2013年北京市房山区中考数学一模试卷

2013 年 北 京 市 房 山 区 中 考 数 学 一 模 试 卷 参 考 答 案 与 试 题 解 析 一 选 择 题 ( 本 题 共 32 分, 每 小 题 4 分 ) 下 面 各 题 均 有 四 个 选 项, 其 中 只 有 一 个 是 符 合 题 意 的. 用 铅 笔 把 机 读 答 题 卡 上 对 应 题 目 答 案 的 相 应 字 母 处 涂 黑. 1.( 4 分 )(2014 西 宁 )-3 的 相 反 数 是 ( ) A.-3 B.- C. D.3 考 点 相 反 数. 菁 优 网 版 权 所 有 专 题 常 规 题 型. 分 析 根 据 只 有 符 号 不 同 的 两 个 数 互 为 相 反 数 解 答. 解 答 解 :-3 的 相 反 数 是 3. 故 选 :D. 点 评 本 题 考 查 了 相 反 数 的 定 义, 是 基 础 题, 熟 记 概 念 是 解 题 的 关 键. 2.( 4 分 )(2013 房 山 区 一 模 ) 我 国 2012 年 末 全 国 民 用 汽 车 保 有 量 达 到 12089 万 辆, 比 上 年 末 增 长 14.3%. 将 12089 用 科 学 记 数 法 表 示 应 为 ( ) A.1.2089 10 4 B.1.2089 10 5 C.12.089 10 4 D.0.12089 10 4 考 点 科 学 记 数 法 表 示 较 大 的 数. 菁 优 网 版 权 所 有 分 析 科 学 记 数 法 的 表 示 形 式 为 a 10 n 的 形 式, 其 中 1 a <10,n 为 整 数. 确 定 n 的 值 是 易 错 点, 由 于 12089 有 5 位, 所 以 可 以 确 定 n=5-1=4. 解 答 解 :12 089=1.2089 10 4. 故 选 A. 点 评 此 题 考 查 科 学 记 数 法 表 示 较 大 的 数 的 方 法, 准 确 确 定 a 与 n 值 是 关 键. 3.( 4 分 )(2013 市 中 区 二 模 ) 如 图, 把 一 块 含 有 45 角 的 直 角 三 角 板 的 两 个 顶 点 放 在 直 尺 的 对 边 上. 若 1=20, 那 么 3 的 度 数 是 ( ) A.25 B.30 C.60 D.65 考 点 平 行 线 的 性 质. 菁 优 网 版 权 所 有 专 题 计 算 题. 分 析 由 直 角 尺 的 对 边 平 行, 根 据 两 直 线 平 行 同 位 角 相 等 可 得 3= EFD, 又 EFG 为 45, 1 为 20, 由 1+ EFG 求 出 EFD 的 度 数, 即 为 3 的 度 数. 解 答 解 : AB CD, 3= EFD, 又 1=20, EFG=45, 第 1 页 ( 共 19 页 )

3= EFD= EFG+ 1=65. 故 选 D. 点 评 此 题 考 查 了 平 行 线 的 性 质, 平 行 线 的 性 质 为 : 两 直 线 平 行 同 位 角 相 等 ; 两 直 线 平 行 内 错 角 相 等 ; 两 直 线 平 行 同 旁 内 角 互 补, 本 题 注 意 利 用 隐 含 条 件 45 的 运 用. 4.( 4 分 )(2014 赤 峰 ) 下 面 的 几 何 体 中, 主 视 图 为 三 角 形 的 是 ( ) A. B. C. D. 考 点 简 单 几 何 体 的 三 视 图. 菁 优 网 版 权 所 有 专 题 常 规 题 型. 分 析 主 视 图 是 从 几 何 体 的 正 面 看 所 得 到 的 图 形, 根 据 主 视 图 所 看 的 方 向, 写 出 每 个 图 形 的 主 视 图 及 可 选 出 答 案. 解 答 解 :A 主 视 图 是 长 方 形, 故 A 选 项 错 误 ; B 主 视 图 是 长 方 形, 故 B 选 项 错 误 ; C 主 视 图 是 三 角 形, 故 C 选 项 正 确 ; D 主 视 图 是 正 方 形, 中 间 还 有 一 条 线, 故 D 选 项 错 误 ; 故 选 :C. 点 评 此 题 主 要 考 查 了 简 单 几 何 体 的 三 视 图, 关 键 是 掌 握 主 视 图 所 看 的 位 置. 5.( 4 分 )(2008 泸 州 ) 已 知 : 如 图, 四 边 形 ABCD 是 O 的 内 接 正 方 形, 点 P 是 劣 弧 上 不 同 于 点 C 的 任 意 一 点, 则 BPC 的 度 数 是 ( ) A.45 B.60 C.75 D.90 考 点 圆 周 角 定 理 ; 正 多 边 形 和 圆. 菁 优 网 版 权 所 有 分 析 连 接 OB OC, 首 先 根 据 正 方 形 的 性 质, 得 BOC=90, 再 根 据 圆 周 角 定 理, 得 BPC=45. 解 答 解 : 如 图, 连 接 OB OC, 则 BOC=90, 根 据 圆 周 角 定 理, 得 : BPC= BOC=45. 故 选 A. 点 评 本 题 主 要 考 查 了 正 方 形 的 性 质 和 圆 周 角 定 理 的 应 用. 这 里 注 意 : 根 据 90 的 圆 周 角 所 对 的 弦 是 直 径, 知 正 方 形 对 角 线 的 交 点 即 为 其 外 接 圆 的 圆 心. 第 2 页 ( 共 19 页 )

