年 考 研 数 学 二 模 拟 题 ( 二 ) 参 考 答 案 本 试 卷 满 分 5 考 试 时 间 8 分 钟 一 选 择 题 :~8 小 题 每 小 题 分 共 分 下 列 每 小 题 给 出 的 四 个 选 项 中 只 有 一 项 符 合 题 目 要 求 的 请 将 所 选 项 前 的 字 母 填 在 答 题 纸 指 定 位 置 上 () 在 点 处 不 存 在 极 限 的 函 数 是 ( ) (A) f ( ) sgn (B) f ( ) (C) f ( ) e 答 案 :(A) sgn (D) f ( ) 解 析 : 对 (A): lim f ( ) lim f ( ) 故 正 确 ; 对 (B): lim f ( ) 排 除 ; 对 (C) 和 (D) lim f ( ) 排 除 () f e ) 的 间 断 点 个 数 和 渐 近 线 条 数 分 别 是 ( ) e ( (A) (B) (C) (D) 答 案 :(B) 解 析 : 首 先 讨 论 间 断 点 : ln 当 分 母 e 时 且 lim f ( ) 此 为 无 穷 间 断 点 ; ln ln 当 时 lim f ( ) lim f ( ) 此 为 可 去 间 断 点 再 讨 论 渐 近 线 : 如 上 面 所 讨 论 的 lim f ( ) 则 为 垂 直 渐 近 线 ; ln ln lim f ( ) lim f ( ) 5 则 5 为 水 平 渐 近 线 f ( ) f ( a) () 设 lim a a 则 函 数 f ( ) 在 点 a ( ) (A) 取 极 大 值 (B) 取 极 小 值 (C) 可 导 (D) 不 可 导 答 案 :(D) 全 国 统 一 服 务 热 线 : 668 55
精 勤 求 学 自 强 不 息 Born to win! 解 析 : 由 极 限 的 保 号 性 知 存 在 U ( a) 当 a 时 f ( ) f ( a) 故 f ( ) 在 点 a 不 取 极 值 f ( ) f ( a) f ( ) f ( a) lim lim a a a a ( a) 当 U f ( ) f ( a) ( a) 时 当 a 时 f ( ) f ( a) a 所 以 f ( ) 在 点 a 不 可 导 () f ( ) 连 续 且 满 足 f ( ) f ( ) 则 (A) d f ( ) d f ( ) dd ( ) (B) (D) (C) d f ( ) d 答 案 :(B) 解 析 : 由 题 设 知 f ( ) dd f ( ) dd d ( ) f d (5) 函 数 f () 连 续 且 f ( ) 则 极 限 lim (A) (B) 答 案 :(A) r r 解 析 tf ( r t ) dt f ( u) du 那 么 lim r e r r tf ( r t cos( ) dt r e r lim ) dd r f ( ) f () lim cos( ) r e (6) 下 列 反 常 积 分 中 收 敛 的 是 ( ) r r tf ( r e r t cos( d f ( ) d (C) r d f ( ) d ) dt cos( f ( u) du 的 值 为 ( ) ) dd ) dd (A) d (B) d ( ) d d (C) (D) ( ) (D) 全 国 统 一 服 务 热 线 : 668 55
答 案 :(C) 解 析 : 对 于 选 项 (C) d d ( ) 由 d (7) 设 有 向 量 组 6 7 线 性 相 关 则 ( ) (A) 或 (B) 或 (C) 或 (D) 或 答 案 :(D) 解 析 : 因 线 性 相 关 故 (8) 已 知 A 那 么 下 列 矩 阵 中 与 A 合 同 的 矩 阵 有 ( ) 6 5 解 得 7 5 (A) 个 (B) 个 (C) 个 (D) 个 答 案 :(A) 解 析 : A ~ B A 与 B 有 相 同 的 正 负 惯 性 指 数 由 A ( ) 知 p q 而 ( ) 5 5 5 全 国 统 一 服 务 热 线 : 668 55
