绪论

微 分 方 程 数 值 解 法 信 息 与 计 算 科 学 专 业 核 心 课 程 数 学 科 学 学 院

课 程 基 本 情 况 课 程 名 称 : 微 分 方 程 数 值 解 法 法 Nmerical Soltio of Eqatio 课 程 类 型 : 专 业 核 心 课 课 程 设 立 :995: 年 开 课 范 围 : 信 息 与 计 算 科 学 专 业 学 分 4 学 时 64 必 修 ( 国 家 特 色 专 业 建 设 点 省 级 示 范 性 专 业 ) 开 课 对 象 与 届 数 : 本 科 三 级 学 生 十 六 届 修 读 规 模 : 近 五 届 平 均 每 届 9 人 8 年 被 评 为 国 家 精 品 课 程

授 课 方 式 课 堂 授 课 :64: 学 时 计 算 实 验 :4: 学 时 考 试 方 法 总 评 成 绩 平 时 作 业 课 堂 测 验 期 末 考 试 成 绩 期 末 试 题 : 涵 盖 了 全 书 的 基 本 知 识 点, 特 点 是 题 量 较 大, 知 识 点 较 多, 无 偏 题 和 难 题 评 分 标 准 : 作 业 成 绩 ( 按 A\B\C 记 载 ) 占 % 左 右, 课 堂 测 验 占 % 左 右, 期 末 考 试 成 绩 占 8% 左 右

主 讲 教 材 微 分 方 程 数 值 解 法 ( 第 三 版 ) 李 荣 华 冯 果 忱 编 高 等 教 育 出 版 社

参 考 书 目 (Referece) 科 学 计 算 中 的 偏 微 分 方 程 有 限 差 分 法 张 文 生 编 著 ( 高 等 教 育 出 版 社 ) 微 分 方 程 数 值 方 法 胡 建 伟 汤 怀 民 著 ( 科 学 出 版 社 )

知 识, 只 有 当 它 靠 积 极 的 思 考 得 来 而 不 是 凭 记 忆 得 来 的 时 候, 才 是 真 正 的 知 识 列 夫 托 尔 斯 泰

微 分 方 程 包 括 : 常 微 分 方 程 (ODE) 和 偏 微 分 方 程 (PDE) 在 科 学 技 术 和 工 程 中 的 大 量 数 学 模 型 都 可 以 用 微 分 方 程 来 描 述, 很 多 近 代 自 然 科 学 的 基 本 方 程 本 身 是 微 分 方 程 人 们 一 直 用 微 分 方 程 来 解 释 预 见 各 种 自 然 现 象, 不 断 取 得 了 显 著 成 绩 遗 憾 的 是, 绝 大 多 数 微 分 方 程 定 解 问 题 的 解 不 能 以 实 用 的 解 析 形 式 来 表 示 这 就 产 生 了 理 论 和 应 用 的 矛 盾 : 一 方 面, 人 们 列 出 了 反 应 客 观 现 象 的 各 类 微 分 方 程, 建 立 了 大 量 实 用 的 数 学 模 型 ; 一 方 面, 人 们 又 无 法 得 到 这 些 方 程 的 准 确 解 以 定 量 的 描 述 客 观 过 程 随 着 计 算 机 技 术 的 出 现 和 发 展, 解 决 上 述 矛 盾 的 一 门 科 学 微 分 方 程 的 数 值 解 法, 得 到 了 前 所 未 有 的 发 展 和 应 用

所 谓 微 分 方 程 数 值 解 法, 就 是 研 究 利 用 计 算 机 求 解 微 分 方 程 的 近 似 解 的 数 值 方 法 及 相 关 理 论 微 分 方 程 数 值 解 法 是 信 息 与 计 算 科 学 专 业 的 专 业 基 础 课 程 之 一, 与 数 值 代 数 数 值 逼 近 和 计 算 几 何 统 称 三 大 核 心 课 程

本 课 程 主 要 研 究 用 计 算 机 求 解 微 分 方 程 问 题 的 数 值 计 算 方 法 及 其 理 论 与 软 件 实 现 主 要 内 容 包 括 : 常 微 分 方 程 初 值 问 题 数 值 解 法 偏 微 分 方 程 数 值 解 法 有 限 差 分 法 有 限 元 法 单 步 法 线 性 多 步 法 Δ f f ( t, ) ( t ) a f t x a t x

课 程 的 特 点 : 一 通 过 对 典 型 常 用 的 数 值 方 法 的 研 究, 进 一 步 了 解 构 造 数 值 方 法 的 基 本 思 想 技 巧 ; 二 通 过 掌 握 数 值 方 法 所 涉 及 的 基 本 概 念 和 基 本 理 论 ( 如 稳 定 性 收 敛 性 误 差 估 计 等 ), 使 我 们 具 有 一 定 的 理 论 分 析 能 力 ; 三 通 过 数 值 实 验, 运 用 所 学 的 数 值 方 法 求 出 数 值 结 果, 培 养 实 际 解 题 能 力