6.( 4 分 )(2008 宜 宾 ) 一 个 口 袋 中 装 有 4 个 红 球,3 个 绿 球,2 个 黄 球, 每 个 球 除 颜 色 外 其 它 都 相 同, 搅 均 后 随 机 地 从 中 摸 出 一 个 球 是 绿 球 的 概 率 是 ( ) A. B. C. D. 考 点 概 率 公 式. 菁 优 网 版 权 所 有 专 题 应 用 题 ; 压 轴 题. 分 析 让 绿 球 的 个 数 除 以 球 的 总 个 数 即 为 所 求 的 概 率. 解 答 解 : 因 为 一 共 有 9 个 球, 其 中 3 个 绿 球, 所 以 摸 出 一 个 球 是 绿 球 的 概 率 是. 故 选 C. 点 评 明 确 概 率 的 意 义 是 解 答 的 关 键, 用 到 的 知 识 点 为 : 概 率 等 于 所 求 情 况 数 与 总 情 况 数 之 比. 7.( 4 分 )(2013 盘 锦 模 拟 ) 将 二 次 函 数 y=x 2-2x-3 化 成 y=(x-h) 2 +k 形 式, 则 h+k 结 果 为 ( ) A.-5 B.5 C.3 D.-3 考 点 二 次 函 数 的 三 种 形 式. 菁 优 网 版 权 所 有 分 析 利 用 配 方 法 将 一 次 项 和 二 次 项 组 合, 再 加 上 一 次 项 系 数 的 一 半 的 平 方 来 凑 完 全 平 方 式, 把 一 般 式 转 化 为 顶 点 式, 得 出 h,k 的 值 即 可. 解 答 解 :y=x 2-2x-3=(x 2-2x+1)-1-3=(x-1) 2-4. 则 h=1,k=-4, h+k=-3. 故 选 :D. 点 评 本 题 考 查 了 二 次 函 数 的 解 析 式 有 三 种 形 式 : (1) 一 般 式 :y=ax 2 +bx+c(a 0,a b c 为 常 数 ); (2) 顶 点 式 :y=a(x-h) 2 +k; (3) 交 点 式 ( 与 x 轴 ):y=a(x-x 1 )( x-x 2 ). 8.( 4 分 )(2011 宜 宾 ) 如 图, 正 方 形 的 边 长 为 4,P 为 正 方 形 边 上 一 动 点, 运 动 路 线 是 A D C B A, 设 P 点 经 过 的 路 程 为 x, 以 点 A P D 为 顶 点 的 三 角 形 的 面 积 是 y. 则 下 列 图 象 能 大 致 反 映 y 与 x 的 函 数 关 系 的 是 ( ) 第 3 页 ( 共 19 页 )

A. B. C. D. 考 点 动 点 问 题 的 函 数 图 象. 菁 优 网 版 权 所 有 专 题 压 轴 题 ; 图 表 型. 分 析 根 据 动 点 从 点 A 出 发, 首 先 向 点 D 运 动, 此 时 y 不 随 x 的 增 加 而 增 大, 当 点 p 在 DC 上 运 动 时,y 随 着 x 的 增 大 而 增 大, 当 点 p 在 CB 上 运 动 时,y 不 变, 据 此 作 出 选 择 即 可. 解 答 解 : 当 点 P 由 点 A 向 点 D 运 动 时,y 的 值 为 0; 当 点 p 在 DC 上 运 动 时,y 随 着 x 的 增 大 而 增 大 ; 当 点 p 在 CB 上 运 动 时,y 不 变 ; 当 点 P 在 BA 上 运 动 时,y 随 x 的 增 大 而 减 小. 故 选 B. 点 评 本 题 考 查 了 动 点 问 题 的 函 数 图 象, 解 决 动 点 问 题 的 函 数 图 象 问 题 关 键 是 发 现 y 随 x 的 变 化 而 变 化 的 趋 势. 二 填 空 题 ( 本 大 题 共 16 分, 每 小 题 4 分 ): 9.( 4 分 )(2014 牡 丹 江 ) 在 函 数 y= 中, 自 变 量 x 的 取 值 范 围 是 x -1. 考 点 函 数 自 变 量 的 取 值 范 围. 菁 优 网 版 权 所 有 分 析 根 据 二 次 根 式 的 性 质, 被 开 方 数 大 于 等 于 0, 列 不 等 式 求 解. 解 答 解 : 根 据 题 意 得 :x+1 0, 解 得,x -1. 点 评 本 题 考 查 的 是 函 数 自 变 量 取 值 范 围 的 求 法. 函 数 自 变 量 的 范 围 一 般 从 三 个 方 面 考 虑 : (1) 当 函 数 表 达 式 是 整 式 时, 自 变 量 可 取 全 体 实 数 ; (2) 当 函 数 表 达 式 是 分 式 时, 考 虑 分 式 的 分 母 不 能 为 0; (3) 当 函 数 表 达 式 是 二 次 根 式 时, 被 开 方 数 为 非 负 数. 10.( 4 分 )(2015 通 辽 ) 因 式 分 解 :x 3 y-xy= xy(x-1)( x+1). 考 点 提 公 因 式 法 与 公 式 法 的 综 合 运 用. 菁 优 网 版 权 所 有 分 析 首 先 提 取 公 因 式 xy, 再 运 用 平 方 差 公 式 进 行 二 次 分 解. 解 答 解 :x 3 y-xy, =xy(x 2-1) ( 提 取 公 因 式 ) =xy(x+1)( x-1). ( 平 方 差 公 式 ) 故 答 案 为 :xy(x+1)(x-1). 点 评 本 题 考 查 用 提 公 因 式 法 和 公 式 法 进 行 因 式 分 解 的 能 力, 一 个 多 项 式 有 公 因 式 首 先 提 取 公 因 式, 然 后 再 用 其 他 方 法 进 行 因 式 分 解, 同 时 因 式 分 解 要 彻 底, 直 到 不 能 分 解 为 止. 第 4 页 ( 共 19 页 )

