探 讨 用 举 例 法 做 线 性 代 数 试 题 中 的 选 择 题 陈 必 红 (1. 深 圳 大 学 数 学 与 计 算 科 学 学 院, 广 东 省 深 圳 市 邮 编 518060) 摘 要 : 在 线 性 代 数 的 教 学 中 经 常 需 要 出 一 些 试 题 进 行 考 试, 其 中 的 一 种 题 型 为 选 择 题, 即 给 出 (A),(B),(C),(D) 四 个 选 项, 其 中 只 有 一 个 正 确 本 文 作 为 教 学 研 究 论 文, 指 出 有 一 种 做 选 择 题 的 办 法 是 举 例 法, 虽 然 和 正 解 相 比, 不 一 定 更 为 简 单, 但 是 思 路 却 是 简 单 的 因 此 本 文 一 方 面 是 将 举 例 法 作 为 做 选 择 题 的 一 类 技 巧, 另 一 方 面 也 是 给 出 题 者 提 供 关 于 题 目 的 难 度 的 参 考 因 为, 有 一 些 选 择 题, 也 许 从 正 规 解 题 的 思 路 上 讲 是 属 于 较 难 的, 但 是 如 果 用 举 例 法 做, 就 是 简 单 的, 但 是 有 可 能 命 题 者 并 没 有 想 到 关 键 词 : 线 性 代 数 ; 线 性 代 数 教 学 ; 数 学 教 学 中 图 分 类 号 :O151.2 文 献 标 识 码 : 文 章 编 号 : Using Manner of Giving Examples to Do Multiple-Choice Examination Questions of Linear Algebra CHEN Bihong (1. College of Mathematics of Shenzhen University, Shen-zhen, Guangdong 518060) Abstract:In the teaching in the linear algebra, it is often to give some examination questions to do test, a kind of examination questions is multiple-choice kind which is to give (A),(B),(C),(D) four choice to let student to decide what is correct one. This paper is a education paper which point out that a manner to do multiple-choice examination is to give the examples. Such manner is not certainly simpler than normal solution method, but the way of thinking is simple. So this paper has two target that one is to give a kind of artifice manner of resolving multiple-choice problems and another is to give a reference to the teacher who design the problems, to rethink the difficult degree of the problems. Key words:linear algebra; linear algebra education; mathematical education 0 引 言 笔 者 从 事 线 性 代 数 教 学 多 年, 教 过 例 如 赵 树 嫄 [1] [2], 居 于 马 等 编 写 的 教 程 也 研 究 过 一 [1] [2] [3] 些 线 性 代 数 的 试 题 [4] 其 中 一 类 试 题 是 选 择 题 类 型 的, 这 样 的 每 道 题 会 给 出 (A),(B),(C),(D) 四 个 选 项, 这 四 个 选 项 只 有 一 个 是 正 确 的 本 文 研 究 这 样 的 单 选 题 的 做 题 技 术, 指 出 