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第 5 章 梁 的 应 力 提 要 : 本 章 将 主 要 研 究 梁 在 线 弹 性 范 围 内 平 面 弯 曲 情 况 下 的 应 力 分 析 和 强 度 计 算 问 题 本 章 从 平 面 假 设 出 发, 并 设 梁 内 各 纵 向 线 之 间 无 相 互 挤 压, 从 几 何 关 系 物 理 关 系 和 静 力 学 关 系 三 方 面 入 手 导 出 纯 弯 曲 时 梁 横 截 面 上 任 一 点 的 正 应 力 公 式, 并 将 其 推 广 到 横 力 弯 曲 情 形 下 梁 的 横 截 面 上 一 般 既 有 正 应 力 又 有 切 应 力 本 章 还 将 介 绍 矩 形 工 字 形 圆 形 和 薄 壁 环 形 截 面 上 切 应 力 的 分 布 规 律 以 及 最 大 切 应 力 的 计 算 公 式 在 得 到 梁 横 截 面 上 的 正 应 力 和 切 应 力 计 算 公 式 的 基 础 上, 将 建 立 梁 的 正 应 力 强 度 条 件 和 切 应 力 强 度 条 件, 并 依 据 强 度 条 件 进 行 强 度 计 算 应 该 注 意 的 是, 除 了 少 数 情 形, 梁 的 正 应 力 强 度 条 件 是 主 要 的 为 了 降 低 梁 的 最 大 正 应 力, 从 而 提 高 梁 的 抗 弯 能 力, 本 章 将 从 合 理 选 择 截 面 形 状 采 用 变 截 面 梁 合 理 配 置 梁 的 荷 载 和 支 座 三 方 面 来 探 讨 梁 的 合 理 强 度 设 计 本 章 将 简 单 讨 论 非 对 称 截 面 梁 产 生 平 面 弯 曲 的 条 件, 从 而 建 立 弯 曲 中 心 的 概 念 此 外, 本 章 还 将 简 单 阐 述 梁 的 塑 性 极 限 计 算 的 基 本 原 理, 提 出 塑 性 铰 的 概 念 5.1 梁 横 截 面 上 的 正 应 力 在 一 般 情 形 下, 梁 弯 曲 时 其 横 截 面 上 既 有 弯 矩 又 有 剪 力, 这 种 弯 曲 称 为 横 力 弯 曲 (ending trnsverse deformtion) 由 上 章 可 知, 梁 横 截 面 上 的 弯 矩 是 由 正 应 力 合 成 的, 而 剪 力 则 是 由 切 应 力 合 成 的, 因 此, 在 梁 的 横 截 面 上 一 般 既 有 正 应 力 又 有 切 应 力 如 果 某 段 梁 内 各 横 截 面 上 弯 矩 为 常 量 而 剪 力 为 零, 则 该 段 梁 的 弯 曲 称 为 纯 弯 曲 (pure ending) 图 5.1 中 两 种 梁 上 的 B 段 就 属 于 纯 弯 曲 显 然, 纯 弯 曲 时 梁 的 横 截 面 上 不 存 在 切 应 力 Q () () 图 5.1 梁 的 纯 弯 曲 () 悬 臂 梁 的 纯 弯 曲 ;() 简 支 梁 的 纯 弯 曲

第 5 章 梁 的 应 力 99 5.1.1 纯 弯 曲 时 梁 横 截 面 上 的 正 应 力 考 虑 到 应 力 与 变 形 之 间 的 关 系, 可 以 根 据 梁 在 纯 弯 曲 时 的 变 形 情 况 来 推 导 梁 横 截 面 上 的 弯 曲 正 应 力 (norml stress in ending) 分 布 现 取 一 对 称 截 面 梁 ( 如 矩 形 截 面 梁 ), 在 梁 的 侧 面 画 上 两 条 横 向 线 以 及 两 条 纵 向 线 cc dd, 如 图 5.() 所 示 然 后 在 梁 两 端 施 加 外 力 偶 e, 使 梁 发 生 纯 弯 曲 实 验 结 果 表 明, 在 梁 变 形 后, 纵 向 线 cc 和 dd 弯 曲 成 弧 线, 其 中 上 面 的 cc 线 缩 短, 下 面 的 dd 线 伸 长, 而 横 向 线 和 仍 保 持 为 直 线, 并 在 相 对 旋 转 一 个 角 度 后 继 续 垂 直 于 弯 曲 后 的 纵 向 线, 如 图 5.() 所 示 c d c d e c d c d e () () 图 5. 纯 弯 曲 变 形 () 画 有 标 识 线 的 对 称 截 面 梁 ;() 梁 的 纯 弯 曲 变 形 根 据 上 述 变 形 现 象, 可 做 以 下 假 设 : 梁 在 受 力 弯 曲 后, 其 横 截 面 会 发 生 转 动, 但 仍 保 持 为 平 面, 且 继 续 垂 直 于 梁 变 形 后 的 轴 线 这 就 是 弯 曲 的 平 面 假 设 (plne ssumption) 同 时 还 可 以 假 设 : 梁 内 各 纵 向 线 仅 承 受 轴 向 拉 伸 或 压 缩, 即 各 纵 向 线 之 间 无 相 互 挤 压 这 两 个 假 设 已 为 实 验 和 理 论 分 析 所 证 实 梁 弯 曲 变 形 后, 其 凹 边 的 纵 向 线 缩 短, 凸 边 的 纵 向 线 伸 长, 由 于 变 形 的 连 续 性, 中 间 必 有 一 层 纵 向 线 的 长 度 保 持 不 变, 这 一 纵 向 平 面 称 为 中 性 层 (neutrl surfce), 中 性 层 与 横 截 面 的 交 线 称 为 该 截 面 的 中 性 轴 (neutrl xis), 如 图 5.3 所 示 梁 在 弯 曲 时, 各 横 截 面 就 是 绕 中 性 轴 作 相 对 转 动 的 e e 中 性 层 中 性 轴 图 5.3 中 性 层 与 中 性 轴 现 在 来 推 导 纯 弯 曲 时 梁 横 截 面 上 的 正 应 力 公 式 与 推 导 等 直 圆 杆 的 扭 转 切 应 力 公 式 相 似, 也 要 从 几 何 物 理 和 静 力 学 三 方 面 来 综 合 考 虑 1. 几 何 方 面 假 想 从 梁 中 截 取 长 dx 的 微 段 进 行 分 析 梁 弯 曲 后, 由 平 面 假 设 可 知, 两 横 截 面 将 相 对 转 动 一 个 角 度 dθ, 如 图 5.4() 所 示, 图 中 的 ρ 为 中 性 层 的 曲 率 半 径 取 梁 的 轴 线 为 x 轴, 99

100 材 料 力 学 横 截 面 的 对 称 轴 为 轴, 中 性 轴 ( 其 在 横 截 面 上 的 具 体 位 置 尚 未 确 定 ) 为 轴, 如 图 5.4() 所 示, 现 求 距 中 性 轴 为 处 的 纵 向 线 的 线 应 变 线 变 形 前 原 长 为 dx( 即 ρdθ ), 变 形 后 的 长 度 为 ( ρ + )dθ, 故 线 的 纵 向 线 应 变 为 ( ρ + )dθ ρdθ ε = = () ρ dθ ρ 上 式 表 明, 梁 横 截 面 上 各 点 处 的 纵 向 线 应 变 ε 与 该 点 到 中 性 轴 的 距 离 成 正 比. 物 理 方 面 如 前 所 述, 梁 内 各 纵 向 线 之 间 无 相 互 挤 压, 因 此, 当 材 料 处 于 线 弹 性 范 围 内, 且 拉 伸 和 压 缩 弹 性 模 量 相 同 时, 由 虎 克 定 律 可 得 = Eε = E () ρ 上 式 表 明, 梁 横 截 面 上 各 点 处 的 正 应 力 与 该 点 到 中 性 轴 的 距 离 成 正 比, 而 在 离 中 性 轴 等 距 线 上 各 点 处 的 正 应 力 相 等, 如 图 5.4(c) 所 示 O dθ ρ d x O O d x () () (c) 图 5.4 弯 曲 正 应 力 分 布 () 梁 弯 曲 后 截 面 相 对 变 化 ;() 梁 截 面 坐 标 轴 ;(c) 梁 截 面 正 应 力 分 布 3. 静 力 学 方 面 由 于 中 性 轴 的 位 置 及 曲 率 半 径 ρ 均 未 确 定, 为 此 需 从 静 力 学 方 面 加 以 考 虑 在 梁 的 横 截 面 上 任 取 一 微 面 积 d, 在 该 面 积 上 作 用 有 微 内 力 d, 构 成 了 空 间 平 行 力 系, 因 此 有 可 能 组 成 三 个 内 力 分 量 : 轴 力, 绕 轴 之 矩, 即 N N = d = d = d 如 前 所 述, 梁 在 纯 弯 曲 时, 其 横 截 面 上 的 内 力 分 量 仅 有 弯 矩, 故 截 面 上 的 和 均 等 于 零, 而 就 是 横 截 面 上 的 弯 矩, 即 N = d= 0 (c) = d= 0 (d) N 100

第 5 章 梁 的 应 力 101 = d= (e) 将 式 () 代 入 以 上 三 式, 并 根 据 附 录 Ⅰ 中 有 关 的 截 面 几 何 参 数 的 定 义, 可 得 E E = N d 0 ρ = ρ = (f) E E d 0 ρ ρ (g) E E = d ρ = = ρ (h) 式 中, 为 横 截 面 对 轴 的 静 矩 (sttic moment of n re), 为 横 截 面 的 惯 性 积 (product of inerti of n re), 则 为 横 截 面 对 中 性 轴 的 惯 性 矩 (moment of inerti of n re) E 式 (f) 中, 由 于 0 ρ, 故 必 有 =0 那 么 根 据 附 录 Ⅰ 可 知, 中 性 轴 轴 必 然 通 过 横 截 面 的 形 心 (center of n re), 于 是 中 性 轴 的 位 置 得 以 确 定 式 (g) 中, 由 于 轴 是 横 截 面 的 对 称 轴, 故 有 =0, 因 此 该 式 自 然 成 立 最 后, 可 由 式 (h) 得 到 中 性 层 的 曲 率 (curvture) 为 1 ρ = E (5.1) 1 式 中,E 称 为 梁 的 弯 曲 刚 度 (flexurl rigidit) 上 式 表 明, 用 曲 率 表 示 的 梁 的 弯 曲 变 形 ρ 与 梁 所 承 受 的 弯 矩 成 正 比, 与 弯 曲 刚 度 E 成 反 比 将 式 (5.1) 代 入 式 (), 即 得 = (5.) 这 就 是 梁 在 纯 弯 曲 情 形 下 横 截 面 上 任 一 点 处 的 正 应 力 公 式 式 中, 为 横 截 面 上 的 弯 矩, 为 所 求 应 力 点 至 轴 的 距 离, 为 横 截 面 对 中 性 轴 的 惯 性 矩 在 式 (5.) 中, 将 弯 矩 和 距 离 按 照 规 定 的 符 号 代 入 计 算, 所 得 到 的 正 应 力 若 为 正 值, 即 为 拉 应 力, 若 为 负 值 则 为 压 应 力 在 具 体 计 算 过 程 中, 一 般 取 弯 矩 和 距 离 的 绝 对 值 代 入 式 (5.) 进 行 计 算, 而 正 应 力 的 拉 压 则 依 据 梁 的 变 形 情 况 来 判 断 : 以 中 性 层 为 分 界 线, 梁 变 形 后 凸 边 的 应 力 为 拉 应 力, 凹 边 的 应 力 则 为 压 应 力 实 际 上, 根 据 弯 矩 的 方 向 很 容 易 判 断 出 梁 的 变 形 情 况 必 须 说 明 的 是, 式 (5.) 除 适 用 于 矩 形 截 面 外, 也 适 用 于 具 有 对 称 轴 的 其 他 各 种 形 状 的 截 面 从 式 (5.) 可 以 看 出, 对 于 等 截 面 梁 来 说, 最 大 弯 曲 正 应 力 发 生 在 横 截 面 上 距 中 性 轴 最 远 ( 即 截 面 上 下 边 缘 ) 的 各 点 处, 其 值 为 = 令 W = (5.3) 101