11.( 4 分 )(2012 娄 底 ) 如 图, 在 一 场 羽 毛 球 比 赛 中, 站 在 场 内 M 处 的 运 动 员 林 丹 把 球 从 N 点 击 到 了 对 方 内 的 B 点, 已 知 网 高 OA=1.52 米,OB=4 米,OM=5 米, 则 林 丹 起 跳 后 击 球 点 N 离 地 面 的 距 离 NM= 3.42 米. 考 点 相 似 三 角 形 的 应 用. 菁 优 网 版 权 所 有 专 题 压 轴 题. 分 析 首 先 根 据 题 意 易 得 ABO NAM, 然 后 根 据 相 似 三 角 形 的 对 应 边 成 比 例, 即 可 求 得 答 案. 解 答 解 : 根 据 题 意 得 :AO BM,NM BM, AO NM, ABO NBM,, OA=1.52 米,OB=4 米,OM=5 米, BM=OB+OM=4+5=9( 米 ),, 解 得 :NM=3.42( 米 ), 林 丹 起 跳 后 击 球 点 N 离 地 面 的 距 离 NM 为 3.42 米. 故 答 案 为 :3.42. 点 评 此 题 考 查 了 相 似 三 角 形 的 应 用. 此 题 比 较 简 单, 注 意 掌 握 相 似 三 角 形 的 对 应 边 成 比 例 定 理 的 应 用, 注 意 把 实 际 问 题 转 化 为 数 学 问 题 求 解. 12.( 4 分 )(2013 房 山 区 一 模 ) 如 图, 在 平 面 直 角 坐 标 系 中, 以 原 点 O 为 圆 心 的 同 心 圆 半 径 由 内 向 外 依 次 为 1,2,3,4,, 同 心 圆 与 直 线 y=x 和 y=-x 分 别 交 于 A 1,A 2,A 3,A 4,, 则 点 A 31 的 坐 标 是 (-4,-4 ). 考 点 规 律 型 : 点 的 坐 标. 菁 优 网 版 权 所 有 分 析 根 据 31 4=7 3, 得 出 A 31 在 直 线 y=x 上, 在 第 三 象 限, 且 在 第 8 个 圆 上, 求 出 OA 31 =8, 通 过 解 直 角 三 角 形 即 可 求 出 答 案. 解 答 解 : 31 4=7 3, 第 5 页 ( 共 19 页 )

A 31 在 直 线 y=x 上, 且 在 第 三 象 限, 即 射 线 OA 31 与 x 轴 的 夹 角 是 45, 如 图 OA=8, AOB=45, 在 直 角 坐 标 系 中, 以 原 点 O 为 圆 心 的 同 心 圆 的 半 径 由 内 向 外 依 次 为 1,2,3,4,, OA 31 =8, sin45 =,cos45 =, AB=4,OB=4, A 31 在 第 三 象 限 A 31 的 横 坐 标 是 -8sin45 =-4, 纵 坐 标 是 -4, 即 A 31 的 坐 标 是 (-4,-4 ). 故 答 案 为 :(-4,-4 ). 点 评 本 题 考 查 了 解 直 角 三 角 形, 一 次 函 数 等 知 识 点 的 应 用, 解 此 题 的 关 键 是 确 定 出 A 31 的 位 置 ( 如 在 直 线 y=x 上 在 第 三 象 限 在 第 8 个 圆 上 ), 此 题 是 一 道 比 较 好 的 题 目, 主 要 培 养 学 生 分 析 问 题 和 解 决 问 题 的 能 力. 三 解 答 题 ( 本 题 共 30 分, 每 小 题 5 分 ) 13.( 5 分 )(2013 房 山 区 一 模 ) 计 算 : -( ) 0 +(- ) -1 +tan60. 考 点 实 数 的 运 算 ; 零 指 数 幂 ; 负 整 数 指 数 幂 ; 特 殊 角 的 三 角 函 数 值. 菁 优 网 版 权 所 有 分 析 本 题 涉 及 二 次 根 式 化 简 零 指 数 幂 负 整 数 指 数 幂 特 殊 角 的 三 角 函 数 值 四 个 考 点. 针 对 每 个 考 点 分 别 进 行 计 算, 然 后 根 据 实 数 的 运 算 法 则 求 得 计 算 结 果. 解 答 解 : -( ) 0 +(- ) -1 +tan60 =2-1-2+ =3-3. 点 评 本 题 考 查 实 数 的 综 合 运 算 能 力, 是 各 地 中 考 题 中 常 见 的 计 算 题 型. 解 决 此 类 题 目 的 关 键 是 熟 记 特 殊 角 的 三 角 函 数 值, 熟 练 掌 握 负 整 数 指 数 幂 零 指 数 幂 二 次 根 式 等 考 点 的 运 算. 14.( 5 分 )(2013 淮 北 二 模 ) 解 分 式 方 程 :. 考 点 解 分 式 方 程. 菁 优 网 版 权 所 有 专 题 计 算 题. 分 析 观 察 可 得 最 简 公 分 母 是 (x-2)( x+2), 方 程 两 边 乘 最 简 公 分 母, 可 以 把 分 式 方 程 转 化 为 整 式 方 程 求 解. 解 答 解 : 方 程 的 两 边 同 乘 (x-2)( x+2), 得 x(x+2)-3(x-2)=(x+2)( x-2), 即 x 2 +2x-3x+6=x 2-4 第 6 页 ( 共 19 页 )