一 种 思 路 简 单 的 举 例 法 技 巧 也 就 说, 只 要 举 出 适 当 的 例 子, 就 能 够 判 定 出 四 个 选 项 哪 一 个 是 正 确 的, 虽 然 做 法 不 够 规 范, 但 是, 因 为 选 择 题 是 不 要 求 学 生 给 出 做 题 过 程 的, 只 要 选 对 就 有 分, 在 这 种 情 况 下 举 例 法 往 往 有 效, 且 不 容 易 出 错 另 一 方 面, 出 这 类 题 的 教 师 有 可 能 并 不 知 道 他 所 出 的 题 还 有 举 例 法 的 这 种 办 法, 因 此 有 可 能 会 在 掌 握 题 的 难 度 上 不 太 充 分 在 这 里 也 是 给 出 题 的 教 师 提 个 醒 下 面 就 通 过 几 个 例 子 来 说 明 举 例 法 的 做 题 技 术 1 实 例 作 者 简 介 : 陈 必 红, 男,1955 年 生, 清 华 大 学 博 士, 主 要 研 究 方 向 是 观 测 过 程 理 论, 信 息 论 基 础 理 论. E-mail: cbhmath@hotmail.com. 1
题 ): 首 先 给 出 的 是 2007 年 的 一 个 全 国 统 一 的 研 究 生 入 学 的 数 学 考 试 的 试 题 ( 以 下 简 称 考 研 例 1 设 向 量 组 α 1,α 2,α 3 线 性 无 关, 则 下 列 向 量 组 线 性 相 关 的 是 ( ) (A) α 1 α 2,α 2 α 3,α 3 α 1 (B) α 1 +α 2,α 2 +α 3,α 3 +α 1 (C) α 1 2α 2, α 2 2α 3, α 3 2α 1 (D) α 1 +2α 2,α 2 +2α 3,α 3 +2α 1 解 题 : 因 为 条 件 中 只 给 出 α 1,α 2,α 3 线 性 无 关, 再 无 别 的 约 束, 则 至 少 要 举 三 维 向 量 的 例 子, 当 然 要 想 到 最 简 单 的 线 性 无 关 的 三 个 向 量, 因 此 是 三 阶 单 位 矩 阵 E 3 的 列 向 量 组, 也 就 是 初 始 单 位 向 量 组, 因 此 举 例 就 设 α 1 =(1,0,0) T, α 2 =(0,1,0) T, α 3 =(0,0,1) T, 将 这 个 线 性 无 关 的 向 量 组 的 实 例 代 入 到 (A),(B),(C),(D) 的 各 个 向 量 组 中, 算 出 只 有 (A) 选 项 成 立, 则 特 例 只 有 (A) 选 项 成 立, 其 它 三 个 选 项 都 不 成 立, 那 么 相 信 更 一 般 的 三 个 线 性 无 关 的 向 量 组 也 只 能 够 是 这 个 结 论 ( 假 设 教 师 的 出 题 没 有 错 误 ) 这 种 解 题 法 有 可 能 比 一 些 巧 妙 的 思 路 要 慢 一 些, 甚 至 笨 拙 一 些, 但 是, 一 旦 例 子 举 对, 正 确 选 项 就 可 以 找 到 当 然, 考 生 至 少 要 会 具 体 实 例 的 一 些 线 性 代 数 计 算 办 法, 例 如 给 定 具 体 的 向 量 组 的 实 例, 考 生 还 是 要 会 计 算 向 量 组 的 线 性 相 关 性, 向 量 组 的 秩, 向 量 组 的 一 个 极 大 无 关 组, 等 等 下 面 是 2006 年 的 一 个 考 研 题 : 例 2 设 α 1,α 2,,α s 均 为 n 维 列 向 量,A 是 m n 矩 阵, 则 下 列 选 项 正 确 的 是 ( ) (A) 若 α 1,α 2,,α s 线 性 相 关, 则 Aα 1, Aα 2,, Aα s 线 性 相 关 (B) 若 α 1,α 2,,α s 线 性 相 关, 则 Aα 1, Aα 2,, Aα s 线 性 无 关 (C) 若 α 1,α 2,,α s 线 性 无 关, 则 Aα 1, Aα 2,, Aα s 线 性 相 关 (D) 若 α 1,α 2,,α s 线 性 无 关, 则 Aα 1, Aα 2,, Aα s 线 性 无 关 解 题 : 题 目 对 向 量 组 α 1,α 2,,α s 和 矩 阵 A 都 没 有 事 先 假 设 的 要 求, 因 此 