第三讲空间解析几何与向量代数

第三讲空间解析几何与向量代数 3.. 向量代数. 数量积 ( 内积 ): a b = a b cos θ; θ 是 ab, 之间的夹角. 向量积 ( 外积 ): a b = a b sin θ; a b a, a b b, 构成右手系 a b( 含共线 ) a b = ; a b a b = aba,, b 3. 坐标表示 : ab = xx + yy + zz, i j k a b = x y z, 其中, a = ( x, y, z ), b = ( x, y, z ) x y z 4. 几何意义 : a b 代表以 ab, 为邻边的平行四边形的面积 S ; 平面上三点 Ax (, y,), Bx (, 构成的三角形的面积为, y,) Cx ( 3, y3,) i j k S ABC = AB AC = x x y y x3 x y3 y x x y y = 的绝对值 x3 x y3 y x y 也可以写成 S ABC = x y 的绝对值 x3 y3 5. 混合积 : ( abc,, ) = a ( b c) 注意 : ( abc,, ) = ( bca,, ) = ( cab,, ) x y z 6. 坐标表示 : ( abc,, ) = a ( b c) = x y z, 其中, x3 y3 z3 a = ( x, y, z), b = ( x, y, z), c = ( x3, y3, z3) 7. 几何意义 : ( abc,, ) 的绝对值表示以 abc,, 为三条邻边的平行六面体的体积 abc,, 共面的充要条件是 ( ab,,. c ) = 空间不共面的四点 A( x, y, z ), B( x, y, z ), Cx ( 3, y3, z3), Dx ( 4, y4, z4) 构成的四面体的体积为 x y z x x y y z z x y z V = = x3 x y3 y z3 z 的绝对值 6 x3 y3 z3 6 x4 x y4 y z4 z x y z 4 4 4 73

( 它实际是以 AB, ACAD, 为邻边的平行六面体的体积的六分之一 ) 题目精选 :. 设 a b = 3, a b = {,, }, 试求 a 与 b 的夹角 θ. 解 : 因为 ab = abcosθ = 3. a b = a b θ = + + = 所以 sin 3 3 π tan θ = θ =. 3 6. 设单位向量 abc,, 满足 a+ b+ c =, 求 s= a b+ b c+ c a的值解 = a+ b+ c = ( a+ b+ c)( a+ b+ c) = + + + + + = + + + + + 3 所以 s = a b+ b c+ c a = a b c ( a b b c c a) ( a b b c c a) 3. 设 a+ 3b和 7a 5b垂直, a 4b和 7a b垂直, 求非零向量 a 与 b 的夹角解 : 由 ( a+ 3b) ( 7 a 5b), ( a 4b) ( 7a b) 得 ( a+ 3 b) (7a 5 b) = 7 a + 6a b 5 b = () ( a 4 b) (7a b) = 7 a 3a b+ 8b = () ()-(), 得 46ab = 3 b, 即 a b= b, b abcos ( ab, ) = b, cos( ab, ) = a () 8+() 5, 得 6 a = 3a b, a abcos ( ab, ) = a, cos( ab, ) = b b a 由 =, 推得 a = b a b π 所以, cos( ab, ) = ( ab, ) =. 3 4. 设向量 OA = a, OB = b, OC = c, 证明 :A, B, C 三点共线的充要条件是 a b+ b c+ c a = 证明 : A, B, C, 三点共线 ( c a) // ( b a) ( c a) ( b a) = c b c a a b+ a a= a b+ b c+ c a= 3 π 5. 设 ab, 是三维空间 R 中的两个非零向量, 且 b =, ( ab, ) =, 3 74

