泛函分析

泛 函 分 析 导 引 Hongxin Zhang 2007-06-21 State Key Lab of CAD&CG, ZJU

泛 函 分 析 概 览 形 成 于 20 世 纪 30 年 代 的 数 学 分 支 从 变 分 问 题, 积 分 方 程 和 理 论 物 理 的 研 究 中 发 展 而 来 综 合 运 用 了 函 数 论, 几 何 学, 代 数 学 的 观 点 可 看 成 是 无 限 维 向 量 空 间 的 解 析 几 何 及 数 学 分 析

研 究 内 容 无 限 维 向 量 空 间 上 的 函 数, 算 子 和 极 限 理 论 研 究 拓 扑 线 性 空 间 到 拓 扑 线 性 空 间 之 间 满 足 各 种 拓 扑 和 代 数 条 件 的 映 射

泛 函 分 析 的 产 生 十 九 世 纪 后 数 学 发 展 进 入 了 一 个 崭 新 阶 段 对 欧 几 里 得 第 五 公 设 的 研 究, 引 出 了 非 欧 几 何 对 于 代 数 方 程 求 解 的 研 究, 建 立 并 发 展 了 群 论 对 数 学 分 析 的 研 究 又 建 立 了 集 合 论 二 十 世 纪 初 出 现 了 把 分 析 学 一 般 化 的 趋 势 瑞 典 数 学 家 弗 列 特 荷 姆 和 法 国 数 学 家 阿 达 玛 发 表 的 著 作 希 尔 伯 特 空 间 的 提 出 分 析 学 中 许 多 新 理 论 的 形 成, 揭 示 出 分 析 几 何 代 数 的 许 多 概 念 和 方 法 常 常 存 在 相 似 的 地 方 代 数 方 程 求 根 和 微 分 方 程 求 解 都 可 以 应 用 逐 次 逼 近 法, 并 且 解 的 存 在 和 唯 一 性 条 件 也 极 其 相 似 非 欧 几 何 的 确 立 拓 广 了 人 们 对 空 间 的 认 知,n 维 空 间 几 何 的 产 生 允 许 我 们 把 多 变 函 数 用 几 何 学 的 语 言 解 释 成 多 维 空 间 的 影 响

泛 函 分 析 的 产 生 函 数 概 念 被 赋 予 了 更 为 一 般 的 意 义 古 典 分 析 中 的 函 数 概 念 是 指 两 个 数 集 之 间 所 建 立 的 一 种 对 应 关 系 现 代 数 学 的 发 展 却 是 要 求 建 立 两 个 任 意 集 合 之 间 的 某 种 对 应 关 系 在 数 学 上, 把 无 限 维 空 间 到 无 限 维 空 间 的 变 换 叫 做 算 子 研 究 无 限 维 线 性 空 间 上 的 泛 函 数 和 算 子 理 论, 就 产 生 了 一 门 新 的 分 析 数 学, 叫 做 泛 函 分 析

泛 函 分 析 的 特 点 把 古 典 分 析 的 基 本 概 念 和 方 法 一 般 化 几 何 化 从 有 限 维 到 无 穷 维 泛 函 分 析 对 于 研 究 现 代 物 理 学 是 一 个 有 力 的 工 具 从 质 点 力 学 过 渡 到 连 续 介 质 力 学, 就 要 由 有 穷 自 由 度 系 统 过 渡 到 无 穷 自 由 度 系 统 现 代 物 理 学 中 的 量 子 场 理 论 就 属 于 无 穷 自 由 度 系 统

泛 函 分 析 的 主 要 研 究 内 容 泛 函 分 析 自 身 算 子 谱 理 论 巴 拿 赫 代 数 拓 扑 线 性 空 间 理 论 广 义 函 数 论 与 其 他 数 学 学 科 的 关 联 微 分 方 程 概 率 论 函 数 论 连 续 介 质 力 学 计 算 数 学 控 制 论 最 优 化 理 论 等 学 科 中 都 有 重 要 的 应 用, 建 立 群 上 调 和 分 析 理 论 的 基 本 工 具 与 其 他 科 学 学 科 的 关 联 连 续 介 质 力 学 量 子 物 理 学, 是 研 究 无 限 个 自 由 度 物 理 系 统 的 重 要 而 自 然 的 工 具 之 一