对 向 量 组 就 要 有 线 性 相 关 和 线 性 无 关 的 两 种 实 例, 当 然 要 找 简 单 的 实 例, 因 此 在 设 计 实 例 时 令 s=1, 只 有 一 个 向 量 构 成 的 向 量 组, 且 分 别 令 α 1 =(1,0) T, 和 α 1 =(0,0) T 这 两 种 情 况 为 线 性 无 关 和 线 性 相 关 的 两 个 实 例, 令 A 为 方 阵, 并 考 虑 单 位 矩 阵 E 2 及 零 矩 阵 O 作 为 两 种 极 端 情 况 下 的 实 例 则 选 项 (A) 和 (B) 选 择 α 1 为 零 向 量 则 不 管 A 取 什 么 矩 阵 结 果 都 是 零 向 量 即 线 性 相 关, 也 就 是 (A) 选 项 成 立 (B) 选 项 不 成 立 对 于 选 项 (C) 和 (D), 选 α 1 =(1,0) T, 作 为 线 性 无 关 的 例 子, 则 当 A=O 时 选 项 (D) 不 成 立, 当 A=E 时 选 项 (C) 不 成 立, 因 此 各 个 实 例 组 合 中 选 项 (B),(C),(D) 都 有 不 成 立 的 情 况, 因 此 选 择 选 项 (A) 当 然, 这 里 举 的 实 例 还 不 够 简 单, 再 简 单, 那 就 是 一 向 量 组 也 是 只 有 一 个 一 维 向 量, 矩 阵 也 是 一 维 方 阵, 就 是 说, 都 是 数, 照 样 得 出 结 论 2006 年 的 另 一 个 考 研 题 : 例 3 设 λ 1,λ 2 是 矩 阵 A 的 两 个 不 同 的 特 征 值, 对 应 的 特 征 向 量 分 别 为 α 1,α 2, 则 α 1,A(α 1 +α 2 ) 线 性 无 关 的 充 分 必 要 条 件 是 ( ) (A) λ 1 =0 (B) λ 2 =0 (C) λ 1 0 (D) λ 2 0 解 题 : 要 用 特 征 值 λ 1,λ 2 给 定 条 件 下 凑 出 一 个 矩 阵 A 的 实 例, 先 是 阶 数 要 小, 因 此 选 二 阶 λ1 方 阵, 当 然 最 简 单 的 是 令 A = 这 样 的 对 角 阵, 因 为 A 已 经 是 对 角 化 的, 因 此 就 是 单 λ2 位 矩 阵 E 能 够 将 它 对 角 化 了,E 1 AE=A, 因 此 对 应 的 特 征 向 量 当 然 是 单 位 矩 阵 的 两 个 列 构 成 的 列 向 量, α 1 =(1,0) T, α 2 =(0,1) T 这 时 可 算 出 A(α 1 +α 2 )=(λ 1,λ 2 ) T, 因 此 而 考 察 α 1,A(α 1 +α 2 ) 的 线 性 相 关 性 就 是 考 察 (1,0) T,(λ 1,λ 2 ) T 1 的 线 性 相 关 性, 将 这 两 个 向 量 拼 成 一 方 阵 0 阵 的 行 列 式 不 为 零 的 充 要 条 件 是 λ 2 0, 因 此 选 择 选 项 (D) 2005 年 的 一 个 考 研 题 如 下 : λ1 λ 可 看 出 此 方 2 例 4 设 A,B,C 为 n 阶 矩 阵,E 为 n 阶 单 位 矩 阵, 若 B=E+AB, C=A+CA, 则 B C 为 2
(A) E (B) E (C) A (D) A 解 题 : 注 意 到 四 个 选 项 与 E 和 A 有 关, 因 此 A 不 能 够 选 择 特 例 E, 因 为 会 造 成 选 项 模 糊 因 此 选 择 特 例 A=O 为 零 矩 阵, 则 这 时 B=E, C=O, B C=E O=E, 因 此 当 然 选 择 选 项 (A) 2 用 什 么 选 例 的 考 虑 其 实, 还 有 许 多 试 题, 都 是 可 以 用 举 例 法 来 做 的 但 是 怎 样 选 例 有 一 定 的 技 巧 性, 通 常 例 要 选 得 越 简 单 越 好, 但 是 又 必 须 能 够 起 到 将 正 确 答 案 区 分 出 来 的 功 能 一 般 而 言, 常 用 的 选 例 考 虑 如 下 矩 阵 的 阶 数, 其 实 最 简 单 的 是 一 阶 方 阵 但 是 如 果 容 易 导 致 糊 涂, 则 二 维 行 向 量 或 者 列 向 量 及 二 阶 