工 程 硕 士 数 学 考 试 大 纲 与 要 求 ( 包 括 高 等 数 学 和 线 性 代 数 ) 一 函 数 极 限 与 连 续 第 一 部 分 : 高 等 数 学 考 试 内 容 函 数 的 概 念 及 表 示 法 函 数 的 有 界 性 单 调 性 周 期 性 和 奇 偶 性 复 合 函 数 反 函 数 分 段 函 数 和 隐 函 数 基 本 初 等 函 数 的 性 质 及 其 图 形 初 等 函 数 函 数 关 系 的 建 立 数 列 极 限 与 函 数 极 限 的 定 义 及 其 性 质 函 数 的 左 极 限 与 右 极 限 无 穷 小 量 和 无 穷 大 量 的 概 念 及 其 关 系 无 穷 小 量 的 性 质 及 无 穷 小 量 的 比 较 极 限 的 四 则 运 算 极 限 存 在 的 两 个 准 则 : 单 调 有 界 准 则 和 夹 逼 准 则 两 个 重 要 极 限 : sin x 1 lim 1, lim 1 x 0 x x x x e. 函 数 连 续 的 概 念 函 数 间 断 点 的 类 型 初 等 函 数 的 连 续 性 闭 区 间 上 连 续 函 数 的 性 质. 1. 理 解 函 数 的 概 念, 掌 握 函 数 的 表 示 法, 并 会 建 立 应 用 问 题 的 函 数 关 系. 2. 了 解 函 数 的 有 界 性 单 调 性 周 期 性 和 奇 偶 性. 3. 理 解 复 合 函 数 及 分 段 函 数 的 概 念, 了 解 反 函 数 及 隐 函 数 的 概 念. 4. 掌 握 基 本 初 等 函 数 的 性 质 及 其 图 形, 了 解 初 等 函 数 的 概 念. 5. 了 解 极 限 的 概 念, 了 解 函 数 左 极 限 与 右 极 限 的 概 念 以 及 函 数 极 限 存 在 与 左 右 极 限 之 间 的 关 系. 6. 掌 握 极 限 的 性 质 及 四 则 运 算 法 则. 7. 了 解 极 限 存 在 的 两 个 准 则, 并 会 利 用 它 们 求 极 限, 会 利 用 两 个 重 要 极 限 求 极 限. 8. 理 解 无 穷 小 量 无 穷 大 量 的 概 念, 掌 握 无 穷 小 量 的 比 较 方 法, 会 用 等 价 无 穷 小 量 求 极 限. 9. 了 解 函 数 连 续 性 的 概 念 ( 含 左 连 续 与 右 连 续 ), 会 判 别 函 数 间 断 点 的 类 型. 10. 了 解 连 续 函 数 的 性 质 和 初 等 函 数 的 连 续 性, 了 解 闭 区 间 上 连 续 函 数 的 性 质 ( 有 界 性 最 大 值 和 最 小 值 定 理 介 值 定 理 ), 并 会 应 用 这 些 性 质. 二 一 元 函 数 微 分 学 考 试 内 容 导 数 和 微 分 的 概 念 导 数 的 几 何 意 义 和 物 理 意 义 函 数 的 可 导 性 与 连 续 性 之 间 的 关 系 平 面 曲 线 的 切 线 和 法 线 导 数 和 微 分 的 四 则 运 算 基 本 初 等 函 数 的 导 数 复 合 函 数 反 函 数 隐 函 数 以 及 参 数 方 程 所 确 定 的 函 数 的 微 分 法 高 阶 导 数 洛 必 达 (L'Hospital) 法 则 函 数 单 调 性 的 判 别 函 数 的 极 值 函 数 图 形 的 凹 凸 性 拐 点 及 渐 近 线 函 数 图 形 的 描 绘 函 数 的 最 大 值 与 最 小 值. 1. 了 解 导 数 和 微 分 的 概 念, 了 解 导 数 与 微 分 的 关 系, 了 解 导 数 的 几 何 意 义, 会 求 平 面 曲 线 的 切 线 方 程 和 法 线 方 程, 了 解 函 数 的 可 导 性 与 连 续 性 之 间 的 关 系. 2. 掌 握 导 数 的 四 则 运 算 法 则 和 复 合 函 数 的 求 导 法 则, 掌 握 基 本 初 等 函 数 的 导 数 公 式, 了 解 微 分 的 四 则 运 算 法 则, 会 求 函 数 的 微 分. 1