10 材 料 力 学 则 有 = (5.4) W 式 中,W 称 为 弯 曲 截 面 系 数 (section modulus in ending), 是 截 面 的 几 何 性 质 之 一, 其 值 与 横 截 面 的 形 状 和 尺 寸 有 关, 单 位 为 m 3 对 于 如 图 5.5() 所 示 的 矩 形 截 面, 有 3 h /1 h W = = = (5.5) h / h / 6 对 于 如 图 5.5() 所 示 的 圆 形 截 面, 有 4 3 πd /64 πd W = = = (5.6) d / d / 3 对 于 轧 制 型 钢, 其 弯 曲 截 面 系 数 W 可 直 接 从 附 录 中 的 型 钢 规 格 表 中 查 得 h o d o () () 图 5.5 矩 形 与 圆 形 截 面 的 弯 曲 截 面 系 数 () 矩 形 截 面 梁 ;() 圆 形 截 面 梁 梁 受 弯 时, 其 横 截 面 上 既 有 拉 应 力 也 有 压 应 力 对 于 矩 形 圆 形 和 工 字 形 这 类 截 面, 其 中 性 轴 为 横 截 面 的 对 称 轴, 故 其 最 大 拉 应 力 和 最 大 压 应 力 的 绝 对 值 相 等, 如 图 5.6() 所 示 ; 对 于 T 字 形 这 类 中 性 轴 不 是 对 称 轴 的 截 面, 其 最 大 拉 应 力 和 最 大 压 应 力 的 绝 对 值 则 不 等, 如 图 5.6() 所 示 对 于 前 者 的 最 大 拉 应 力 和 最 大 压 应 力, 可 直 接 用 公 式 (5.4) 求 得 ; 而 对 于 后 者, 则 应 分 别 将 截 面 受 拉 和 受 压 一 侧 距 中 性 轴 最 远 的 距 离 代 入 式 (5.), 以 求 得 相 应 的 最 大 应 力 c c t t () () 图 5.6 最 大 拉 应 力 与 最 大 压 应 力 () 矩 形 梁 截 面 拉 压 应 力 分 布 ;() T 形 梁 截 面 拉 压 应 力 分 布 10

第 5 章 梁 的 应 力 103 5.1. 横 力 弯 曲 时 梁 横 截 面 上 的 正 应 力 式 (5.) 是 根 据 纯 弯 曲 的 情 形 推 导 出 来 的 梁 横 截 面 上 任 一 点 处 的 正 应 力 公 式, 对 于 横 力 弯 曲 ( 即 横 截 面 上 既 有 剪 力 又 有 弯 矩 的 情 形 ), 该 公 式 也 是 近 似 适 用 的 当 梁 上 作 用 有 横 向 力 时, 由 于 切 应 力 的 存 在, 梁 的 横 截 面 在 梁 变 形 后 将 发 生 翘 曲, 不 再 保 持 为 平 面, 同 时 梁 内 各 纵 向 线 之 间 还 会 产 生 某 种 程 度 的 挤 压 但 是, 弹 性 理 论 分 析 和 实 验 研 究 的 结 果 表 明, 对 于 跨 长 与 截 面 高 度 之 比 ( 跨 高 比 )l/h 大 于 5 的 细 长 梁, 切 应 力 的 存 在 对 正 应 力 的 分 布 影 响 甚 微, 可 以 忽 略 不 计 在 实 际 工 程 中 常 用 的 梁, 其 跨 高 比 l/h 的 值 一 般 远 远 大 于 5 因 此, 应 用 纯 弯 曲 时 的 正 应 力 公 式 来 计 算 梁 在 横 力 弯 曲 时 横 截 面 上 的 正 应 力, 足 以 满 足 工 程 上 的 精 度 要 求, 且 梁 的 跨 高 比 越 大, 计 算 结 果 的 误 差 就 越 小 例 5.1 一 简 支 木 梁 受 力 如 图 5.7() 所 示 已 知 q=kn/m,l=m 试 比 较 梁 在 竖 放 ( 图 5.7()) 和 平 放 ( 图 5.7(c)) 时 横 截 面 c 处 的 最 大 正 应 力 l q C l B 0cm 10cm 10cm 0cm () () (c) 图 5.7 例 5.1 图 解 : 首 先 计 算 横 截 面 C 处 的 弯 矩, 有 3 q( l) 10 4 C = = = 4000 N m 8 8 梁 在 竖 放 时, 其 弯 曲 截 面 系 数 为 h 0.1 0. W1 = = = 6.67 10 m 6 6 4 3 故 横 截 面 C 处 的 最 大 正 应 力 为 C 4000 6 1 = = = 6 10 P = 6P 4 W 6.67 10 梁 在 平 放 时, 其 弯 曲 截 面 系 数 为 h 0. 0.1 W = = = 3.33 10 m 6 6 1 4 3 故 横 截 面 C 处 的 最 大 正 应 力 为 C 4000 6 = = = 1 10 P = 1P 4 W 3.33 10 显 然, 有 1 = 1 也 就 是 说, 梁 在 竖 放 时 其 危 险 截 面 处 承 受 的 最 大 正 应 力 是 平 放 时 的 一 半 因 此, 在 建 筑 结 构 中, 梁 一 般 采 用 竖 放 形 式 103

104 材 料 力 学 例 5. 图 5.8() 所 示 T 字 形 截 面 简 支 梁 在 中 点 C 处 承 受 集 中 力 的 作 用 已 知 =50kN, 4 4 横 截 面 对 于 中 性 轴 轴 的 惯 性 矩 = 1.05 10 m 试 求 弯 矩 最 大 截 面 上 的 最 大 拉 应 力 和 最 大 压 应 力 解 : 首 先 作 简 支 梁 的 弯 矩 图, 如 图 5.8(c) 所 示 从 图 上 可 以 看 出, 最 大 弯 矩 发 生 在 梁 的 中 点 截 面 C 上, 其 值 为 1 1 = l = 50 = 5kN m 4 4 60 () 1m C m B 340 60 o 30 300 100 () 图 图 图 5.8 例 5. 图 根 据 中 性 轴 的 位 置 和 梁 的 受 力 情 况, 可 以 确 定 梁 的 中 性 轴 以 上 部 分 承 受 压 应 力, 以 下 部 分 则 承 受 拉 应 力 最 大 拉 应 力 和 最 大 压 应 力 的 作 用 点 分 别 为 距 中 性 轴 最 远 的 下 边 缘 和 上 边 缘 的 各 点 将 图 5.8() 所 示 尺 寸 代 入 式 (5.), 有 3 t 5 10 0.1 6 t = = = 3.8 10 P = 3.8P ( 拉 ) 4 1.05 10 3 c 5 10 0.3 c 4 1.05 10 = = = = 6 71.4 10 P 71.4P ( 压 ) 5. 梁 横 截 面 上 的 切 应 力 在 横 力 弯 曲 的 情 形 下, 梁 的 横 截 面 上 除 了 有 弯 曲 正 应 力 外, 还 有 弯 曲 切 应 力 (shering stress in ending) 切 应 力 在 截 面 上 的 分 布 规 律 较 之 正 应 力 要 复 杂, 本 节 不 打 算 对 其 做 详 细 讨 论, 仅 准 备 对 矩 形 截 面 梁 工 字 形 截 面 梁 圆 形 截 面 梁 和 薄 壁 环 形 截 面 梁 的 切 应 力 分 布 规 律 作 一 简 单 介 绍, 具 体 的 推 导 过 程 可 参 阅 其 他 相 关 教 材 1. 矩 形 截 面 梁 一 矩 形 截 面 梁 的 横 截 面 如 图 5.9() 所 示, 其 宽 为, 高 为 h, 截 面 上 作 用 有 剪 力 Q 和 弯 矩 为 了 强 调 切 应 力, 图 中 未 画 出 正 应 力 对 于 狭 长 矩 形 截 面, 由 于 梁 的 侧 面 上 没 有 切 应 力, 故 横 截 面 上 侧 边 各 点 处 的 切 应 力 必 然 平 行 于 侧 边, 而 轴 处 的 切 应 力 必 然 沿 着 方 向 考 虑 到 狭 长 矩 形 截 面 上 的 切 应 力 沿 宽 度 方 向 的 变 化 不 大, 于 是 可 作 假 设 如 下 :(1) 横 截 104

第 5 章 梁 的 应 力 105 面 上 各 点 处 的 切 应 力 均 平 行 于 侧 边 ;() 距 中 性 轴 轴 等 距 离 的 各 点 处 的 切 应 力 大 小 相 等 弹 性 理 论 分 析 的 结 果 表 明, 对 于 狭 长 矩 形 截 面 梁, 上 述 假 设 是 正 确 的 ; 对 于 一 般 高 度 大 于 宽 度 的 矩 形 截 面 梁, 在 工 程 计 算 中 也 能 满 足 精 度 要 求 根 据 以 上 假 设, 再 利 用 静 力 平 衡 条 件, 就 可 以 推 导 出 矩 形 截 面 等 直 梁 横 截 面 上 任 一 点 处 切 应 力 的 计 算 公 式 此 处 略 去 推 导 过 程, 只 给 出 结 果 : * Q = (5.7) 式 中, Q 为 横 截 面 上 的 剪 力, 为 横 截 面 对 中 性 轴 轴 的 惯 性 矩, 为 矩 形 截 面 的 宽 度, * 为 横 截 面 上 距 中 性 轴 为 的 横 线 以 外 部 分 的 面 积 ( 即 图 5.9() 中 的 阴 影 部 分 面 积 ) 对 中 性 轴 的 静 矩 切 应 力 的 方 向 与 剪 力 的 方 向 相 同 Q 对 于 矩 形 截 面, 静 矩 等 于 所 考 虑 面 积 与 该 面 积 形 心 到 中 性 轴 距 离 的 乘 积, 即 * h * h h = ( )( + ) = ( ) 4 将 上 式 代 入 式 (5.7), 即 可 得 到 截 面 上 距 中 性 轴 为 处 各 点 的 切 应 力 Q h = ( ) 4 由 上 式 可 知, 矩 形 截 面 上 的 切 应 力 沿 着 截 面 高 度 按 二 次 抛 物 线 规 律 变 化, 如 图 5.9() h 所 示 当 =± 时, 即 在 横 截 面 的 上 下 边 缘 处, 切 应 力 = 0 ; 当 = 0 时, 即 在 中 性 轴 上 各 点 处, 切 应 力 最 大, 其 值 为 (5.8) h o () () 图 5.9 矩 形 截 面 切 应 力 分 布 规 律 () 矩 形 截 面 切 应 力 分 布 ;() 矩 形 截 面 切 应 力 沿 高 度 分 布 = Q h 8 3 h 已 知 矩 形 截 面 对 中 性 轴 的 惯 性 矩 =, 将 其 代 入 上 式, 即 得 1 3 3 = = (5.9) h 式 中,=h, 为 矩 形 截 面 的 面 积 从 上 式 可 以 看 出, 矩 形 截 面 梁 的 最 大 切 应 力 为 其 平 均 切 105

