( 京都学園大学経営学部論集第 23 巻第 号 2013 年 10 月 111 頁 128 頁 ) 111 研究ノート 物理計算ソフト FisicaLab の解法についての一考察 翁長朝英 要約物理計算ソフトである FisicaLab の計算方法について, 物理学的観点から考察した FisicaLab では, アイコン操作と数値の設定だけで, 物理の問題を解くことができる これは, 問題を解くのに必要な運動方程式などがあらかじめプログラムに組み込まれ, 計算が行われるためである 本稿では, 具体的な問題を取り上げ, 問題に必要となる運動方程式について, またこれらの式とプログラムとの対応について考察している キーワード : 物理計算,FisicaLab,Objective-C はじめに FisicaLab ) は物理の問題を解くための教育用ソフトである このソフトは, 物理の概念の理解に重点が置かれている このため, 初学者が数学的な煩わし さから, 物理を敬遠する事が無いように配慮され, 運動方程式などの物理の式 は, 表には一切出てこない 問題を解く操作も簡単であり, 画面上にあるアイ コンを選択し, 問題の数値等を設定して, 決定ボタンを押すだけで問題を解く ことができる FisicaLab は導入用ソフトであり, 次元の運動しか扱えないが, 質点の運 動, 回転運動, 静力学, 拘束運動などの力学の問題と, 熱力学の問題など, 様々な問題を扱うことができる ) FisicaLab http://www.nongnu.org/fisicalab/
112 このソフトは,Objective-C 言語で記述されており,Mac の OS X や GNUstep 環境をインストールした Windows や Linux 等の PC-UNIX 上で利用可能である 現在のバージョンは 0.3.2 であり, まだ開発版である 本稿では, ユーザマニュアル ) にある例題を取り上げ, 問題解法に利用される運動方程式とその解き方について, 物理学的観点から考察する また, FisicaLab では, これらの式はプログラム内に記述されており, これらのプログラム文との対応についても考察する Ⅰ FisicaLab 画面構成 FisicaLab ソフトは, 図 に示した二つのウィンドウで構成されている モ ジュールウィンドウ (Modules and elements, 図 (a)) とチョークボード (chalk- 図 (a) モジュールウィンドウ図 (b) チョークボード
物理計算ソフト FisicaLab の解法についての一考察 ( 翁長 ) 113 図 チョークボード board, 図 (b)) である モジュールウィンドウには, 利用できるモジュールとそのエレメントが表示されている その上部には左から運動学 (Kinematics), 静力学 (Statics), 動力学 (Dynamics), 熱力学 (Thermodynamics) のモジュールアイコンが並んでおり, ここで利用するモジュールを選択する モジュールを選択すると, そのモジュールで利用できるエレメントがその下に表示される 図 (a) は運動学モジュールのエレメントを表示しているが, これはさらに質点 (Particles), 円 (Circular), 剛体 (solid) グループから構成され, それぞれ質点の並進運動, 回転運動と剛体の運動を扱うことができる チョークボードは, 問題を解くのに必要なエレメントを貼り付ける場所である モジュールウィンドウから, アイコンをクリックして簡単に貼り付けることができる 図 にエレメントのアイコンを貼り付けたチョークボードの例が示してある ) FisicaLab ユーザマニュアル http://download.savannah.gnu.org/release/fisicalab/fisicalab-docen.tar.gz(pdf ファイル )
114 問題解法の操作 ) この節では, マニュアルの3.1 節 (Example 1) にある問題を例に,FisicaLab による問題の解法について述べる これは質点の並進運動に関する問題で, 一台の車が 3m/s の加速度で東の 方向 (X の方向 ) に出発したとき, 秒後の速さ (km/h) と移動距離 (m) を求める問題である まず, 運動学モジュールの質点グループ内のエレメントの中から, 静止座標 系 (Stationary reference system) エレメントと X 方向に運動する質点 (Mobile in X) エレメントのアイコンをチョークボードに貼り付ける ( 図 ) 次に, これ らの各エレメントに既知量や未知量を設定する 設定すべき量は, 各エレメン トによって決まっている この問題の場合, 次の量を設定しなければならない 表 エレメントの設定項目 (Example1) 静止座標系エレメント tf: 運動終了時の時間 X 方向に運動する質点エレメント Name: エレメントの名前 ax: 加速度 xi: 運動開始時のX 座標 vxi: 運動開始時の速さ ti: 運動開始時の時間 xf: vxf: 運動終了時のX 座標運動終了時の速さ 次章で考察しているように, 問題を解く場合には, 運動方程式などの運動の 式を使用する これらの式は, 連立方程式として解かれるので, 式の数と未知 ) FisicaLab ユーザマニュアル ( 前掲 )p.20