3. 了 解 高 阶 导 数 的 概 念, 会 求 简 单 函 数 的 高 阶 导 数. 4. 会 求 分 段 函 数 的 导 数, 会 求 隐 函 数 和 由 参 数 方 程 所 确 定 的 函 数 的 导 数. 5. 掌 握 用 洛 必 达 法 则 求 未 定 式 极 限 的 方 法. 6. 了 解 函 数 的 极 值 概 念, 掌 握 用 导 数 判 断 函 数 的 单 调 性 和 求 函 数 极 值 的 方 法, 掌 握 函 数 最 大 值 和 最 小 值 的 求 法 及 其 简 单 应 用. 7. 会 用 导 数 判 断 函 数 图 形 的 凹 凸 性, 会 求 函 数 图 形 的 拐 点 以 及 水 平 铅 直 和 斜 渐 近 线, 会 描 绘 函 数 的 图 形. 三 一 元 函 数 积 分 学 考 试 内 容 原 函 数 和 不 定 积 分 的 概 念 不 定 积 分 的 基 本 性 质 基 本 积 分 公 式 定 积 分 的 概 念 和 基 本 性 质 定 积 分 中 值 定 理 积 分 上 限 的 函 数 及 其 导 数 牛 顿 一 莱 布 尼 茨 (Newton Leibniz) 公 式 不 定 积 分 和 定 积 分 的 换 元 积 分 法 与 分 部 积 分 法 有 理 函 数 三 角 函 数 的 有 理 式 和 简 单 无 理 函 数 的 积 分 反 常 ( 广 义 ) 积 分 定 积 分 的 应 用 1. 了 解 原 函 数 概 念, 了 解 不 定 积 分 和 定 积 分 的 概 念. 2. 掌 握 不 定 积 分 的 基 本 公 式, 掌 握 不 定 积 分 和 定 积 分 的 性 质, 会 用 换 元 积 分 法 与 分 部 积 分 法 计 算 不 定 积 分 和 定 积 分. 3. 会 求 有 理 函 数 三 角 函 数 有 理 式 及 简 单 无 理 函 数 的 积 分. 4. 理 解 积 分 上 限 函 数, 会 求 它 的 导 数, 掌 握 牛 顿 莱 布 尼 茨 公 式. 5. 了 解 反 常 积 分 的 概 念, 会 计 算 简 单 的 反 常 积 分. 6. 掌 握 用 定 积 分 表 达 和 计 算 一 些 几 何 量 ( 平 面 图 形 的 面 积 旋 转 体 的 体 积 平 面 曲 线 的 弧 长 ) 及 函 数 的 平 均 值 等. 四 向 量 代 数 与 空 间 解 析 几 何 考 试 内 容 向 量 的 概 念 向 量 的 线 性 运 算 向 量 的 数 量 积 和 向 量 积 向 量 的 混 合 积 两 向 量 垂 直 平 行 的 条 件 两 向 量 的 夹 角 向 量 的 坐 标 表 达 式 及 其 运 算 单 位 向 量 方 向 数 与 方 向 余 弦 曲 面 方 程 和 空 间 曲 线 方 程 的 概 念 平 面 方 程 直 线 方 程 平 面 与 平 面 平 面 与 直 线 直 线 与 直 线 的 夹 角 以 及 平 行 垂 直 的 条 件 点 到 平 面 和 点 到 直 线 的 距 离 球 面 柱 面 旋 转 曲 面 常 用 的 二 次 曲 面 方 程 及 其 图 形 空 间 曲 线 的 参 数 方 程 和 一 般 方 程 1. 理 解 空 间 直 角 坐 标 系 了 解 向 量 的 概 念 及 其 表 示. 2. 掌 握 向 量 的 运 算 ( 线 性 运 算 数 量 积 向 量 积 混 合 积 ), 了 解 两 个 向 量 垂 直 平 行 的 条 件. 3. 了 解 单 位 向 量 方 向 角 与 方 向 余 弦 向 量 的 坐 标 表 达 式, 掌 握 用 坐 标 表 达 式 进 行 向 量 运 算 的 方 法. 4. 掌 握 平 面 方 程 和 直 线 方 程 及 其 求 法. 5. 