106 材 料 力 学 应 力 的 1.5 倍. 工 字 形 截 面 梁 在 土 木 工 程 中 经 常 要 用 到 工 字 形 截 面 梁 工 字 形 截 面 可 以 简 化 为 图 5.10() 所 示 的 图 形, 由 翼 缘 和 腹 板 组 成 在 工 字 形 截 面 的 翼 缘 和 腹 板 上 的 切 应 力 分 布 是 不 同 的, 需 要 分 别 研 究 首 先 分 析 工 字 形 截 面 翼 缘 上 的 切 应 力 分 布 由 于 翼 缘 上 下 表 面 上 没 有 切 应 力 的 存 在, 而 且 翼 缘 的 厚 度 很 薄, 因 此 翼 缘 上 的 切 应 力 主 要 是 水 平 方 向 的 切 应 力 分 量, 平 行 于 轴 方 向 的 切 应 力 分 量 则 是 次 要 的 研 究 表 明, 翼 缘 上 的 最 大 切 应 力 比 腹 板 上 的 最 大 切 应 力 要 小 得 多, 因 此 在 强 度 计 算 时 一 般 不 予 考 虑 至 于 工 字 形 截 面 的 腹 板, 则 可 视 为 一 狭 长 矩 形, 那 么 在 研 究 矩 形 截 面 时 的 两 个 假 设 同 样 适 用 于 是, 可 由 式 (5.7) 求 得 腹 板 上 任 一 点 处 的 切 应 力 为 * Q = (5.10) d 式 中, 为 横 截 面 上 的 剪 力, 为 工 字 形 截 面 对 中 性 轴 轴 的 惯 性 矩,d 为 腹 板 厚 度, Q 为 横 截 面 上 距 中 性 轴 为 的 横 线 以 外 部 分 ( 含 翼 缘 ) 的 面 积 ( 即 图 5.10() 中 的 阴 影 部 分 面 积 ) 对 中 性 轴 的 静 矩 腹 板 部 分 的 切 应 力 方 向 与 剪 力 Q 的 方 向 相 同, 切 应 力 的 大 小 则 同 样 是 沿 腹 板 高 度 按 二 次 抛 物 线 规 律 变 化, 其 最 大 切 应 力 也 发 生 在 中 性 轴 上, 如 图 5.10() 所 示 这 也 是 整 个 横 截 面 上 的 最 大 切 应 力, 其 值 为 * Q = (5.11) d 式 中, * 为 中 性 轴 任 一 边 的 半 个 横 截 面 面 积 对 中 性 轴 轴 的 静 矩 在 实 际 计 算 时, 对 于 x 工 字 钢 截 面, 上 式 中 的 可 查 型 钢 规 格 表 中 的 得 到 * x * h h 1 x d min () () 图 5.10 工 字 形 截 面 切 应 力 分 布 规 律 () 工 字 形 截 面 切 应 力 分 布 ;() 工 字 形 截 面 切 应 力 沿 高 度 分 布 由 图 5.10() 可 见, 腹 板 上 的 最 大 切 应 力 和 最 小 切 应 力 相 差 不 大, 接 近 于 均 匀 分 布 由 于 截 面 上 的 剪 力 几 乎 全 部 ( 约 95%~97%) 由 腹 板 承 担, 因 此 在 工 程 上 常 常 用 剪 力 除 以 腹 Q 板 面 积 来 近 似 计 算 工 字 形 截 面 梁 的 最 大 切 应 力, 即 106

式 中, 1 =dh 1, 为 腹 板 的 面 积 第 5 章 梁 的 应 力 107 Q Q = = dh1 1 (5.1) 工 字 形 截 面 梁 在 受 弯 时, 切 应 力 主 要 是 由 腹 板 承 担, 而 弯 曲 正 应 力 则 主 要 由 上 下 翼 缘 承 担, 这 样 截 面 上 各 处 的 材 料 就 可 以 得 到 充 分 利 用 3. 圆 形 截 面 梁 在 土 木 工 程 中, 圆 形 截 面 梁 多 用 于 木 结 构 圆 形 截 面 上 的 切 应 力 分 布 规 律 比 矩 形 截 面 还 要 复 杂, 此 处 也 不 作 详 细 推 导 由 切 应 力 互 等 定 理 可 知, 任 意 横 截 面 上 各 点 的 切 应 力 必 与 圆 周 相 切, 因 此 对 矩 形 截 面 所 作 的 两 个 假 设 在 此 不 成 立 但 研 究 表 明, 圆 形 截 面 上 的 最 大 切 应 力 仍 在 中 性 轴 上 各 点 处, 而 在 中 性 轴 两 端 的 切 应 力 方 向 都 与 轴 平 行, 故 可 假 设 中 性 轴 上 切 应 力 方 向 均 平 行 于 剪 力 Q, 且 各 点 处 的 切 应 力 大 小 相 等 于 是 可 以 采 用 公 式 (5.7) 来 求 最 大 切 应 力, 只 是 要 将 3 * πd 该 式 中 的 用 圆 直 径 d 代 替, 而 则 为 半 圆 面 积 对 中 性 轴 的 静 矩, 其 值 为 再 将 圆 形 1 4 πd 截 面 对 中 性 轴 的 惯 性 矩 = 代 入 式 (5.7), 于 是 有 64 3 πd * Q Q 1 4 Q 4 Q = = = = (5.13) 4 πd 3 π d 3 d 64 4 π 式 中, = d, 为 圆 形 截 面 的 面 积 由 上 式 可 知, 圆 形 截 面 上 的 最 大 切 应 力 为 截 面 上 平 4 4 均 切 应 力 的 倍 圆 形 截 面 上 的 切 应 力 分 布 规 律 如 图 5.11 所 示 3 d 图 5.11 圆 形 截 面 切 应 力 分 布 规 律 4. 薄 壁 环 形 截 面 梁 如 图 5.1 所 示 为 一 薄 壁 环 形 截 面, 圆 环 的 平 均 半 径 为 r, 壁 厚 为 δ 由 于 δ r, 因 此 可 作 如 下 假 设 :(1) 横 截 面 上 切 应 力 的 方 向 相 切 于 圆 周 ;() 切 应 力 的 大 小 沿 壁 厚 均 匀 分 布 根 据 这 些 假 设 推 导 出 来 的 横 截 面 上 任 一 点 切 应 力 的 计 算 公 式 与 式 (5.7) 具 有 相 同 的 形 式 对 于 薄 壁 环 形 截 面, 其 最 大 切 应 力 仍 发 生 在 中 性 轴 上 采 用 式 (5.7) 来 求 最 大 切 应 力 107

108 材 料 力 学 * 时, 需 将 该 式 中 的 用 两 倍 的 壁 厚 δ 代 替, 而 则 为 半 个 圆 环 面 积 对 中 性 轴 的 静 矩, 其 3 值 为 δ r 由 附 录 1 可 知 环 形 截 面 对 中 性 轴 的 惯 性 矩 = πδ r, 将 其 代 入 式 (5.7), 于 是 有 * Q Q δ r Q Q = = = = (5.14) 3 π δ r δ πrδ 式 中, = π rδ, 为 环 形 截 面 的 面 积 由 上 式 可 知, 环 形 截 面 上 的 最 大 切 应 力 为 截 面 上 平 均 切 应 力 的 倍 环 形 截 面 上 的 切 应 力 分 布 规 律 如 图 5.1 所 示 r δ 图 5.1 薄 壁 环 形 截 面 切 应 力 分 布 规 律 从 上 面 的 分 析 可 以 看 出, 对 于 等 直 梁 而 言, 其 最 大 切 应 力 发 生 在 最 大 剪 力 所 在 横 截 面 上, 一 般 位 于 该 截 面 的 中 性 轴 上 由 以 上 各 种 形 状 的 截 面 上 的 最 大 切 应 力 计 算 公 式 可 知, 等 直 梁 横 截 面 上 最 大 切 应 力 的 一 般 公 式 可 统 一 表 述 为 * Q = (5.15) 式 中, Q 为 梁 上 的 最 大 剪 力, 为 横 截 面 对 中 性 轴 轴 的 惯 性 矩, 为 横 截 面 在 中 性 轴 处 的 宽 度, * 为 横 截 面 上 中 性 轴 一 侧 的 面 积 对 中 性 轴 的 静 矩 例 5.3 图 5.13() 所 示 简 支 梁 由 56 号 工 字 钢 制 成, 在 中 点 处 承 受 集 中 力 的 作 用, 已 知 =150kN 试 比 较 该 梁 中 最 大 正 应 力 和 最 大 切 应 力 的 大 小 解 : 首 先 作 简 支 梁 的 弯 矩 图 和 剪 力 图, 如 图 5.13() 和 (c) 所 示 从 图 上 可 以 看 出, 该 梁 所 承 受 的 最 大 弯 矩 和 最 大 剪 力 分 别 为 = 375kN m Q = 75kN 3 现 在 来 求 梁 内 的 最 大 正 应 力 查 型 钢 规 格 表, 可 知 56 号 工 字 钢 的 W = 34.31cm ( 即 型 钢 规 格 表 内 的 W x 值 ) 于 是 可 得 梁 内 的 最 大 正 应 力 为 3 375 10 6 = = = 160.1 10 P = 160.1P 6 W 34.31 10 108

第 5 章 梁 的 应 力 109 图 5.13 例 5.3 图 接 着 来 求 梁 内 的 最 大 切 应 力 查 型 钢 规 格 表, 可 知 56 号 工 字 钢 的 * 腹 板 厚 度 d=1.5mm 于 是 可 得 梁 内 的 最 大 切 应 力 为 * 3 Q Q 75 10 6 = = = = 1.6 10 P = 1.6P 3 d 47.73 10 1.5 10 d * 最 后 进 行 比 较, 可 得 160.1 = = 1.7 1.6 = 47.73cm 和 由 此 可 见, 梁 中 的 最 大 正 应 力 比 最 大 切 应 力 要 大 得 多 因 此 在 校 核 梁 的 强 度 时, 有 时 只 需 考 虑 正 应 力 强 度 条 件 而 忽 略 切 应 力 强 度 条 件 例 5.4 一 外 伸 梁 受 力 及 截 面 尺 寸 如 图 5.14() 所 示 已 知 : 1 =400kN, =00kN, =m,h 1 =400mm,h =300mm, 1 =300mm, =00mm 试 求 该 梁 中 的 最 大 弯 曲 切 应 力 解 : 首 先 求 梁 的 支 反 力, 得 =150kN, B =450kN 作 外 伸 梁 的 剪 力 图, 如 图 5.14() 所 示 从 图 上 可 以 看 出, 该 梁 所 承 受 的 最 大 剪 力 为 = 50kN Q 再 求 该 截 面 的 两 个 几 何 参 数 ( 分 别 用 大 矩 形 面 积 的 惯 性 矩 静 矩 减 去 小 矩 形 面 积 的 惯 性 矩 和 静 矩 ) 3 3 3 3 h 1 1 h 0.3 0.4 0. 0.3 3 4 = = = 1.15 10 m 1 1 1 1 * 3 3 = 1 1 = 0.3 0. 0.1 0. 0.15 0.075 = 3.75 10 m 109

110 材 料 力 学 1 B 1 h 1 h 150kN 00kN () () 图 5.14 例 5.4 图 于 是, 可 得 梁 中 的 最 大 切 应 力 为 * 3 3 Q 50 10 3.75 10 6 = = = 16.3 10 P = 16.3P 3 1.15 10 0.05 5.3 梁 的 强 度 条 件 前 面 已 提 到, 梁 在 横 力 弯 曲 时, 其 横 截 面 上 同 时 存 在 着 弯 矩 和 剪 力, 因 此, 一 般 应 从 正 应 力 和 切 应 力 两 个 方 面 来 考 虑 梁 的 强 度 计 算 在 实 际 工 程 中 使 用 的 梁 以 细 长 梁 居 多, 一 般 情 况 下, 梁 很 少 发 生 剪 切 破 坏, 往 往 都 是 弯 曲 破 坏 也 就 是 说, 对 于 细 长 梁, 其 强 度 主 要 是 由 正 应 力 控 制 的, 按 照 正 应 力 强 度 条 件 设 计 的 梁, 一 般 都 能 满 足 切 应 力 强 度 要 求, 不 需 要 进 行 专 门 的 切 应 力 强 度 校 核 但 在 少 数 情 况 下, 比 如 对 于 弯 矩 较 小 而 剪 力 很 大 的 梁 ( 如 短 粗 梁 和 集 中 荷 载 作 用 在 支 座 附 近 的 梁 ) 铆 接 或 焊 接 的 组 合 截 面 钢 梁 或 者 使 用 某 些 抗 剪 能 力 较 差 的 材 料 ( 如 木 材 ) 制 作 的 梁 等, 除 了 要 进 行 正 应 力 强 度 校 核 外, 还 要 进 行 切 应 力 强 度 校 核 5.3.1 梁 的 正 应 力 强 度 条 件 对 于 等 直 梁 来 说, 其 最 大 弯 曲 正 应 力 发 生 在 最 大 弯 矩 所 在 截 面 上 距 中 性 轴 最 远 ( 即 上 下 边 缘 ) 的 各 点 处, 而 该 处 的 切 应 力 为 零 或 与 该 处 的 正 应 力 相 比 可 忽 略 不 计, 因 而 可 将 横 截 面 上 最 大 正 应 力 所 在 各 点 处 的 应 力 状 态 视 为 单 轴 应 力 状 态 于 是, 可 按 照 单 轴 应 力 状 态 下 强 度 条 件 的 形 式 来 建 立 梁 的 正 应 力 强 度 条 件 : 梁 的 最 大 工 作 正 应 力 不 得 超 过 材 料 的 许 用 弯 曲 正 应 力 [ ], 即 = [ ] (5.16) W 材 料 的 许 用 弯 曲 正 应 力 一 般 近 似 取 材 料 的 许 用 拉 ( 压 ) 应 力, 或 者 按 有 关 的 设 计 规 范 选 取 利 用 正 应 力 强 度 条 件 式 (5.16), 即 可 对 梁 按 照 正 应 力 进 行 强 度 计 算, 解 决 强 度 校 核 截 面 设 计 和 许 可 荷 载 的 确 定 等 三 类 问 题 必 须 指 出 的 是, 对 于 用 脆 性 材 料 ( 如 铸 铁 ) 制 成 的 梁, 由 于 其 许 用 拉 应 力 和 许 用 压 应 力 110