解 得 x=10. 经 检 验 x=10 为 原 方 程 的 根, 原 方 程 的 根 是 x=10. 点 评 (1) 解 分 式 方 程 的 基 本 思 想 是 转 化 思 想, 把 分 式 方 程 转 化 为 整 式 方 程 求 解.(2) 解 分 式 方 程 一 定 注 意 要 验 根. 15.( 5 分 )(2013 房 山 区 一 模 ) 已 知 a 是 关 于 x 的 方 程 x 2-4=0 的 解, 求 代 数 式 (a+1) 2 +a (a-1)-a-7 的 值. 考 点 一 元 二 次 方 程 的 解. 菁 优 网 版 权 所 有 分 析 把 x=a 代 入 方 程 求 出 a 2 =4, 把 多 项 式 整 理 后 得 出 2a 2-6, 代 入 求 出 即 可. 解 答 解 a 是 关 于 x 的 方 程 x 2-4=0 的 解, a 2-4=0, a 2 =4, (a+1) 2 +a(a-1)-a-7 =a 2 +2a+1+a 2 -a-a-7 =2a 2-6 =8-6 =2. 点 评 本 题 考 查 了 一 元 二 次 方 程 的 解 和 整 式 的 混 合 运 算 的 应 用, 关 键 是 求 出 a 2 =4, 用 了 整 体 代 入 思 想, 即 把 a 2 =4 当 作 一 个 整 体 来 代 入. 16.( 5 分 )(2013 房 山 区 一 模 ) 已 知 : 如 图, 点 B C E 在 同 一 条 直 线 上,AC DE,AC=CE, BC=DE, 求 证 :AB=CD. 考 点 全 等 三 角 形 的 判 定 与 性 质 ; 平 行 线 的 性 质. 菁 优 网 版 权 所 有 专 题 证 明 题. 分 析 求 简 单 的 线 段 相 等, 可 证 线 段 所 在 的 三 角 形 全 等, 结 合 本 题, 证 ABC EDC 即 可. 已 知 的 等 量 条 件 有 :AC=CE,BC=DE, 由 AC DE, 可 证 得 ACB= E, 根 据 SAS 即 可 判 定 两 三 角 形 全 等, 由 此 得 证. 解 答 证 明 : AC DE, ACB= E; 又 AC=CE,BC=DE, ABC EDC,( SAS) AB=CD. 点 评 此 题 主 要 考 查 了 全 等 三 角 形 的 判 定 和 性 质, 还 涉 及 到 了 平 行 线 的 性 质, 难 度 不 大. 第 7 页 ( 共 19 页 )

17.( 5 分 )(2013 房 山 区 一 模 ) 如 图, 反 比 例 函 数 y= 的 图 象 与 一 次 函 数 y=kx+b 的 图 象 交 于 A(m,3) B(-3,n) 两 点. (1) 求 一 次 函 数 的 解 析 式 及 AOB 的 面 积 ; (2) 若 点 P 是 坐 标 轴 上 的 一 点, 且 满 足 PAB 的 面 积 等 于 AOB 的 面 积 的 2 倍, 直 接 写 出 点 P 的 坐 标. 考 点 反 比 例 函 数 与 一 次 函 数 的 交 点 问 题. 菁 优 网 版 权 所 有 专 题 计 算 题. 分 析 (1) 将 A 与 B 坐 标 代 入 反 比 例 解 析 式 求 出 m 与 n 的 值, 确 定 出 A 与 B 坐 标, 将 两 点 坐 标 代 入 一 次 函 数 解 析 式 求 出 k 与 b 的 值, 即 可 确 定 出 一 次 函 数 解 析 式 ; (2) 对 于 一 次 函 数 解 析 式, 令 y=0 求 出 x 的 值, 确 定 出 OC 长, 三 角 形 AOB 面 积 = 三 角 形 AOC 面 积 + 三 角 形 BOC 面 积, 求 出 三 角 形 AOB 面 积, 得 到 三 角 形 PAB 面 积, 若 P 在 x 轴 上, 设 出 P 坐 标, 得 到 OP 的 长, 由 OP-OC 求 出 PC 的 长, 三 角 形 APB 面 积 = 三 角 形 APC 面 积 + 三 角 形 BCP 面 积, 表 示 出 三 角 形 ABP 面 积, 由 求 出 的 三 角 形 ABP 面 积 得 到 P 1 与 P 2 的 坐 标, 同 理 得 到 P 3 与 P 4 坐 标. 解 答 解 :(1) 反 比 例 函 数 y= 的 图 象 与 一 次 函 数 y=kx+b 的 图 象 交 于 A(m,3) B (-3,n) 两 点, 将 A 与 B 坐 标 代 入 反 比 例 解 析 式 得 :m=1,n=-1, A(1,3) B(-3,-1), 代 入 一 次 函 数 解 析 式 得 :, 解 得 :k=1,b=2, 则 一 次 函 数 的 解 析 式 为 y=x+2, 直 线 y=x+2 与 x 轴 y 轴 的 交 点 坐 标 为 (-2,0) (0,2), S AOB = 2 (1+3)=4; (2) 对 于 一 次 函 数 y=x+2, 令 y=0 得 到 x=-2, 即 C(-2,0), OC=2, S AOB = 2 3+ 2 1=4, S PAB =2S AOB =8, 设 P 1 (p,0), 即 OP 1 = p+2, S ABP1 =S AP1C +S P1BC = p+2 3+ p+2 1=8, 解 得 :p=-6 或 p=2, 则 P 1 (-6,0) P 2 (2,0), 第 8 页 ( 共 19 页 )

同 理 P 3 (0,6) P 4 (0,-2). 点 评 此 题 考 查 了 一 次 函 数 与 反 比 例 函 数 的 交 点 问 题, 涉 及 的 知 识 有 : 待 定 系 数 法 求 函 数 解 析 式, 坐 标 与 图 形 性 质, 以 及 三 角 形 的 面 积 求 法, 熟 练 掌 握 待 定 系 数 法 是 解 本 题 的 关 键. 18.( 5 分 )(2013 房 山 区 一 模 ) 列 方 程 ( 组 ) 解 应 用 题 : 2009 年 12 月 联 合 国 气 候 会 议 在 哥 本 哈 根 召 开. 从 某 地 到 哥 本 哈 根, 若 乘 飞 机 需 要 3 小 时, 若 乘 汽 车 需 要 9 小 时. 这 两 种 交 通 工 具 平 均 每 小 时 二 氧 化 碳 的 排 放 量 之 和 为 70 千 克, 飞 机 全 程 二 氧 化 碳 的 排 放 总 量 比 汽 车 的 多 54 千 克, 分 别 求 飞 机 和 汽 车 平 均 每 小 时 二 氧 化 碳 的 排 放 量. 考 点 二 元 一 次 方 程 组 的 应 用. 菁 优 网 版 权 所 有 分 析 设 乘 飞 机 和 坐 汽 车 每 小 时 的 二 氧 化 碳 排 放 量 分 别 是 x 千 克 和 y 千 克. 根 据 这 两 种 交 通 工 具 平 均 每 小 时 二 氧 化 碳 的 排 放 量 之 和 为 70 千 克, 得 方 程 x+y=70; 根 据 机 全 程 二 氧 化 碳 的 排 放 总 量 比 汽 车 的 多 54 千 克, 得 方 程 3x-9y=54, 联 立 解 方 程 组 即 可. 解 答 解 : 设 乘 飞 机 和 坐 汽 车 每 小 时 的 二 氧 化 碳 排 放 量 分 别 是 x 千 克 和 y 千 克. 依 题 意, 得, 解 得. 答 : 飞 机 和 汽 车 每 小 时 的 二 氧 化 碳 排 放 量 分 别 是 57 千 克 和 13 千 克. 点 评 解 题 关 键 是 弄 清 题 意, 找 到 合 适 的 等 量 关 系, 列 出 方 程 组. 四 解 答 题 ( 本 题 共 20 题, 每 小 题 5 分 ): 19.( 5 分 )(2011 威 海 ) 一 副 直 角 三 角 板 如 图 放 置, 点 C 在 FD 的 延 长 线 上,AB CF, F= ACB=90, E=45, A=60,AC=10, 试 求 CD 的 长. 考 点 解 直 角 三 角 形 ; 平 行 线 的 性 质. 菁 优 网 版 权 所 有 专 题 计 算 题. 分 析 过 点 B 作 BM FD 于 点 M, 根 据 题 意 可 求 出 BC 的 长 度, 然 后 在 EFD 中 可 求 出 EDF=45, 进 而 可 得 出 答 案. 第 9 页 ( 共 19 页 )

