8- 平面电磁波. 波动方程这是一个麦克斯韦方程应用的重要实例, 我们从微分形式的麦克斯韦方程和均匀各向同性线性介质的电磁性能方程出发, 研究自由空间中的电磁场 自由空间的含意是 r =,j =, 由欧姆定律有 σ =. r=, j 真空中的电磁波 D E B H D r E B B E E t t B B D E H j B t t B E ( E ( B t t t ( E ( E E E E E t E E t B B t E c E t 令 c B c B t. 定态电磁波的解 进一步设电磁波的激发源以确定的频率 ω 作简谐振动, 因而辐射的电磁波也以相同频率作简谐振动, 这种以一定频率作简谐振动的波, 常称为定态电磁波或单色波 一般的非单色的电磁波, 可以用傅里叶分析方法分解为不同频率的单色波的叠加, 因此只须研究定态电磁波 为简便直观, 限于讨论平 E E, 面电磁波, 即 E H 仅与 Z t Z 和 t 有关, 与坐标 y, x 无关 H Η. 它满足的方程为 : t Z 平面波解的形式为 : E E( ze H H( ze jt jt 意即设电磁波沿 z 轴正向传播, 其场强在与 z 轴正交的平面上各点有相同的值, 其中 E(z, H(z 只是坐标 z 的函数 将平面波形式解代入波动方程中, 得 : E( z z Η( z z E( z, H z (. E( z Ee, H( z He. 其中 E, H 是积分常数, 它们是常矢量, 由 已知的激发源确定, 代表电场和磁场的振幅,
C f V V V (V 是电磁波传播速度 又称波数, 表示在空间中 π( 米 长度 上有多少个电磁波长 E(z,t E( ze H(z,t H( ze jt jt Ε( z, t Ee H( z, t He E( z Ee, H( z He. j( kzt j( kzt 更一般的写法为 : E( r, t Ee H( r, t He j( tr j( tr 其中 的方向定义为电磁波的传播方向, 大小为 π λ 又称波矢,r 是空间任意点相对于电磁波源的位置矢 这就是平面电磁波的解 3. 平面电磁波的性质 ( 讨论所得解 E E j( tr, (, t e E r E t Z 将 代入 j( t (, t r H r H e H Η. t Z 考虑到 j, j t E, H, 则有 : E H, H E. E, E H, H, H E E, H, 即电磁场强度与波的传播方向垂直, 故平面电磁波是横波 E H, 即电场强度和磁场强度垂直, 且 E H 和 三个矢量构成一个右旋直角坐标系 E, E H, H, H E 此式要有非零解, 则必须有, 于是得 : C V. E H= E (, ( E( = E - E ( E E H E H E 和 H 的幅值成比例 ; 在介质中任一点, 任一时刻其电场能量密度与磁场能量密度相等 V C n n V, 是介质的折射率 C V ( n( C 真空中 v=c, 麦克斯韦预言光即是电磁波, 并且指出 一般情况下, 介质 μ 和 ε 是电磁波的频率 ω 的函数, 所以 n 也是 ω 的函数 又称色散关系
电磁波的性质 : ( 电磁波是横波 ( 电场强度与磁场相垂直, 且 E, H, k 三个矢量构成一个右手螺旋系 (3 E 与 H 的幅度成比例 c c (4 传播速度为 : v v k r r n 电场强度与磁感应强度的振幅之比为电磁波传播速度 v 在真空中有 : 4. 赫兹实验及发射天线 天线原理 赫兹实验的原理图 --4 由 LC 振荡电路变为偶极振子 电场和磁场向空间散开, 因为 L N C, 所 d 以现在 L C 都很小, 因此振荡频率很高, f LC 单位时间内辐射能量 电磁波谱 : 4 f 射电 红外 可见光 紫外 X-ray -ray 8-3 电磁场的能量 动量和角动量一 一般表达对静止各向同性介质中的电磁场的能量密度 流密度 ( 又称坡印亭矢量, 动量密度 密度 l, 表达式如下 : w D E B H, E H, g D B, l rg. w, 能 g, 角动量 3
