教會迫害致死, 天體運行論也在 1619 年被羅馬天主教會議列為禁書 同時代的另一位倡導實驗及慣性定律的物理學家伽利略 (1564~1642) 也同樣因為支持地動說而在晚年遭到教會判罪軟禁悔過一直到去世 可以如是看待日心說在人類文明史上的重要性 : 科學家們本著謙卑的態度, 忠於觀測及邏輯推理, 藉著此一新穎學說勇於挑戰基於權威的教條, 並不惜付出了生命及自由的寶貴代價, 而從神權君權壟斷的社會中漸漸取得勝利和寶貴的自由科學活動的權利 在天文物理的理論進展來說, 地心說主要根據地表的觀測, 行星的軌跡包含了造成逆行現象的本輪, 而日心說則是放棄了人類自我中心的教條, 基於諸行星繞日同心圓軌道的簡單性, 以及後來伽利略和克卜勒使用望遠鏡仔細觀察確認地球並非世界中心 二. 橢圓, 面積, 週期 : 行星運動三定律 克卜勒 (1571~1630) 歸納行星運動定律的過程, 他仔細分析了第谷 布拉赫的肉眼觀測紀錄, 在四百年前的 1609 到 1619 十年間陸續發表的行星三大運動定律在科學史上扮演了哥白尼學說繼承者的角色, 並且更精確的定量描述了行星公轉的行為, 而為牛頓的運動力學及萬有引力直接提供了重要基礎 2
克卜勒第一定律又稱橢圓定律, 內容是 : 行星以橢圓軌道繞恆星公轉, 恆星位在此橢圓的一個焦點上 這一精確描述比哥白尼的圓型軌道本質上精密了一級 也因為這個偏心曲線軌道使得行星與恆星的距離存在遠近的變化 對八大行星而言, 橢圓軌道的偏心率其實很小, 如果依比例縮小印到書本上, 肉眼是很難分辨出與正圓形的差異的 因此也讓後人讚嘆第谷 布拉赫觀察記錄的精準度以及克卜勒分析歸納數據的嚴謹性 克卜勒第二定律又稱面積定律, 內容是 : 行星與恆星的連線在相同的時間間隔內掃過相同的面積 和第一定律類似, 都是描述單一行星公轉運動的規律, 由於恆星位於橢圓軌道的焦點, 在一個周期內行星距恆星有時近有時遠, 距離近時公轉線速率快而遠時線速率慢, 而克卜勒發現, 行星軌道掠過的面積和時間是嚴格成正比的 第一和第二定律發表在 1609 年的 " 新天文學 ", 而第三定律則是完成於 1618 年而正式發表於 1619 年的 " 世界的和諧 " 與前兩定律截然不同的是, 第三定律並非單一行星的運動規律, 而是屬於全體繞行恆星的星體的共同規律 第三定律又稱周期定律, 內容是 : 所有太陽系行星到太陽的平均距離的立方與該行星公轉周期的平方成正比 即 r 3 = K, (1) T2 其中 r 為某行星到太陽的平均距離,T 為該行星公轉周期 這個定律揭露了恆星系統的結構和運動的關係, 事實上, 這個關係不僅可以應用到太陽系統中所有繞太陽公轉的天體, 還可以推廣適用於包括地球在內的行星系統, 即包含人造衛星在內的衛星繞行星公轉時也遵守平均距離立方與周期平方成正比的關係 三. 從運動學到力學 : 第三行星運動定律與牛頓萬有引力 行星運動定律的重要性及實用性主要還是啟發牛頓發展出萬有引 (2)(3) 力定律, 從牛頓定律到克卜勒第三定律的推導可以藉由等速率圓周運動得到 等速率圓周運動的向心力可以寫成 : 3
F=ma=m v2, (2) r 其中 F 為向心力,a 為向心加速度,m 為圓周運動物體質量,v 為圓周運動線速率,r 則為圓周運動半徑 若萬有引力寫成 : F= GMm r 2, (3) 其中 F 為相距 r 的恆星質量 M 和行星質量 m 兩者間的引力,G 為重力常數 則由 (2)( 3) 兩式及圓周運動線速度定義 : v= 2πr T, (4) 其中 T 為公轉週期, 立即可得到 r 3 = GM =K, (5) T 2 4π2 其中 K 即克卜勒常數, 即證得克卜勒第三行星運動定律 當然相反的證明過程就可以從行星第三定律推導得到與距離平方成反比的牛頓萬有引力定律 在圓周運動的近似下, 遵守距離平方反比規則的牛頓萬有引力定律和克卜勒第三定律是等價的 四. 盤狀星系自轉問題 : 第三定律不適用! 牛頓萬有引力及克卜勒第三定律在恆星系統內的行星公轉和行星系統內的的衛星公轉都成立 然而在盤狀星系 ( 例如太陽所在的銀河系或仙女座星系 ) 系統卻出現了極大的差異 薇拉魯賓 (1928~) 是一位傑出的美國天文學家, 她在 1970 年對距離銀河系大約兩百五十萬光年的仙女座星系做了不同位置恆星繞星系中心公轉速度的分析 得到的結果與克卜勒第三定律的預測 (4) 截然不同, 天文學家的表達方法是星系的旋轉曲線, ( 擷取自維基百科 dark matter ) 如左圖中橫坐標是不同恆星與其星系中心的距離, 縱 4
