課本習題解答 7 習題 - 袋子中裝有編號,, 的三個球,從袋中取一球觀察號碼. S 表樣本空間, A 表號碼為 奇數的事件.選出正確的選項: () S = {,,} () A = {,} () A 不發生的事件為 { } () S 的事件共有 個 (5) S 的事件中與 A 事件互斥的共有 個 () 樣本空間 S = {,,}. () 號碼為奇數的事件 A = {,}. () 事件 A 不發生表示號碼為偶數,即 A 的事件,故 A = { }. () 樣本空間 S 的事件為 S 中的任一子集,又 S = {,,} 的所有子集為 共 8 個.,{ },{ },{ },{, },{, },{, },{,, }, (5) 由上可知,與 A 事件相交為空集合的事件有 共 個事件. 故選項 ()()()(5) 正確.,{ }, 一對夫婦準備生兩個小孩,現依小孩出生的次序觀察其性別,分別寫出 () 樣本空間. () 兩個小孩中有女孩的事件. () 兩個小孩中恰為一男一女的事件.
7 課本習題解答 { } () 樣本空間 (, ), (, ), (, ), (, ) S = 男男男女女男女女. { } () 兩個小孩中有女孩的事件為 (, ), (, ), (, ) () 恰為一男一女的事件為 (, ), (, ) 男女女男女女. { } 男女女男. 連續丟一個硬幣三次,依次觀察出現正面或反面的情形.令 A 表示至少有一次正面的事件, B 表示第二次是反面的事件.試以集合表示下列事件: () 事件 A 和 B 都發生. () 事件 A 不發生. () 事件 A 發生但事件 B 不發生. () 事件 A 和 B 都發生表示:至少有一次正面且第二次是反面,即 {(,, ), (,, ), (,, )} 正反正正反反反反正. () 事件 A 不發生表示一次正面也沒有的事件,即 {( 反反反,, )} () 事件 A 發生但事件 B 不發生表示:至少有一次正面且第二次是正面,即 {(,, ), (,, ), (,, ), (,, )} 正正正正正反反正正反正反.. 袋子中有編號,, 的三個球,甲乙丙三人各取一球,若 A 表甲所取的號碼大於乙號碼的事件, B 表乙的號碼大於丙號碼的事件,則寫出: () 此試驗的樣本空間 S. () A 和 B 都發生的事件. () A 或 B 發生的事件. 以 ( xyz,, ) 代表甲 乙 丙三人所取的號碼. () 此試驗的樣本空間 S = {(,,, ) (,,, ) (,,, ) (,, ), (,,, ) (,,) }.
課本習題解答 7 { } () 甲所取的號碼大於乙號碼的事件 A = (,,, ) (,,, ) (,,) { } 乙的號碼大於丙號碼的事件 B = (,,, ) (,, ), (,,) A 和 B 都發生的事件表示甲所取的號碼大於乙號碼且乙的號碼大於丙 { } 號碼,即 A B的事件,故 A B= (,,). () A 或 B 發生的事件表示甲所取的號碼大於乙號碼或乙的號碼大於丙號碼,即 A B的事件,故 {(,,, ) (,,, ) (,, ), (,,, ) (,,) } A B=.,, 習題 - 一 基礎題 下列各事件發生的機率中,何者為 () 丟 個硬幣,出現正面的機率? () 丟 個硬幣兩次,出現一正一反的機率 () 同時丟 個硬幣,出現一正一反的機率 () 丟 個硬幣四次,出現二正二反的機率 (5) 同時丟 個硬幣,出現二正二反的機率 () 在每一面出現的機會均等的原則下,丟一個硬幣的樣本空間 S = { 正, 反 }, n( S ) = 出現正面的事件 A = { 正 }, n( A ) =,所以機率為 () 丟一個硬幣兩次,樣本空間,. S = {( 正正, ), ( 正反, ), ( 反正, ), ( 反反, )}, n( S ) =,
7 課本習題解答 { } 出現一正一反的事件 B= ( 正反, ), ( 反正, ), n( B ) = 所以機率為. () 同時丟 個硬幣,將 個硬幣視為相異,樣本空間 S = {( 正正, ), ( 正反, ), ( 反正, ), ( 反反, )}, n( S ) = 出現一正一反的事件 C = ( 正反, ), ( 反正, ), nc ( ) =, 所以機率為. () 丟一個硬幣四次,共有 6 出現二正二反的事件 D 有 C { } = 種情形, n( S ) = 6 C 6 = 種情形, n( D ) = 6 (5) 同時丟 個硬幣,將 個硬幣視為相異,共有 6 出現二正二反的事件 E 有 C 故選項 ()()() 正確. 擲 粒骰子二次,求 () 兩次的點數相同的機率. () 第一次的點數大於第二次點數的機率. C 6 = 種情形, n( E ) = 6.,,,所以機率為 8. = 種情形, n( S ) = 6,所以機率為. 8. 每粒骰子出現各點數的機會相等,樣本空間 S 共有 6 個元素. 6 () 兩次的點數相同的事件機率為 =. 6 6 6 6 C 5 () 第一次點數大於第二次點數的機率為 =. 6 6 同時擲 粒骰子,求 () 至少出現一粒 6 點的機率. () 點數和為 9 的機率.