解 答 解 : 过 点 B 作 BM FD 于 点 M, 在 ACB 中, ACB=90, A=60,AC=10, ABC=30,BC=AC tan60 =10, AB CF, BM=BC sin30 =10 =5, CM=BC cos30 =15, 在 EFD 中, F=90, E=45, EDF=45, MD=BM=5, CD=CM-MD=15-5. 点 评 本 题 考 查 了 解 直 角 三 角 形 的 性 质 及 平 行 线 的 性 质, 难 度 较 大, 解 答 此 类 题 目 的 关 键 根 据 题 意 建 立 三 角 形 利 用 所 学 的 三 角 函 数 的 关 系 进 行 解 答. 20.( 5 分 )(2013 房 山 区 一 模 ) 如 图,BC 为 半 O 的 直 径, 点 A,E 是 半 圆 周 上 的 三 等 分 点,AD BC, 垂 足 为 D, 联 结 BE 交 AD 于 F, 过 A 作 AG BE 交 CB 的 延 长 线 于 G. (1) 判 断 直 线 AG 与 O 的 位 置 关 系, 并 说 明 理 由. (2) 若 直 径 BC=2, 求 线 段 AF 的 长. 考 点 切 线 的 判 定 ; 勾 股 定 理. 菁 优 网 版 权 所 有 专 题 计 算 题. 分 析 (1) 直 线 AG 与 圆 O 相 切, 理 由 为 : 连 接 OA, 由 A E 分 别 为 半 圆 周 的 三 等 分 点, 得 到 三 条 弧 相 等, 得 出 A 为 弧 BE 的 中 点, 利 用 垂 径 定 理 的 逆 定 理 得 到 OA 垂 直 于 BE, 由 AG 与 BE 平 行, 得 到 AG 垂 直 于 OA, 即 可 得 出 AG 与 圆 O 相 切 ; (2) 由 直 径 BC 的 长, 求 出 半 径 的 长, 根 据 三 条 弧 相 等 得 到 三 个 圆 心 角 为 60 度, 再 由 OA=OB, 得 到 三 角 形 AOB 为 等 边 三 角 形, 根 据 三 线 合 一 求 出 BD 的 长, 再 利 用 勾 股 定 理 求 出 AD 的 长, 在 直 角 三 角 形 BDF 中, 利 用 同 弧 所 对 的 圆 周 角 等 于 圆 心 角 的 一 半 求 出 EBC 为 30 度, 利 用 锐 角 三 角 函 数 定 义 求 出 DF 的 长, 由 AD-DF 即 可 求 出 AF 的 长. 解 答 (1) 答 : 直 线 AG 与 O 相 切, 理 由 为 : 证 明 : 连 接 OA, 点 A,E 是 半 圆 周 上 的 三 等 分 点, = =, 点 A 是 的 中 点, OA BE, 第 10 页 ( 共 19 页 )

又 AG BE, OA AG, 直 线 AG 与 O 相 切 ; (2) 解 : 点 A,E 是 半 圆 周 上 的 三 等 分 点, AOB= AOE= EOC=60, 又 OA=OB, ABO 为 正 三 角 形, 又 AD OB,OB=AB=1, BD=OD=,AD= =, 又 EBC=30, 在 Rt FBD 中,tan EBC=, 即 tan30 = =, 解 得 FD=, 则 AF=AD-FD= - =. 点 评 此 题 考 查 了 切 线 的 判 定, 勾 股 定 理, 圆 周 角 定 理, 锐 角 三 角 函 数 定 义, 熟 练 掌 握 切 线 的 判 定 方 法 是 解 本 题 的 关 键. 21.( 5 分 )(2013 南 沙 区 一 模 ) 吸 烟 有 害 健 康! 我 国 从 2011 年 5 月 1 日 起 在 公 众 场 所 实 行 禁 烟, 为 配 合 禁 烟 行 动, 某 校 组 织 同 学 在 一 社 区 开 展 了 你 支 持 哪 种 戒 烟 方 式 的 问 卷 调 查, 征 求 市 民 的 意 见, 并 将 调 查 结 果 整 理 后 制 成 了 如 下 统 计 图 : 根 据 统 计 图 解 答 : (1) 同 学 们 一 共 随 机 调 查 了 300 人 ; 警 示 戒 烟 的 百 分 比 是 35%. (2) 请 你 把 条 形 统 计 图 补 充 完 整 ; (3) 假 定 该 社 区 有 1 万 人, 请 估 计 该 地 区 大 约 有 多 少 人 支 持 警 示 戒 烟 这 种 方 式. 考 点 条 形 统 计 图 ; 用 样 本 估 计 总 体 ; 扇 形 统 计 图. 菁 优 网 版 权 所 有 专 题 数 形 结 合. 第 11 页 ( 共 19 页 )