L p [a,b] 空 间 表 示 区 间 [a,b] 绝 对 值 的 p 次 幂 L 可 积 函 数 的 全 体, 并 把 几 乎 处 处 相 等 的 函 数 看 成 是 同 一 个 函 数 p xt () L[ ab, ], xt () d t( p 1) 存 在 拓 展 古 典 分 析 中 的 概 念 Lebesgue 测 度 Lebesgue 积 分 b a p

从 Riemann 积 分 到 Lebesgue 积 分 Riemann 积 分 的 定 义 : 设 f (x) 是 定 义 在 [a, b] 上 的 有 界 函 数 在 [a, b] 上 任 意 取 一 组 分 点 a=x 0 <x 1 <x n-1 <x n =b, 并 任 意 取 ξ i [x i-1,x i ] (i=1,2,,n), 作 和 式 S = f( ξi) Δx i= 1 若 其 极 限 存 在 则 称 Riemann 可 积 b n ( R) f( x)dx= lim f( ξi) Δx a n Δx 0 i = 1 i i

从 Riemann 积 分 到 Lebesgue 积 分 Riemann 积 分 的 思 想 是, 将 曲 边 梯 形 分 成 若 干 个 小 曲 边 梯 形, 并 用 每 一 个 小 曲 边 梯 形 的 面 积 用 小 矩 形 来 代 替, 小 矩 形 的 面 积 之 和 就 是 积 分 值 的 近 似 剖 分 越 精 细, 近 似 程 度 越 好 不 可 积 分 的 反 例 :Dirichlet 函 数 Dx ( ) 1, = 0, 当 x为 有 理 数 当 x为 无 理 数 该 函 数 太 不 连 续 了, 在 小 区 间 内 变 化 很 大

从 Riemann 积 分 到 Lebesgue 积 分 Legesgue 积 分 的 思 想 是, 优 先 照 顾 函 数 取 值, 将 函 数 值 相 差 不 大 的 那 些 x 集 中 起 来, 考 虑 集 合 E i = { x y i-1 <f (x)< y i }, 然 后 求 其 长 度, y i m(e i ) 和 y i-1 m(e i ) 用 来 近 似 所 对 应 的 那 块 面 积, 最 后 再 对 所 有 的 小 块 积 分 Dirichlet 函 数 仍 旧 可 以 积 分 Dx ( ) 1, = 0, 当 x为 有 理 数 当 x为 无 理 数

从 Riemann 积 分 到 Lebesgue 积 分 Legesgue 积 分 方 法 所 面 临 的 问 题 : 给 定 直 线 上 的 点 集 E, 如 何 定 义 它 的 长 度? 引 出 了 集 合 测 度 的 概 念 对 于 任 何 实 数 a 和 b, 点 集 { x a f (x)< b} 是 否 有 长 度? 该 问 题 与 函 数 y = f (x) 的 性 质 密 切 相 关, 引 出 了 可 测 函 数 的 概 念