第 5 章 梁 的 应 力 111 并 不 相 等, 而 且 其 横 截 面 的 中 性 轴 往 往 也 不 是 对 称 轴, 因 此 必 须 按 照 拉 伸 和 压 缩 分 别 进 行 强 度 校 核, 即 要 求 梁 的 最 大 工 作 拉 应 力 和 最 大 工 作 压 应 力 ( 要 注 意 的 是, 二 者 常 常 发 生 在 不 同 的 横 截 面 上 ) 分 别 不 超 过 材 料 的 许 用 拉 应 力 和 许 用 压 应 力 例 5.5 由 两 根 8 号 槽 钢 组 成 的 简 支 梁 受 三 个 集 中 力 作 用, 如 图 5.15() 所 示 已 知 该 梁 由 Q35 钢 制 成, 其 许 用 弯 曲 正 应 力 [ ] = 170P 试 求 梁 的 许 可 荷 载 [] 解 : 首 先 求 梁 的 支 反 力, 得 = B =1.5 作 梁 的 弯 矩 图, 如 图 5.15() 所 示 从 图 上 可 以 看 出, 该 梁 所 承 受 的 最 大 弯 矩 在 梁 的 中 点 上, 其 值 为 = 4 由 型 钢 规 格 表 查 得 8 号 槽 钢 的 弯 曲 截 面 系 数 为 340.38cm 3, 由 于 该 梁 是 由 两 根 8 号 槽 钢 组 成 的, 故 梁 的 W 值 为 于 是, 由 式 (5.16) 可 得 W = 340.38 = 680.656cm W [ ] 4 680.656 10 170 10 3 8.9 10 N = 8.9kN 故 该 梁 的 许 可 荷 载 为 []=8.9kN 3 6 6 m m m m B 3 4 3 () () 图 5.15 例 5.5 图 例 5.6 T 字 形 铸 铁 外 伸 梁 受 力 如 图 5.16() 所 示 已 知 材 料 的 许 用 拉 应 力 为 [ t ] = 30P, 许 用 压 应 力 为 [ c ] = 90P 试 校 核 此 梁 的 强 度 解 : 首 先 确 定 中 性 轴 的 位 置 根 据 形 心 坐 标 公 式, 可 求 得 1 6+ 8 13 0 = = 8.8cm 1 + 8 于 是, 依 据 平 行 移 轴 公 式 可 求 得 截 面 对 中 性 轴 的 惯 性 矩 为 3 3 8 1 1 4 = + 8 (14 8.8 ) + + 1 (8.8 ) = 764cm 1 1 作 梁 的 弯 矩 图 如 图 5.16() 所 示 由 图 可 知,B 截 面 和 C 截 面 的 弯 矩 分 别 为 = = 4 kn m B C = 3.5 kn m 从 截 面 弯 矩 截 面 上 下 边 缘 到 中 性 轴 的 距 离 以 及 材 料 的 许 用 应 力 三 方 面 综 合 考 虑, 危 险 点 可 能 出 现 在 B 截 面 的 上 下 边 缘 和 C 截 面 的 下 边 缘, 而 不 可 能 出 现 在 C 截 面 的 上 边 缘 B 截 面 上 边 缘 受 拉, 有 111

11 材 料 力 学 4 10 (14 8.8) 10 3 B 1 6 t = = = 7. 10 P = 7.P < [ 8 t ] 764 10 B 截 面 下 边 缘 受 压, 有 3 B 0 4 10 8.8 10 6 c = = = 46.1 10 P = 46.1P < [ 8 c ] 764 10 11kN 4kN 80 () 1m C 1m B 1m D 0 10 1 0 4kN m 0 () 图 3.5kN m 图 5.16 例 5.6 图 C 截 面 下 边 缘 受 拉, 有 3 C 0 3.5 10 8.8 10 6 t = = = 40.3 10 P = 40.3P > [ 8 t ] 764 10 因 此 梁 的 强 度 不 满 足 要 求 从 此 例 题 可 以 看 出, 对 于 中 性 轴 不 是 截 面 对 称 轴 的 用 脆 性 材 料 制 成 的 梁, 其 危 险 截 面 不 一 定 就 是 弯 矩 最 大 的 截 面 当 出 现 与 最 大 弯 矩 反 向 的 较 大 弯 矩 时, 如 果 此 截 面 的 最 大 拉 应 力 边 距 中 性 轴 较 远, 算 出 的 结 果 就 有 可 能 超 过 许 用 拉 应 力, 故 此 类 问 题 考 虑 要 全 面 T 字 形 截 面 梁 是 工 程 中 常 用 的 梁, 应 注 意 合 理 放 置, 尽 量 使 最 大 弯 矩 截 面 上 受 拉 边 距 中 性 轴 较 近 此 外, 在 设 计 T 字 形 截 面 的 尺 寸 时, 为 了 充 分 利 用 材 料 的 抗 拉 抗 压 强 度, 应 该 使 中 性 轴 至 截 面 上 下 边 缘 的 距 离 之 比 恰 好 等 于 许 用 拉 压 应 力 之 比 例 5.7 图 5.17() 所 示 由 工 字 钢 制 成 的 外 伸 梁, 其 许 用 弯 曲 正 应 力 为 [ ] = 160P, 试 选 择 工 字 钢 的 型 号 解 : 作 梁 的 弯 矩 图, 如 图 5.17() 所 示 从 图 上 可 以 看 出, 该 梁 所 承 受 的 最 大 弯 矩 在 B 截 面 上, 其 值 为 = 68 kn m 34kN 60kN 68kN m m m m 图 6kN m () () 图 5.17 例 5.7 图 11

第 5 章 梁 的 应 力 113 于 是, 由 正 应 力 强 度 条 件 可 得 梁 所 必 需 的 弯 曲 截 面 系 数 W 为 3 68 10 6 3 3 W = = = 45 10 m = 45cm 6 [ ] 160 10 由 型 钢 规 格 表 查 得 5 号 工 字 钢 的 弯 曲 截 面 系 数 为 4.7cm 3, 此 值 虽 小 于 梁 所 必 需 的 W 值 45cm 3, 但 仅 仅 相 差 0.54%, 此 时 最 大 正 应 力 为 3 68 10 6 = = = 160.9 10 P = 160.9 P 6 [ ] 4.7 10 超 过 许 用 弯 曲 正 应 力 160P 不 到 1% 由 于 此 差 异 在 一 般 规 定 的 5% 范 围 以 内, 故 可 选 用 5 号 工 字 钢 5.3. 梁 的 切 应 力 强 度 条 件 前 面 已 提 到, 等 直 梁 的 最 大 正 应 力 发 生 在 最 大 弯 矩 所 在 横 截 面 上 距 中 性 轴 最 远 的 各 点 处, 该 处 的 切 应 力 为 零, 处 于 单 轴 应 力 状 态 至 于 等 直 梁 的 最 大 切 应 力, 则 发 生 在 最 大 剪 力 所 在 横 截 面 的 中 性 轴 上 各 点 处, 该 处 的 正 应 力 为 零, 处 于 纯 剪 切 应 力 状 态 于 是, 可 按 照 纯 剪 切 应 力 状 态 下 强 度 条 件 的 形 式 来 建 立 梁 的 切 应 力 强 度 条 件 : 梁 的 最 大 工 作 切 应 力 不 得 超 过 材 料 的 许 用 切 应 力 [ ], 即 * Q = [ ] (5.17) 材 料 的 许 用 切 应 力 在 有 关 的 设 计 规 范 中 有 具 体 的 规 定 例 5.8 若 例 题 5.7 中 的 外 伸 梁 材 料 的 许 用 切 应 力 为 [ ] = 100P, 工 字 钢 的 型 号 选 定 后, 试 校 核 该 梁 的 切 应 力 强 度 解 : 在 例 题 5.7 中, 已 选 用 5 号 工 字 钢, 其 最 大 正 应 力 虽 超 过 许 用 正 应 力, 但 差 值 在 一 般 规 定 的 5% 范 围 以 内, 故 仍 满 足 正 应 力 强 度 条 件 现 在 来 校 核 该 梁 的 切 应 力 强 度 作 梁 的 剪 力 图, 如 图 5.18 所 示 从 图 上 可 以 看 出, 该 梁 所 承 受 的 最 大 剪 力 为 = 47 kn Q 34kN 60kN m m m Q 图 图 47kN 34kN 13kN 图 5.18 例 5.8 图 对 于 5 号 工 字 钢, 查 型 钢 规 格 表, 有 = 1.7cm * 113

114 材 料 力 学 和 腹 板 厚 度 d = 10mm 由 式 (5.11) 可 得 到 梁 的 最 大 切 应 力, 并 校 核 切 应 力 强 度 : 3 Q 47 10 = = 3 1.7 10 10 10 ( ) d * 6 =.1 10 P =.1 P < [ ] 在 满 足 正 应 力 强 度 条 件 的 同 时, 梁 的 切 应 力 强 度 条 件 也 满 足, 故 梁 是 安 全 的 在 设 计 梁 的 截 面 时, 通 常 是 先 按 正 应 力 强 度 条 件 来 选 出 截 面, 再 进 行 切 应 力 强 度 校 核 从 本 题 可 以 看 出, 在 一 般 情 形 下, 梁 的 强 度 控 制 因 素 主 要 是 正 应 力, 按 照 正 应 力 强 度 条 件 设 计 的 截 面 尺 寸, 并 不 需 要 再 按 切 应 力 进 行 强 度 校 核 5.4 梁 的 合 理 强 度 设 计 如 前 所 述, 梁 的 横 截 面 上 一 般 同 时 存 在 着 正 应 力 和 切 应 力, 但 梁 的 强 度 通 常 都 是 由 正 应 力 强 度 条 件 控 制 的 因 此, 在 按 强 度 条 件 设 计 梁 时, 主 要 的 依 据 就 是 梁 的 正 应 力 强 度 条 件 式 (5.16) W = [ ] 由 该 式 可 知, 减 小 最 大 弯 矩, 提 高 弯 曲 截 面 系 数, 或 者 对 弯 矩 较 大 的 梁 段 进 行 局 部 加 强, 都 能 降 低 梁 的 最 大 正 应 力, 从 而 提 高 梁 的 抗 弯 能 力, 使 梁 的 设 计 更 为 合 理 在 实 际 工 程 中, 经 常 采 用 的 合 理 设 计 方 法 包 括 : 合 理 选 择 截 面 形 状 采 用 变 截 面 梁 合 理 配 置 梁 的 荷 载 和 支 座 1. 合 理 选 择 截 面 形 状 从 正 应 力 强 度 条 件 式 (5.16) 可 以 看 出, 当 弯 矩 确 定 时, 梁 的 弯 曲 截 面 系 数 越 大, 横 截 面 上 承 受 的 正 应 力 就 越 小 当 然, 增 大 梁 的 截 面 面 积 就 能 使 弯 曲 截 面 系 数 W 增 加, 但 这 样 会 造 成 材 料 的 浪 费, 从 经 济 角 度 看 是 不 可 取 的 合 理 的 截 面 设 计, 就 是 指 在 满 足 强 度 要 求 的 前 提 下 如 何 选 择 截 面 面 积 最 小 ( 即 材 料 的 耗 用 量 最 少 ) 的 截 面 形 式, 或 者 说 是 在 截 面 面 积 相 同 ( 即 材 料 的 耗 用 量 相 同 ) 的 情 况 下, 如 何 尽 可 能 地 去 获 得 更 大 的 弯 曲 截 面 系 数 W 由 于 横 截 面 上 各 点 的 正 应 力 正 比 于 各 点 至 中 性 轴 的 距 离, 当 截 面 上 下 边 缘 各 点 的 应 力 达 到 许 用 应 力 时, 靠 近 中 性 轴 处 的 各 点 的 正 应 力 仍 很 小, 此 处 的 材 料 未 能 得 到 充 分 利 用 因 此, 中 性 轴 附 近 面 积 较 多 的 截 面 显 然 是 不 合 理 的, 圆 形 截 面 就 属 于 这 类 截 面 在 同 样 的 面 积 下, 环 形 截 面 的 W 比 圆 形 截 面 的 就 要 大 得 多 同 样 的 道 理, 同 一 矩 形 截 面 梁, 竖 放 就 比 平 放 要 合 理 ( 参 见 例 5.1), 而 同 样 面 积 的 工 字 形 槽 形 截 面 又 比 竖 放 的 矩 形 截 面 更 为 合 理 也 就 是 说, 为 了 提 高 材 料 的 利 用 率, 增 强 梁 的 承 载 能 力, 应 该 尽 量 将 靠 近 中 性 轴 的 部 分 材 料 移 到 远 离 中 性 轴 的 边 缘 上 去 工 字 钢 槽 钢 等 宽 翼 缘 梁 就 是 在 弯 曲 理 论 指 导 下 设 计 出 来 的 合 理 截 面 114