分 析 (1) 根 据 支 持 替 代 品 戒 烟 的 人 数 和 其 所 占 的 百 分 比 可 计 算 出 随 机 调 查 的 总 人 数 为 300 人, 再 根 据 支 持 药 物 戒 烟 的 百 分 比 计 算 出 支 持 药 物 戒 烟 的 人 数 为 45 人, 然 后 用 总 人 数 分 别 减 去 支 持 药 物 戒 烟 的 人 数 支 持 替 代 品 戒 烟 的 人 数 和 强 制 戒 烟 的 人 数 得 到 支 持 警 示 戒 烟 的 人 数, 最 后 再 计 算 支 持 警 示 戒 烟 的 百 分 比 ; (2) 根 据 支 持 药 物 戒 烟 的 人 数 为 45 人 画 条 形 图 ; (3) 由 于 支 持 警 示 戒 烟 的 百 分 比 为 35%, 由 此 可 估 计 该 地 区 大 约 35% 10000 支 持 警 示 戒 烟 这 种 方 式. 解 答 解 :(1) 随 机 调 查 的 总 人 数 = =300( 人 ); 支 持 药 物 戒 烟 的 人 数 =300 15%=45 ( 人 ), 所 以 支 持 警 示 戒 烟 的 人 数 =300-30-45-120=105( 人 ), 所 以 支 持 警 示 戒 烟 的 百 分 比 = 100%=35%. (2) 如 图 ; (3) 因 为 35% 10000=3500, 所 以 估 计 该 地 区 大 约 有 3500 人 支 持 警 示 戒 烟 这 种 方 式. 故 答 案 为 300,35%. 点 评 本 题 考 查 了 条 形 统 计 图 : 条 形 统 计 图 是 用 线 段 长 度 表 示 数 据, 根 据 数 量 的 多 少 画 成 长 短 不 同 的 矩 形 直 条, 然 后 按 顺 序 把 这 些 直 条 排 列 起 来 ; 从 条 形 图 可 以 很 容 易 看 出 各 项 的 数 据 的 大 小, 便 于 比 较. 也 考 查 了 扇 形 统 计 图 以 及 样 本 估 计 总 体 的 统 计 思 想. 22.( 5 分 )(2013 东 城 区 一 模 ) 如 图, 长 方 形 纸 片 ABCD 中,AB=8cm,AD=6cm, 按 下 列 步 骤 进 行 裁 剪 和 拼 图 : 第 一 步 : 如 图 1, 在 线 段 AD 上 任 意 取 一 点 E, 沿 EB,EC 剪 下 一 个 三 角 形 纸 片 EBC( 余 下 部 分 不 再 使 用 ); 第 12 页 ( 共 19 页 )

第 二 步 : 如 图 2, 沿 三 角 形 EBC 的 中 位 线 GH 将 纸 片 剪 成 两 部 分, 并 在 线 段 GH 上 任 意 取 一 点 M, 线 段 BC 上 任 意 取 一 点 N, 沿 MN 将 梯 形 纸 片 GBCH 剪 成 两 部 分 ; 第 三 步 : 如 图 3, 将 MN 左 侧 纸 片 绕 G 点 按 顺 时 针 方 向 旋 转 180, 使 线 段 GB 与 GE 重 合, 将 MN 右 侧 纸 片 绕 H 点 按 逆 时 针 方 向 旋 转 180, 使 线 段 HC 与 HE 重 合, 拼 成 一 个 与 三 角 形 纸 片 EBC 面 积 相 等 的 四 边 形 纸 片.( 注 : 裁 剪 和 拼 图 过 程 均 无 缝 且 不 重 叠 ) 则 拼 成 的 这 个 四 边 形 纸 片 的 周 长 的 最 小 值 和 最 大 值 分 别 为 多 少? 考 点 图 形 的 剪 拼 ; 三 角 形 中 位 线 定 理 ; 矩 形 的 性 质. 菁 优 网 版 权 所 有 专 题 压 轴 题. 分 析 首 先 确 定 剪 拼 之 后 的 四 边 形 是 个 平 行 四 边 形, 其 周 长 大 小 取 决 于 MN 的 大 小. 然 后 在 矩 形 中 探 究 MN 的 不 同 位 置 关 系, 得 到 其 长 度 的 最 大 值 与 最 大 值, 从 而 问 题 解 决. 解 答 解 : 画 出 第 三 步 剪 拼 之 后 的 四 边 形 M 1 N 1 N 2 M 2 的 示 意 图, 如 答 图 1 所 示. 图 中,N 1 N 2 =EN 1 +EN 2 =NB+NC=BC, M 1 M 2 =M 1 G+GM+MH+M 2 H=2(GM+MH)=2GH=BC( 三 角 形 中 位 线 定 理 ), 又 M 1 M 2 N 1 N 2, 四 边 形 M 1 N 1 N 2 M 2 是 一 个 平 行 四 边 形, 其 周 长 为 2N 1 N 2 +2M 1 N 1 =2BC+2MN. BC=6 为 定 值, 四 边 形 的 周 长 取 决 于 MN 的 大 小. 如 答 图 2 所 示, 是 剪 拼 之 前 的 完 整 示 意 图, 过 G H 点 作 BC 边 的 平 行 线, 分 别 交 AB CD 于 P 点 Q 点, 则 四 边 形 PBCQ 是 一 个 矩 形, 这 个 矩 形 是 矩 形 ABCD 的 一 半, M 是 线 段 PQ 上 的 任 意 一 点,N 是 线 段 BC 上 的 任 意 一 点, 根 据 垂 线 段 最 短, 得 到 MN 的 最 小 值 为 PQ 与 BC 平 行 线 之 间 的 距 离, 即 MN 最 小 值 为 4; 而 MN 的 最 大 值 等 于 矩 形 对 角 线 的 长 度, 即 = =2, 四 边 形 M 1 N 1 N 2 M 2 的 周 长 =2BC+2MN=12+2MN, 四 边 形 M 1 N 1 N 2 M 2 周 长 的 最 小 值 为 12+2 4=20, 最 大 值 为 12+2 2 =12+4. 故 四 边 形 纸 片 的 周 长 的 最 小 值 为 20, 最 大 值 为 12+4. 第 13 页 ( 共 19 页 )