泛 函 分 析 中 的 三 个 空 间 概 念 距 离 空 间 Banach 空 间 ( 完 备 的 赋 范 线 性 空 间 ) Hilbert 空 间 ( 完 备 的 内 积 空 间 ) 大 千 世 界, 具 云 : 三 千 大 千 世 界 四 大 部 洲 之 上, 加 须 弥 山 半 腰 的 四 天 王 天, 及 须 弥 山 顶 的 忉 利 天, 并 空 间 中 的 夜 摩 天 兜 率 天 化 乐 天 他 化 自 在 天 等 六 天 为 欲 界 再 加 上 层 的 大 梵 天 梵 众 天 梵 辅 天 等, 色 界 初 禅 天 为 一 世 界, 千 个 世 界 为 小 千 世 界 又 一 小 千 世 界, 具 千 日 千 月 千 须 弥 山 千 四 大 部 洲 千 四 天 王 天 千 忉 利 天 千 夜 摩 天 千 兜 率 天 千 化 乐 天 千 他 化 自 在 天 千 梵 天 等 又 千 个 小 千 世 界 为 中 千 世 界, 具 百 万 日 月 百 万 须 弥 山 百 万 四 天 下 百 万 六 欲 天 百 万 初 禅 天 及 千 个 二 禅 天 又 千 个 中 千 世 界 为 大 千 世 界, 具 百 亿 日 月 百 亿 须 弥 山 百 亿 四 天 下 百 亿 六 欲 天 百 亿 初 禅 天 百 亿 二 禅 天 及 千 个 三 禅 天 所 谓 三 千 世 界, 乃 小 千 中 千 大 千 之 所 指 三 数 目 的 千 世 界 又 云 大 千, 即 指 三 千 之 中 的 大 为 目 标, 故 说 三 千 大 千 世 界, 略 云 大 千 世 界

距 离 空 间 : 定 义 设 X 是 非 空 集 合, 对 于 X 中 的 任 意 两 元 素 x 与 y, 按 某 一 法 则 都 对 应 唯 一 的 实 数 ρ(x, y), 并 满 足 以 下 三 条 公 理 ( 距 离 公 理 ): 1. 非 负 性 : ρ(x, y) 0, ρ(x, y) =0 当 且 仅 当 x=y; 2. 对 称 性 : ρ(x, y) =ρ(y, x); 3. 三 角 不 等 式 ; 对 任 意 的 x, y, z ρ(x, y) ρ(x, z) + ρ(z, y) 则 称 ρ(x, y) 为 x 与 y 间 的 距 离 ( 或 度 量 ), 并 称 X 是 以 ρ 为 距 离 的 距 离 空 间 ( 或 度 量 空 间 ), 记 成 (X, ρ), 或 简 记 为 X;X 中 的 元 素 称 为 X 中 的 点.

距 离 空 间 : 注 记 所 谓 距 离 空 间, 就 是 在 集 合 X 内 引 入 了 距 离. 在 一 个 集 合 中, 定 义 距 离 的 方 式 不 唯 一 如 果 对 同 一 个 集 合 X 引 入 的 距 离 不 同 那 么 所 构 成 的 距 离 空 间 也 不 同 在 集 合 互 中 引 入 距 离 后, 我 们 就 说 在 X 中 引 入 了 拓 扑 结 构 极 限 是 数 学 分 析 中 的 基 本 概 念 之 一, 有 了 它 可 以 派 生 出 许 多 其 它 概 念. 泛 函 分 析 用 距 离 来 导 出 一 般 化 的 极 限 概 念. 如 n 时 x n a, 我 们 应 理 解 为 x n 与 a 的 距 离 当 n 时 趋 向 于 零.

距 离 空 间 : R n n 维 实 ( 或 复 )Euclid 空 间 R n 是 n 维 向 量 x = (a 1,a 2,,a n ) 的 全 体, 其 中 a i 是 实 ( 或 复 ) 数. 对 任 何 的 x = (a 1,a 2,,a n ), y = (b 1,b 2,,b n ), 规 定 ρ( xy, ) = ( ai bi) i 2 1/2 则 R n 是 距 离 空 间

距 离 空 间 : L p [a,b] L p [a,b] 表 示 区 间 [a,b] 绝 对 值 的 p 次 幂 L 可 积 函 数 的 全 体, 并 把 几 乎 处 处 相 等 的 函 数 看 成 是 同 一 个 函 数, 对 于 x, y L p [a,b], 规 定 1/ p b p ρ( xy, ) = xt ( ) yt ( ) d t, p 1 a 则 L p [a,b] 构 成 一 个 距 离 空 间, 称 之 为 p 次 幂 可 积 函 数 空 间