物理計算ソフト FisicaLab の解法についての一考察 ( 翁長 ) 115 表 エレメントの設定 (Example1) 静止座標系エレメント tf: 7 X 方向に運動する質点エレメント Name: Car( ここでは, 名前は問題と関係ない ) ax: 3 xi: 0 vxi: 0 ti: 0 xf: d vxf: vf @ km/h 量の数は同じ数でなければならない 各エレメントの式の数はマニュアルに記載されている この問題では, 静止座標系エレメントの式の数は で, 質点エレメントの式の数は であり, 総計 である 従って, 未知量に つの量を取らなければならい 求める量は, 秒後の速さと移動距離なので, この つの量を未知量に取る 運動の開始時の時間を とし, その時質点は座標の原点で静止しているものとすると, これらのエレメントで設定すべき量は, 表 のようになる vf とdが つの未知量で, 秒後の速さと移動距離である 使用する数値は, 標準で MKS 単位系 (SI) が使われ, 時間, 長さ, 重さは s,m,kg の単位になっている また,English 単位系もあり, この系では長さの単位に ft( フィート ) が使われる 単位の換算も自動的に行われ, 速さを時速で求めたい時には, 上記のように数値の後ろに @ km/h を追加する 数値の設定は, モジュールウィンドウの下段のテーブルで行う 設定後のテーブルの状態を図 に示す この様にして, 各エレメントと数値の設定の後, 問題を解くことができる 答えを得るには, チョークボードの上にある Solve アイコンをクリックするだけである 問題の答えが, チョークボードの下段に表示される 結果を図
116 図 静止座標系エレメント ( 上 ) と質点エレメント ( 下 ) の値の設定 図 計算結果 に示してある 秒後の速さと移動距離が, 以下のように得られている vf=75.600 km/h; d=73.500 m 最後の行にある Status = success は, 計算が正しく行われたことを示し ている 各エレメントに指定された式の数と未知量の数が異なる場合は, The system is undetermined. と表示され計算は行われない
物理計算ソフト FisicaLab の解法についての一考察 ( 翁長 ) 117 Ⅱ 考察 前章で述べた FisicaLab の解法には運動方程式が利用されている この章で は, マニュアルにある つの例題を取り上げ, どのような運動の式が利用され ているか, 物理学的観点から考察する 質点の並進運動 つ目は, 質点の並進運動の問題である これは, 前章で取り上げた問題で, 一台の車が 3 m/s の加速度で東の方向に出発するとき, 秒後の速さ (km/h) と移動距離 (m) を求める問題である この運動は, 質点の加速度を a として, 次の運動方程式から解かれる 東の方向を X 軸に取っている =a ⑴ 速さと移動距離は, これを積分して得られる 速さ :v= =v +at 移動距離 : = +v t+ 1 2 at ⑵ ⑶ 初期条件は,t=0 で v =0, =0( 運動の開始時は, 原点で静止 ) であるので, 最終的な式として次式が得られる v=at, = 1 2 at ⑷ これから, 加速度の値を a=3m/s として 秒後の速さ vf と移動距離 d は, vf =21m/s=75.6 km/h,d=73.5 m となる プログラムでは, この式は FLKinematics.m の701と702 行目に記述されている
118 リスト 質点エレメントのプログラム 701: gsl_vector_set(func, necu, xi + vxi*(tf-ti) + 0.5*ax*(tf-ti)*(tf-ti) - xf); 702: gsl_vector_set(func, necu + 1, vxi + ax*(tf-ti) - vxf); gsl_vector_set( ) は, 数値計算ライブラリ GSL(GNU Scientific Library) の関 数の一つである この関数の第 引数が, 運動の式であり,701 行が移動距離の式,702 行が速さの式に相当している 式の中の変数名は, エレメントに設定する項目の名前である これから解るように, このエレメント (X 方向に運動する質点 ) の持つ式の数は である 静力学 つ目は, 静力学に関する問題を取り上げる これは, マニュアルの7.7 節 ) (Example 