点 评 此 题 通 过 图 形 的 剪 拼, 考 查 了 动 手 操 作 能 力 和 空 间 想 象 能 力, 确 定 剪 拼 之 后 的 图 形, 并 且 探 究 MN 的 不 同 位 置 关 系 得 出 四 边 形 周 长 的 最 值 是 解 题 关 键. 五 解 答 题 ( 本 题 共 22 分, 第 23 题 7 分, 第 24 题 7 分, 第 25 题 8 分 ): 23.( 7 分 )(2013 尤 溪 县 质 检 ) 已 知, 抛 物 线 y=-x 2 +bx+c, 当 1<x<5 时,y 值 为 正 ; 当 x<1 或 x>5 时,y 值 为 负. (1) 求 抛 物 线 的 解 析 式. (2) 若 直 线 y=kx+b(k 0) 与 抛 物 线 交 于 点 A(,m) 和 B(4,n), 求 直 线 的 解 析 式. (3) 设 平 行 于 y 轴 的 直 线 x=t 和 x=t+2 分 别 交 线 段 AB 于 E F, 交 二 次 函 数 于 H G. 1 求 t 的 取 值 范 围 2 是 否 存 在 适 当 的 t 值, 使 得 EFGH 是 平 行 四 边 形? 若 存 在, 求 出 t 值 ; 若 不 存 在, 请 说 明 理 由. 考 点 二 次 函 数 综 合 题. 菁 优 网 版 权 所 有 分 析 (1) 将 (1,0) 和 (5,0) 代 入 函 数 关 系 式, 求 出 b,c 的 值 即 可 ; (2) 图 象 过 A(,m) 和 B(4,n) 两 点 代 入 (1) 中 所 求 求 出 A,B 的 坐 标 即 可, 进 而 求 出 直 线 的 解 析 式 ; (3)1 根 据 t>,t+2<4 进 而 求 出 t 的 取 值 范 围 即 可 ; 2 首 先 表 示 出 E,F,G,H 各 点 的 坐 标, 进 而 根 据 平 行 四 边 形 的 性 质 求 出 t 的 值 即 可. 解 答 解 :(1) 根 据 题 意, 抛 物 线 y=-x 2 +bx+c 与 x 轴 交 点 为 (1,0) 和 (5,0),, 解 得. 抛 物 线 的 解 析 式 为 y=-x 2 +6x-5; (2) y=-x 2 +6x-5 的 图 象 过 A(,m) 和 B(4,n) 两 点, m=,n=3, A(, ) 和 B(4,3), 直 线 y=kx+b(k 0) 过 A(, ) 和 B(4,3) 两 点 第 14 页 ( 共 19 页 )

, 解 得. 直 线 的 解 析 式 为 y= x+1; (3)1 根 据 题 意, 解 得 <t<2, 2 根 据 题 意 E(t, t+1), F(t+2, t+2) H(t,-t 2 +6t-5), G(t+2,-t 2 +2t+3), EH=-t 2 + t-6,fg=-t 2 + t+1, 若 EFGH 是 平 行 四 边 形, 则 EH=FG, 即 -t 2 + t-6=-t 2 + t+1, 解 得 :t=, t= 满 足 <t<2. 存 在 适 当 的 t 值, 且 t= 使 得 EFGH 是 平 行 四 边 形. 点 评 此 题 主 要 考 查 了 二 次 函 数 的 综 合 应 用 以 及 待 定 系 数 法 求 一 次 函 数 和 二 次 函 数 解 析 式 以 及 平 行 四 边 形 的 性 质, 根 据 点 的 坐 标 性 质 得 出 E,F,G,H 点 的 坐 标 进 而 利 用 平 行 四 边 形 对 边 相 等 得 出 是 解 题 关 键. 24.( 7 分 )(2013 房 山 区 一 模 )(1) 如 图 1, ABC 和 CDE 都 是 等 边 三 角 形, 且 B C D 三 点 共 线, 联 结 AD BE 相 交 于 点 P, 求 证 :BE=AD. (2) 如 图 2, 在 BCD 中, BCD<120, 分 别 以 BC CD 和 BD 为 边 在 BCD 外 部 作 等 边 三 角 形 ABC 等 边 三 角 形 CDE 和 等 边 三 角 形 BDF, 联 结 AD BE 和 CF 交 于 点 P, 下 列 结 论 中 正 确 的 是 123 ( 只 填 序 号 即 可 ) 1AD=BE=CF;2 BEC= ADC;3 DPE= EPC= CPA=60 ; (3) 如 图 2, 在 (2) 的 条 件 下, 求 证 :PB+PC+PD=BE. 第 15 页 ( 共 19 页 )

考 点 全 等 三 角 形 的 判 定 与 性 质 ; 等 边 三 角 形 的 性 质. 菁 优 网 版 权 所 有 分 析 (1) 根 据 等 边 三 角 形 的 性 质 得 出 BC=AC,CE=CD, ACB= DCE=60, 求 出 BCE= ACD, 证 出 BCE ACD 即 可 ; (2) 求 出 BC=AC,CE=CD, ACB= DCE=60, BCE= ACD, 证 BCE ACD, 推 出 BE=AD, BEC= ADC, 同 理 FDC BDE, 推 出 BE=CF,BE=AD=CF, 根 据 BCE ACD 推 出 CEP= CDA, 求 出 DEP+ CEP= CED=60 = CDP+ DEP, 即 可 求 出 DPE=60, 同 理 求 出 EPC= CPA=60 ; (3) 在 PE 上 截 取 PM=PC, 联 结 CM, 求 出 1= 2, 求 出 CPM 是 等 边 三 角 形, 推 出 CP=CM, PMC=60, 证 CPD CME, 推 出 PD=ME 即 可. 解 答 (1) 证 明 : ABC 和 CDE 都 是 等 边 三 角 形, BC=AC,CE=CD, ACB= DCE=60, BCE= ACD, 在 BCE 和 ACD 中 BCE ACD(SAS) BE=AD; (2) 解 :123 都 正 确, 理 由 是 : ABC 和 CDE 都 是 等 边 三 角 形, BC=AC,CE=CD, ACB= DCE=60, BCE= ACD, 在 BCE 和 ACD 中 BCE ACD(SAS) BE=AD, BEC= ADC, 2 正 确 ; 同 理 FDC BDE, BE=CF, BE=AD=CF, 1 正 确 ; BCE ACD, CEP= CDA, 第 16 页 ( 共 19 页 )