a + xb a 求极限 lim x x a+ xb a a+ xb a 解 lim = lim x x x x a+ xb + a [ ] ( a+ xb) ( a+ xb) a a ab + xbb = lim = lim x x a+ xb + a x a+ xb + a [ ] ab π = = b cos( a, b) = cos =. a 3 6. 以 O 为圆心的单位圆周上有相异的两点 P Q, 向量 OP 与 OQ 的夹角为 θ, a, b 为正常数, 求极限 lim ( aop + boq aop+ boq ) θ θ 解 lim ( a OP + boq aop+ boq ) θ θ ( a+ b) aop+ boq = lim θ θ ( a+ b+ aop+ boq ) a + b + ab a + b + ab OP OQ ( cosθ ) = lim θ θ ( a+ b+ aop+ boq ) ab ab( cos θ ) lim ab = = = θ θ ( a+ b+ aop+ boq ) a+ b+ a+ b ( a+ b) 3.. 平面与直线方程. 平面方程的各种形式 n r r () 点法式 : ( ) =, 即 A( x x) + ( y y) + C( z z) =, 式中 n= { A, B, C} 为平面的法向量, M ( x, y, z ) 和 (,, ) 上的定点和动点, r = OM r = OM 是向径, M xyz 分别为平面 () 一般式 : Ax + By + Cz + D = x y z (3) 截距式 : + + =, 式中 abc,, 分别为平面在三个坐标轴上的截距 a b c x x y y z z (4) 三点式 : x x y y z z = x3 x y3 y z3 z 式中 Pi( xi, yi, zi)( i=,,3) 为平面上不共线的三点 ( 相当于 PP, PP, PP 共面面积 ( PP, PP, PP ) = ). 直线方程的各种形式 3 3 75

x x y y z z () 点向式 ( 或标准式对称式 ): r = r + ts, 即 = = ( = t) m n p 式中 s= { n, m, p} 为直线的方向向量, M ( x, y, z ) 和 (,, ) 的定点和动点, r = OM, r = OM 是向径 Ax+ By+ Cz+ D = () 一般式 ( 交面式 ): Ax + By + Cz + D = 这里, 把直线看作两个平面的交线 x x y y z z (3) 两点式 : = = x x y y z z i i i i) 式中 M ( x, y, z (i=, ) 为直线上相异的两点 x = x + mt (4) 参数式 : y = y + nt z = z + pt s m, n, p ( < t <+ ) M xyz 分别为直线上式中, = { } 为直线的方向向量, M ( x, y, z ) 和 (,, ) 直线上的定点和动点,t 为参数 3. 两平面两直线以及平面和直线之间的关系 () 两平面的关系 : 给定两平面 : Ax By Cz D i i i i i M xyz 分别为 π + + + =, 其中 n { A, B, C} 为平面 π i 的法向量 ( i =, ), 则两平面垂直 : n n n n = AA + BB + CC = A B C 两平面平行 : n// n n n = = = A B C A B C D 两平面重合 : = = = A B C D 两平面相交 : 与 n 不平行 n i = i i i x xi y yi z zi () 两直线的关系 : 给定两直线 li : = =, Mi( xi, yi, zi) 为直线 li m n p 上的点, s { m, n, p} i i i i i i = i 为直线 l 的方向向量 ( i =,, 则两直线垂直 : s s s s = mm + nn + p p = i m n p 两直线平行 : s// s s s = = = m n p 两直线重合 : M M // s // s x x y y z z MM s s = l m n 两直线异面 : l m n 两直线相交 : MM s s =, 且与 s 不平行 s (3) 直线与平面的关系 : 给定平面 π : Ax + By + Cz + D = 和直线 76

x x y y z z l : m n p = = n= { A, B, C} 为平面 π 的法向量, M ( x, y, z ) 和 s { m, n, p} = 分别为直线 l 上的定点和方向向量则直线与平面相交 : ns A B C 直线与平面垂直 : n// s n s = = = m n p 直线与平面平行 : n s n s = ma+ nb+ pc = 直线在平面上 : ns = 且 Ax + By + Cz + D = 4. 点到平面的距离 : 定点 D( x, y, z ) 到给定平面 Ax + By + Cz + D = 的距离 Ax + By + Cz + D d = A + B + C 补充 :. 点到直线的距离 : P( x, y, z ) 到直线 L ( 过点 A( abc,, ), 方向向量为 S = (, l m, n) 点 AP S sin θ AP S d = AP sinθ = = S S i j k ( a x, b y, c z ) ( l, m, n) = = a x b y c z l m n l + m + n l + m + n ) 的距离. 两条异面直线的公垂线方程两条异面直线 L, L 的公垂线 L 可以看作是过 LL 的平面与过 LL 的平面的交线, 即 ( P P, S,S S) = ( P P, S,S S) = 写成分量的形式为 x x y y z z l m n = l m n x x y y z z l m n = l m n 此处, ( l,m,n) = ( l,m,n) ( l,m,n ) 3. 两条异面直线之间的距离 : 等于 P P 在 S 上的投影, 即 77