于是, 体积 V 中电磁场的总能量 总动量和总角动量分别为如下体积分 : W wdv, G gdv, L l dv, V V V 能量守恒定律的表达式为 : d d A ( W Wn dt 上式中 da 为积分的面元, Wn 是非电磁的总能量 可将上式与电荷守恒定律比较, 以便加深理解 为加深对电磁场角动量的理解, 我们可以作一个简单的实验, 如图 -3-, 一圆柱形介质电容器, 长度为 l, 充满介电常数为 ε 的均匀各向同性介质, 内外半径为 r r, 绕轴的转动惯量为 I, 板极充电荷为 ±Q, 置于一均匀磁场 B 中 当电容器放电后, 电容器便绕轴旋转, 其角速度为 ω,ω 的大小可通过电磁场的角动量计算如下 : 图 -3- 轴向均匀磁场中的圆柱电容器 充电后, 略去边缘效应, 电容器中 : D d Q Q Q D, D r rl rl QB g D B DBr z φ, rl QB l r g z, l 于是电容器内电磁场的总角动量为 : QB L l dv ( r r lz l V QB( r r z 放电后, 电容器内 E, D 电磁场的角动量为零 由总角动量守恒, 则 Ln L 即 I QB( r r. 于是得 : ( I QB r r 上式中负号表示电容器顺时针旋转 二 平面电磁波的能量 动量 能量密度 : w E H v E v 能流密度 : E H v 瞬时值 E v w v v 动量密度 : g E H w v v 如果在真空中, 则有 : w v c, wc, g c c 按时间的平均值 : 三 坡印廷矢量 (Poynting Vector T w w( t dt E T E v wv v g E v v 能流密度 : EH= wv 4
螺线管充电时的坡印廷矢量 电容器充电时的坡印廷矢量 Q E k k R Bdl I B B d dt E d 电路中的能量传输 坡印亭矢量的概念不仅适用于电磁波, 也适用稳恒定场 电路里磁力线总是沿右旋方向环绕电流的 在电源内部,j 与 方向一致, 与 E 的方向相反 坡印亭矢量垂直于 j 的辐向向外, 即电源向外部空间输出能量 在电源以外的导线里,E 内与 j 方向一致, 故 =EH 沿垂直于 j 的方向向内 ; 导线外的电场 E 外一般有较大法向分量, 但因切向分量连续, 导线表面外的电场或多或少总是有些切线分量的, 这切线分量与 E 内和电流方向一致 由此可见, 导体表面外的坡印亭矢量 =EH 的法向分量总是指向导体内部的 j 一定, 电导率 愈大, E 内本身与 E 外的切向分量越小, 导体内的 和导体外垂直表面分量的 就越小 在 的极限情形下, 导体外的 与导体表面平行 5
至于 的切向分量的方向, 则需分两个情形来讨论 : 导体表面带正电荷的地方,E 外的法向分量向外, 的切向分量与电流平行 ; 在导体表面带负电的地方 E 外的法向分量向内, 的切向分量与电流反平行 整个电路中能量传输 : 在靠近电源正极的导线表面上带正电, 在靠近电源负极的导线表面上带负电 能量从电源向周围空间发出, 在电阻很小的导线表面基本上沿切线前进, 流向负载 在电阻较大的负载表面, 能量将以较大的法线分量输入 在导线表面经过折射, 直指它的中心 由此可见, 电磁能不是通过电流沿导线内部从电源传给负载 四 电磁场是什么? 电磁场是物质的一种形态 电磁场和实物是物质存在的两种不同的形态. 电磁场与实物有很多相同点, 例如, 它们都具有能量 动量及角动量. 但另一方面, 电磁场与实物又存在一些差异 : 如电磁场的基本组成部分是光子, 而光子是没有静止质量的, 但构成实物的电子 质子等微观粒子都具有静止质量 ; 电磁场以波的形式在空间中传播, 在真空中的速率永远是 c =3* 8 m/s, 在折射率为 n 的介质中的传播速度为 c/n; 3 一种实物占有的空间不能同时被另一种实物占领, 即实物具有不可入性, 可是频率不同的电磁波, 可以同时占有同一空间, 独立存在, 各自保持自己的特性不变. 综上所述, 电磁场与实物有相同点也有不同点. 6