第 5 章 梁 的 应 力 115 综 上 所 述, 考 虑 各 种 形 状 截 面 是 否 合 理, 主 要 是 看 W / 的 比 值 比 值 越 大, 材 料 的 使 用 越 经 济, 截 面 也 就 越 合 理 表 5-1 给 出 了 几 种 常 用 截 面 形 式 的 W / 比 值 表 5-1 常 用 截 面 的 W / 比 值 截 面 形 式 矩 形 圆 形 工 字 形 槽 形 W / 0.167h 0.15d 0.9~0.31h 0.7~0.31h 从 上 表 可 以 看 出, 对 于 矩 形 截 面, 保 持 面 积 不 变, 增 大 梁 高 h 而 减 小 梁 宽 可 以 增 大 其 W / 比 值, 从 而 增 加 其 经 济 合 理 性 但 必 须 注 意 的 是, 梁 的 高 度 增 加 是 有 限 度 的, 当 矩 形 截 面 过 高 时, 容 易 引 起 梁 的 失 稳 ( 参 阅 第 10 章 ) 当 然, 在 选 择 梁 截 面 的 合 理 形 状 时, 除 了 考 虑 横 截 面 上 的 应 力 分 布 外, 还 必 须 考 虑 材 料 的 力 学 性 能 梁 的 使 用 条 件 以 及 制 造 工 艺 等 方 面 的 问 题 比 如, 考 虑 到 在 梁 横 截 面 上 距 中 性 轴 最 远 的 上 下 边 缘 各 点 处 分 别 有 最 大 拉 应 力 和 最 大 压 应 力, 为 充 分 发 挥 材 料 的 潜 力, 应 尽 量 使 两 者 同 时 达 到 材 料 的 许 用 应 力 因 此, 对 于 拉 伸 和 压 缩 许 用 应 力 值 相 同 的 塑 性 材 料 ( 如 建 筑 钢 ) 梁, 应 采 用 中 性 轴 为 其 对 称 轴 的 截 面 形 式, 如 工 字 形 矩 形 薄 壁 箱 形 圆 形 和 环 形 等 ; 而 对 于 抗 压 强 度 远 高 于 抗 拉 强 度 的 脆 性 材 料 ( 如 铸 铁 ) 梁, 则 宜 采 用 T 字 形 不 等 边 工 字 形 等 对 中 性 轴 不 对 称 的 截 面 形 式, 并 将 其 翼 缘 部 分 置 于 受 拉 一 侧 再 比 如, 对 于 木 梁, 虽 然 材 料 的 拉 压 强 度 不 同, 但 由 于 制 造 工 艺 的 要 求, 仍 多 采 用 矩 形 截 面, 截 面 的 高 宽 比 也 有 一 定 的 要 求, 北 宋 李 诫 于 1100 年 所 著 营 造 法 式 一 书 中 就 指 出 矩 形 木 梁 的 合 理 高 宽 比 为 h/ = 1.5,1807 年 英 国 著 名 物 理 学 家 托 马 斯 杨 (T.Young) 则 在 自 然 哲 学 与 h 机 械 技 术 讲 义 一 书 中 指 出 矩 形 木 梁 的 合 理 高 宽 比 为 : = h 时, 强 度 最 大 ; 3 = 时, 刚 度 最 大. 采 用 变 截 面 梁 对 于 等 直 梁, 按 照 正 应 力 强 度 条 件 式 (5.16) 确 定 截 面 尺 寸 时, 是 以 最 大 弯 矩 为 依 据 的 而 在 工 程 实 际 中, 梁 的 弯 矩 沿 梁 的 长 度 方 向 会 发 生 变 化 也 就 是 说, 当 最 大 弯 矩 所 在 横 截 面 上 的 最 大 正 应 力 达 到 材 料 的 许 用 应 力 时, 其 余 各 横 截 面 上 的 最 大 正 应 力 都 还 小 于 材 料 的 许 用 应 力, 使 材 料 得 不 到 充 分 利 用 为 了 克 服 这 一 不 足, 可 对 弯 矩 较 大 的 梁 段 进 行 局 部 加 强, 将 梁 设 计 为 变 截 面 梁, 使 梁 的 横 截 面 尺 寸 大 致 上 适 应 弯 矩 沿 梁 长 度 方 向 的 变 化, 以 达 到 节 约 材 料 减 轻 自 重 的 目 的 假 若 使 梁 各 横 截 面 上 的 最 大 正 应 力 都 相 等, 并 均 达 到 材 料 的 许 用 应 力, 则 这 样 的 变 截 面 梁 通 常 称 为 等 强 度 梁 (em of constnt strength), 其 强 度 条 件 为 ( x) = [ ] (5.18) W( x) 式 中 (x) W(x) 分 别 表 示 梁 上 任 意 x 截 面 的 弯 矩 和 弯 曲 截 面 系 数 由 上 式, 可 根 据 弯 矩 变 化 规 律 确 定 等 强 度 梁 的 截 面 变 化 规 律 例 5.9 图 5.19() 所 示 矩 形 截 面 简 支 梁 在 中 点 处 受 一 集 中 力 作 用, 设 截 面 宽 度 不 变, 改 变 其 高 度 h, 使 之 成 为 一 等 强 度 梁 试 求 其 高 度 随 截 面 位 置 的 变 化 规 律 h(x) 解 : 在 梁 左 半 段 距 左 端 为 x 处 的 弯 矩 为 115

116 材 料 力 学 ( x) = x 弯 曲 截 面 系 数 为 h ( x) W( x ) = 6 于 是, 根 据 等 强 度 梁 的 强 度 条 件 式 (5.18), 有 x ( x) = = [ ] W( x) h ( x) 6 可 求 得 3x hx ( ) = () [ ] 这 是 梁 左 半 段 高 度 变 化 的 规 律 右 半 段 与 左 半 段 对 称, 无 需 另 求 但 按 照 式 (), 梁 两 端 的 截 面 高 度 为 零, 这 将 无 法 抵 抗 剪 力 因 此 必 须 按 切 应 力 强 度 条 件 来 确 定 截 面 的 最 小 高 度 3 Q 3 = = = [ ] hmin 可 求 得 3 hmin = () 4 [ ] 按 式 () 和 式 () 确 定 的 梁 的 外 形, 也 就 是 厂 房 建 筑 中 常 见 的 鱼 腹 梁, 如 图 5.19() 所 示 / x / h(x) l l () () 图 5.19 例 5.9 图 等 强 度 梁 是 一 种 理 想 的 变 截 面 梁 在 实 际 工 程 中, 考 虑 到 制 造 工 艺 方 面 的 限 制 以 及 构 造 上 的 要 求, 构 件 一 般 设 计 成 近 似 等 强 度 梁 例 如 车 辆 上 起 承 重 和 减 振 作 用 的 叠 板 弹 簧 ( 图 5.0), 实 质 上 就 是 一 种 高 度 不 变 宽 度 变 化 的 矩 形 截 面 简 支 梁 沿 宽 度 切 割 下 来, 然 后 叠 合 起 来 制 成 的 近 似 等 强 度 梁 / / 3. 合 理 配 置 梁 的 荷 载 和 支 座 在 工 艺 要 求 许 可 的 条 件 下, 通 过 合 理 地 配 置 梁 的 荷 载 和 支 座 位 置, 可 降 低 梁 内 的 最 大 弯 矩 值 图 5.0 叠 板 弹 簧 如 图 5.1() 所 示 的 简 支 梁, 当 其 跨 度 中 央 受 集 中 力 作 用 时, 梁 内 的 最 大 弯 矩 为 l = ; 如 果 使 集 中 力 通 过 辅 助 梁 再 作 用 到 梁 上, 如 图 5.1() 所 示, 则 梁 内 的 最 大 弯 4 116

第 5 章 梁 的 应 力 117 矩 就 下 降 为 原 来 的 一 半 这 是 通 过 合 理 分 散 集 中 荷 载 来 降 低 最 大 弯 矩 值 l l/4 l/ l/4 l 4 () () 图 5.1 分 散 荷 载 对 最 大 弯 矩 的 影 响 () 简 支 梁 在 集 中 荷 载 作 用 下 的 弯 矩 图 ;() 简 支 梁 在 分 散 荷 载 作 用 下 的 弯 矩 图 同 样, 通 过 合 理 调 整 支 座 间 距, 也 能 降 低 最 大 弯 矩 值 如 图 5.() 所 示 的 均 布 荷 载 简 支 梁, ql 梁 内 的 最 大 弯 矩 为 = 如 果 将 简 支 梁 两 端 的 支 座 分 别 向 中 间 移 动 0. l, 如 图 5.() 8 ql 所 示, 则 梁 内 的 最 大 弯 矩 就 下 降 为 =, 仅 为 原 来 的 0% 在 工 厂 矿 山 中 常 见 的 40 龙 门 吊 车 ( 图 5.3) 的 立 柱 位 置 不 在 两 端, 就 是 为 了 降 低 横 梁 中 的 最 大 弯 矩 值 q q l 8 l 0.l l 0.l ql ql 50 50 q l 8 () q l 40 () 图 5. 移 动 支 座 对 最 大 弯 矩 的 影 响 图 5.3 龙 门 吊 车 示 意 图 () 简 支 梁 两 端 支 承 时 的 弯 矩 图 ; () 将 支 座 向 中 间 移 0. l 后 的 简 支 梁 弯 矩 图 5.5 非 对 称 截 面 梁 的 平 面 弯 曲 5.5.1 非 对 称 截 面 梁 的 平 面 弯 曲 前 面 推 导 了 对 称 截 面 梁 ( 即 具 有 纵 向 对 称 平 面, 且 外 力 或 外 力 偶 作 用 在 该 平 面 内 的 细 长 梁 ) 发 生 平 面 弯 曲 时 横 截 面 上 正 应 力 的 计 算 公 式 (5.) 117

118 材 料 力 学 = 现 在 简 单 介 绍 将 该 公 式 推 广 到 非 对 称 截 面 梁 平 面 弯 曲 情 形 下 的 适 用 情 况 如 图 5.4 所 示 的 Z 字 形 截 面 梁 即 为 一 非 对 称 截 面 梁, 图 中 轴 为 横 截 面 的 形 心 主 惯 性 轴, 由 x 轴 和 任 一 主 惯 性 轴 构 成 的 平 面 (x 平 面 和 x 平 面 ) 则 为 形 心 主 惯 性 平 面 1. 纯 弯 曲 时 的 情 形 如 果 外 力 偶 作 用 在 与 梁 的 任 一 形 心 主 惯 性 平 面 平 行 的 平 面 内, 则 该 梁 发 生 平 面 弯 曲 若 外 力 偶 平 行 于 x 平 面, 则 与 推 导 对 称 截 面 梁 平 面 弯 曲 时 横 截 面 上 正 应 力 的 计 算 公 式 相 类 似, 根 据 静 力 平 衡 关 系, 以 下 三 个 方 程 必 然 同 时 成 立 O x 图 5.4 非 对 称 截 面 梁 的 平 面 弯 曲 N = d= 0 () = d= 0 () = d= (c) 现 在 假 设 公 式 = 仍 然 成 立, 将 其 代 入 以 上 三 式, 有 N = d 0 = (d) = d 0 = (e) = d = (f) 由 于 轴 为 横 截 面 的 形 心 主 惯 性 轴, 故 有 d = 0 d = 0 d = 显 然, 式 (d) 式 (e) 和 式 (f) 均 满 足, 假 设 成 立 也 就 是 说, 非 对 称 截 面 梁 在 发 生 平 面 弯 曲 的 情 形 下, 对 称 截 面 梁 平 面 弯 曲 时 横 截 面 上 正 应 力 的 计 算 公 式 (5.) 仍 然 适 用 118