数 学 界 的 战 略 科 学 家 吴 文 俊 吴 文 俊,99 年 出 生, 早 年 毕 业 于 上 海 交 通 大 学 数 学 系,949 年 获 法 国 Strassborg 大 学 博 士 学 位,957 年 当 选 中 科 院 学 部 委 员 ( 后 改 为 院 士 ) 现 任 中 国 科 学 院 系 统 科 学 研 究 所 名 誉 所 长 99 年 当 选 第 三 世 界 科 学 院 院 士 99 年, 吴 文 俊 任 国 家 科 委 攀 登 项 目 机 器 证 明 及 其 应 用 首 席 科 学 家 从 956 年 到 年, 他 曾 先 后 获 得 国 家 自 然 科 学 一 等 奖 第 三 世 界 科 学 院 数 学 奖 陈 嘉 庚 数 理 科 学 奖 香 港 求 是 科 技 基 金 会 杰 出 科 学 家 奖 国 际 Herbrad 自 动 推 理 杰 出 成 就 奖 首 届 国 家 最 高 科 技 奖 等 八 十 年 代, 美 国 计 算 机 科 学 界 的 权 威 曾 联 名 写 信 给 我 国 中 央 领 导, 认 为 吴 先 生 的 工 作 是 第 一 流 的, 独 自 使 中 国 在 该 领 域 走 上 了 世 界 领 导 的 岗 位 他 所 以 能 取 得 如 此 的 成 就, 一 个 重 要 的 因 素 是 他 对 中 国 古 代 数 学 的 深 刻 理 解 中 国 古 代 数 学 是 构 造 性 的, 可 计 算 的, 而 只 有 构 造 性 的 数 学 才 可 能 在 计 算 机 上 实 现

第 章 常 微 分 方 程 初 值 问 题 数 值 解 法

常 微 分 方 程 的 数 值 解 法 常 微 分 方 程 数 值 解 法 主 要 分 为 两 大 部 分, 初 值 问 题 的 数 值 解 法 与 边 值 问 题 的 数 值 解 法 本 章 仅 限 于 讨 论 初 值 问 题 的 数 值 解 法, 不 涉 及 边 值 问 题 因 为 边 值 问 题 的 典 型 问 题 与 椭 圆 型 方 程 边 值 问 题 具 有 某 些 近 性, 我 们 放 在 后 面 讨 论

考 虑 如 下 一 阶 常 微 分 方 程 的 初 值 问 题 f ( t, ), 或 与 其 等 价 的 积 分 方 程 ' ( a) t a t () f( τ, ( τ))dτ 若 f(t,) 关 于 满 足 Lipschitz 条 件, 即 存 在 常 数 L, 对 任 意 t [a,b] 和, (-, ) 均 成 立 着 a t b (.) a (.) b f (, t) f(, t) L 则 (.) 的 解 存 在 且 唯 一 (.)

不 是 所 有 的 初 值 问 题 (.) 都 有 解 析 解 (t) 的 因 此, 对 于 科 学 和 工 程 目 的, 有 必 要 用 逼 近 方 法 求 出 其 近 似 解, 若 要 求 解 有 多 位 有 效 数 字, 则 需 要 更 多 的 计 算 量 和 复 杂 的 算 法 逼 近 方 法 求 解 初 值 问 题 一 般 可 分 为 两 类 : 近 似 解 析 方 法 级 数 法 和 Picard 逐 步 逼 近 法 数 值 解 法

什 么 是 数 值 解 法? 它 是 一 种 离 散 化 方 法, 利 用 这 种 方 法, 可 以 在 一 系 列 事 先 取 定 的 [a,b] 中 的 离 散 点 ( 称 为 节 点 ), 如 a < t < t < L < t b ( 通 常 取 成 等 距, 即 t i t ih,i,,n 其 中 h> 称 为 步 长 ) 上 求 出 未 知 函 数 (t) 之 值 ( t ), ( t ), L, ( t N 的 近 似 值,, L, N 而, L, N 通 常 称 为 数 值 解 求, L, N 的 方 法 通 常 称 为 数 值 解 法 )

. Eler 法 考 虑 初 值 问 题 (.), 首 先 将 区 间 [t,t] 划 分 为 N 个 等 距 小 区 间, 小 区 间 长 度 T t N h 并 选 取 网 格 点, 点 列 t i ih,i,,,n( 不 妨 设 t ) 已 知 (), 则 可 计 算 ( t ( t )) f ( t, ) ( ), f, t 利 用 Taylor 公 式, 在 tt 处 将 (t ) 展 开 t t t h ξ h! 其 中 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) R ξ h! t f t, h R, ( ) ( ) R, 记 得 :, 若 步 长 h 足 够 小, 则 可 忽 略 二 次 项 h f( t, ) (.3)