精 勤 求 学 自 强 不 息 Born to win! 均 为 p q 所 以 他 们 都 与 矩 阵 A 合 同 二 填 空 题 (9) lim 答 案 : 解 析 : lim lim e ln e lim ln 其 中 lim ln lim ln ln lim ln lim 进 而 原 式 () d ( ) ( 6 ) 答 案 : ln arctan( ) C A B 解 析 : d ( ) ( 6 ) ( ) C D d 其 中 : 6 A lim ( ) ' lim ' ( ) ( 6 ) 6 B lim ( ) ( ) ( 6 ) 那 么 ( ) ( 6 ) ( ) C D 6 ( )( 6 ) ( 6 ) ( C D)( ) ( ) ( 6 ) 比 较 系 数 得 C C 即 D D 综 上 ( ) ( d 6 ) ln arctan( ) C ( ) ( ) d 全 国 统 一 服 务 热 线 : 668 55
() 曲 线 在 点 ( ) 处 的 曲 率 为 答 案 : 解 析 : ( ) 显 然 该 曲 线 是 一 段 半 径 为 的 圆 弧 根 据 曲 率 半 径 的 定 义 该 曲 线 在 点 ( ) 处 的 曲 率 半 径 为 故 曲 率 为 z () 函 数 z f ( ) 满 足 条 件 f ( ) f f '( ) e 则 ( ) 答 案 : e z 解 析 : ( ) 将 代 入 得 ( ) e 更 进 一 步 z e ( ) 将 代 入 得 ( ) 故 z f ( ) e () 坐 标 中 的 累 次 积 分 d f ( r cos r ) cos dr 可 化 为 直 角 坐 标 系 中 的 累 次 积 分 答 案 : d arctan d 或 d f ( ) f ( ) arctan d 解 析 : 积 分 区 域 如 右 图 所 示 另 一 方 面 原 累 次 积 分 可 化 为 f ( r cos r ) d rdr r cos 其 中 r arctan 故 原 累 次 积 分 可 化 为 直 角 坐 标 系 中 的 累 次 积 分 : d f ( ) arctan d 或 f ( ) d arctan d ( 写 出 一 个 即 给 分 ) () 设 A 是 5 矩 阵 A ( ) 若 ( ) ( ) 是 A 的 基 础 解 系 则 A 的 列 向 量 组 的 秩 为 答 案 : 解 析 :: 由 A 知 () 全 国 统 一 服 务 热 线 : 668 55 5
精 勤 求 学 自 强 不 息 Born to win! 由 A 知 () 由 于 n r( A) 故 必 有 r( A) 有 () 知 线 性 相 关 把 () 代 入 () 得 即 线 性 相 关 秩 为 三 解 答 题 :5 小 题 共 9 分 请 将 解 答 写 在 答 题 纸 指 定 位 置 上 解 答 应 写 出 文 字 说 明 证 明 过 程 或 演 算 步 骤 (5)( 本 题 满 分 分 ) 设 f () 有 反 函 数 g () 且 f ( a) f ( a) f ( a) () 求 g () ; [ f ( ) f ( a)] () 求 lim a ln ln a 解 析 :() 记 f ( ) g( ) 为 f () 的 反 函 数 由 等 式 f ( ) g( ) 两 边 再 对 求 导 数 得 f ( ) g( ) f ( ) g ( ) 注 意 到 g ( ) 则 f ( a) 因 此 g ( ) f ( a) g() [ f ( ) f ( a)] () 按 导 数 定 义 得 lim lim a ln ln a a f ( ) f ( a) ( a) a a ln ln a (6)( 本 题 满 分 分 ) 设 z f ( ) 在 点 ( a a ) 的 某 个 邻 域 内 可 微 已 知 f f f ( a a) a ( a a) b ( a a) c 记 ( ) f [ f ( f ( ))] () 计 算 ( a) () 计 算 d ( ) a d 解 析 :() ( a) f [ a f ( a f ( a a))] f ( a f ( a a)) f ( a a) a d d () ( ) ( ) ( ) ( ) a ( a) ( a) d d 因 为 ( ) f [ f ( f ( ))] 令 u f ( v) v f ( ) 6 6 全 国 统 一 服 务 热 线 : 668 55