課本習題解答 75 因為每粒骰子出現各點數的機會相等,所以樣本空間 S 共有 6 個元素. () 若事件 A 表 粒骰子的點數至少出現一粒 6 點,則 A 的補集 A 表示 粒 骰子的點數均不為 6 點的事件,共有 5 = 5種情形.故事件 A 的機率 5 9 P( A) = P( A ) = =. 6 6 () 粒骰子點數和為 9 的點數出現情形可分為以下六種: 三個點數分別為 {,,6 },{,,5 },{,, },{,, },{,,5 }, {,, }. 因為每個骰子都視為不同,所以 粒骰子點數和為 9 的事件共有!!! + + = 5!! 5 種情形.故此事件的機率為 6.
76 課本習題解答 丟 個硬幣四次,求 () 恰出現 次正面的機率. () 至少出現 次正面的機率. 5 丟一個硬幣 次,樣本空間 S 共有 個元素. 若恰出現 k 次正面的事件為 A k,則 P( A ) = =, P( A ) = = =, ( ) 0 6 C 6 P( A ) = = =, ( ) () 恰出現 次正面的事件 C C 6 P A = = =, 6 6 8 C P A = =. 6 A 的機率為 P( A ) =. () 至少出現 次正面的機率為 P( A A A) = + + =. 8 6 6 已知編號 到 0 的十盞路燈中,有三盞路燈是故障的,求編號 與編號 5 都是故障 的機率. 6 已知十盞路燈中有三盞故障,因此樣本空間 S 有 C 0 種情形. 若 A 表示編號 與編號 5 故障的事件,即其餘八盞路燈中有一盞故障,共有 C 種情形.因此事件 A 的機率 P( A) 8 C = =. C 5 求任三人中所屬的星座 ( 有 個星座 ) 都不同的機率. 8 0
課本習題解答 77 每人所屬的星座有 種,因此樣本空間 S 有 種情形. 若 A 表示 人星座皆不相同的事件,共有 0 種情形.因此事件 A 的機 率 0 55 = =. 7 ( ) P A 二 進階題 7 甲 乙 丙三人同時猜拳 剪刀 石頭 布 時,三人平手的機率是多少? 三人猜拳的樣本空間 S 共有 個元素.三人平手的情況分為: 三人都出相同的拳 或是 三人都出不同的拳,因此機率為
78 課本習題解答 + =.