第 5 章 梁 的 应 力 119. 横 力 弯 曲 时 的 情 形 实 验 结 果 和 理 论 分 析 都 表 明, 横 向 力 必 须 作 用 在 与 梁 的 形 心 主 惯 性 平 面 平 行 的 某 一 特 定 平 面 内, 才 能 保 证 梁 只 发 生 平 面 弯 曲 而 不 扭 转, 此 时 公 式 = 仍 然 适 用 这 一 特 定 平 面, 也 就 是 梁 在 上 述 形 心 主 惯 性 平 面 内 发 生 弯 曲 时 剪 力 所 在 的 纵 向 平 面 如 果 横 向 力 作 用 在 与 该 特 定 平 面 平 行 的 其 他 任 一 纵 向 平 面 内, 则 梁 除 了 发 生 平 面 弯 曲 外, 还 会 发 生 扭 转 如 图 5.5() 所 示 一 槽 形 截 面 悬 臂 梁, 其 横 截 面 的 两 根 主 轴 分 别 为 轴 和 轴 ( 轴 为 截 面 的 对 称 轴 ) 在 梁 的 自 由 端 加 载 横 向 力, 通 过 实 验 可 以 发 现, 当 外 力 作 用 线 经 过 截 面 形 心, 并 位 于 形 心 主 惯 性 平 面 x 平 面 内 时, 悬 臂 梁 不 但 发 生 平 面 弯 曲, 还 发 生 扭 转, 如 图 5.5() 所 示 ; 当 外 力 的 作 用 线 经 过 某 一 特 定 点 时, 梁 才 会 只 发 生 平 面 弯 曲, 如 图 5.5(c) 所 示 Q () () (c) 图 5.5 横 向 力 作 用 位 置 对 非 对 称 截 面 梁 变 形 的 影 响 () 槽 形 截 面 悬 臂 梁 ;() 施 加 作 用 线 经 过 形 心 的 外 力 后 梁 的 变 形 ;(c) 力 作 用 线 经 某 一 特 定 点 时 梁 的 变 形 5.5. 开 口 薄 壁 截 面 梁 的 弯 曲 中 心 进 一 步 的 理 论 分 析 ( 可 参 阅 有 关 教 材, 此 处 不 作 详 细 探 讨 ) 证 明, 上 述 外 力 作 用 线 所 经 过 的 特 定 点, 实 际 上 就 是 截 面 上 切 应 力 合 力 ( 即 剪 力 ) 的 作 用 点, 该 点 通 常 称 为 截 面 的 弯 曲 中 心 (ending center), 或 称 剪 切 中 心 (sher center) 对 于 非 对 称 截 面 梁 来 说, 只 有 当 横 向 外 力 所 在 的 纵 向 平 面 通 过 其 截 面 的 弯 曲 中 心, 梁 才 会 只 弯 曲 而 不 扭 转 在 土 木 工 程 中, 尤 其 是 在 钢 结 构 中, 大 量 采 用 了 开 口 薄 壁 截 面 的 杆 件 这 类 构 件 抗 弯 强 度 较 强, 但 抗 扭 刚 度 较 弱, 很 容 易 由 于 扭 转 变 形 过 大 而 失 稳 破 坏 因 此, 对 于 开 口 薄 壁 截 面 梁, 必 须 严 格 注 意 使 外 荷 载 的 作 用 线 经 过 截 面 的 弯 曲 中 心 由 此 可 见, 在 工 程 实 际 中, 确 定 截 面 弯 曲 中 心 的 位 置 是 相 当 重 要 的 下 面 简 单 介 绍 一 些 确 定 弯 曲 中 心 位 置 的 规 律 : (1) 具 有 一 个 对 称 轴 的 截 面, 例 如 槽 形 开 口 薄 壁 环 形 截 面 等, 其 弯 曲 中 心 必 定 在 此 对 称 轴 上, 如 图 5.6 所 示 119

10 材 料 力 学 1 e δ h 1 Or O e= h1δ 1 e= r 4 0 e 0 () () 图 5.6 弯 曲 中 心 在 对 称 轴 上 () 槽 形 截 面 ;() 开 口 薄 壁 环 形 截 面 () 具 有 两 个 对 称 轴 或 反 对 称 轴 的 截 面, 例 如 工 字 形 Z 字 形 截 面 等, 其 弯 曲 中 心 与 形 心 重 合, 如 图 5.7 所 示 O O () () 图 5.7 弯 曲 中 心 与 形 心 重 合 () 工 字 形 截 面 ;() Z 字 形 截 面 (3) 由 若 干 中 线 交 于 一 点 的 狭 长 矩 形 组 成 的 截 面, 如 T 字 形 等 边 或 不 等 边 角 钢 截 面 等, 其 弯 曲 中 心 就 是 中 线 的 交 点, 如 图 5.8 所 示 O O O () () (c) 图 5.8 弯 曲 中 心 在 两 中 线 交 点 () T 形 截 面 ;() 等 边 角 钢 截 面 ;(c) 不 等 边 角 钢 截 面 10

第 5 章 梁 的 应 力 11 由 以 上 规 律 可 知, 弯 曲 中 心 的 位 置 只 与 截 面 的 几 何 形 状 与 尺 寸 有 关 这 是 因 为 弯 曲 中 心 仅 取 决 于 截 面 上 剪 力 的 作 用 线 位 置, 而 与 其 方 向 及 数 值 大 小 无 关 例 5.10 一 开 口 薄 壁 截 面 梁 由 36 号 槽 钢 制 成, 其 横 截 面 如 图 5.9() 所 示 现 该 梁 受 一 个 平 行 于 其 腹 板 平 面 的 横 向 力 作 用, 若 要 求 梁 只 能 发 生 平 面 弯 曲, 试 求 这 一 横 向 力 的 作 用 位 置 解 : 为 了 使 梁 仅 发 生 平 面 弯 曲 而 不 扭 转, 横 向 力 的 作 用 线 必 须 经 过 截 面 的 弯 曲 中 心, 如 图 5.9() 所 示 现 在 来 求 弯 曲 中 心 距 截 面 腹 板 中 线 的 距 离 e 由 型 钢 规 格 表 可 查 得 36 号 槽 钢 的 几 何 参 数 如 下 : 4 h=360mm;=96mm;d=9mm;δ=16mm; = 11 874cm 1 d O h e O h 1 δ δ () () 图 5.9 例 5.10 图 于 是 得 d 9 1 = = 96 = 91.5 mm δ 16 h1 = h = 360 = 344mm 根 据 有 关 数 据, 即 可 求 得 e 值 为 1 h1 δ 91.5 344 16 e = = = 33.4 mm 4 4 4 11874 10 故 横 向 力 应 作 用 在 腹 板 外 侧 距 腹 板 中 线 33.4mm 处 上 述 求 解 e 的 公 式 的 推 导 可 以 参 阅 参 考 文 献 1 5.6 考 虑 材 料 塑 性 时 梁 的 极 限 弯 矩 在 线 弹 性 阶 段, 梁 的 最 大 正 应 力 出 现 在 危 险 截 面 上 距 中 性 轴 最 远 ( 即 上 下 边 缘 ) 处, 在 讨 论 梁 的 正 应 力 强 度 时, 就 是 据 此 计 算 的 按 照 梁 的 正 应 力 强 度 条 件 式 (5.16) 来 进 行 强 度 设 计, 将 无 法 充 分 发 挥 梁 的 承 载 能 力 其 原 因 为 : 对 于 用 塑 性 材 料 制 成 的 梁 而 言, 当 最 大 应 力 达 到 屈 服 极 限 时, 其 危 险 截 面 上 下 边 缘 处 进 入 屈 服 阶 段, 但 截 面 的 其 他 部 分 却 仍 然 处 于 弹 性 阶 段, 还 可 以 承 受 更 大 的 荷 载 只 有 当 整 个 截 面 都 进 入 屈 服 阶 段, 梁 才 会 产 生 破 坏 而 失 去 承 载 能 力 据 此 算 得 的 最 大 荷 载 称 为 梁 的 极 限 荷 载 (limit lod) 在 土 木 工 程 中, 某 11

1 材 料 力 学 些 钢 筋 混 凝 土 构 件 就 是 按 照 强 度 极 限 状 态 设 计 的 考 虑 到 塑 性 材 料 超 过 弹 性 阶 段 后 应 力 应 变 关 系 的 复 杂 性, 通 常 将 材 料 简 化 为 理 想 弹 塑 性 模 型 (elstic-idel plstic model), 并 认 为 材 料 在 拉 伸 和 压 缩 时 的 弹 性 模 量 E 和 屈 服 极 限 均 相 同 材 料 简 化 后 的 ε 关 系 如 图 5.30 所 示 此 外, 还 假 设 超 出 线 弹 性 范 围 后, 梁 的 弯 曲 变 形 仍 然 符 合 平 面 假 设 这 一 假 设 已 得 到 实 验 证 明 故 梁 内 纵 向 线 的 线 应 变 ε 沿 高 度 仍 然 是 线 性 变 化 的 e s s O 图 5.30 理 想 弹 塑 性 模 型 的 ε 关 系 现 考 虑 一 对 称 截 面 简 支 梁, 在 其 跨 中 受 到 集 中 力 的 作 用, 如 图 5.31() 所 示 在 线 弹 性 范 围 内, 梁 横 截 面 上 任 意 一 点 处 的 正 应 力 正 比 于 该 点 到 中 性 轴 的 距 离 当 横 截 面 上 的 最 大 正 应 力 刚 达 到 材 料 的 屈 服 极 限 时, 正 应 力 沿 横 截 面 高 度 的 分 布 规 律 如 图 5.31() 中 的 实 线 所 示 此 时, 梁 开 始 屈 服 发 生 塑 性 变 形, 横 截 面 所 承 受 的 弯 矩 为 s 称 为 梁 的 屈 服 弯 矩 (ield ending moment) = = W (5.19) 当 外 荷 载 继 续 增 大 时, 横 截 面 上 的 线 应 变 随 之 增 大, 但 仍 始 终 保 持 线 性 分 布, 而 横 截 面 上 正 应 力 达 到 屈 服 极 限 的 区 域 也 将 由 其 上 下 边 缘 逐 渐 向 中 性 轴 扩 展 即 线 应 变 ε = ε 的 点 处 的 正 应 力 达 到, ε > ε 各 点 处 的 正 应 力 保 持 为, 这 些 点 处 于 塑 性 区 域, 而 ε > ε 各 点 处 则 仍 处 于 线 弹 性 阶 段 与 其 相 应 的 正 应 力 沿 横 截 面 高 度 的 分 布 规 律 如 图 5.31() 中 的 虚 线 所 示 s e e s s s s () () (c) 图 5.31 弯 曲 变 形 由 弹 性 向 塑 性 发 展 () 受 载 的 对 称 截 面 简 支 梁 ;() 最 大 正 应 力 刚 达 到 时, 正 应 力 分 布 ;(c) 全 部 正 应 力 均 达 时 分 布 最 后, 当 整 个 横 截 面 上 的 正 应 力 均 达 到 时, 其 沿 横 截 面 高 度 的 分 布 规 律 如 图 5.31(c) 所 示, 截 面 全 部 成 为 塑 性 区 域, 梁 将 发 生 明 显 的 塑 性 变 形 而 达 到 极 限 状 态 (limit stte) 此 时 截 面 上 承 受 的 弯 矩 称 为 极 限 弯 矩 (limit ending moment), 用 u 表 示, 其 值 为 = d + ( )( )d u t c = ( d+ d ) t = ( + ) t c c 1