这 里 是 (t ) 的 近 似 值, 利 用 又 可 以 算 出, 如 此 下 去 可 算 出 (t) 在 所 有 节 点 上 的 近 似 值 一 般 的 计 算 公 式 为 : h f ( t, ),,, L, N (.4) 这 就 是 求 解 初 值 问 题 的 Eler 公 式 Eler 方 法 是 最 简 单 的 数 值 方 法

例 : 用 Eler 公 式 计 算 如 下 初 值 问 题 t t < t ( ) ( ) 的 解 (t) 在 t.3 处 的 数 值 解 3 ( 取 步 长 h., 小 数 点 后 保 留 4 位 ) 解 : 相 应 的 Eler 公 式 : ( t ) h 由 初 值 ( ), 计 算 得 (.) (.) (.3) 3 ( t ). ( ). t.. (..). ( ). t (..) ( t ).... ( ( ) )..... 5

Eler 法 ( 切 线 法 ) 的 几 何 解 释 ( t ) h f ( t, ) h f ( t, ) h ( t ) o ( t ) ( t ) t t L t N ( t) t ( t ) h h f, ( t ) h f,

利 用 Taylor 公 式, 在 tt 处 将 (t ) 展 开 成 : ( ) ( ) ( ) ( ) t t t h ξ h!,! ξ h 用 近 似 代 替 (t ) 得 : 舍 去 二 次 项 ( ) 一 般 的 计 算 公 式 为 : h f( t, ),,,, N L (.5) 这 就 是 求 解 初 值 问 题 的 隐 式 Eler 公 式 将 Eler 与 隐 式 Eler 公 式 做 算 术 平 均, 可 得 梯 形 公 式 : h [ ] f( t, ) f( t, ) (.6),,, L, N

也 可 用 数 值 积 分 法 推 导 Eler 公 式 和 梯 形 公 式, 将 (.) 写 成 等 价 的 积 分 形 式 : t t f tt dt ( ) ( ) (, ( )) t 若 用 左 矩 形 数 值 积 分 公 式 近 似 右 端 积 分 : t t f (, tt ()) dt 则 用 替 代 (t ) 得 : t hf( t, t ( )) 若 用 梯 形 形 数 值 积 分 公 式 近 似 右 端 积 分 : t h f (, tt ()) dt [ f ( t, ( )) ( ] t f t, ( t )) t h 则 用 替 代 (t ) 得 : f( t, ) f( t, ) h f( t, ) [ ]

右 端 积 分 项 使 用 右 矩 形 求 积 公 式, 则 得 t t f(, t ()) t dt h f( t, ( t )) h f( t, ) 则 用 替 代 (t ) 得 : 隐 Eler 公 式, 又 称 右 矩 形 公 式 显 然 梯 形 公 式 与 Eler 公 式 相 比 要 精 确 的 多 ( 由 于 两 种 数 值 积 分 公 式 的 代 数 精 度 不 同 ) 但 是 梯 形 公 式 的 计 算 量 要 大 一 些 每 步 计 算 要 解 一 个 非 线 性 关 于 方 程

从 而 要 用 如 下 迭 代 公 式 : [ 取 初 值 为 ], 反 复 迭 代, 即 3 h [ f ( t, ) f ( t, ) ] 一 般 的 迭 代 公 式 表 示 为 :k,,,, [ k ] h [ [ ] (, ) (, ) ] k f t f t

如 此 迭 代 下 去 得 到 迭 代 序 列 : [ ] [ ] [ ],, L, { } k, [ k ] * 若 序 列 收 敛 于, 当 k 时, 得 到 : h [ ] ( f ( t, ) f ( t, )) [] * [] * [ ] * 则 取 为 第 个 近 似 值 [ k ] [ k ] < [ k ], L 在 实 际 计 算 中, 通 常 要 求 满 足 如 下 不 等 式 : 此 时 取 [ k ] 作 为 的 近 似 做 为 终 止 条 件, ( t ) 值 ε

为 了 避 免 求 解 非 线 性 代 数 方 程, 可 以 用 Eler 法 将 它 显 化, 建 立 预 测 校 正 系 统 : hf ( t, h ) ( f ( t, ) f ( t, )) ( t ) (.7) 求 解 公 式 (.7) 称 为 改 进 的 Eler 法, 其 中 称 为 预 测 值, 称 为 校 正 值. 其 求 解 顺 序 为 : L N N

改 进 的 Eler 法 还 可 写 成 如 下 形 式 : h [ f ( t, ) f ( t, (.8) 如 果 f(t,(t)) 关 于 是 线 性 函 数, 则 隐 式 公 式 可 以 显 式 化 例, 若 方 程 为 : ( t) t 5 隐 式 Eler 公 式 : h t 5) ( 5h,,,, L, N t h h t t 梯 形 公 式 : ( ) h t h,,, L, N t 5h h f t, ) )] (