課本習題解答 79 8 在 7 張卡片中,有 張正數和 張負數.從中任取 張作 乘法練習,其乘積是正數的機率為多少? 從 7 張卡片中取出 張的樣本空間 S 共有 C 個元素. 乘積是正數的情況分為: 兩張都是正 或 兩張都是負,因此機率為 C + C 7 C =. 7 7 9 在右圖的棋盤方格中,隨機選取兩個格子,求選出的兩個格 子不在同一行的機率. ( 有無同列無所謂 ) 從 6 個格子隨機選取 個格子,樣本空間 S 共有 C 6 個元素. 若事件 A 表兩個格子不在同一行的事件,則 A 的補集 A 表示兩個格子在同 一行的事件,可分為:同在第一行,同在第二行,同在第三行及同在第四行,共四 種情形.又每一種情形分別都有 C 種選法.故事件 A 的機率 C = = =. C 5 ( ) P( A ) P A 6
80 課本習題解答 0 美美申辦提款卡時,依銀行規定須自訂 個阿拉伯數字排成一組密碼,某天美美欲提款時發現她忘了正確密碼,只記得是由,,5,7 四個數字排成的, () 她一次就猜對的機率是多少? () 提款機設定當輸入的密碼錯誤達三次時,會沒收該提款卡.美美嘗試輸入不同密碼,則她的提款卡會被沒收的機率是多少? 將,,5,7 四個數字排成一組密碼的排法有! = 種. 若恰在第 k 次猜對的事件為 P( A ) =, P( A ) A k,則 = = () 第一次就猜對的機率為 ( ) P A =., P( A ) = =. () 若事件 A 表示前三次嘗試皆錯誤的事件,則 A 的補集 A 表示恰好在第一 次,第二次或第三次猜對的事件,即 A A A.因為 A, A, A 三事件兩兩 互斥,所以事件 A 的機率 7 P( A) = P( A ) = P( A A A) = + + =. 8 袋中有 5 個白球和數個黑球.今從袋中一次取出兩球,已知此兩球同為白球的機率 是.試問袋中有幾個黑球? 5 假設袋中有 n 個黑球,從袋中一次取出兩球的樣本空間 S 共有 C + 個元素. 取出的兩球同為白球的機率是,因此可得 5 C 0 = = n ( n+ )( n+ 5) = 0 C + 5 ( n+ )( n+ 5) n
課本習題解答 8 n + 9n 90= 0 ( n )( n ) n = 0 ( 負不合 ), + 9 0 = 0 所以袋中有 0 個黑球. 習題 - 一 基礎題 設生男或生女的機率均為 () 若已知 個都是男孩,則老三是男孩的機率為,對一個有 個小孩的家庭而言,下列敘述何者正確? () 若已知老大和老二都是男孩,則老三是男孩的機率為 () 若已知 個小孩性別相同,則老三是男孩的機率為 () 若已知 個小孩中只有一個男生,則老三是男孩的機率為 令 A 表老三是男孩的事件, B 表 個小孩都是男孩的事件, C 表老大和老二都是男孩的事件, D 表 個小孩性別相同的事件, E 表 個小孩中只有一個男生的事件. {(,, ), (,, ), (,, ), (,, )} A= 男男男女男男男女男女女男; {(,, )} B= 男男男; {(,, ), (, )} C = 男男男男男, 女; {(,, ), (,, )} D= 男男男女女女; {(,, ), (,, ), (,, )} E = 男女女女男女女女男. { } () A B (,, ) = 男男男.
8 課本習題解答 已知在 B 發生的條件下, A 發生的機率為 ( ) P AB { } () A C (,, ) = 男男男. ( B) n( B) n A = = =. 已知在 C 發生的條件下, A 發生的機率為 ( ) P AC { } () A D (,, ) = 男男男. ( C) nc ( ) n A = =. 已知在 D 發生的條件下, A 發生的機率為 ( ) P AD { } () A E (,, ) = 女女男. ( D) n( D) n A = =. 已知在 E 發生的條件下, A 發生的機率為 ( ) P AE 故選項 ()()()() 正確. ( E) n( E) n A = =. 設 A 與 B 為獨立事件,且 P( A ) =, ( ) () P( A B) 5 6 P B =.選出正確的選項: = () P( BA ) = () ( ) = () P( BA ) = (5) P( B A ) P AB = () 因為 A 與 B 為獨立事件,所以 P( A B) = P( A) P( B) = =. 6 () 因為 A 與 B 為獨立事件,所以 P( BA) = P( B) =.
課本習題解答 8 = =. () 因為 A 與 B 為獨立事件,所以 P( AB) P( A) () 因為 A 與 B 為獨立事件,所以 B 與 A 也為獨立事件,故 P( BA ) = P( B) =. (5) 因為 A 與 B 為獨立事件,所以 B 與 A 也為獨立事件,故 P( B A ) = P( B ) = P( B) = =. 故選項 ()()(5) 正確.
8 課本習題解答 已知事件 A 與 B 滿足 P( A ) =, P( B ) =, P( A B) () P( BA ). () P( B A). () P( A B ) =.求下列各機率:. () P( BA) P( A B) = = =. P( A) = = =, P( A B ) P B A = = =. P( A) () P( A B ) P( A) P( A B) 因此 ( ) 7 = + = + =, 5 P A B = P A B =. 5 P( A B ) 5 P( A B ) = = =. P( B ) 8 () P( A B) P( A) P( B) P( A B) 故 ( ) ( ) 甲乙兩人解同一問題,甲解出這個問題的機率是 0.,乙解出這個問題的機率是 0.5.在兩人解題互不影響下,求 () 兩人都解出此問題的機率. () 恰有一人解出此問題的機率. () 至少有一人解出此問題的機率. () 已知兩人中恰有一人解出此問題,求此題是由甲解出的機率. 令 A, B 分別表示甲,乙解出此問題的事件.且 A, B 為獨立事件. () P( A B) = P( A) P( B) = 0. 0.5= 0..