距 离 空 间 : 开 集 与 闭 集 邻 域 : 给 定 距 离 空 间 X 开 集 : δ ( x) = { y ρ( x, y) < δ, y X} 设 G X, x G, 若 存 在 δ ( x) G, 则 x为 G的 内 点 若 G上 的 每 一 点 都 是 内 点, G是 X的 开 集 闭 集 : 其 补 集 是 开 集

距 离 空 间 : 稠 密 性 设 A,B 为 距 离 空 间 ( X, ρ) 中 的 两 个 集 合, 若 对 任 意 的 x A, 总 存 在 y n A, 使 得 y n x, 则 称 B 在 A 中 稠 密 例 子 有 理 数 集 R 0 在 实 数 集 R 中 稠 密 多 项 式 集 P 在 连 续 函 数 集 C[a, b] 中 稠 密

距 离 空 间 : 可 分 性 设 X 是 距 离 空 间, 如 果 X 中 存 在 一 个 可 列 子 集 X 0, 使 得 X 0 在 X 中 稠 密, 则 距 离 空 间 X 是 可 分 的 例 子 n 维 Euclid 空 间 是 可 分 的 连 续 函 数 集 C[a, b] 是 可 分 的 目 的 : 用 简 单 的 逼 近 复 杂 的

距 离 空 间 的 完 备 性 柯 西 序 列 设 {x n } 是 (X, ρ) 中 的 点 列, 若 对 任 意 的 ε>0, 存 在 N>0, 当 n, m>n 时, 有 ρ(x n, x m )< ε. 则 称 {x n } 是 X 中 的 柯 西 (Cauchy) 序 列, 或 称 基 本 序 列 收 敛 的 序 列 必 然 是 柯 西 序 列, 而 柯 西 序 列 未 必 是 收 敛 的 序 列 空 间 的 不 完 备 性 若 距 离 空 间 (X, ρ) 中 的 每 一 个 柯 西 序 列 都 收 敛 于 (X, ρ) 中 的 某 一 元 素, 则 称 (X, ρ) 是 完 备 的 距 离 空 间

距 离 空 间 的 完 备 性 C[a,b] 和 L p [a,b] 都 是 完 备 距 离 空 间

距 离 空 间 : 不 动 点 原 理 定 义 : 设 (X, ρ) 为 距 离 空 间,T 是 X 到 X 中 的 映 照, 如 果 存 在 数 a (0<a<1), 使 得 对 所 有 的 x,y X 都 有 ρ(tx, Ty)<aρ(x, y), 则 称 T 是 压 缩 映 照 定 理 : 完 备 距 离 空 间 X 上 的 压 缩 映 照 T, 必 存 唯 一 的 不 动 点 x*, 使 得 Tx*=x*. (Banach 压 缩 映 照 定 理 )

距 离 空 间 : 不 动 点 原 理 应 用 : 微 分 方 程, 代 数 方 程, 积 分 方 程 解 的 唯 一 存 在 性 例 子 :Fredholm 第 二 类 积 分 方 程 b xs () = f () s + λ K(,)()d s t x t t 对 充 分 小 的 λ, 可 证 当 f C[a, b], K(s, t) C[a, b; a, b] 时 有 唯 一 连 续 解 当 f L 2 [a, b], K(s, t) L 2 [a, b; a, b] 时 有 唯 一 平 方 可 积 解 a

线 性 空 间 设 V 是 一 个 非 空 集 合,K 是 实 ( 或 复 ) 数 域, 并 可 在 其 上 定 义 加 法, 数 乘 运 算, 而 且 满 足 以 下 公 理 加 法 交 换 律 :x+y = y+x 加 法 结 合 律 :(x+y)+z = x+(y+z) 存 在 零 元 :x+0=x 存 在 逆 元 :x+(-x)=0 数 乘 :1x=x a(bx)= (ab)x (a+b)x=ax+bx a(x+y)=ax+ay 则 称 V 是 数 域 K 上 的 线 性 空 间 x,y,z V a,b K