现 在 分 析 Eler 法 和 梯 形 公 式 的 误 差 在 用 任 何 数 值 法 ( 离 散 变 量 法 ) 近 似 求 解 初 值 问 题 时, 有 两 个 误 差 源 : 截 断 误 差 ( 离 散 或 方 法 误 差 ) 和 舍 入 误 差 由 (.3) 或 更 一 般 的 递 推 式 精 确 成 立, 其 中 ( ) ( ) ( ) ( ) t t f t t h R, R t h O h! ( ) ( 3) 由 (.4) 到 (.9) 的 差 别 是 舍 去 R, 由 代 替 (t ) 因 此 R 是 衡 量 Eler 法 精 度 的 主 要 标 志 L; h f t, h 则 记, 算 子 [ ] ( ) R L ( t); h, ( ) t t f t t h ( ) ( ) ( ), (.9) 称 R 为 Eler 法 的 局 部 截 断 误 差, 它 是 在 单 步 过 程 t 到 t 之 间 产 生 的 误 差, 也 即 当 (t ) 为 精 确 时, 由 (.4) 计 算 出 所 产 生 的 误 差

显 然 Eler 法 的 局 部 截 断 误 差 的 阶 为 R O(h ) 若 每 一 步 的 误 差 唯 一, 则 进 行 了 N 步 之 后, 在 区 间 [t,t] 的 末 端 积 累 误 差 为 : ε N ( h) N i R i ( h) N h i h ( ξ i ) N ( ξ k ) Nh ( ξ ) k h ( T t ) ( ξ ) k h O( h) 我 们 可 以 认 为 这 就 是 Eler 法 的 整 体 截 断 误 差

局 部 截 断 误 和 差 整 体 截 断 误 差 的 几 何 解 释 ( t ) o ( t) t t R t ( t ) ( ) ( ) h t ε ( h)

R 下 面 利 用 Taylor 展 开, 求 Eler 法 的 局 部 截 断 误 差 ( ) ( ) h t ( t ) [ h f ( t, )] ( t ) [ ( t ) h f ( t ( t ))], ( t ) [ ( t ) h ( t )] h h! ( ) ( ) ( ) ( 3 t h t t O h )! ( t ) h ( ) t ( ) ( 3 t O h ) ( O h )

误 差 则 有 现 在 我 们 用 数 值 积 分 公 式 来 推 导 梯 形 公 式 的 局 部 截 断 ( ) R, 注 意 到 : t ( ) ( ) ( ) t R ( ) L t ; h h ( t ) ( t ) f t ( t ) f t t 现 在 估 计 (, ) (, ( )) h f t t f t t ( ) t t t f (, tt ()) dt, f (, tt ()) t 将 t [t,t ] 表 成 tt th, t, 由 带 余 项 的 Lagrag 线 性 插 值 多 项 式, 可 知 dt (, ) (, ( ))

f (, tt ()) t t τ h () ( ) t t t t t ( ) ( t ) t t t t ( τ ) h τ h t h h ( ) ( t ) t h t t t t! ( )( )( ) θ t θh τ τ h! ( ) ( ) 于 是! ( τ ) ( t ) τ ( t ) ( t θh) τ ( τ ) h ( ) ( ) ( ) t t t τ t h h! ( θ ) τ ( τ )

( ) t f (, tt ()) dt ( ) τ ( ) ( ) t 则 ( ) R t t t h dτ 3 h ( ) ( )! 3 h ( t ) h ( t ) ( ζ ) t θh τ τ dτ ( ) ζ t, t (, ( )), ( ) ( ) f t t f t t t f (, tt ()) dt ( ) t h h f t t f t t (, ) (, ( )) 3 h ( ζ ) 故 ( ) R ( 3 O h ) 足 见 梯 形 法 的 局 部 截 断 误 差 阶 要 比 Eler 法 高 一 阶, 即 为 O(h 3 )

定 义 设 {( )} N t, 为 数 值 数 值 解 的 集 合, 而 (t) 为 初 值 问 题 的 精 确 解, 则 记 整 体 截 断 误 差 为 : e (t )-,,,,N 即 以 t 点 处 的 初 值 为 出 发 点, 用 某 种 数 值 方 法 推 进 到 点 t 所 得 到 的 近 似 值 与 精 确 解 (t ) 的 偏 差 现 考 察 Eler 法 的 整 体 截 断 误 差, 将 (.4) 与 (.9), 即 ( ) ( ) ( ) h ( t, 相 减, 得 误 差 方 程 : f ( ) t t f t t h R, ) ( ( ) ) ( ) ε ε f t, t f t, h R

由 于 f(t,) 关 于 满 足 Lipschtz 条 件, 则 ε ε Lh ε R Lh ε ( ) R 其 中 R max R 由 此 递 推 性 质, 得 ε h ( Lh) ε R Lh Lh R R ( ) ( ) ε ( Lh) ( ) L ( Lh) ε ( ) R Lh j ( ) R ( ) Lh ε Lh Lh Lh ε R R j