会 求 平 面 与 平 面 平 面 与 直 线 直 线 与 直 线 之 间 的 夹 角. 6. 会 求 点 到 直 线 以 及 点 到 平 面 的 距 离. 7. 了 解 曲 面 方 程 和 空 间 曲 线 方 程 的 概 念. 8. 了 解 常 用 二 次 曲 面 的 方 程 及 其 图 形, 会 求 简 单 的 柱 面 和 旋 转 曲 面 的 方 程. 9. 了 解 空 间 曲 线 的 参 数 方 程 和 一 般 方 程. 五 多 元 函 数 微 分 学 考 试 内 容 多 元 函 数 的 概 念 二 元 函 数 的 几 何 意 义 二 元 函 数 的 极 限 与 连 续 的 概 念 有 界 闭 区 域 上 多 元 连 续 函 数 的 性 质 多 元 函 数 的 偏 导 数 和 全 微 分 全 微 分 存 在 的 必 要 条 件 多 元 复 合 2
函 数 求 导 法 隐 函 数 的 求 导 法 二 阶 偏 导 数 空 间 曲 线 的 切 线 与 法 平 面 曲 面 的 切 平 面 与 法 线 多 元 函 数 的 极 值 和 条 件 极 值 多 元 函 数 的 最 大 值 最 小 值 及 其 简 单 应 用 1. 了 解 多 元 函 数 的 概 念, 了 解 二 元 函 数 的 几 何 意 义. 2. 了 解 二 元 函 数 的 极 限 与 连 续 的 概 念 以 及 有 界 闭 区 域 上 连 续 函 数 的 性 质. 3. 了 解 多 元 函 数 的 偏 导 数 和 全 微 分 的 概 念, 会 求 全 微 分, 了 解 全 微 分 存 在 的 必 要 条 件. 4. 掌 握 多 元 复 合 函 数 一 阶 二 阶 偏 导 数 的 求 法. 5. 了 解 隐 函 数 存 在 定 理, 会 求 多 元 隐 函 数 的 偏 导 数. 6. 了 解 空 间 曲 线 的 切 线 和 法 平 面 及 曲 面 的 切 平 面 和 法 线 的 概 念, 会 求 它 们 的 方 法. 7. 了 解 多 元 函 数 极 值 和 条 件 极 值 的 概 念, 掌 握 多 元 函 数 极 值 存 在 的 必 要 条 件, 了 解 二 元 函 数 极 值 存 在 的 充 分 条 件, 会 求 二 元 函 数 的 极 值, 会 用 拉 格 朗 日 乘 法 求 条 件 极 值, 会 求 简 单 多 元 函 数 的 最 大 值 和 最 小 值, 并 会 解 决 一 些 简 单 的 应 用 问 题. 六 多 元 函 数 积 分 学 考 试 内 容 二 重 积 分 的 概 念 性 质 计 算 和 应 用 两 类 平 面 曲 线 积 分 的 概 念 性 质 及 计 算 格 林 (Green) 公 式 平 面 曲 线 积 分 与 路 径 无 关 的 条 件 1. 了 解 二 重 积 分 的 概 念, 了 解 二 重 积 分 的 性 质. 2. 掌 握 二 重 积 分 的 计 算 方 法 ( 直 角 坐 标 极 坐 标 ). 3. 会 用 重 积 分 求 一 些 几 何 量 与 物 理 量 ( 体 积 曲 面 面 积 质 量 等 ). 4. 了 解 两 类 平 面 曲 线 积 分 的 概 念, 了 解 两 类 平 面 曲 线 积 分 的 性 质. 5. 掌 握 计 算 两 类 平 面 曲 线 积 分 的 方 法. 6. 掌 握 格 林 公 式 并 会 运 用 平 面 曲 线 积 分 与 路 径 无 关 的 条 件 七 无 穷 级 数 考 试 内 容 常 数 项 级 数 的 收 敛 与 发 散 的 概 念 收 敛 级 数 的 和 的 概 念 级 数 的 基 本 性 质 正 项 级 数 收 敛 性 的 判 别 法 几 何 级 数 与 p 级 数 及 其 收 敛 性 交 错 级 数 与 莱 布 尼 茨 定 理 任 意 项 级 数 的 绝 对 收 敛 与 条 件 收 敛 函 数 项 级 数 的 收 敛 域 与 和 函 数 的 概 念 幂 级 数 及 其 收 敛 半 径 收 敛 区 间 ( 指 开 区 间 ) 和 收 敛 域 幂 级 数 的 和 函 数 幂 级 数 在 其 收 敛 区 间 内 的 基 本 性 质 简 单 幂 级 数 的 和 函 数 的 求 法 初 等 函 数 的 幂 级 数 展 开 式 1. 