方 阵 都 可 以 作 为 矩 阵 的 例 子 如 果 是 可 逆 方 阵, 则 通 常 选 单 位 矩 阵 但 是, 如 果 单 位 矩 阵 不 方 便, 则 次 选 就 是 对 角 阵, 对 角 线 上 的 元 素 均 不 为 零 如 果 对 于 可 逆 性 没 有 要 求, 则 可 以 考 虑 零 矩 阵 作 为 特 例 如 果 矩 阵 不 可 逆 但 零 矩 阵 又 不 1 0 方 便, 则 可 以 考 虑 选 择 0 0 如 果 假 设 了 方 阵 A 的 特 征 值 λ 1,λ 2,,λ n, 则 令 A=diag(λ 1,λ 2,,λ n ) 通 常 是 一 个 好 办 法, 这 个 时 候 特 征 向 量 就 是 单 位 矩 阵 的 各 个 列 向 量, 或 称 初 始 单 位 向 量 如 果 题 目 又 给 出 了 个 别 的 特 征 向 量, 则 用 适 当 的 初 始 单 位 向 量 将 其 它 的 未 给 出 特 征 向 量 的 特 征 向 量 强 给 补 齐, 也 可 以 获 得 A 的 一 个 特 例 1 0 如 果 假 设 了 AB=O 但 A 和 B 又 都 不 是 零 矩 阵, 则 一 个 好 办 法 就 是 假 设 A = 和 0 0 0 0 B = 再 简 单 一 些, 就 是 设 A=(1,0), B=(0,1) T 0 1 如 果 假 设 了 线 性 无 关 的 向 量 组, 则 初 始 单 位 向 量 组 或 者 其 部 分 组 就 是 一 个 好 的 选 择 如 果 假 设 了 线 性 相 关 的 向 量 组, 则 零 向 量 是 首 选 或 者 一 个 向 量 组 中 存 在 零 向 量 也 是 好 的 选 择 k 如 果 假 设 了 A 的 行 列 式 为 k, 可 假 设 A = 1 还 有 许 多 灵 活 的 选 择 办 法, 这 里 面 也 是 有 一 些 技 巧 的 3 其 它 题 型 用 举 例 法 除 了 选 择 题 外, 还 有 填 空 题 和 计 算 题, 有 没 有 机 会 用 到 举 例 法 呢? 有 一 些 题 也 是 有 机 会 的 但 是, 填 空 题 倒 问 题 不 大, 因 为 填 空 题 也 是 不 要 求 过 程 的 成 问 题 的 是, 如 果 计 算 题 用 举 例 法 做 出 来 了, 虽 然 答 案 正 确, 改 题 的 老 师 有 可 能 不 高 兴, 因 此 分 数 上 有 可 能 会 有 损 失 所 以, 不 到 万 不 得 已, 是 不 要 这 么 做 的 当 然, 如 果 实 在 是 想 不 起 正 解, 但 是 举 例 法 又 能 够 找 到 正 确 答 案, 总 比 完 全 不 做 就 交 卷 要 好 一 些 下 面 举 两 个 例 子 下 面 是 2006 年 的 一 个 考 研 题 : 例 5 已 知 α 1,α 2 为 二 维 列 向 量, 矩 阵 A=(2α 1 +α 2,α 1 α 2 )), B=(α 1,α 2 ). 若 行 列 式 A =6, 则 B =. 3
解 题 : 一 开 始 不 妨 假 设 B=E 为 单 位 矩 阵, 既 α 1 =(1,0) T, α 2 =(0,1) T 2 1, 则 这 时 A =, 1 1 A = 3, 但 这 时 B =1, 可 得 比 例 B / A = 1/3, 则 当 A =6 时, B = 2, 填 2. 现 在 给 出 2005 年 的 一 个 考 研 题 的 计 算 题, 注 意 这 里 介 绍 的 解 法 可 能 会 被 扣 分 : 例 6 设 A 为 三 阶 矩 阵,α 1,α 2,α 3 是 线 性 无 关 的 三 维 列 向 量, 且 满 足 Aα 1 =α 1 +α 2 +α 3, Aα 2 =2α 2 +α 3, Aα 3 =2α 2 +3α 3 (I) 求 矩 阵 B, 使 得 A(α 1,α 2,α 3 )=(α 1,α 2,α 3 )B; (II) 求 矩 阵 A 的 特 征 值 ; (III) 求 可 逆 矩 阵 P 使 得 P 1 AP 为 对 角 矩 阵 解 题 : 举 例 强 行 假 设 α 1,α 2,α 3 是 单 位 矩 阵 E 3 的 三 个 列 向 量, 则 这 时 有 