式 中, t, c 分 别 代 表 横 截 面 上 受 拉 与 受 压 区 域 的 面 积, 第 5 章 梁 的 应 力 13 t = d, t c = d分 别 为 t, c 对 中 性 轴 的 静 矩, 均 取 绝 对 值 现 设 W = + (5.0) 则 有 t c = W (5.1) u 式 中,W s 称 为 塑 性 弯 曲 截 面 系 数 (plstic section modulus in ending), 其 单 位 为 m 3 或 mm 3 当 梁 跨 中 截 面 ( 危 险 截 面 ) 上 的 弯 矩 达 到 极 限 弯 矩 u 时, 其 附 近 将 形 成 如 图 5.3() 阴 影 部 分 所 示 的 塑 性 区, 跨 中 截 面 两 侧 的 两 段 梁, 在 极 限 弯 矩 u 不 变 的 条 件 下, 将 绕 截 面 的 中 性 轴 发 生 相 对 转 动, 恰 似 在 该 截 面 处 安 置 了 一 个 中 间 铰 链, 且 铰 链 两 侧 作 用 着 大 小 等 于 u 的 外 力 偶 矩, 如 图 5.3() 所 示, 通 常 称 之 为 塑 性 铰 (plstic hinge) c u u () () 图 5.3 塑 性 铰 () 形 成 塑 性 区 的 梁 ;() 塑 性 铰 对 于 静 定 梁 而 言, 当 梁 上 形 成 塑 性 铰 后, 梁 就 达 到 了 极 限 状 态, 并 将 产 生 明 显 的 塑 性 变 形 此 时, 梁 所 承 受 的 荷 载 达 到 最 大 值, 即 极 限 荷 载 当 梁 达 到 极 限 状 态 时, 可 根 据 静 力 学 条 件 轴 力 N =0 来 确 定 出 现 塑 性 铰 截 面 的 中 性 轴 位 置, 即 由 此 得 = d + ( )d = 0 N t c = (5.) t c 由 上 式 可 知, 出 现 塑 性 铰 的 截 面, 其 中 性 轴 将 截 面 平 分 为 两 个 面 积 相 等 的 区 域 对 于 具 有 水 平 对 称 轴 的 截 面, 例 如 矩 形 工 字 形 截 面, 在 线 弹 性 状 态 和 极 限 状 态 下 中 性 轴 的 位 置 是 重 合 的, 也 就 是 截 面 的 水 平 对 称 轴 ; 而 对 于 没 有 水 平 对 称 轴 的 截 面, 例 如 工 字 形 截 面, 在 两 种 状 态 下 中 性 轴 的 位 置 并 不 重 合, 中 性 轴 将 随 塑 性 区 的 增 加 而 不 断 移 动, 当 梁 由 线 弹 性 状 态 变 化 到 极 限 状 态 时, 中 性 轴 由 初 始 的 形 心 位 置 移 到 二 等 分 面 积 处 例 5.11 试 求 矩 形 截 面 梁 的 极 限 弯 矩 及 比 值 W s /W 解 : 由 于 矩 形 截 面 具 有 水 平 对 称 轴 ( 中 性 轴 ), 故 有 t = c 对 于 高 为 h, 宽 为 的 矩 形 截 面, 有 h h h t = c = = 4 8 于 是, 可 得 矩 形 截 面 梁 的 极 限 弯 矩 为 13

14 材 料 力 学 h u = Ws = ( t + c) = 4 矩 形 截 面 梁 的 屈 服 弯 矩 为 h s = W = 6 将 极 限 弯 矩 与 屈 服 弯 矩 相 比 较, 有 u Ws 1.5 = W = s 通 过 本 例 可 以 说 明, 通 过 考 虑 材 料 的 塑 性, 充 分 发 挥 材 料 的 承 载 潜 力, 可 以 有 效 地 提 高 梁 的 承 载 能 力 对 于 矩 形 截 面 梁 来 说, 可 以 提 高 50% 表 5- 给 出 了 工 程 中 常 用 的 几 种 截 面 的 W s /W ( 也 即 u / s ) 比 值, 以 供 参 考 表 5- 常 用 截 面 的 W s /W 比 值 截 面 形 式 工 字 形 薄 壁 环 形 矩 形 圆 形 W s /W 1.15~1.17 1.7 1.50 1.70 5.7 小 结 1. 梁 弯 曲 时 的 正 应 力 计 算 公 式 梁 在 纯 弯 曲 情 形 下 横 截 面 上 任 一 点 处 的 正 应 力 公 式 为 = (5.) 上 式 由 纯 弯 曲 条 件 导 出, 可 推 广 应 用 于 横 力 弯 曲 情 形 下 梁 的 弯 曲 正 应 力 沿 截 面 高 度 呈 线 性 分 布, 在 中 性 轴 处 正 应 力 为 零, 在 截 面 上 下 边 缘 处 正 应 力 达 到 最 大 值 = (5.4) W 正 应 力 的 正 负 符 号 通 常 根 据 弯 矩 的 方 向 直 观 判 断. 梁 弯 曲 时 的 切 应 力 计 算 公 式 几 种 常 用 截 面 梁 上 的 最 大 切 应 力 为 矩 形 截 面 梁 : 工 字 形 截 面 梁 : 圆 形 截 面 梁 : 14 3 Q = (5.9) * Q = (5.11) d 4 Q = (5.13) 3

第 5 章 梁 的 应 力 15 薄 壁 环 形 截 面 梁 : Q = (5.14) 等 直 梁 横 截 面 上 最 大 切 应 力 的 一 般 公 式 可 统 一 表 述 为 * Q = (5.15) 梁 的 最 大 切 应 力 发 生 在 中 性 轴 上 各 点 处, 而 截 面 上 下 边 缘 处 的 切 应 力 最 小, 一 般 为 零 3. 梁 的 强 度 条 件 等 直 梁 的 最 大 正 应 力 发 生 在 最 大 弯 矩 所 在 横 截 面 上 距 中 性 轴 最 远 的 各 点 处, 该 处 的 切 应 力 为 零, 处 于 单 轴 应 力 状 态 等 直 梁 的 最 大 切 应 力, 则 发 生 在 最 大 剪 力 所 在 横 截 面 的 中 性 轴 上 各 点 处, 该 处 的 正 应 力 为 零, 处 于 纯 剪 切 应 力 状 态 于 是 可 分 别 按 照 单 轴 应 力 状 态 和 纯 剪 切 应 力 状 态 下 强 度 条 件 的 形 式 来 建 立 梁 的 正 应 力 强 度 条 件 = [ ] (5.16) W 以 及 切 应 力 强 度 条 件 : * Q = [ ] (5.17) 对 于 细 长 梁, 其 强 度 主 要 是 由 正 应 力 控 制 的, 切 应 力 对 强 度 的 影 响 可 以 忽 略 不 计, 按 照 正 应 力 强 度 条 件 设 计 的 梁, 除 了 在 少 数 特 殊 情 况 下, 一 般 都 能 满 足 切 应 力 强 度 要 求, 不 需 要 进 行 专 门 的 切 应 力 强 度 校 核 4. 梁 的 合 理 强 度 设 计 通 过 合 理 的 强 度 设 计, 可 以 有 效 地 提 高 梁 的 抗 弯 强 度 在 实 际 工 程 中, 经 常 采 用 的 合 理 设 计 方 法 包 括 : 合 理 选 择 截 面 形 状 主 要 是 看 W / 的 比 值 比 值 越 大, 材 料 的 使 用 越 经 济, 截 面 也 就 越 合 理 采 用 变 截 面 梁 通 过 使 用 等 强 度 梁, 可 以 节 约 材 料 减 轻 自 重 合 理 配 置 梁 的 荷 载 和 支 座 可 有 效 降 低 梁 内 的 最 大 弯 矩 值 5. 非 对 称 截 面 梁 的 平 面 弯 曲 非 对 称 截 面 梁 在 发 生 平 面 弯 曲 的 情 形 下, 对 称 截 面 梁 平 面 弯 曲 时 横 截 面 上 正 应 力 的 计 算 公 式 (5.) 仍 然 适 用 对 于 非 对 称 截 面 梁 来 说, 只 有 当 横 向 外 力 所 在 的 纵 向 平 面 通 过 其 截 面 的 弯 曲 中 心, 梁 才 会 只 弯 曲 而 不 扭 转 在 工 程 实 际 中, 确 定 截 面 弯 曲 中 心 的 位 置 是 相 当 重 要 的 6. 考 虑 材 料 塑 性 时 梁 的 极 限 弯 矩 在 考 虑 材 料 的 塑 性 时, 通 常 将 材 料 简 化 为 理 想 弹 塑 性 模 型 梁 的 屈 服 弯 矩 为 = W (5.19) s 15

16 材 料 力 学 梁 的 极 限 弯 矩 为 = W (5.1) u s 当 梁 的 危 险 截 面 上 的 弯 矩 达 到 极 限 弯 矩 时, 该 截 面 上 将 出 现 塑 性 铰 对 于 静 定 梁 而 言, 当 梁 上 形 成 塑 性 铰 后, 梁 就 达 到 了 极 限 状 态, 并 将 产 生 明 显 的 塑 性 变 形 此 时, 梁 所 承 受 的 荷 载 达 到 最 大 值, 即 极 限 荷 载 5.8 思 考 题 1. 在 推 导 梁 的 弯 曲 正 应 力 公 式 时 作 了 哪 些 假 设? 这 些 假 设 在 什 么 条 件 下 才 是 正 确 的?. 为 什 么 梁 在 弯 曲 时, 中 性 轴 一 定 会 通 过 横 截 面 的 形 心? 3. 若 梁 发 生 平 面 弯 曲, 试 绘 出 图 5.33 所 示 各 种 形 状 截 面 上 弯 曲 正 应 力 沿 高 度 变 化 的 分 布 规 律 () () (c) (d) 图 5.33 思 考 题 3 图 4. 图 5.34 所 示 简 支 梁 受 均 布 荷 载 作 用, 其 横 截 面 采 用 两 种 形 式, 一 种 是 由 整 根 矩 形 木 梁 制 成, 另 一 种 则 是 由 两 根 正 方 形 木 梁 相 叠 而 成, 其 间 无 任 何 连 接 试 问 二 者 的 应 力 是 否 相 等 q l () () (c) 图 5.34 思 考 题 4 图 5. 为 什 么 等 直 梁 的 最 大 切 应 力 一 般 都 是 在 最 大 剪 力 所 在 横 截 面 的 中 性 轴 上 各 点 处, 而 横 截 面 的 上 下 边 缘 边 缘 各 点 处 的 切 应 力 为 零? 6. 是 不 是 弯 矩 最 大 的 截 面 就 一 定 是 最 危 险 的 截 面? 为 什 么? 7. 试 区 分 以 下 概 念 的 意 义 : 纯 弯 曲 与 横 力 弯 曲 ; 中 性 轴 与 形 心 轴 ; 弯 曲 刚 度 与 弯 曲 截 面 系 数 16