課本習題解答 85 5 () 恰有一人解出此問題的情形為 甲解出乙沒解出 或 甲沒解出乙解 + = + =. 出,機率為 P( A B ) P( A B) 0. 0.5 0.6 0.5 0.5 () 至少有一人解出此問題的情形為 恰一人解出 或 兩人都解出,且兩 情形為互斥,故機率為 0.5+ 0.= 0.7. () 在恰有一人解出的條件下,由甲解出的機率為 0. 0.5 0. = =. 0. 0.5+ 0.6 0.5 0.5 5 某電視台舉辦過關遊戲,每位參賽者要依序過三關,過關者才能繼續參加下一關挑 戰,設任一人在每一關被淘汰的機率是 () 小明被淘汰的機率為多少?,且此三關過關與否為獨立事件. () 若已知小明被淘汰了,則他是在最後一關被淘汰的機率為多少? 6 令 A, B, C 分別表示通過第一關,第二關或第三關的事件,且 A, B, C 為獨立事 件. () 小明過三關的機率為 P( A B C) = P( A) P( B) PC ( ) = =, 7 6 因此小明被淘汰的機率為 =. 7 7 P A B C = =. 7 () 小明是在最後一關被淘汰的機率為 ( ) 因此已知小明被淘汰的條件下,他是在最後一關被淘汰的機率為 7 =. 6 7
86 課本習題解答 根據統計, 5% 的男性及 0.% 的女性為色盲,且臺灣地區的新生兒中男女比率為.:,求臺灣地區新生兒色盲者中男女的比率.
課本習題解答 87 依題意畫樹狀圖如下: 因此,新生兒色盲男女的比率為. 0.05: 0.00= 55:. 二 進階題 7 設兩事件 A 與 B 滿足 P( A ) = 0.5, P( A B) 0.8 () 已知 A 與 B 為互斥事件,求 P( B ). () 已知 A 與 B 為獨立事件,求 P( B ). =. () 因為 A 與 B 為互斥事件,所以 P( A B) 0 根據取捨原理得知, =. ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) P A B = P A + P B P A B 0.8= 0.5+ P B 0, 解得 P( B ) = 0.. () 因為 A 與 B 為獨立事件,所以 P( A B) P( A) P( B) 0.5 P( B) 根據取捨原理得知, = =. ( ) ( ) ( ) ( ) 0.8 0.5 ( ) 0.5 ( ) P A B = P A + P B P A B = + P B P B, 解得 P( B ) = 0.6.
88 課本習題解答
課本習題解答 89 8 5 已知 A, B 是兩獨立事件,且 A 和 B 都不發生的機率是, ( ) 7 P B =,求 ( ) P A. 9 因為 A, B 是兩獨立事件,所以 A 和 B 也是兩獨立事件. A 和 B 都不發生的事 件 A B 所發生的機率為 6 P( A B ) = P( A ) P( B ) = P( A ) ( P( B) ) = P( A ), 7 5 6 = 7 P A,即 5 5 7 P( A ) =.因此, P( A ) = =. 得到 ( ) 黑箱中有七枚硬幣,其中一枚兩面皆是人頭,一枚兩面皆是字,其餘五枚一面是人頭 一面是字.將手伸入箱中握住一枚硬幣,取出後打開手掌,發現一面是人頭,試問另一 面也是人頭的機率是多少? 依題意畫樹狀圖如下: 設事件 A 表取出的硬幣朝上的那一面是人頭,事件 B 表另一面是人頭.因為 朝上那一面是人頭的硬幣有兩種情形,所以 5 P( A ) = + =. 7 7 又因為事件 A B表示兩面是人頭的事件,所以 P( A B) =. 7 因此,朝上那一面是人頭,另一面也是人頭的機率