d f f u f f f f v ( ) d u u v f f f f f f [ ( )] u v 当 a 时 a v f ( a a) a u f ( a a) a a a a f f f f f f a b a c a a c a a c a a u ua a v va a d d d d a b c[ b c( b c)] ( ) ( a) ( a) a[ b c( b c( b c))] (7)( 本 题 满 分 分 ) 设 f ( t) t dd t [] 其 中 D {( ) } () 求 f (t) 的 表 达 式 ; D () 证 明 : 存 在 t [ ] 使 得 f ( t ) 是 f (t) 在 ( ) 内 唯 一 的 最 小 点 解 析 :() 令 D D {( ) t} D D {( ) t} 则 f ( t) D D t dd ( t) dd t t ( ln t) D D ( t) dd ( t) dd t d D t ( t) dd ( t) d () f ( t) t( ln t) f ( t) ln t t () f ( ) f () f ( ) f () 因 为 f ( t) ln t t () 所 以 f (t) 单 调 增 加 D dd t 又 因 为 f ( ) f () 所 以 存 在 唯 一 的 t ( ) 使 得 f ( t ) 当 t ( t ) 时 f ( t) ; 当 t ( t ) 时 f ( t) 所 以 t ( ) 为 f (t) 在 [ ] 上 唯 一 的 最 小 点 D dd (8)( 本 题 满 分 分 ) 设 f () 在 区 间 [ ] 上 有 三 阶 连 续 导 数 证 明 存 在 实 数 ( ) 使 得 全 国 统 一 服 务 热 线 : 668 55 7
精 勤 求 学 自 强 不 息 Born to win! f ( ) 6 f () f ( ) 解 析 : 将 f () 在 处 按 泰 勒 公 式 展 开 有 f () f () f ( ) f ( ) f () f ()!! f () f ( ) 令 分 别 为 得 f ( ) f () f () 6 f () f ( ) f ( ) f () f () 6 f ( ) f ( ) 两 式 相 减 得 f ( ) f ( ) f () 由 于 f () 在 ] 上 连 续 不 妨 设 f ( ) 在 ] 上 的 最 大 值 最 小 值 为 M m [ [ f ( f ) ( ) 则 m M f ( ) f ( ) 根 据 介 值 定 理 [ ] ( ) 使 得 f ( ) 于 是 f ( ) f ( ) f () f ( ) f ( ) f () f ( ) 即 对 于 ( ) 有 f () 6 (9)( 本 题 满 分 分 ) 设 有 一 半 径 为 R 长 度 为 的 圆 柱 体 平 放 在 深 度 为 R 的 水 池 中 ( 圆 柱 体 的 侧 面 与 水 面 相 切 ) 设 圆 柱 体 比 重 为 ( ) 现 将 圆 柱 体 从 水 中 移 出 水 面 问 需 做 多 少 功? 解 析 : 建 立 坐 标 系 任 取 小 区 间 [+d] [-RR] 相 应 的 柱 体 薄 片 体 积 为 ld l R d 移 至 水 面 时 薄 片 移 动 R- 所 受 力 [ 重 力 与 浮 力 之 差 ] ( )l R d 移 至 水 面 做 功 O d 水 面 ( ) l( R ) R d 整 个 移 出 水 面 时 此 薄 片 离 水 面 距 离 为 R+ 所 做 的 功 为 l( R ) R d 因 此 所 做 的 功 为 W R l[( ) R ] R d = l( ) R R ()( 本 题 满 分 分 ) 设 f ( u v ) 具 有 连 续 偏 导 数 且 f ( u v) f ( u v) ( u v) e uv 求 ( ) e f ( ) 所 满 足 的 一 阶 微 分 方 程 并 求 其 通 解 u v 解 析 : 由 ( ) e f ( ) 有 8 8 全 国 统 一 服 务 热 线 : 668 55