PP S ( PP, S, S d = = ) S S S 典型例题 x = cy + bz. 三个平面 y = az + cx 过同一条直线的充要条件是. z = bx + ay 应填 a + b + c + abc =. 解一这三个平面都过原点, 因此 x cy bz = 这三个平面过同一条直线齐次线性方程组 cx y + az = bx + ay z = c b 有非零解 = + + + =. c a a b c abc b a 解二这三个平面都过原点, 因此这三个平面过同一条直线三个法向量 (, cb, ), ( c,, a), ( ba,, ) 共面 c b c a = a + b + c + abc =. b a x y z+ x + y z. 已知二直线 L : = =, L : = = () 说明它们异面 ;() 求它们的公垂线方程 ;(3) 求它们之间的距离解 () ( PP, S, S) = = 3, 所以异面 i j k () S S = = (,,), 公垂线方程为 x y z+ = x+ y+ 4z+ 3=, 即 x + y z x y z + 3 = = PP S ( PP, S, S) 3 (3) 距离为 d = = = = S S S 4+ 4+ 78

x = 3z y = x 5 同类型题 : 求直线 l : 和直线 l : 的公垂线 l 的方程 y = z 3 z = 7x + 及两条直线之间的距离. 解 : 先将给定的直线及 l 的一般方程转化成对称式方程 l 3 5 : x + y + z, : x y + z l = = l = = 3 7 x 3z+ = 再按第二题的做法答案 : 37x+ y z+ = 3. 一直线 L 过点 (,6,3), 与平面 α : x y + 3z 5 = 平行, 且和直线 x y z 6 l : = = 相交, 求此直线方程 5 8 解不妨设直线方程为 L : x y z 6 = =, 其中 lmn,, 待定 l m n L 与 l 相交 L 与 l 共面 L// α l m+ 3 n= () 6 3 6 5 8 = 6l 5m n= () l m n 由 () 和 () 得 l = 5 n, m= 4n, 代入 L 的方程得 x y z 6 L : = = 5 4 x y + z 5 x y + 3 z + 4. 平面通过两直线 L : = = 和 L : = = 的公垂线 L, 3 且平行于向量 c = (,, ), 求此平面的方程 i j k i j k 解 s = s s = = (,,), n= s c= = (,,) 3 设 L 与 L, L 的交点分别为 A, B, 则 A( + t, + t, t+ 5), B( λ, 3λ 3, λ ), AB( λ t,3λ t,λ t 6) λ t 3λ t λ t 6 AB // s = =, 解得 t = 6, λ = 5, A(7,,), 所求平面方程为 ( x 7) + ( y ) + ( z ) =, 即 x+ y+ z 38= 5. 试求过点 A (,,) 和 B(,,), 且与锥面 x + y = z 交成抛物线的平面方程 79