这 是 第 (I) 问 解 决 了 1 0 0 B = A= 1 2 2 1 1 3 (II) 从 矩 阵 中 可 知 λ 1 =1 是 A 的 一 个 特 征 值, 而 因 为 A =λ 2 λ 3 =4, tr(a)=6=1+λ 2 +λ 3 可 知 另 两 个 特 征 值 为 λ 2 =1, λ 3 =4 (III) 针 对 λ 1 =λ 2 =1, 对 (A E) 作 行 初 等 变 换 : 0 0 0 1 1 2 1 1 2 0 0 0 1 1 2 0 0 0 从 方 程 x 1 +x 2 +2x 3 =0 得 对 应 的 两 个 基 础 解 系 p 1 =(1, 1,0) T 和 p 2 =(2,0, 1) T, 再 针 对 λ 3 =4, 对 (A 4E) 作 初 等 变 换 : x 可 得 方 程 组 x 1 2 3 最 后 得 所 求 的 P 为 3 0 0 1 0 0 1 2 2 0 1 1 1 1 1 0 0 0 = 0, 的 基 础 解 系 为 p 3 =(0,1,1) T, x = 0, 1 2 0 P = ( p1, p2, p3) = 1 0 1 0 1 1 上 述 解 法 通 常 会 引 起 改 卷 老 师 的 不 满, 虽 然 最 后 答 案 是 正 确 的, 但 仍 然 会 被 扣 分 但 是, 思 路 还 算 是 简 单 的, 好 歹 弄 出 了 一 个 答 案, 总 比 完 全 不 会 做 要 好 4 结 语 综 上 所 述, 举 例 法 对 考 生 来 讲, 在 某 些 情 况 下 是 一 种 有 效 的 应 考 策 略 而 于 对 于 出 试 题 的 教 师 而 言, 在 出 题 时 应 当 充 分 注 意 到 可 能 的 举 例 法 的 应 对, 以 便 于 调 整 试 题 的 难 度, 避 免 4
出 误 以 为 难 度 高, 其 实 难 度 不 高 的 题 本 文 只 以 线 性 代 数 的 试 题 为 例 子 其 实, 对 于 其 它 的 数 学 科 目, 如 概 率 论, 微 积 分, 也 有 相 应 的 举 例 法 策 略 这 些 都 是 需 要 进 一 步 地 研 究 的 [ 参 考 文 献 ] (References) [1] 赵 树 嫄. 线 性 代 数 [M]. 中 国 人 民 大 学 出 版 社,1997. ZHAO S.Y. Linear Algebra[M]. Press of Renmin University of China, 1997. (in Chinese) [2] 居 于 马. 线 性 代 数 [M]. 清 华 大 学 出 版 社,2002. JU Y.M, Linear Algebra[M]. Tsinghua University Publishing house, 2002. (in Chinese) [3] 童 武, 卢 明. 十 年 真 题 精 解 数 学 一 [M]. 北 京 大 学 出 版 社,2007. DONG W, LU M. Solution of Ten Years' True Problems of Mathematics One[M]. Beijing University [4] 童 武, 卢 明. 十 年 真 题 精 解 数 学 二 [M]. 北 京 大 学 出 版 社,2007. DONG W, LU M. Solution of Ten Years' True Problems of Mathematics Two[M]. Beijing University [5] 童 武, 卢 明. 十 年 真 题 精 解 数 学 三 [M]. 北 京 大 学 出 版 社,2007. DONG W, LU M. Solution of Ten Years' True Problems of Mathematics Three[M]. Beijing University [6] 童 武, 卢 明. 十 年 真 题 精 解 数 学 四 [M]. 北 京 大 学 出 版 社,2007. DONG W, LU M. Solution of Ten Years' True Problems of Mathematics Four[M]. Beijing University 5