坐標是恆星的公轉線速度, 如果遵守克卜勒第三定律, 在等速率圓周運動近似下, 即 v=2πr/t, 線速度 v 與距離 r 的關係應該是 r v 2 = K, (6) 其中 K 為一常數, 即星系的克卜勒常數 K 再乘上 4π 2, 如上圖中 v 隨著 r 增加而下降的虛線 A 然而較普遍觀察到的卻是 v 隨 r 增加呈現持平趨勢的實線 B, 這個平坦的旋轉曲線如果以等速率圓周運動的半徑 r 和週期 T 來表示, 反而呈現至為簡單的 r T = K, (7) 容易得到, 若線速率不隨公轉半徑改變, 則繞一圈所需時間就和半徑成正比 這個比例關係明顯與克卜勒第三定律 (1) 牴觸! 回顧四百年前的克卜勒, 伽利略以及後來的牛頓都已是天文望遠鏡的使用者和改良者 就他們觀察所得, 對天上行星甚至衛星的動態行為已經聊若指掌, 然而對於銀河外的世界, 特別是前述的盤狀星系, 或許他們所知仍有限? 左圖為哈伯太空望遠鏡超深場 (HUDF)( 取自維基百科 ultra deep field ) 所有亮點皆為銀河外天體, 特徵即大量非點狀星體, 與右圖中銀河系內恆星皆為點狀形成截然不同的鮮明對比 五. 暗物質 : 或修改牛頓萬有引力? (5) (6) 保留牛頓力學的前提下, 暗物質模型對此異常的旋轉曲線的解釋是, 包圍盤狀星系發光的部分, 另有大約五到十倍質量的不發光物質構成所謂暗物質暈 這些不發光的暗物質最可能是ㄧ些次原子粒子, 因為不具備原子結構因此不與電磁波起任何作用 5
目前粒子物理學家正在努力偵測暗物質粒子, 然而久久尚未尋獲 除了暗物質模型之外, 也有物理學家主張修改牛頓力學例如 MOND (MO-dified N-ewtonian D-ynamics) 理論 (7), 將牛頓力學的 (2) 式修改為 F=ma 2 =m v4 r 2, (8) 如此配合 (3)(4) 式可以得到 v 4 = GG, (9) 即 v 不隨 r 改變, 如此也得到符合盤狀星系觀測到的平坦旋轉曲線結果 六. 非均勻重力場 : 推廣高斯定律模型 除了暗物質模型及修改牛頓力學之外, 也很容易發現, 如果將牛頓萬有引力 (3) 式分母中的距離平方改成一次方, 即 F = GGm r, (10) 則配合 (2)(4) 兩式將能得到 v 2 = GG, (11) 同樣能得到平坦的星系旋轉曲線 對於修改萬有引力的平方反比律, 筆者做了一個物理涵義頗為淺顯的推理 馬克士威電磁學方程式中著名的靜電高斯定律其實可以將重力場和庫倫靜電場共同相似的場強與距離平方成反比的規律統一在場通量面密度的機制中 在高斯定律中, 重力場通量可以設定為 4πGM, 而在以 M 質量為中心場源, 以 r 為半徑的所謂高斯球面上, 除以表面積 4πr 2 的通量面密度即等於場強 GM/r 2, 其具有距離平方反比規律 在高斯定律的表達中我們看到扮演重力場主角的不是 力 而是 通量 (flux) 如果我們針對盤狀星系設想一 6
個盤狀的場通量分布, 即通量集中到盤的環狀側壁, 而忽略上下盤面的通量, 如左圖所示盤厚為 d, 則可以得到此時有通量經過的高斯面僅有側環面, 其面積為 2πrd, 因此同樣場源造成的總場通量 4πGM 分布在此環面的面密度將是 2GM/rd, 而質量 m 的恆星所受的向心力則成為 : F = 2GGG r d, (12) 在厚度 d 為常數的情況下, 重力呈現與距離的一次方成反比! 這個 " 通量集中 " 的不均勻重力場機制不僅針對盤狀星系的平坦旋轉曲線提供足夠的強大重力, 定性上說也具備推廣到以不均勻的場通量來構築其他天體結構, 例如星系團或其他大尺度結構, 更強大的重力場 結論 : 在力學發展歷史教學中, 克卜勒行星運動定律扮演了承先啟後的重要角色 向前承接革命性的哥白尼的日心說而後又啟發了牛頓推導萬有引力定律 在第三定律發表即將屆滿四百年的此時, 天文物理學儼然又面臨了新的重大挑戰 在盤狀星系中運行的恆星並不遵守克卜勒第三定律中距離三次方和週期平方成正比的規律, 反而表現出簡單的一次方比例關係 本文介紹了目前解釋此星系旋轉曲線問題的兩個理論, 作者也自行提出推廣的高斯定律模型, 指出一個柱對稱的高斯環狀曲面忽略上下盤面的重力場, 可以將重力場通量集中在側環面而提供足夠重力導致觀測到星系的平坦的旋轉曲線 參考文獻 1. 張海潮, 古代希臘的天文成就, 科技大觀園, 科學史沙龍演 7
講,2016/2/4 2. 張海潮, 原理 的故事, 科技大觀園, 科學史沙龍演講,2015/12/24 3. 姚珩, 從虎克看牛頓運動定律的發生, 科技大觀園, 科學史沙龍演講,2015/12/24 4. Rubin, Vera C.; Ford, W. Kent, Jr., "Rotation of the Andromeda Nebula from a Spectroscopic Survey of Emission Regions", The Astrophysical Journal 159: 379. (1970) 5. 陳露生, 宇宙科學探索的展望, 科技大觀園, 科學發展,401 期,2006 年 5 月,66~71 頁 6. 傅學海, 宇宙的黑暗勢力 黑洞 暗物質與暗能量, 科技大觀園, 科學發展,411 期,2007 年 3 月,58 ~ 65 頁 7. 高涌泉, 暗物質真的存在嗎?, 科學人, 第 8 期,2002 年 10 月號,64~70 頁 8