了 解 常 数 项 级 数 收 敛 发 散 以 及 收 敛 级 数 的 和 的 概 念, 知 道 级 数 的 基 本 性 质, 掌 握 级 数 收 敛 的 必 要 条 件. 2. 掌 握 几 何 级 数 与 p 级 数 的 收 敛 与 发 散 的 条 件. 3. 掌 握 正 项 级 数 收 敛 性 的 比 较 判 别 法 和 比 值 判 别 法, 会 用 根 值 判 别 法. 4. 掌 握 交 错 级 数 的 莱 布 尼 茨 判 别 法. 5. 了 解 任 意 项 级 数 绝 对 收 敛 与 条 件 收 敛 的 概 念. 6. 了 解 函 数 项 级 数 的 收 敛 域 及 和 函 数 的 概 念. 7. 了 解 幂 级 数 收 敛 半 径 的 概 念 并 掌 握 幂 级 数 的 收 敛 半 径 收 敛 区 间 及 收 敛 域 的 求 法. 8. 了 解 幂 级 数 在 其 收 敛 区 间 内 的 基 本 性 质 ( 和 函 数 的 连 续 性 逐 项 求 导 和 逐 项 积 分 ), 会 求 一 些 幂 级 数 在 收 敛 区 间 内 的 和 函 数, 并 会 由 此 求 出 某 些 数 项 级 数 的 和. x 9. 掌 握 e,sin x, cos x, ln(1 x) 及 (1 ) 简 单 函 数 间 接 展 开 为 幂 级 数. x 的 麦 克 劳 林 (Maclaurin) 展 开 式, 会 用 它 们 将 一 些 3
八 常 微 分 方 程 考 试 内 容 常 微 分 方 程 的 基 本 概 念 变 量 可 分 离 的 微 分 方 程 齐 次 微 分 方 程 一 阶 线 性 微 分 方 程 伯 努 利 (Bernoulli) 方 程 全 微 分 方 程 可 降 阶 的 二 阶 微 分 方 程 线 性 微 分 方 程 解 的 性 质 及 解 的 结 构 定 理 二 阶 常 系 数 齐 次 线 性 微 分 方 程 简 单 的 二 阶 常 系 数 非 齐 次 线 性 微 分 方 程 微 分 方 程 的 简 单 应 用 1. 了 解 微 分 方 程 及 其 阶 解 通 解 初 始 条 件 和 特 解 等 概 念. 2. 掌 握 变 量 可 分 离 的 微 分 方 程 及 一 阶 线 性 微 分 方 程 的 解 法, 会 解 齐 次 微 分 方 程. 3. 会 解 伯 努 利 方 程 和 全 微 分 方 程. ( n) 4. 会 用 降 阶 法 解 下 列 形 式 的 微 分 方 程 : y f( x), y f( x, y ) 和 y f ( y, y ) 5. 了 解 线 性 微 分 方 程 解 的 性 质 及 解 的 结 构. 6. 掌 握 二 阶 常 系 数 齐 次 线 性 微 分 方 程 的 解 法 7. 会 解 自 由 项 为 多 项 式 指 数 函 数 正 弦 函 数 余 弦 函 数 以 及 它 们 的 和 的 二 阶 常 系 数 非 齐 次 线 性 微 分 方 程. 8. 会 用 微 分 方 程 解 决 一 些 简 单 的 应 用 问 题. 一 行 列 式 第 二 部 分 : 线 性 代 数 考 试 内 容 行 列 式 的 概 念 和 基 本 性 质 行 列 式 按 行 ( 列 ) 展 开 定 理 1. 了 解 行 列 式 的 概 念, 掌 握 行 列 式 的 性 质, 2. 