CED= CDE=60, DEP+ CEP= CED=60 = CDP+ DEP, DPE=180-60 -60 =60, 同 理 EPC= CPA=60, 即 DPE= EPC= CPA=60, 3 正 确 ; 故 答 案 为 :123; (3) 证 明 : 在 PE 上 截 取 PM=PC, 连 接 CM, 由 (1) 可 知, BCE ACD(SAS) 1= 2 设 CD 与 BE 交 于 点 G, 在 CGE 和 PGD 中, 1= 2, CGE= PGD, DPG= ECG=60, 同 理 CPE=60, CPM 是 等 边 三 角 形, CP=CM, PMC=60. CPD= CME=120. 1= 2, CPD CME(AAS), PD=ME, BE=PB+PM+ME=PB+PC+PD, 即 PB+PC+PD=BE. 点 评 本 题 考 查 了 全 等 三 角 形 的 性 质 和 判 定, 等 边 三 角 形 的 性 质 和 判 定 的 应 用, 注 意 : 全 等 三 角 形 的 对 应 边 相 等, 题 目 比 较 好, 有 一 定 的 难 度. 25.( 8 分 )(2013 房 山 区 一 模 ) 已 知 : 半 径 为 1 的 O 1 与 x 轴 交 A B 两 点, 圆 心 O 1 的 坐 标 为 (2,0), 二 次 函 数 y=-x 2 +bx+c 的 图 象 经 过 A B 两 点, 与 y 轴 交 于 点 C (1) 求 这 个 二 次 函 数 的 解 析 式 ; (2) 经 过 坐 标 原 点 O 的 直 线 l 与 O 1 相 切, 求 直 线 l 的 解 析 式 ; (3) 若 M 为 二 次 函 数 y=-x 2 +bx+c 的 图 象 上 一 点, 且 横 坐 标 为 2, 点 P 是 x 轴 上 的 任 意 一 点, 分 别 联 结 BC BM. 试 判 断 PC-PM 与 BC-BM 的 大 小 关 系, 并 说 明 理 由. 第 17 页 ( 共 19 页 )

考 点 二 次 函 数 综 合 题. 菁 优 网 版 权 所 有 分 析 (1) 根 据 已 知 条 件 先 求 出 A 和 B 点 的 坐 标, 再 代 入 y=-x 2 +bx+c 求 出 b 和 c 的 值 即 可 ; (2) 设 直 线 l 与 O 相 切 于 点 E, 过 点 E 作 EH x 轴 于 点 H, 由 已 知 数 据 求 出 E 点 的 坐 标 即 可 求 出 直 线 l 的 解 析 式 ; (3)PC-PM 与 BC-BM 的 大 小 关 系 是 PC-PM BC-BM, 此 小 题 要 分 两 种 情 况 讨 论 分 别 是 1 当 点 P 于 点 B 重 合 时, 有 PC-PM=BC-BM,2 当 P 异 于 B 时,PC-PM<BC- BM. 解 答 解 :(1) 由 题 意 可 知 A(1,0), B(3,0) 二 次 函 数 y=-x 2 +bx+c 的 图 象 经 过 点 A,B 两 点,, 解 得 :, 二 次 函 数 的 解 析 式 y=-x 2 +4x-3; (2) 如 图, 设 直 线 l 与 O 相 切 于 点 E, O 1 E l, O 1 O=2,O 1 E=1, OE=, 过 点 E 作 EH x 轴 于 点 H, EH=,OH=, E(, ), l 的 解 析 式 为 :y= x, 根 据 对 称 性, 满 足 条 件 的 另 一 条 直 线 l 的 解 析 式 为 :y=- x, 所 求 直 线 l 的 解 析 式 为 :y= x 或 y=- x, (3) 结 论 :PC-PM BC-BM, 第 18 页 ( 共 19 页 )

理 由 如 下 : M 为 二 次 函 数 y=-x 2 +bx+c 的 图 象 上 一 点 且 横 坐 标 为 2, M(2,1) 1 当 点 P 于 点 B 重 合 时, 有 PC-PM=BC-BM, 2 当 P 异 于 B 时, 直 线 BM 经 过 点 B(3,0) M(2,1), 直 线 BM 的 解 析 式 为 y=-x+3, 直 线 BM 与 y 轴 相 交 于 点 F 的 坐 标 为 F(0,3), F(0,3) 于 C(0,-3) 关 于 x 轴 对 称 联 结 结 PF, BC=BF,PF=PC, BC-BM=BF-BM=MF,PF-PM=PC-PM, 在 FPM 中, 有 PF-PM<FM, PC-PM<BC-BM, 综 上 所 述 :PC-PM BC-BM. 点 评 本 题 考 查 了 用 待 定 系 数 法 求 抛 物 线 解 析 式 直 线 解 析 式 直 线 和 坐 标 轴 交 点 坐 标 切 线 的 性 质 以 及 三 角 形 的 三 边 关 系, 题 目 的 综 合 性 强, 难 度 中 等, 特 别 是 第 三 小 题 解 答 时 注 意 分 类 讨 论 的 数 学 思 想 运 用, 防 止 漏 解. 第 19 页 ( 共 19 页 )