范 数 与 赋 范 线 性 空 间 设 X 是 实 ( 或 复 ) 线 性 空 间, 如 果 对 于 X 中 每 个 元 素 x, 按 照 一 定 的 法 则 对 应 于 实 数 x, 且 满 足 : x 0, x =0 当 且 仅 当 x 等 于 零 元 (x=0) ax = a x, a 是 实 ( 或 复 ) 数 x+y x + y 则 称 X 是 实 ( 或 复 ) 赋 范 线 性 空 间, x 称 为 x 的 范 数 赋 范 线 性 空 间 必 然 是 距 离 空 间 : 定 义 ρ(x, y)= x- y

范 数 与 赋 范 线 性 空 间 距 离 空 间 未 必 是 赋 范 空 间 反 例 : 所 有 数 列 构 成 的 空 间 定 义 距 离 : S = {( x, x,..., x,...) x R} 1 2 n i ρ( xy, ) = 1 x y i i i i= 1 2 1+ xi + yi 取 x = (1,1,...,1,...), θ = (0,0,...,0,...) ρ( x, θ) 1 2 1 = = 1+ 1 2 i= 1 2 i ρ(2 x, θ) 1 2 2 = = 1+ 2 3 i= 1 2 i 2 ρ( x, θ) ρ(2 x, θ)

巴 拿 赫 (Banach) 空 间 如 果 赋 范 线 性 空 间 (X,. ) 是 完 备 的, 则 称 (X,. ) 是 Banach 空 间 例 子 n 维 Euclid 空 间 R n 是 Banach 空 间 L p [a,b] (p 1) 是 Banach 空 间, 定 义 范 数 1/ p b p x = x() t d t, p 1 a

巴 拿 赫 (Banach) 空 间 例 子 :C k [a,b] 是 Banach 空 间 C k [a,b] 表 示 定 义 在 区 间 [a,b] 上 k 阶 连 续 可 导 的 函 数 全 体. 在 C k [a,b] 定 义 范 数 k x = x t x t = x t C a b j= 0 ( j) (0) max (), () () [, ] 回 忆 在 变 分 中 提 到 的 k 阶 接 近 度

有 限 维 赋 范 线 性 空 间 线 性 空 间 的 维 数 : 若 线 性 空 间 X 中 存 在 n 个 线 性 无 关 的 元 素 e 1,e 2,,e n, 使 得 任 意 的 x X 都 可 以 唯 一 的 表 示 为 x = ce... 1 1+ ce 2 2 + ce n n 则 称 {e 1,e 2,,e n } 是 X 的 基 底, 数 组 {c 1,c 2,,c n } 是 x 关 于 基 底 的 坐 标,n 是 线 性 空 间 的 维 数 有 限 维 赋 范 线 性 空 间 可 以 等 价 于 Euclid 空 间 有 限 维 线 性 空 间 与 Euclid 空 间 是 线 性 同 构 的 有 限 维 赋 范 线 性 空 间 上 的 范 数 定 义 是 等 价 的 有 限 维 赋 范 线 性 空 间 是 完 备, 可 分 的

有 界 线 性 算 子 设 T 是 由 赋 范 线 性 空 间 X 中 的 某 个 子 集 D 到 赋 范 线 性 空 间 X 1 中 的 一 个 映 照, 则 称 T 是 算 子. D 是 T 的 定 义 域, 记 为 D(T), 像 集 {y y=tx, x D} 是 T 的 值 域, 记 为 T(D). 若 T 进 一 步 满 足 可 加 性 :T(x+y)=Tx+Ty 齐 次 性 :T(ax)=aT(x) 则 T 是 线 性 算 子 若 存 在 正 数 M 使 得 对 于 一 切 x D(T), 有 Tx M x, 则 T 是 有 界 算 子

有 界 线 性 算 子 T 是 有 界 线 性 算 子 等 价 于 T 是 连 续 线 性 算 子 算 子 的 范 数 : 对 于 一 切 x D(T) 有 Tx M x 都 成 立 的 M 的 下 确 界, 称 作 算 子 的 范 数, 记 为 T