注 意 t t h T, T t Lh L, ( ) 而 ( ) T t L Lh t t T h t ( ) ( ), T t L 进 一 步 有 T t L ( ) T t L ( ) e T t L 则 ε e R T t L ε e T t L ( ) ( ) Lh 不 等 式 的 右 端 依 赖 于 初 始 误 差 e 和 局 部 截 断 误 差 界 R

在 Eler 法 中,RCh, 若 e ((t ) ) 则 有 ε C ( ( ) ) e T t L h Mh L 故 e O(h),Eler 法 的 整 体 截 断 误 差 阶 比 其 局 部 截 断 误 差 阶 低 一 阶 同 样 我 们 可 以 证 得 梯 形 公 式 的 整 体 截 断 误 差 阶 为 ε () Mh

在 实 际 计 算 时, 我 们 还 要 求 所 用 算 法 是 稳 定 的, 即 传 递 误 差 连 续 依 赖 初 始 误 差, 否 则 就 是 不 稳 定 不 稳 定 的 算 法 不 能 用 和 Eler 法 的 稳 定 性 ( 带 舍 入 误 差 ) 设 由 初 值 与 v 算 出 的 近 似 值 分 别 为 { } 和 {v }, 即 有 v ( t ) hf, ( t v ) v hf,,, L, N,, L, N 两 式 相 减, 并 记 e -v, 得 : 则 e [ f ( t ) f ( t v )] e h,, LT e e hl e e e ( h T ) ( hl) e L 这 说 明 e 连 续 依 赖 于 初 始 误 差 e 即 Eler 法 是 稳 定 的 同 样 可 以 证 明 梯 形 法 和 改 进 的 Eler 法 是 稳 定 的

Mile 公 式 若 在 区 间 [t,t ] 上, 对 右 端 的 积 分 使 用 Simpso 求 积 公 式, 得 t t f ( t, ( t)) dt h 6 令 [ f ( t, ) 4 f ( t, ) f ( t, )] 进 一 步 可 写 成 t 6 其 中 f f t, ), h 4 3 ( t [ f ( t, ( t )) 4 f ( t, ( t )) f ( t, ( t ))] [ f f f ] f f t, ), f f t, ) ( 此 为 二 步 方 法, 需 要 已 知 和, 才 能 由 上 式 计 算 出 的 值 二 步 以 上 的 方 法 也 称 为 多 步 法 (

.3 线 性 差 分 方 程 设 a (),a (),,a k () 和 b (,,,) 已 知 a( ) ak ( ) 称 序 列 { } 满 足 的 方 程 a a L a b ( ) ( ) ( ) k k k k,, L (.5) 为 k 阶 线 性 差 分 方 程, 序 列 { } 是 线 性 差 分 方 程 的 解 当 右 端 b (,, ) 时, 称 为 齐 方 程 为 确 定 上 述 差 分 方 程 的 解, 需 要 给 定 k 个 初 值,,, k- 例 如, 当 时, 要 求 线 性 差 分 方 程 解 为 k, 则 此 差 分 方 程 为 a a L a b ( ) ( ) ( ) 且 k k k k 当 时, 有 差 分 方 程 a a L a b ( ) ( ) ( ) k k k k 要 求 的 线 性 差 分 方 程 解 为 k,( 逐 次 算 出,k,k, )

Eler 法 为 k 的 一 阶 常 系 数 线 性 差 分 方 程 : hf, ( t ) 此 时 a (),a ()-,b h f(t, ), 初 值 为 (t ) 若 记 - 为 向 前 差 分, 则 Δ Δ Δ Δ 即 可 用 和 的 一 阶 差 分 表 示 ; 又 从 而, Δ Δ Δ Δ 即 可 用 和 的 一 阶 二 阶 差 分 表 示, 以 此 类 推, 可 知 k 可 用 以 及 的 一 阶 二 阶 直 到 k 阶 的 差 分 表 示 为 : k j k jδ j c 所 以 (.5) 为 最 高 阶 为 k 的 差 分 方 程

c 也 是 此 方 程 的 解, 其 中 c j (j,,,k) 任 一 常 数 ( j ) k 阶 线 性 差 分 方 程 是 k 阶 线 性 常 微 分 方 程 的 离 散 模 拟, 二 者 之 间 的 许 多 基 本 性 质 是 平 行 的 () 叠 加 原 理 若 ( ) ( ) ( l ),, L, ( j ) ( j ),,, k L 唯 一 确 定 是 齐 差 分 方 程 的 解, 则 它 们 的 线 性 组 合 l j k j j c ( j ) j ( j ) ( ) { j } ()k 阶 齐 差 分 方 程 存 在 k 个 线 性 无 关 解 (j,,,k), 且 方 程 的 任 意 解 可 表 示 为, 其 中 常 数 c j 由 初 值 当 c j (j,,,k) 任 意 常 数 时, 称 之 为 齐 方 程 的 通 解