7) にある 図 に示してあるように, バネの上に未知の質量のブ ロックが置いてあり, ブロックの重さで, バネは自然長より 5 cm 収縮してい る このバネのバネ定数が 150N/m であるとき, このブロックの質量 (g) は いくらであるか求める問題である 図 重りとバネ FisicaLab では, 以下のようにしてこの問題を解く まず, 静力学モジュールの質点グループから, 静止座標系, ブロック, バネ, 力の各エレメントをチョークボードに貼り付ける エレメントに設定された式の数は, ブロックとバネが, 残りは であるので, 全体として である 従って未知量は つ指定する 問題から, ブロックの質量 (m) と力の大きさ (f) を未知量にする これより, 各エレメントの設定項目は表 のようになる ) FisicaLab ユーザマニュアル ( 前掲 )p.76
物理計算ソフト FisicaLab の解法についての一考察 ( 翁長 ) 119 表 エレメントの設定 (Example7) 静止座標系ブロックバネ力 ( ブロック ) 力 ( バネ ) ɡ: ( 重力加速度 ) m:( 質量 ) k: ( バネ定数 ) d: ( バネの伸び ) f: ( 力の大きさ ) f: 9.81 m@g 150-5 @ cm f f 図 チョークボード (Example7) ブロックに作用する力とバネに作用する力は同じ値である また, バネは収縮しているので負の値を設定する チュークボードの様子と計算結果を, それぞれ図 と図 に示してある この問題は, バネと重りのつり合いの問題であり, ブロックに働く重力による力とバネの反発力がつり合っている バネの自然長の長さを l, つり合いの状態での長さを, バネ定数を とすると, フックの法則により, バネの力 f は次式で与えられる f = (l ) ⑸
120 図 計算結果 (Example7) これがブロックに働く力とつり合っているので, ブロックの質量を m, 重力 の加速度を g として, 次式が得られる mg= (l ) ⑹ これより,m の値が以下のように得られる m= g (l )=0.7645kg=764.5g また, 重りとバネに働く力 f は, f =7.50N となる プログラムでは, この式は FLStatics.m の97,105,129 行と1048 行に記述されている ( リスト ) 前者がブロックに関する式で, 後者がバネに関する式である 式中の変数名は,masa と gf がそれぞれエレメントの設定項目名の m と ɡ,kr と d がそれぞれ k と d, そして fuerza が f に対応している リスト ブロックとバネエレメントのプログラム 97 : peso = masa*gf; 105 : fuerza = -1*peso; 129 : gsl_vector_set (func, necu, fuerza); 1048: gsl_vector_set (func, necu, kr*d - fuerza);
物理計算ソフト FisicaLab の解法についての一考察 ( 翁長 ) 121 動力学 つ目は, 動力学に関する問題である これは, マニュアルの11.11 節 ) (Example 11) にある 図 に示してあるように, 斜面上にブロックBがあり, その上にブロック A が乗っている ブロック A と B は, 斜面に固定された滑車 に通した紐で結ばれている ブロック A と B の質量は, それぞれ 23kg と 17 kg であり, ブロックのそれぞれの面での摩擦係数は, すべて同じ値で 0.18 で あるとする ブロック B を 235N の力で斜面の下方に引いたとき, ブロック A の加速度とブロックを結ぶ紐の張力はいくらであるか求める問題である 図 斜面上のブロック この問題は,FisicaLab では以下のようにして求める 使用するエレメントは, 動力学モジュールの質点グループ内にある ここから, 静止座標系, 左に傾斜したブロック, 力, 摩擦力, ブロック間の摩擦力, 加速度間の関係の各エレメントをチョークボードに貼り付ける 各エレメントの持つ式の数は, ブロックが, 加速度間の関係が, 残りは である ブロックは つあるので, 全体の式の数は である 各エレメントを表 のように設定する 問題では, ブロックAの加速度と紐の張力を求めるようになっているが, 未知量は つ必要である 従って, これらを含めて, ブロックAの加速度 (aa), ) FisicaLab ユーザマニュアル ( 前掲 )p.176