e f e f f ( ) ( ) [ ( ) ( )] 在 条 件 f ( ) ( ) ( ) u v u u v f v u v u v e 即 f ( ) f ( ) ( u v) e uv 中 令 u v 得 f f e ( ) ( ) ( ) 于 是 ( ) 满 足 一 阶 线 性 微 分 方 程 ( ) ( ) 通 解 为 ( ) e [ e d c] 由 分 部 积 分 公 式 可 得 e d ( cos ) e 所 以 ( ) ( cos ) ce 注 : 也 可 由 f ( u v ) 满 足 的 偏 微 分 方 程 直 接 得 到 ( ) 满 足 的 常 微 分 方 程 由 f ( u v) f ( u v) ( u v) e uv u v 令 u v 上 式 转 化 为 常 微 分 方 程 d 所 以 ( ( ) e ) ( ) e d 得 ( ) 满 足 的 微 分 方 程 ( ) ( ) d f ( ) ( ) e d ()( 本 题 满 分 分 ) 求 满 足 条 件 f () f () 且 具 有 二 阶 连 续 导 数 的 函 数 f ( ) 使 方 程 f ( ) d f ( ) d 是 全 微 分 方 程 并 求 出 全 微 分 方 程 经 过 点 ( ) 的 一 条 积 分 曲 线 解 析 : 由 全 微 分 方 程 的 条 件 知 : f ( ) cos f ( ) 即 f ( ) f ( ) cos 对 应 的 齐 次 方 程 的 特 征 根 为 r i 齐 次 方 程 的 通 解 为 F C cos C 因 为 i i 不 是 特 征 根 则 方 程 的 特 解 形 式 为 * f Acos B 代 入 方 程 解 得 A B 故 f * cos 方 程 的 通 解 为 * f F f C cos C cos 代 入 初 始 条 件 f () f () 得 C C 因 此 所 求 函 数 为 全 国 统 一 服 务 热 线 : 668 55 9
精 勤 求 学 自 强 不 息 Born to win! f ( ) cos 将 其 代 入 原 方 程 中 得 全 微 分 方 程 ( cos ) d [ cos ] d 再 求 其 满 足 ( ) 的 积 分 曲 线 因 方 程 为 全 微 分 方 程 其 通 解 为 [ cos ] d C ( cos ) C 由 条 件 ( ) 得 C 故 所 求 积 分 曲 线 为 cos ()( 本 题 满 分 分 ) 设 A B 为 n 阶 矩 阵 秩 r( A) r( B) n 证 明 : (Ⅰ) 为 A B 相 同 的 特 征 值 ; (Ⅱ) A 与 B 的 基 础 解 系 组 成 的 向 量 组 线 性 相 关 (Ⅲ) A B 具 有 公 共 的 特 征 向 量 解 析 :(I) 由 r( A) r( B) n 知 r( A) n r( B) n 因 此 有 A B 故 为 A B 相 同 的 特 征 值 (Ⅱ) 设 r( A) s r( B) t A 的 基 础 解 系 为 n s 设 B 的 基 础 解 系 为 n t 由 于 ( n s) ( n t) n 故 向 量 组 ns nt 必 线 性 相 关 (Ⅲ) 由 n s n t 线 性 相 关 知 存 在 不 全 为 零 的 数 k k kns l l ln t 使 k k k l l l ns ns ntnt k k k ( l l l ) 则 ( 否 则 令 ns ns nt nt k k k l l l 全 为 零 ) 为 A B 属 于 特 征 值 的 公 共 特 征 向 量 ns nt ()( 本 题 满 分 分 ) 已 知 实 对 称 矩 阵 A a ij 满 足 a a a 6 AB C 其 中 B C (Ⅰ) 求 A 的 全 部 特 征 值 和 特 征 向 量 ; (Ⅱ) 求 A 解 析 :(Ⅰ) 记 则 全 国 统 一 服 务 热 线 : 668 55
C B AB A A A 由 题 设 AB C 知 A A 所 以 是 A 分 别 属 于 特 征 值 的 特 征 向 量 是 第 三 个 特 征 值 利 用 题 设 有 : a a a 6 所 以 6 设 对 应 的 特 征 向 量 为 设 6 解 得 t 取 由 知 即 将 单 位 化 得 个 两 两 正 交 的 单 位 向 量 组 6 记 U 则 U 为 正 交 矩 阵 且 U AU 6 (*) 6 A U U 6 6 6 6 6 全 国 统 一 服 务 热 线 : 668 55