解 组 ( ) ( ), ( ( j) ( j) ( j) ) k, L, ( k ) T L (,,, k ),,,, ( ) ( ) ( k ) L ( ) ( ) ( k ) L M M O M ( ) ( ) ( k ) L 是 线 性 无 关 的 充 要 条 件 是 初 始 向 量 j L 线 性 无 关, 即 行 列 式 k k k 也 称 为 齐 方 程 的 基 本 解 组 (3) 非 齐 方 程 (.5) 的 通 解 可 以 表 示 成 它 的 一 个 特 解 与 齐 方 程 的 通 解 之 和

现 在 考 察 常 系 数 k 阶 线 性 差 分 方 程 的 基 本 解 组 对 于 变 系 数 k 阶 线 性 差 分 方 程 (.5) 的 基 本 解 组 一 般 很 难 求 出, 但 当 a j ()a j 与 无 关 时, 即 为 常 系 数 差 分 方 程 时, 其 基 本 解 组 可 用 代 数 方 法 求 出, 设 k a j j a k k ak k L a b,,, L j 相 应 齐 方 程 为 k j a, jξ j j (.6),, L (.7) 考 虑 齐 方 程 形 如 x ( x 待 定 ) 的 解, 已 知 代 到 (.7), 可 知 x 应 满 足 代 数 多 项 式 方 程 a k 从 而 得 到 ξ a k k ak ξ L aξ aξ k k ξ a k k ξ L aξ a

即 x 应 是 代 数 方 程 a k kλ a k k λ L aλ a (.8) 的 根 反 之, 若 x 是 (.8) 的 任 一 根, 则 必 x 为 (.7) 的 解 下 面 分 几 种 情 况 : (i) 方 程 (.8) 有 k 个 互 异 实 根 x,x,,x k, 则 ξ ξ, L, ξ, 是 方 程 (.7) k 个 线 性 无 关 解 ( 基 本 解 组 ) 因 为 ξ ξ L ξ k ξ ξ L ξ M M O M ξ ξ L ξ k k k k 则 (.7) 的 通 解 为 k c j j L ξ ξ L ξ ξ j M M O M ξ ξ L ξ k k k k,, L, k

(ⅱ) 方 程 (.8) 有 实 的 重 根 j, ξ ξ j, r j ξ j, 比 如 x j 是 r j 重 根, 则,, L 是 方 程 (.7)r j 个 线 性 无 关 解, 其 基 本 解 组 为 : ξ, r ξ, ξ, ξ, r ξ, ξ, 因 此 通 解 形 如 ξ, ξ m, m m j r j l r m ξ m c jl l ξ, j (.9) m 是 方 程 (.8) 互 异 根 的 个 数 (r r r m k)

(ⅲ) 若 方 程 (.8) 有 复 根 x j, 则 其 共 轭 由 Eler 公 式 : 则 ξ iθ ρe ρ( θ i θ) j j cos si, iθ ξ ρ e ρ ( cos θ isi θ) iθ ξ ρ e ρ ( cosθ isi θ ) j 由 齐 方 程 的 解 的 叠 加 原 理 知 ξ j ξ j ρ cos θ, ξ ρe iθ ρ( cosθ isiθ ) ξ 也 是 齐 方 程 的 解, 但 r cosq 和 r siq 已 是 实 函 数, 且 线 性 无 关 此 时 可 用 r cosq 和 r siq 替 换 ξ j, ξ j j j ξ i j ξ j si θ 也 是 根

例, 求 下 列 二 阶 常 系 数 线 性 差 分 方 程 的 通 解 q h 此 为 二 阶 微 分 方 程 q 的 差 分 近 似, 其 解 为 微 分 方 程 解 的 近 似 相 应 的 特 征 方 程 为 : 其 根 为 : 解 : 此 时 有 λ, ( h q) λ ( h ( hq) ± 4( hq) 4 q) λ ± ( hq) h q( hq) (i) 当 q 时, 有 x x ( 二 重 根 ) 此 时 二 阶 差 分 方 程 的 通 解 为 (m,r ): j r j l c jl l ξ j c l l ξ l c cξ cξ c

(ⅱ) 当 q> 时, 有 两 个 互 异 根 : ξ ( h q) h q( hq) (ⅲ) 当 q< 时, 有 一 对 共 轭 复 根 (r), ( 当 h 充 分 小 时, q(hq)<): ξ ( h q) ih q( hq) cosθ isiθ ξ ( h q) ih q( hq) cosθ isiθ h j j cosθ q, ξ ξ ξ ξ j i 此 时 二 阶 差 分 方 程 的 通 解 为 : cξ cξ j siθ ξ ( h q) h q( hq) 此 时 二 阶 差 分 方 程 的 通 解 为 ( 当 h 充 分 小 时 x >,x <); c ih q( hq) h q( hq) i cosθ c si θ