解设 n= ( abc,, ) 为所求平面的单位法向量, 则 n AB = (,,) a = b 所求平面与锥面交成抛物线, 故平面与 xoy 面成 45 角, 因此 π n k cos( nk, ) = cos = c= 4 n k 又 a + b + c = a = b=±, 所求平面方程为 ± ( x+ ) ± ( y ) + ( z ) =, 即 x+ y± z+ = 6. 已知曲面 x y + z 4yz 8zx + 4xy x + 8y 4z = 与某一平面的交线的对称中心在坐标原点, 求该平面方程解已知平面经过原点, 若平面为 yoz, 则 y + z 4yz+ 8y 4z = x = 该曲线关于原点不对称, 故 yoz 不为所求 ; 同样, xoy, xoz 都不为所求设所求平面方程为 : x+ by+ cz = ( 也可以 y+ bx+ cz =, z+ bx+ cy = ) 将 x = ( by + cz) 代入原曲面方程, 得 by + cz y + z 4yz + 8 z( by + cz) 4( by + cz) y + ( by + cz) + 8y 4z = 即 ( b 4b ) y + ( c + 8c+ ) z + ( bc+ 4b c ) yz+ ( b+ 4) y+ ( c ) z = 它关于原点对称相当于 y, z 用 y, z 代替不变, 这只需要一次项 y, z 的系数为, 即 ( b+ 4) =,( c ) = b= 4, c=, 得所求平面方程为 : x 4y+ z = 3.3. 曲线曲面方程. 空间曲面 F x, y, z = ; () 曲面方程的一般形式 : 曲面方程的显示形式 : z f ( x, y) x = x( u, v) 曲面方程的参数形式 : y = y( u, v) z = z( u, v) f ( x, y) = ( ) 旋转曲面 : 曲线 f x, ± y + z = ; = ; z = 绕 y 轴旋转的旋转曲面方程为 f ( x z y) 绕 x 轴旋转的旋转曲面方程为 ± +, = 8

(, ) (3) 母线平行于坐标轴的柱面 : 母线平行于 z 轴的柱面方程为 F x y = (4) 常见二次曲面 : 椭球面 : x + y + z = a b c 单叶双曲面 : x + y z = a b c 双叶双曲面 : x + y z = a b c 二次锥面 : x + y z = a b c x y 椭圆抛物面 : + = z a b x y 双曲抛物面 : = z ( 马鞍面 ) a b. 空间曲线 F x, y, z = y = y x () 空间曲线方程的一般形式 : 用 ( 隐式 ) 或 G( x, y, z) = z = z x ( 显式 ) 或 () () () x = x t y = y t z = z t ( 参数式 ) 表示空间曲线方程 F x, y, z = () 空间曲线在坐标面上的投影 : 设 G( x, y, z) = f x, y 面两个方程式消去 z, 得 f ( x, y ) =, 则 = z = 上的投影曲线的方程有关知识补充 :. 柱面方程 F(x, y,z) = 给定准线, 母线方向 S = (, l m, n), 有 G(x, y,z) = Fx,y,z ( ) = Gx,y,z ( ) =, x x y y z z = = l m n 消去 x, y, z 即为所求柱面. 锥面方程 : 表示空间曲线 C, 通过上表示空间曲线 C 在 xoy 面 8

F(x, y,z) = 给定准线, 定点 A( abc,, ), 有 G(x, y,z) = Fx,y,z ( ) = Gx,y,z ( ) =, x a y b z c = = x a y b z c 消去 x, y, z 即为所求锥面 3. 旋转曲面 : F(x, y,z) = 给定母线 C:, 它绕直线 L: P= A+ ts 旋转的曲面, 相当于以 G(x, y,z) = A 为球心 AP 长为半径的球面, 与过 P 以 S = (, l m, n) 为法向量的平面的交线为曲线族形成的曲面, 从而有 Fx,y,z ( ) = Gx,y,z ( ) =, ( x a) + ( y b) + ( z c) = ( x a) + ( y b) + ( z c) lx ( x) + my ( y) + nz ( z) = 消去 x, y, z 即为所求旋转曲面特别, 当定直线 L 为坐标轴, 如 z 轴时, 取 a=b=c=, S = k = (,), 此时, 后两个方程变为 : x + y + z = x + y + z, 即 x + y = x + y z = z, z = z, 再由前两个方程 ( 指 Fx,y,z ( ) =,G( x,y,z ) = ) 将 x, y 用 z = z 表示, 即得所求旋转曲面典型例题 x = z. 直线绕 z 轴旋转, 得到的旋转曲面方程为 y = 解 : 在该直线上取点 ( x, y, z ), 绕 z 轴旋转到 ( x, yz), 由关系 z = z, x + y = x + y 可得旋转面方程 : x + y 4z =. x y z. 求直线 L : = = 在平面 π : x y + z = 上的投影直线 l 的方程, 并求 l 绕 y 轴旋转一周所得曲面的方程解 : 过直线 L 作一垂直于 π 的平面 π, π 与 π 的交线即为 l 的方程 π 的法向量既垂直于 L 的方向向量, 又垂直于 π 的法向量, 因此, 可取 8