122 表 エレメントの設定 (Example11) 静止座標系 ɡ:( 重力加速度 ) t:( 終りの時間 ) ブロックA Name:( 名前 ) m:( 質量 ) ang:( 傾斜角 ) a:( 加速度 ) vi:( 初めの速さ ) vf:( 終りの速さ ) d:( 移動距離 ) Related to:( 相対運動の基準 ) ブロックAに作用する力力 ( 抗力 ) f:( 力の大きさ ) ang:( 力の方向 ) 摩擦力 ( ブロック間 ) N:( 抗力 ) u:( 摩擦係数 ) ang:( 力の方向 ) 力 ( 紐の張力 ) f: ang: ブロックB Name: m: ang: a: vi: vf: d: Related to: ブロックBに働く力力 ( 抗力 ) f: ang: 摩擦力 N:( 抗力 ) u:( 摩擦係数 ) 摩擦力 ( ブロック間 ) N: u: ang: 力 ( 紐の張力 ) f: ang: 力 (A から受ける力 ) f: ang: 力 ( 外力 ) f: ang: 加速度間の関係 a1:( 加速度 ) a2:( 加速度 ) z:( 関係の値 ) 9.81 0.5 A 23 25 aa 0 vfa da sf( 静止座標系 ) na 65 na 0.18 25 t 25 B 17 25 ab 0 vfb db sf nb 65 nb 0.18 na 0.18 25 t 25 na 65 235 25 aa ab -1
物理計算ソフト FisicaLab の解法についての一考察 ( 翁長 ) 123 終わりの速さ (vfa), 移動距離 (da), ブロックBの加速度 (ab), 終わりの速さ (vfb), 移動距離 (db), ブロックAに働く抗力 (na), ブロックBに働く抗力 (nb), 紐の張力 (t) を未知量として設定する 運動開始時はブロックA, Bともに原点で静止しているものとし,0.5 秒後の状態を計算する チョークボードの様子と計算結果を, それぞれ図 と図 10に示す チョークボード上では, 力は矢印で示されているが, 通常の力, 摩擦力, ブロック間の摩擦力は色分して区別している 図 10の実行結果において, ブロックBの加速度, 終わりの速さ, 移動距離が負の値になっている これは, ブロックBが斜面の下方に向かって運動していることを示している 図 チョークボード (Example11) 図 10 実行結果 (Example11)
124 FisicaLab では, 斜面上を移動するブロックの問題は, 斜面に沿って上側の方向を 軸の正の方向, 斜面に垂直で上の方向を の正の方向とする座標系 (, ) で解かれる 静止系の座標系 (X, Y) とこの座標系の関係は, 次式で表される α は, 静止系の X 軸と斜面の角度である X= cosα sinα,y = sinα+ cosα ⑺ (, ) 座標系でのブロックAとBの重心の座標をそれぞれ (, ),(, ) とすると,A,Bの運動の式は以下のようになる A: m =t f mgsinα,m =R mgcosα ⑻ B: M =t+f +f F Mg sinα,m =N R Mgcosα ⑼ ここで,m はブロックAの質量,M はブロックBの質量,g は重力の加速度, R はブロックAに作用する抗力,N はブロックBに作用する抗力である また,f と f は, ブロック間に作用する摩擦力である 前者がブロックAに, 後者がブロックBに作用する f はブロックBと斜面との間の摩擦力,t は紐の張力,F が外部からブロックBに作用する力である ブロックBは斜面に沿って, またブロックAはブロックBに沿って運動するので, =0, =0 であり, 次式が得られる R=mgcosα,N =R+Mg cosα ⑽ これから,m,g,cosα (α=25 ),M のそれぞれの値を代入して,R と N の値が以下のように得られる R=204.49N (na に相当 ),N =355.63N (nb に相当 ) また, 摩擦力は次式のようになっている f =μr,f =μr,f =μn (μ=0.18) ⑾ これから, 方向の運動の式は以下のようになる A: m =t μr mgsinα ⑿
物理計算ソフト FisicaLab の解法についての一考察 ( 翁長 ) 125 B: M =t+μr+μn F Mg sinα ⒀ 運動の条件 ( 紐で結ばれた物体の運動 ) から, = ⒁ となるので, 紐の張力 t は以下のように書ける t= 1 {(M m)μr mμn +mf+2mmgsinα} M +m ⒂ 右辺のそれぞれの値を代入して,t の値が得られる t=173.84n (t に相当 ) これらの値から, ブロックAとブロックBの加速度の値が得られる = 1 m (t μr mgsinα)=1.812m/s (aa に相当 ) = = 1.812m/s (ab に相当 ) ブロックAとBの終わりの速さと移動距離は, 加速度の式を積分して得られる =a, =a として, 以下のようになる A: v=v 1 +a t, = +v t+ 2 a t ⒃ B: v=v 1 +a t, = +v t+ 2 a t ⒄ 運動の開始時 (t=0) は, ブロック A,B ともに原点で静止しているとすると, この式は A: v=a 1 t, = 2 a t ⒅ B: v=a 1 t, = 2 a t ⒆ となる これより, 運動終了時 (t=0.5) の速さと移動距離は, 次のようになる A: v=0.9061m/s (vfa に相当 )