90 課本習題解答 0 ( ) P BA P( B A) 7 = = =. P( A) 7 下列電路圖中有 個開關,電流通過各開關的機率均為 電流從左端流到右端的機率. 5,且各開關的操作獨立.求 設電流分別通過上端左方的開關,上端右方的開關,下端的開關的事件為 A, B, C. ( ) 由圖知,電流可從左端流到右端的機率為 ( ) P A B C. 9 = = =, 5 5 5 7 P( A B C) = =. 5 5 5 5 9 7 9 故 P( ( A B) C) = P( A B) + PC ( ) P( A B C) = + =. 5 5 5 5 因為各開關的操作獨立,所以 P( A B) P( A) P( B) 袋中有 個紅球 個白球,甲乙兩人依序輪流取球,每次取一球,約定先取到紅球者勝. () 若球取出後均再放回,則乙在第二次取球時獲勝的機率為多少? () 若球取出後不放回,則甲獲勝的機率為多少? () 若球取出後均再放回,乙在第二次取球時獲勝,表前面均取到白球,其機 率為
課本習題解答 9 8 =. 6 6 8
9 課本習題解答 () 若甲要獲勝,可能的情形有以下的樹狀圖: 若球取出後不放回,甲獲勝的機率為 + + = + + =. 6 6 5 6 5 6 5 5 5 籤筒的 5 支籤中 支有獎,甲乙丙三人先後各抽 支籤,抽完後不 放回,求 () 甲中獎的機率. () 乙中獎的機率. () 丙中獎的機率. 設事件 A, B, C 分別代表甲,乙,丙中獎的事件. () 事件 A 發生的機率為 ( ) P A = 5. () 乙中獎的情形可分為甲乙都中獎 A B和甲不中乙中 A B兩種情形, 且兩者為互斥事件.又因為 P( A B) = P( A) P( BA) = =, 5 0 P( A B) = P( A ) P( BA ) = =, 5 0
課本習題解答 9 = + = + =. 0 0 5 所以 P( B) P( A B) P( A B) () 丙中獎的情形可分為甲丙中乙不中 A B C,乙丙中甲不中 A B C, 和甲乙不中丙中 A B C三種情形,且三者為互斥事件.又因為 所以 P( A B C) = P( A) P( B A) P( CA B ) = =, 5 0 P( A B C) = P( A ) P( BA ) P( CA B) = =, 5 0 P( A B C) = P( A ) P( B A ) PCA ( B ) = =, 5 5 P( C) = P( A B C) + P( A B C) + P( A B C) = + + =. 0 0 5 5 有甲乙丙三個袋子,甲袋內有 白球 5 黑球;乙袋內有 白球 黑球;丙袋內有 白 球 黑球.今任選一袋,然後再由袋中取出一球. () 求此球是白球的機率. () 已知取出的是白球,求此球是取自乙袋的機率. 依題意畫樹狀圖如下: 因為白球可能來自甲 乙或丙袋,所以 () 取出的球為白球的機率為
9 課本習題解答 6 P ( 白球 ) = + + =. 8 5 0 () 在取出的球為白球的情況下,此球是取自乙袋的機率為 P ( 乙白球 ) P( 白球來自乙 ) 0 = = =. P( 白球 ) 6 6 0 許多國家的法庭通常設有陪審團制度.假設被選中參加一項刑案審判的陪審團,不 論被告有罪或無罪,都有 95% 的機會做出正確的判決.另外,當地警方執法嚴謹,在接 受法庭審判的被告當中有 99% 是真正有罪的.若已知陪審團判某被告無罪,則該名 被告真的無罪的機率為多少? 依題意畫樹狀圖如下: 設 A 為被告真正無罪的事件, B 為被告被判無罪.因為 A 與 B 互為獨立事件,所以陪審團判被告無罪的機率 ( ) ( ) ( ) 0.99 0.05 0.0 0.95 0.059 P B = P A B + P A B = + =. 若已知陪審團判被告無罪,則該名被告真的無罪的機率為 ( ) P AB ( B) P( B) P A 0.0 0.95 0.0095 9 = = = =. 0.059 0.059 8
課本習題解答 95