i j k π 的法向量为 = i 3j k 由点法式知 π 的方程为 : x 3y z+ =, 从而 l 的方程为 x= y x y+ z = l : 将 l 写成, x 3y z + = z = ( y ) 设 l 绕 y 轴旋转一周所成的曲面为 S, 点 px ( p, yp, zp) S, 则 y p = y, ) ( ( ) ( ) 7 x p zp = x + z = y + y = yp + yp = yp y 4 去掉下角 P, 即得 S 的方程为 4x 7y + 4z + y = + p + 4, 3. 已知 A (,,) 与 B(,,), 线段 AB 绕 z 轴旋转一周所成的曲面为 S, 求 S 与两平面 z =, z = 所围立体的体积解 : 过 A (,,) 和 B(,,) 的直线方程为 x y z x = z = =, 即. y = z 在 z 轴上截距为 z 的水平面截此旋转体所得截面为一个圆, 此截面与 z 轴交于点 Q(,, z), 与 AB 交于点 M( z, z, z), 故截面圆半径 rz = ( z) + z = z+ z 从而截面面积 S( z) = π ( z+ z ), 旋转体的体积 V = π ( z+ z ) dz = π. 3 x y z 4. 求直线 l : = = 绕直线 l : x= y = z 旋转一周所得旋转曲面的方程 F(x, y,z) = 解这是旋转曲面方程给定母线 C :, 它绕直线 L: P= A+ ts 旋转的 G(x, y,z) = 曲面, 相当于以 A 为球心 AP 长为半径的球面, 与过 P 以 S = (, l m, n) 为法向量的平面的交线为曲线族形成的曲面, 从而有 F( x, y, z) = Gx (, y, z) = ( x - a) + ( y- b) + ( z- c) = ( x- a) + ( y - b) + ( z- c) lx ( - x) + my ( - y) + nz ( - z) = 消去 x, y, z 即为所求旋转曲面 ( 见前面 ) x y z 本题 : 母线 l : = =, A(,,), s = (,, ),, 83

x + y + z = x + y + z () ( x- x) + ( y- y) + ( z- z) = (), x y z = = (3) 由 (3) 得 y = z = x, 由 () 得 x+ y+ z = x + y + z = 5x 4, x + y + z + 4 (, x + y + x y z ) = = z =, 再代入 () 得 5 5 x+ y+ z+ 4 8( x+ y+ z+ 4) x + y + z = x + y = 5x 8x + 4 = + 4, 5 5 化简得 x + y + z xy xz yz+ = 5. 求椭球面 x + y + z xy = 在三个坐标面上的投影区域解先考虑椭球面 x + y + z xy = 在 xoy 平面上的投影该投影即通过所给曲面上的每一点向 xoy 平面作垂线所得的垂足的全体, 它是 xoy 平面上的一个区域, 这个区域的边界由曲面上这样的点的投影构成 : 这一点向 xoy 平面所作的垂线在它的切面内 ( 与椭球面相切 ), 即该点的法线与 xoy 平面平行注意到该点的法向量为 { n= { x y, y x, z} } 因此, 该点的坐标满足 z =, z =,, 这些点的投影为, x + y + z xy =. x + y xy = 它即椭球面在 xoy 平面上投影的边界曲线, 于是在 xoy 平面上的投影区域为圆 : x + y xy, z = ; 同样的方法可考虑切面与 xoz 平面垂直, 则有 y x = 因此, 对 xoz 平面投影为边界点的椭球面上的点应满足方程 y x=, x + y + z xy =. y x=, 这是椭球面与平面的交线, 将它改写为柱面与平面的交线 3x + z =. 4 y =, 于是, 椭球面在 xoz 平面上投影的边界由方程 3x + z = 4 3 所确定, 面上的投影区域为椭圆 :,. 4 x + z y = 同样的方法可确定椭球面在 yoz 平面上投影的边界由方程 x =, 3y 4 + z = 所确定, 在 yoz 平面上的投影区域为椭圆 : 3 +, = 4 y z x 84

第三讲 空间解析几何与向量代数

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