会 应 用 行 列 式 的 性 质 和 行 列 式 按 行 ( 列 ) 展 开 定 理 计 算 行 列 式 二 矩 阵 考 试 内 容 矩 阵 的 概 念 矩 阵 的 线 性 运 算 矩 阵 的 乘 法 方 阵 的 幂 方 阵 乘 积 的 行 列 式 矩 阵 的 转 置 逆 矩 阵 的 概 念 和 性 质 矩 阵 可 逆 的 充 分 必 要 条 件 伴 随 矩 阵 矩 阵 的 初 等 变 换 初 等 矩 阵 矩 阵 的 秩 矩 阵 的 等 价 分 块 矩 阵 及 其 运 算 1. 理 解 矩 阵 的 概 念, 了 解 单 位 矩 阵 数 量 矩 阵 对 角 矩 阵 三 角 矩 阵 对 称 矩 阵 和 反 对 称 矩 阵 以 及 它 们 的 性 质 2. 掌 握 矩 阵 的 各 种 运 算 ( 矩 阵 的 乘 法 矩 阵 的 转 置 方 阵 的 幂 ; 方 阵 乘 积 的 行 列 式 ) 3. 了 解 逆 矩 阵 的 概 念 性 质 及 矩 阵 可 逆 的 充 分 必 要 条 件, 会 用 各 种 方 法 求 矩 阵 的 逆 矩 阵. 4. 掌 握 矩 阵 的 初 等 变 换, 会 用 初 等 变 换 解 决 有 关 问 题 了 解 并 会 计 算 矩 阵 的 秩 5. 了 解 分 块 矩 阵 及 其 运 算 三 向 量 考 试 内 容 向 量 的 概 念 ; 向 量 的 线 性 组 合 和 线 性 表 示 向 量 组 的 线 性 相 关 与 线 性 无 关 向 量 组 的 极 大 线 性 无 关 组 等 价 向 量 组 向 量 组 的 秩 向 量 组 的 秩 与 矩 阵 的 秩 之 间 的 关 系 4
1. 了 解 n 维 向 量 向 量 的 线 性 组 合 与 线 性 表 示 的 概 念 ; 2. 了 解 向 量 组 线 性 相 关 与 线 性 无 关 的 概 念 ; 掌 握 向 量 组 线 性 相 关 线 性 无 关 的 有 关 性 质 及 判 别 法 ; 3. 会 求 向 量 组 的 极 大 线 性 无 关 组 和 向 量 组 的 秩 ; 了 解 向 量 组 的 秩 与 矩 阵 的 秩 之 间 的 关 系, 会 用 矩 阵 的 秩 解 决 有 关 问 题 四 线 性 方 程 组 考 试 内 容 线 性 方 程 组 的 克 莱 姆 (Cramer) 法 则 齐 次 线 性 方 程 组 有 非 零 解 的 充 分 必 要 条 件 非 齐 次 线 性 方 程 组 有 解 的 充 分 必 要 条 件 线 性 方 程 组 解 的 性 质 和 解 的 结 构 齐 次 线 性 方 程 组 的 基 础 解 系 和 通 解 非 齐 次 线 性 方 程 组 的 通 解 1. 了 解 线 性 方 程 组 的 克 莱 姆 (Cramer) 法 则 ; 2. 了 解 齐 次 线 性 方 程 组 有 非 零 解 和 非 齐 次 线 性 方 程 组 有 解 的 充 分 必 要 条 件 ; 3. 了 解 齐 次 线 性 方 程 组 的 基 础 解 系 通 解 的 概 念 ; 4. 掌 握 非 齐 次 线 性 方 程 组 的 解 的 结 构 及 通 解 的 概 念 ; 5. 掌 握 用 初 等 行 变 换 求 齐 次 和 非 齐 次 线 性 方 程 组 的 通 解 的 方 法 五 矩 阵 的 特 征 值 与 特 征 向 量 考 试 内 容 矩 阵 的 特 征 值 与 特 征 向 量 的 概 念 性 质 相 似 变 换 相 似 矩 阵 的 概 念 与 性 质 矩 阵 可 相 似 对 角 化 的 充 分 必 要 条 件 及 相 似 对 角 矩 阵 实 对 称 矩 阵 的 特 征 值 与 特 征 向 量 及 其 相 似 对 角 矩 阵 1. 了 解 矩 阵 的 特 征 值 与 特 征 向 量 的 概 念 性 质, 会 求 矩 阵 的 特 征 值 与 特 征 向 量 ; 2. 了 解 相 似 矩 阵 的 概 念 与 性 质, 了 解 矩 阵 可 相 似 对 角 化 的 充 分 必 要 条 件, 了 解 矩 阵 相 似 对 角 化 的 方 法 3. 掌 握 实 对 称 矩 阵 的 特 征 值 与 特 征 向 量 的 性 质 5