96 課本習題解答 第 章總習題 一 概念題 袋子內裝有編號,, 號的球各 個.今在袋子中取球,依下列敘述,選出正確的選項: () 因為取出球的號碼不是奇數就是偶數,所以若只取一球,則 號球被取出的機率 為 () 若同時取出兩球,則 號球被取出的機率為 () 若一次一球取了兩次,取出後放回,則 號球被取出的機率為 () 若一次一球取了兩次,取出後不放回,則 號球被取出的機率為 () 一次取出 球,樣本空間有 個元素.故 號球被取出的機率為 () 同時取出 球,兩球不分先後順序,取法有 C = 素. 取出的兩球中有一球為 號球的事件 P A =. 所以 ( ) A = {, }, n( A ) =, 5 9. 種,故樣本空間有 個元 () 取一球後放回,再取一球的取法有 = 9種,故樣本空間有 9 個元素. 取出的兩球中有一球為 號球的事件 所以 ( ) P B = B = {(, ), (,, ) (,, ) (, ), (,) }, n( B ) = 5 5 9. () 取一球後不放回,再取一球的取法有 = 6種,故樣本空間有 6 個元素. 取出的兩球中有一球為 號球的事件 C = {(,, ) (,, ) (, ), (,) }, nc ( ) =,,
課本習題解答 97 P C = =. 6 所以 ( ) 故選項 ()()() 正確. 擲一個公正骰子二次,選出正確的選項: () 第一次出現偶數點的機率是 () 點數和是 7 的機率是 6 () 若已知點數和是 7,則第一次出現偶數點機率是 () 若已知第一次出現偶數點,則點數和是 7 的機率是 6 令 A 表第一次出現偶數點的事件, B 表二次點數和為 7 的事件.依題意, 6 P( A ) = =, P( B ) = =, P( A B) = =. 6 6 6 6 6 6 () 若已知點數和是 7,則第一次出現偶數點的機率為 P( AB ) = =. 6 () 若已知第一次出現偶數點,則點數和是 7 的機率為 故答案為 ()()()(). P( BA ) = =. 6 已知三事件 A, B, C 為獨立事件,其發生的機率分別為 () 三事件均發生的機率為 () 三事件均不發生的機率為,,.選出正確的選項:
98 課本習題解答 () 恰有一事件發生的機率為 () 恰有二事件發生的機率為 () 因為三事件 A, B, C 為獨立事件,所以三事件均發生的機率為 P( A B C) = P( A) P( B) P( C) = =. () 因為三事件 A, B, C 為獨立事件,所以 A, B, C 為獨立事件,此三事件均 不發生的機率為 P( A B C ) = P( A ) P( B ) P( C ) = =. () 恰有一事件發生的情形為 A 發生, B, C 不發生, B 發生, A, C 不發生 或 C 發生, A, B 不發生,且三情形彼此為互斥事件.因為三事件 A, B, C 為獨立事件,所以恰有一事件發生的機率為 ( ) + ( ) + ( ) P A B C P A B C P A B C = + + =. () 恰有二事件發生的情形為 A, B 發生, C 不發生, B, C 發生, A 不發生 或 C, A 發生, B 不發生,且三情形彼此為互斥事件.又因為三事件 A, B, C 為獨立事件,所以恰有二事件發生的機率為 或以扣除法得 故答案為 ()(). ( ) + ( ) + ( ) P A B C P A B C P A B C + 6+ = + + = =. =. 二 程序題
課本習題解答 99 某工廠生產燈泡,每 0 個裝成一盒.該工廠品質檢驗的方法是從每盒中任取 個來檢查,如果有 個或 個以上的燈泡是壞的就整盒淘汰.若某一盒有 個壞燈泡,則這一盒會被淘汰的機率為多少? 5 每次從 0 個燈泡中任取 個檢查,共有 C = 種取法,故樣本空間 S 有 0 0 0 個元素.這一盒燈泡被淘汰的情形有兩種:恰取到 個壞燈泡或恰取到 個壞 燈泡,且這兩種情形為互斥事件. 7 C C 6 恰取到 個壞燈泡的機率為 = =,而恰取到 個壞燈泡的機率 0 0 0 7 C C 7 為 = =.故這一盒燈泡被淘汰的機率為 0 0 0 + =. 0 0 某麵包店將前一天未賣完的隔夜麵包 個,與 個當天出爐的麵包放在一起出售. 小明到該麵包店買麵包,從這 個麵包中隨機拿了 個.求小明買到至少一個隔夜 麵包的機率. 從 個麵包中隨機拿 個的取法有 C 種,故樣本空間 S 有 C 個元素.若 A 表示小明買到至少一個隔夜麵包的事件,則 A 表示小明沒買到隔夜麵包的 事件.又事件 A 的機率為 因此,事件 A 發生的機率為 C 5 P( A ) = =, C 6 P( A) = P( A ) =. 6