126 =0.2265m (da に相当 ) B: v= 0.9061m/s (vfb に相当 ) = 0.2265m (db に相当 ) プログラムでは, これらに相当する式は,FLDynamics.m の1211 行から 1223 行 ( 左に傾斜したブロックエレメント ) と1874 行 ( 加速度間の関係エレメント ) に記述されている リスト ブロックエレメントと加速度間の関係エレメントのプログラム 1211: gsl_vector_set (func, necu, fuerzax - masa*(a + a_signox*a_rel*cos(m_pi*ang_rel/180)) ); 1212: gsl_vector_set (func, necu + 1, fuerzay masa*a_signoy*a_rel*sin(m_pi*ang_rel/180) ); 1213: gsl_vector_set (func, necu + 2, 0.5*(vf*vf - vi*vi) - a*d); 1216: if( (a_status = 1) && (a == 0) ) 1217: { 1218: gsl_vector_set (func, necu + 3, vi*tf - d); 1219: } 1220: else 1221: { 1222: gsl_vector_set (func, necu + 3, (vf - vi) - a*tf); 1223: } 1874: gsl_vector_set (func, necu, a_uno - z*a_dos); 前節と同様に, 第 引数が運動の式であるが, このブロックエレメントでは, やや複雑な式になっている これは, ブロックの運動が他のエレメントに対する相対運動として扱うことができるようになっているためである リスト の 1211 行と1212 行にあるa_rel とang_rel が相対運動の基準となるエレメントの加速度とその方向を表している この例題では, ブロックAとBともに静止座標系を相対運動の基準にしているので,a_rel=0,ang_rel=0 である また,a_signox とa_signoy は, ブロッ
物理計算ソフト FisicaLab の解法についての一考察 ( 翁長 ) 127 クの加速度の方向を表している ブロックAは斜面と平行で上方向に運動するので,a_signox=1,a_signoy=0 であり, ブロックBは, 斜面に沿って下方向に運動するので,a_signox=-1,a_signoy=0 である この問題では,a_rel=0であるので, これらの変数は問題に関与しない これらを考慮すると, プログラム文の第 引数の式は, 次のようになる 1211: fuerzax - masa*a 1212: fuerzay これは,⑻ 式を変形した式に相当している (t f mgsinα) m =0 (R mgcosα) m =R mgcosα=0 ( =0) ⒇ ブロック B についても同様である 1874 行目は, 加速度間の関係を表す式で ⒁ 式に相当し,a_uno(a1),a_dos (a2) が, それぞれ と を表している また,z は -1 である おわりに 本稿では, 物理計算用の教育ソフトである FisicaLab の問題解法について考察した ここでは, ユーザマニュアルにある例題を 題取り上げ考察したが,Linux と Windows 上では, 正しい値で計算されない問題もいくつかある この問題を解決するには, プログラムの詳細な検証が必要である このソフトはまだ開発版であり, 今後改善されていくであろう FisicaLab では, 例えば質点の並進運動や回転運動などの問題を考える場合, これらの運動の各要素に対応するエレメントをチョークボードに貼り付け, そのエレメントに数値や未知量を設定して問題を解いている この過程を通して, 問題に必要となる運動の各要素について, また各要素に必要な物理量について
128 考察することになる これは, このソフトの目的である初学者に対する物理の概念の理解に十分役立つと思われる また, 初学者のみならず, 様々な状況において手早く計算結果を得たいときがある FisicaLab は, このような場合でも大変有用なソフトである 参考文献 1. FisicaLab ユーザマニュアル http://download.savannah.gnu.org/release/fisicalab/fisicalab-doc-en.tar.gz(pdf ファイル ) 2. 後藤憲一, 山本邦夫, 神吉健 詳解力学演習 共立出版,2013 3. 山内恭彦, 末岡清市 大学演習力学 裳華房,1974 本論文に出てくる製品名等は, 各社の商標および登録商標です