第 5 章 梁 的 应 力 17 8. 什 么 是 弯 曲 中 心? 研 究 弯 曲 中 心 有 什 么 实 际 意 义? 9. 什 么 是 塑 性 铰? 10. 试 述 梁 截 面 正 应 力 由 弹 性 阶 段 到 塑 性 阶 段 的 发 展 过 程 5.9 习 题 1. 一 长 为 l 的 钢 带, 其 截 面 宽 为, 厚 为 t 该 钢 带 重, 平 放 在 刚 性 平 面 上 当 在 钢 带 的 一 端 施 加 大 小 为 /3 的 向 上 拉 力 时, 试 求 钢 带 被 拉 起 离 开 刚 性 平 面 的 长 度 以 及 钢 带 内 的 最 大 正 应 力. 厚 度 为 1.5mm 的 钢 带, 卷 成 直 径 为 3m 的 圆 环 已 知 钢 的 弹 性 模 量 为 E=10GP, 试 求 钢 带 横 截 面 上 的 最 大 正 应 力 3. 将 钢 丝 绕 在 直 径 为 m 的 卷 筒 上, 已 知 钢 丝 的 弹 性 模 量 为 E=00GP, 屈 服 极 限 为 s = 00P, 要 求 钢 丝 中 的 最 大 正 应 力 不 得 超 过 材 料 的 屈 服 极 限, 试 选 择 钢 丝 的 直 径 4. 图 5.35 所 示 长 l 的 悬 臂 梁 由 16 号 工 字 钢 制 成, 已 知 l=1m,=0kn, 试 求 固 定 端 截 面 c 和 d 点 的 弯 曲 正 应 力 c l d 图 5.35 习 题 4 图 5. 受 均 布 荷 载 作 用 的 某 工 字 形 截 面 等 直 外 伸 梁 如 图 5.36 所 示 试 求 梁 内 最 大 正 应 力 为 最 小 时 支 座 的 位 置 6. 某 外 伸 梁 受 力 情 况 如 图 5.37 所 示, 该 梁 的 材 料 为 18 号 工 字 钢 试 求 其 最 大 正 应 力 q 30kN 10kN C B C B D l 1.5m 1.5m 1.0m 图 5.36 习 题 5 图 图 5.37 习 题 6 图 7. 图 5.38 所 示 简 支 梁 由 18 号 工 字 钢 制 成, 在 外 荷 载 作 用 下, 测 得 D 截 面 下 边 缘 处 的 纵 向 线 应 变 为 ε = 3 10 4 已 知 钢 的 弹 性 模 量 为 E=00GP,=1m, 试 求 梁 上 的 最 大 正 应 力 8. 某 外 伸 梁 受 力 情 况 如 图 5.39 所 示, 该 梁 的 材 料 为 5 号 工 字 钢 试 求 梁 上 的 最 大 切 应 力 17

18 材 料 力 学 q q 176kN 7kN 31kN C D B 0.4m 1m 0.6m 0.5m 图 5.38 习 题 8 图 图 5.39 习 题 8 图 9. 某 T 字 形 截 面 铸 铁 悬 臂 梁 受 力 如 图 5.40 所 示 若 欲 使 梁 内 的 最 大 拉 应 力 与 最 大 压 1 应 力 之 比 为, 试 求 翼 缘 的 合 理 宽 度 3 400 60 30 1 图 5.40 习 题 9 图 10. 图 5.41 所 示 T 字 形 截 面 外 伸 梁 受 到 均 布 荷 载 作 用 试 求 梁 上 的 最 大 正 应 力 和 最 大 切 应 力 50kN m 30 00 m 1m 160 0 14 图 5.41 习 题 10 图 11. 图 5.4 所 示 简 支 梁 由 工 字 钢 制 成 已 知 钢 的 许 用 弯 曲 正 应 力 为 [ ] = 15P, 试 选 择 工 字 钢 的 型 号 1. 图 5.43 所 示 矩 形 截 面 简 支 梁 受 均 布 荷 载 q 作 用, 已 知 截 面 尺 寸 为 h, 试 求 梁 的 下 边 缘 的 总 伸 长 75kN 75kN 75kN q B B.5m.5m.5m.5m l 图 5.4 习 题 11 图 图 5.43 习 题 1 图 18 13. 图 5.43 所 示 简 支 梁 设 计 截 面 已 知 q=10kn m,l=4m, 材 料 的 许 用 弯 曲 正 应 力 为

第 5 章 梁 的 应 力 19 [ ] = 160P, 试 (1) 设 计 圆 形 截 面 的 直 径 d;() 设 计 :h=1: 的 矩 形 截 面 ;(3) 选 择 工 字 钢 的 型 号 并 说 明 哪 种 截 面 最 省 材 料 14. T 字 形 截 面 铸 铁 外 伸 梁 受 力 如 图 5.44 所 示 已 知 材 料 的 许 用 拉 应 力 为 [ t ] = 40P, 许 用 压 应 力 为 [ c ] = 100P, 试 按 照 正 应 力 强 度 条 件 校 核 此 梁 的 强 度 15. 由 两 根 36 号 槽 钢 组 成 的 梁 如 图 5.45 所 示 已 知 =44kN,q=1kN/m, 钢 的 许 用 弯 曲 正 应 力 为 [ ] = 170P, 试 按 照 正 应 力 强 度 条 件 校 核 此 梁 的 强 度 10kN/m 0kN 00 30 C D m 3m 1m B 170 30 图 5.44 习 题 14 图 q B 6 1m=6m 图 5.45 习 题 15 图 16. 图 5.46 所 示 为 起 重 机 及 其 行 车 梁, 起 重 机 自 重 P=50kN, 行 走 于 由 两 根 工 字 钢 所 组 成 的 简 支 梁 上 起 重 机 的 最 大 起 重 量 为 =10kN, 钢 材 的 许 用 弯 曲 正 应 力 为 [ ] = 170P 设 全 部 荷 载 平 均 分 配 在 两 根 梁 上, 试 选 择 工 字 钢 的 型 号 1m 1m P 4m 10m B 图 5.46 习 题 16 图 17. T 字 形 截 面 悬 臂 梁 受 力 如 图 5.47 所 示 已 知 =7kN, e =5kN m, 材 料 的 许 用 拉 应 力 为 [ t ] = 5P, 许 用 压 应 力 为 [ c ] = 1P, 截 面 对 中 性 轴 的 惯 性 矩 为 4 = 10 000cm (1) 试 求 梁 上 的 最 大 切 应 力 19

130 材 料 力 学 () 此 梁 的 截 面 如 何 放 置 才 算 合 理? (3) 梁 的 截 面 经 合 理 放 置 后, 若 e =5kN m 不 变, 试 求 许 可 荷 载 [] 的 值 1m C 1m e B 0 60 0 图 5.47 习 题 17 图 18. 图 5.48 所 示 矩 形 截 面 简 支 梁 由 圆 柱 形 木 料 锯 成 已 知 =5kN,=1.5m, 材 料 的 许 h 用 弯 曲 正 应 力 为 [ ] = 10P 试 确 定 弯 曲 截 面 系 数 为 最 大 时 矩 形 截 面 的 高 宽 比, 以 及 梁 所 需 木 料 的 最 小 直 径 d d h 图 5.48 习 题 18 图 19. 为 增 大 弯 曲 截 面 系 数, 可 将 直 径 为 d=140mm 的 圆 形 截 面 梁 的 截 面 上 下 边 缘 切 去 部 分 高 度 δ, 如 图 5.49 所 示 试 求 使 弯 曲 截 面 系 数 为 最 大 的 δ 值 0. 如 图 5.50 所 示, 正 方 形 截 面 的 梁, 为 了 使 其 弯 曲 截 面 系 数 最 大, 图 中 切 去 的 尖 角 尺 寸 δ 应 为 多 少? 此 时 的 弯 曲 截 面 系 数 较 未 切 去 尖 角 时 增 加 百 分 之 多 少? 1. 横 截 面 如 图 5.51 所 示 的 铸 铁 简 支 梁, 跨 长 l=m, 在 梁 的 跨 中 受 到 一 向 下 的 集 中 力 =80kN 作 用 已 知 材 料 的 许 用 拉 应 力 为 [ t ] = 30P, 许 用 压 应 力 为 [ c ] = 90P, 试 确 定 截 面 尺 寸 δ 值 d δ δ δ 10 δ h 8 δ δ 图 5.49 习 题 19 图 图 5.50 习 题 0 图 图 5.51 习 题 1 图. 图 5.5 所 示 正 方 形 截 面 木 梁, 在 C 截 面 处 钻 一 直 径 d=70mm 的 圆 孔 ( 不 考 虑 圆 孔 130

第 5 章 梁 的 应 力 131 处 应 力 集 中 的 影 响 ), 材 料 的 许 用 弯 曲 正 应 力 为 [ ] = 10P (1) 试 设 计 正 方 形 截 面 的 尺 寸 () 校 核 C 截 面 的 强 度 9kN 8kN d=70 150 C 400 600 图 5.5 习 题 图 3. 若 在 习 题 5.16 中, 其 他 条 件 不 变, 钢 的 许 用 切 应 力 为 [ ] = 100P, 试 选 择 工 字 钢 的 型 号 4. 图 5.53 所 示 悬 臂 梁 长 为 l=800mm, 由 三 块 50mm 100mm 的 木 板 胶 合 而 成, 其 自 由 端 受 一 集 中 力 的 作 用 若 胶 合 面 上 的 许 用 切 应 力 为 [ ] = 0.34P, 木 材 的 许 用 弯 曲 正 应 力 为 [ ] = 10P, 试 求 梁 的 许 可 荷 载 [] 以 及 梁 内 的 最 大 正 应 力 100 l 50 50 50 图 5.53 习 题 4 图 5. 图 5.54 所 示 为 一 简 易 起 重 设 备, 吊 车 大 梁 由 0 号 工 字 钢 制 成, 跨 长 l=5m, 最 大 起 重 量 ( 含 电 葫 芦 自 重 )=30kN 已 知 钢 材 的 许 用 切 应 力 为 [ ] = 100P, 许 用 弯 曲 正 应 力 为 [ ] = 170P, 试 校 核 梁 的 强 度 h 6. 矩 形 截 面 梁 受 力 如 图 5.55 所 示 已 知 梁 的 截 面 高 宽 比 为 =, 材 料 的 许 用 弯 曲 正 应 力 为 [ ] = 10P, 许 用 切 应 力 为 [ ] = 5P, 试 设 计 该 梁 的 截 面 尺 寸 10kN 10kN/m 8kN C B D 1m m 1m 图 5.54 习 题 5 图 图 5.55 习 题 6 图 7. 一 组 合 木 梁 的 受 力 情 况 及 横 截 面 尺 寸 如 图 5.56 所 示, 其 材 料 的 许 用 弯 曲 正 应 力 为 131

13 材 料 力 学 [ ] = 10P, 许 用 切 应 力 为 [ ] =.5P, 试 对 该 梁 进 行 强 度 校 核 150 C 60kN/m 1m m D 10kN m B E 0.5m m 400 00 100 75 75 50 50 图 5.56 习 题 7 图 8. 当 荷 载 直 接 作 用 于 跨 长 为 l=6m 的 简 支 梁 B 的 中 点 时, 梁 内 的 最 大 正 应 力 超 过 许 可 值 30% 为 了 消 除 此 过 载 现 象, 配 置 了 如 图 5.57 所 示 的 辅 助 梁 CD 试 求 此 辅 助 梁 的 最 小 跨 长 9. 图 5.58 所 示 悬 臂 梁 长 为 l=1m, 其 自 由 端 受 一 集 中 力 =10kN 的 作 用 已 知 材 料 的 许 用 弯 曲 正 应 力 为 [ ] = 160P, 许 用 切 应 力 为 [ ] = 100P, 该 梁 的 横 截 面 为 等 宽 度 而 高 度 h 变 化 的 矩 形, 其 宽 度 =30mm 试 设 计 一 等 强 度 梁, 并 画 出 此 梁 的 大 致 形 状 C D 0.5l 0.5 l B l 图 5.57 习 题 8 图 图 5.58 习 题 9 图 30. 试 判 断 图 5.59 所 示 各 种 截 面 弯 曲 中 心 的 大 致 位 置 () () (c) (d) (e) 图 5.49 习 题 30 图 31. 试 确 定 图 5.60 所 示 薄 壁 截 面 弯 曲 中 心 的 位 置, 壁 厚 δ 为 常 数 3. 矩 形 截 面 简 支 梁 受 力 如 图 5.61 所 示 当 梁 跨 中 达 到 极 限 弯 矩 时, 试 确 定 梁 塑 性 区 的 宽 度 l s 33. 图 5.6 所 示 T 形 截 面 梁 的 材 料 可 简 化 为 理 想 弹 塑 性 模 型, 其 屈 服 极 限 为 = 35P, 试 求 该 梁 的 极 限 弯 矩 s 13

第 5 章 梁 的 应 力 133 34. 图 5.63 所 示 矩 形 截 面 外 伸 梁 受 均 布 荷 载 作 用 已 知 梁 的 截 面 尺 寸 为 =60mm, h=10mm, 材 料 的 屈 服 极 限 为 s = 35P, 试 求 梁 的 极 限 荷 载 r O l s e l 图 5.60 习 题 31 图 70 图 5.61 习 题 3 图 q 70 8 B C 3m 1m 8 图 5.6 习 题 33 图 图 5.63 习 题 34 图 133