00 課本習題解答 6 學校有 60% 的老師是女性.女老師中有 0% 的人已婚,男老師中有 0% 的人已婚,今 隨意抽出一位老師,若已知此位老師已婚,求此位老師是女性的機率. 依題意畫樹狀圖如下: 7 令事件 A 表示抽出的老師為女性的事件,事件 B 表示抽出的老師為已婚的 事件. 因為已婚的老師可能是女性或男性,所以抽出的老師為已婚的機率為 P( B ) = 0.6 0.+ 0. 0.= 0.. 因此,已知此位老師已婚,此位老師是女性的機率為 ( ) P AB 0.6 0. = = 0.75. 0. 同時擲 個公正的骰子一次,在至少出現一個 6 點的條件下,求恰好出現 個 6 點的 機率. 令事件 A k 表示恰好出現 k 個 6 點的事件,則 5 5 0 P( A ) = =, P( A ) 6 6 C 5 75 = =, 6 6 ( ) = =, ( ) P A C 5 5 6 6 且這四事件兩兩皆為互斥事件. C P A = =, 6 6
課本習題解答 0 又至少出現一個 6 點的機率為 9 P( A A A) = P( A) + P( A) + P( A) =, 6 因此,在至少出現一個 6 點的條件下,恰好出現 個 6 點的機率為 5 5 P( A A 6 A A) = =. 9 9 6 三 數學解題 8 甲乙等 5 名志工被分配到 A, B, C 與 D 四個不同的崗位服務,每個崗位至少有一人,求 () 甲乙兩人同在 A 崗位服務的機率 () 甲乙兩人不在同一個崗位服務的機率 已知 5 名志工被分配到四個崗位,且每個崗位至少有一人,因此,有一個崗位 分配到 名志工,其餘三個崗位各有 名志工,共有 種分配方式. 5 C C C C! = 0! () 甲乙兩人同在 A 崗位,其餘三人平均分配到其餘三個崗位的分配方式有 6! = 6種,故機率為 =. 0 0 () 甲乙兩人同在一崗位服務 的情形可分為同在 A, B, C, D 崗位服務四 種,且由 () 可知,甲乙兩人同在 A, B, C, D 崗位服務的機率皆為 甲乙兩人同在一崗位服務 的機率為 =. 0 0 0.因此, 事件 甲乙兩人不在同一崗位服務 的補集為事件 甲乙兩人同在一
0 課本習題解答 9 崗位服務,故 甲乙兩人不在同一崗位服務 的機率為 =. 0 0 9 已知某種飛彈擊中目標的機率為 0.8. () 若同時發射 枚飛彈,則擊中目標 ( 即至少中 發 ) 的機率為何? () 請問至少要同時發射多少枚飛彈,才能使擊中目標的機率提高到 99.9%? 設 A k 表飛彈 k 擊中目標的事件.依題意, ( ) P( A ) P A = = 0.8. () 因為 A 與 A 是獨立事件,所以 A 與 A 是獨立事件.兩飛彈都未擊中目標 的機率為 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) P A A = P A P A = 0.8 0.8 = 0.0, 故擊中目標的機率為 ( ) ( ) P A A = P A A = 0.0= 0.96. () 令同時發射 n 枚飛彈,才能使擊中目標的機率提高到 99.9%.也就是說,同 時發射 n 枚飛彈,全未擊中目標的機率不高於 0.%,可得到 n 即 5 000 ( L n ) P( A ) P( A ) L P( A n ) ( ) P A A A n = = 0.8 = 0. 0.00.,得 n 5. 因此,至少同時發射 5 枚飛彈時,擊中目標的機率可提高到 99.9%. n 0 甲袋中有 個紅球, 個白球,乙袋有 個紅球, 個白球,丙袋有 5 個白球.擲一骰子 次,若出現點數為,則從甲袋抽出 球,若出現點數 或,則從乙袋抽出 球,若出現
課本習題解答 0 點數,5 或 6,則從丙袋抽出 球.若已知取出的球為白球,則此球來自乙袋的機率是 多少? 依題意畫樹狀圖如下: 令事件 A 表示抽出的球為白球的事件,事件 B 表示抽出的球來自乙袋的事 件. 因為白球可能來自甲,乙或丙袋,所以抽出的球為白球的機率為 P( A ) = + + =. 6 5 6 5 6 5 因此,已知取出的球為白球,此球來自乙袋的機率為 P 6 5 ( BA) = =. 5