有 界 线 性 算 子 对 于 任 何 x L[a,b] 定 义 t ( Tx)( t) = x( s)ds 则 T 为 L[a,b] 到 其 自 身 的 有 界 线 性 算 子, 且 a T = b a 容 易 证 明 线 性 其 次 等 号 成 立 情 况 b b t Tx = Tx()d t t = x( s)ds dt b a a a a ( t a ) ( ) xs ()dsdt b b b b xs ()dsdt= d t xs ()d s= ( b a) x a a a a

有 界 线 性 算 子 空 间 定 理 : 设 X 和 X 1 都 是 赋 范 线 性 空 间, 在 B(X, X 1 ) 中 定 义 加 法 和 数 乘 运 算 : (T 1 +T 2 )x=t 1 x+t 2 x (T 1,T 2 B(X, X 1 ),x X) (at)x=a(tx) (T B(X, X 1 ),a 是 数 ) 则 B(X, X 1 ) 按 照 以 上 的 线 性 运 算 是 一 个 线 性 空 间, 并 以 前 述 算 子 范 数 的 定 义 构 成 赋 范 线 性 空 间 若 X 1 是 Banach 空 间, 则 B(X, X 1 ) 也 是 Banach 空 间

有 界 线 性 算 子 空 间 : 共 轭 空 间 若 X 1 是 实 数 ( 或 复 数 ) 域 R, 则 B(X, X 1 ) 称 为 共 轭 空 间, 记 为 X* X* 是 定 义 在 X 上 的 所 有 有 界 线 性 泛 函 所 构 成 的 赋 范 线 性 空 间, 泛 函 f X* 的 范 数 是 f = sup f( x) x = 1 实 数 ( 或 复 数 ) 域 R 是 完 备 的, 因 此 共 轭 空 间 必 定 是 Banach 空 间

不 同 的 收 敛 方 式 定 义 T n,t B(X, X 1 ),n=1,2, 若 T n -T 0, 称 T n 按 算 子 范 数 收 敛 于 T (n ), 或 称 T n 一 致 收 敛 于 T 若 对 于 任 意 的 x, 均 有 T n x-tx 0, 则 称 T n 强 收 敛 于 T 定 义 f n,f X*,n=1,2, 若 f n f 0, 则 称 f n 强 收 敛 于 f (n ) 若 对 于 任 意 的 x, 均 有 f n x fx 0, 则 称 f n 弱 * 收 敛 于 f (n ) 若 对 于 任 意 的 f, 均 有 f(x n ) f(x) 0, 则 称 x n 弱 收 敛 于 x (n )

L p [a,b] (p>1) 上 的 有 界 线 性 泛 函 设 x L p [a,b],y L q [a,b], 且 1/p+1/q=1, 则 L p [a,b] 上 的 有 界 线 性 泛 函 是 且 (L p [a,b])*= L q [a,b] b f ( x) = x() t y()d t t a 当 p=q=2 时, (L p [a,b])*= L q [a,b], 故 空 间 L 2 [a,b] 是 自 共 轭 空 间

赋 范 线 性 空 间 的 几 个 重 要 定 理 非 零 有 界 线 性 泛 函 存 在 定 理 逆 算 子 定 理 类 似 于 反 函 数 定 理 : 单 调 函 数 必 存 在 反 函 数 有 界 线 性 算 子 T 将 Banach 空 间 X 一 一 的 映 照 到 Banach 空 间 Y, 则 T 的 逆 算 子 线 性 有 界 特 例 :Fourier 变 换,Laplace 变 换

赋 范 线 性 空 间 的 几 个 重 要 定 理 闭 图 象 定 理 设 T 是 定 义 在 Banach 空 间 X 上 值 域 包 含 在 Banach 空 间 Y 上 的 线 性 算 子, 则 T 是 有 界 算 子 的 充 要 条 件 是 T 是 闭 算 子 线 性 算 子 T 的 图 像 G = ( x, Tx) x D( T) X Y T { } 是 X Y 中 的 闭 集, 则 称 T 是 闭 算 子 闭 图 象 定 理 常 用 来 验 证 算 子 的 连 续 性