例, 试 求 差 分 方 程 初 值 问 题 4 4 3 5 4 5,, 4, 3 4 4 的 通 解 解 : 由 于 方 程 的 右 端 为 常 数, 当 不 是 特 征 方 程 根 时, 可 试 出 它 的 一 个 常 数 解 令 c, 以 之 代 入 方 程, 得 到 故 通 解 为 : c 4 c 5c 4c 4c 4 c ( λ )( λ ) 即 为 一 个 特 解 对 应 齐 方 程 的 特 征 方 程 为 它 的 根 分 别 是 : ( 二 重 ) 和 c π π π π i cos isi ± i, i cos isi, π π c c3 cos c4 si

4 8 4 8 4 5 4 3 3 4 3 c c c c c c c c c c c c c 3 c 4 c ( ) si cos π π 所 以, 此 问 题 的 定 解 为 : 在 由 初 始 条 件, 可 以 定 出 常 数 :

U 现 在 给 出 非 齐 方 程 (.6) 的 通 解 表 达 式 (,,, ) T k k L a a a a L a a a a L C O O M M O O M 将 (.6) a k k ak k L a b 改 写 成 U k k k k k k ( ) ak k a ak b k ak L 进 一 步 可 写 成 向 量 形 式 : 逐 次 递 推, 得 U CU C U - l 和 k k 阶 矩 阵 b ( b a b,, L, ) T Cb l l,, L, k T h 引 进 k 维 向 量 : < h < h (.) (.6) (.)

U 引 理. 矩 阵 {C }(,,,,) 有 界 的 充 要 条 件 是 : 方 程 (.8) 的 所 有 根 在 单 位 圆 内, 而 位 于 单 位 圆 周 上 的 都 是 单 根 k k a λ a λ L a λ a (.8) 证 明 : 用 相 似 变 换 S 将 矩 阵 C 化 为 Jorda 标 准 型, 即 J - C k k SJS O Jm L m 与 单 特 征 值 对 应 的 一 阶 Jorda 块 记 为 (l), 与 重 特 征 值 对 应 的 Jorda 块 为 (,, L ) T k k, 其 中, 且 第 一 项 是 相 应 的 齐 方 程 得 通 解, 第 二 项 是 非 齐 方 程 的 特 解 ( 初 值 k, k L ) k J r ( λ ) λ k λ O O λ λ r r k k (r 为 l 的 重 数 ), k r,, L,

因 为 C SJ S -, J 也 是 分 块 矩 阵, 每 一 块 形 如 (l) (l ), 或 J r r J I N r 注, 则 λ λ L L L C λ λ λ O M O O M O O M O λ λ J λi N ( λ ) r r k, 其 中 k C λ k N k O O N O N k k ( r) k λ I C λ N L C λ N L I

O O O M O L N k L O O O O O O M N k -; 或 N k,k 而, 且 (li)nn(li), 则 k

det 注, 若 将 行 列 式 det(c-li) 按 列 展 开, 即 ( C λi ) ( λ ak ak ) λ ak a λ λ k λ a k a a k k λ k k a k a λ O O λ k L L ( k ) ( k ) a k a k a a k a L O M M O O M λ 可 知 (.8) 的 右 端 就 是 矩 阵 C 的 特 征 多 项 式, 也 就 是 说, C 的 特 征 值 为 (.8) 的 特 征 根 综 上 所 述, 显 然 结 论 真 a λ a a a a L a a a a k k k k 3 k k λ L a a k O O M M O O M λ

.4 Growall 不 等 式 作 解 的 先 验 性 估 计 时 经 常 要 用 到 Growall 不 等 式 下 面 先 介 绍 连 续 形 式 的 Growall( 也 称 Bellma) 不 等 式 引 理. 设 连 续 函 数 h(t) (a t b) 满 足 η ξ η 其 中 a,b 为 非 负 常 数, 则 t () t β α η( τ ) dτ a ( ) α ( t a) t β e 证 明 : 先 设 b>, 令 则 由 (.) 得 dξ t () dt () t β α η( τ ) dτ ( ) t a ( a t b) ( ) β α η τ dτ a t αη t α ( ) (.) (.3) α ξ ( t)

显 然 x(t) >, 故 于 [a,t] 上 积 分 ( 注 意 初 值 x(a)b ), 则 t ξ () t dτ lξ( t) lξ( a) a ξ ( t) 利 用 (.) 得 (.3), 即 ξ ( t) ( t a e α ), β η η ( t) ( t) () t δ α η( τ ) dτ η t a α ( t a) ( t) δ e α ( t a) ξ β e 今 设 b, 只 须 证 h(t) 对 于 任 给 d>, 有 利 用 已 得 到 的 结 论, 应 有 ξ ( t) ξ ( t) ξ l ( t ) α β 由 于 d 的 任 意 性, 推 出 h(t) # t ατ d αt a a ( )

离 散 形 式 的 Growall 不 等 式 引 理 3. 设 a,b 为 非 负 常 数, 序 列 {h } 满 足 η β α h η j k, k, L h T (.4) 其 中 h> 是 步 长, 则 η α e T ( β α ) khm k, h T (.5) 其 中 ( ) M max η, η, L, ηk