赋 范 线 性 空 间 的 几 个 重 要 定 理 共 鸣 定 理 : 对 于 有 界 线 性 算 子 序 列, 若 代 入 每 一 个 值 都 有 上 界, 则 有 界 线 性 算 子 序 列 本 身 有 界 可 用 于 证 明 Lagrange 插 值 多 项 式 作 为 连 续 函 数 近 似 表 达 时, 插 值 点 无 限 增 多 并 不 能 更 好 的 逼 近 插 值 函 数 存 在 连 续 函 数 其 Fourier 级 数 无 法 一 致 收 敛

有 界 线 性 算 子 的 正 则 集 与 谱 相 似 性 矩 阵 的 特 征 分 解 Ax λx = y Fourier 级 数 展 开

内 积 空 间 几 何 化 : 引 入 正 交 投 影 的 概 念 定 义 : 设 X 是 定 义 在 实 ( 或 复 ) 数 域 K 上 的 线 性 空 间, 若 对 于 X 任 意 一 对 有 序 元 素 x,y, 恒 对 应 数 域 K 的 值 (x, y), 且 满 足 (ax, y) = a(x, y); (x+y, z) = (x, z) + (x, z) ( xy, ) = ( yx, ) (x, x) 0, 且 (x, x)=0 的 充 要 条 件 是 x=0 则 称 X 为 内 积 空 间,(x, y) 称 为 x, y 的 内 积

Hilbert 空 间 可 由 内 积 导 出 范 数 x = ( xx, ) 完 备 的 内 积 空 间 称 为 希 尔 伯 特 (Hilbert) 空 间 Hilbert 空 间 必 为 Banach 空 间

Hilbert 空 间 L 2 [a,b] 中 定 义 x, y 的 内 积 (x, y) 为 b 2 ( x, y) = x( t) y( t)d t, x( t), y( t) L [ a, b] a 因 此, L 2 [a,b] 是 一 个 可 分 的 Hilbert 空 间 L p [a,b] (p 2) 不 可 能 诱 导 由 范 数 诱 导 出 内 积 空 间

Hilbert 空 间 赋 范 线 性 空 间 X 成 为 内 积 空 间 的 充 要 条 件 是 它 的 范 数 满 足 中 线 公 式 2 2 2 2 x+ y + x y = 2 x + 2 y 而 且 内 积 可 表 示 为 1 2 2 2 2 ( xy, ) = ( x + y x y + i x+ iy i x y ) 4

Hilbert 空 间 正 交 (x, y) = 0, 记 为 x y 正 交 补 {, } A = x x A x X X 勾 股 定 理 2 2 2 x y x+ y = x + y 正 交 分 解 : 设 M 是 内 积 空 间 X 的 完 备 子 空 间, 则 对 任 意 x X, 均 有 以 下 唯 一 的 正 交 分 解 x = x + z, x M, z M 0 0

内 积 空 间 中 的 标 准 正 交 系 定 义 : 内 积 空 间 X 中 的 元 素 列 {e k }, 如 果 满 足 则 称 {e k } 是 一 正 交 系. 进 一 步, 如 果 满 足 则 称 {e k } 是 一 标 准 正 交 系 ( e, e ) = 0, i j i 0 ( ei, ej) = δij = 1 j 有 限 维 空 间, 将 给 定 向 量 展 开 成 正 交 单 位 向 量 的 线 性 组 合 无 限 维 空 间, 将 给 定 函 数 展 开 成 Fourier 级 数 i i = j j

内 积 空 间 中 的 标 准 正 交 系 L 2 [-π, π] 中, 三 角 函 数 列 1 1 1 1 1, cos x, sin x, cos 2 x, sin 2 x... π π π π π 是 标 准 正 交 系

Gram-Schmidt 正 规 化 过 程

Gram-Schmidt 正 规 化 过 程

完 备 的 标 准 正 交 系

可 列 的 完 备 标 准 正 交 系

Hilbert 空 间 的 自 共 轭 性