THE END

欧 拉 Léoard Eler 莱 昂 纳 尔 欧 拉 (Léoard Eler, 77~783) 是 历 史 上 著 作 最 多 的 数 学 家, 被 同 时 代 的 人 称 为 分 析 的 化 身 人 们 评 价 他 : 欧 拉 计 算 毫 不 费 力, 就 像 人 呼 吸 或 者 鹰 在 风 中 保 持 平 衡 一 样, 欧 拉 -- 算 法 学 家, 为 解 决 特 殊 类 型 的 问 题 设 计 算 法 的 数 学 家 欧 拉 的 数 学 事 业 开 始 于 牛 顿 去 世 的 那 一 年 (77 年 ) 他 在 748 年 755 年 和 768~77 所 著 关 于 微 积 分 的 伟 大 论 著 ( 无 穷 小 分 析 引 论 微 分 学 原 理 积 分 学 原 理 ), 立 即 就 成 为 了 经 典 著 作, 并 且 在 四 分 之 三 个 世 纪 中, 继 续 鼓 舞 着 想 成 为 大 数 学 家 的 的 年 轻 人 欧 拉 77 年 4 月 5 日 出 生 于 瑞 士 的 巴 塞 尔, 其 父 是 牧 师, 欧 拉 是 能 在 任 何 地 方 任 何 条 件 下 工 作 的 几 个 大 数 学 家 之 一 他 常 常 抱 着 一 个 婴 儿 写 作 他 的 论 文, 同 时 稍 大 一 点 的 孩 子 们 在 他 周 围 嬉 戏 着 据 说, 在 家 人 两 次 叫 他 吃 饭 的 半 个 小 时 左 右 的 间 隔 中, 他 就 能 草 就 一 篇 数 学 文 章 欧 拉 是 为 月 球 问 题 形 成 一 个 可 计 算 解 ( 月 球 理 论 ) 的 第 一 人 在 生 命 最 后 7 年 中 他 完 全 失 明, 这 并 没 有 妨 碍 他 的 无 以 伦 比 的 多 产 的 ; 他 既 靠 知 觉 又 靠 听 觉 记 忆 它 还 有 惊 人 的 心 算 本 领, 不 仅 心 算 算 术 类 型 的 问 题, 也 心 算 高 等 代 数 和 微 积 分 学 中 要 求 的 更 难 的 问 题 他 那 个 时 代 整 个 数 学 领 域 中 的 全 部 主 要 公 式, 都 精 确 地 储 藏 在 他 的 记 忆 中 欧 拉 直 到 他 临 终 的 那 一 刻 仍 然 神 志 清 醒 思 想 敏 捷, 他 享 年 77 岁, 于 783 年 9 月 8 日 去 世 那 天 下 午 他 计 算 气 球 上 升 的 规 律 消 遣 像 往 常 一 样, 在 他 的 石 板 上 计 算, 然 后 他 和 家 人 一 起 吃 晚 饭 天 王 星 是 新 近 发 现 的, 欧 拉 略 述 了 对 它 的 轨 道 的 计 算 过 了 一 会 儿, 他 让 人 把 他 的 孙 子 带 进 来 在 与 孩 子 玩 和 喝 茶 的 时 候, 欧 拉 突 然 中 风, 烟 斗 从 他 的 手 里 掉 下 来, 他 说 了 一 句 我 死 了, 就 中 止 了 他 的 生 命 和 计 算

如 今 几 乎 每 一 个 数 学 领 域 都 可 以 看 到 Eler 的 名 字, 从 初 等 几 何 的 Eler 线, 多 面 体 的 Eler 定 理, 立 体 解 析 何 的 Eler 变 换 公 式, 四 次 方 程 的 Eler 解 法 到 数 论 中 的 Eler 函 数, 微 分 方 程 的 Eler 方 程, 级 数 论 的 Eler 常 数, 分 学 的 Eler 方 程, 复 变 函 数 的 Eler 公 式 等 等, 数 也 数 清, 他 对 数 学 分 析 的 贡 献 更 独 具 匠 心, 无 穷 小 分 析 引 一 书 便 是 他 划 时 代 的 代 表 作, 当 时 数 学 家 们 称 他 为 分 学 的 化 身 9 世 纪 伟 大 数 学 家 Gass 曾 说 : 研 究 Eler 著 作 永 远 是 了 解 数 学 的 最 好 方 法 著 名 数 学 家 Laplace 曾 过 : 读 读 Eler 读 读 Eler, 它 是 我 们 大 家 的 老 师! 欧 拉 的 一 生, 是 为 数 学 发 展 而 奋 斗 的 一 生, 他 那 杰 出 的 智 慧, 顽 强 的 毅 力, 孜 孜 不 倦 的 奋 斗 精 神 和 高 尚 的 科 学 道 德, 永 远 是 值 得 我 们 学 习 的