电动力学习题课 - 第一章

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同农
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1 电动力学习题课第一章 Cheng-Zong Ruan Department of Astronomy, BNU September 26, 2018 ElectroDynamics, exercise class chzruan 1/25

2 第一章作业从静电场麦克斯韦方程的积分形式 E = 0( 静电场无旋 ). L E dl = 0 推导微分形式从毕奥 - 萨法尔定律 (2.8) 式推导磁场旋度和散度公式 (2.11) (2.13) 式教材第一章习题 1-7, 9, 10. ElectroDynamics, exercise class chzruan 2/25

解题实践不足, 于是采取了最有把握的办法, 把矢量关系全部用单位对称和反称张量写出来, 再按爱因斯坦规则缩并指标朗道看到以后, 大笑了几声,

3 我知道有几位中国同学曾经试考过最低标准, 但没有人真正通过于是稍事准备后就打电话到朗道家里考试定在 11 月 11 日上午, 在物理问题研究所理论室朗道自己的房间里 ( 中略 ) 记得有一道题是要简化一个比较复杂的矢量分析表达式由于我的数学知识基本上源于自学, 解题实践不足, 于是采取了最有把握的办法, 把矢量关系全部用单位对称和反称张量写出来, 再按爱因斯坦规则缩并指标朗道看到以后, 大笑了几声, 告诉我怎样走捷径郝柏林. 朗道百年. 物理, 2008(09): ElectroDynamics, exercise class chzruan 3/25

4 要用的公式证明向量 / 张量等式证明等号两边向量 / 张量的分量相等 ( 以下的分量默认是向量在直角坐标系中的 ) A B = 3 i=1 A ib i = 3 i=1 3 j=1 δ ija i B j = Kronecker( 克罗内克 ) 符号 δ ij = A B = ˆx ŷ ẑ A x A y A z B x B y B z { 1, i = j 0, i j., }{{} Einstein Convention [A B ] i = ε ijk A j B k δ ij A i B j = A j B j ; ε ijk : 单位反对称张量 ijk = 123, 231, 312 : ε ijk = 1; ijk = 132, 213, 321 : ε ijk = 1; 其他情况 ( 例如 ε 113 ε 333 )ε ijk = 0. ElectroDynamics, exercise class chzruan 4/25

5 要用的公式 ( 以下的分量默认是向量在直角坐标系中的 ) Einstein Convention: 3 i=1 A ib i A i B i ( 重复指标代表求和 ) A B = A j B j δ ij A j = A i [A B ] i = ε ijk A j B k ε ijk = ε jki = ε kij ε ijk ε lmk = δ il δ jm δ im δ jl ElectroDynamics, exercise class chzruan 5/25

6 习题 1.1 (A B) = B ( A) + (B )A + A ( B) + (A )B [ ] B ( A) i = ε ijkb j ( A) k = ε ijk B j ε klm ( l A m ) = ε ijk ε lmk B j ( l A m ) = (δ il δ jm δ im δ jl )B j ( l A m ) = B m ( i A m ) B l ( l A i ) [ ] (B )A i = (B j j )A i = B j ( j A i ) [ ] A ( B) i = ε ijka j ε klm ( l B m ) = ε ijk ε lmk A j ( l B m ) = (δ il δ jm δ im δ jl )A j ( l B m ) = A m ( i B m ) A l ( l B i ) [ ] (A )B i = (A j j )B i = A j ( j B i ) ElectroDynamics, exercise class chzruan 6/25

7 习题 1.1 (A B) = B ( A) + (B )A + A ( B) + (A )B [ RHS ]i = B m( i A m ) B l ( l A i ) + B j ( j A i ) + A m ( i B m ) A l ( l B i ) + A j ( j B i ) = B m ( i A m ) + A m ( i B m ) = i (A m B m ) = [ (A B) ] i ElectroDynamics, exercise class chzruan 7/25

8 习题 1.2 A ( A) = 1 2 (A2 ) (A )A [ A ( A) ] i = ε ijka j ( A) k = ε ijk A j ε klm ( l A m ) = ε ijk ε lmk A j ( l A m ) = (δ il δ jm δ im δ jl )A j ( l A m ) = A m ( i A m ) A l ( l A i ) = 1 2 i(a m A m ) A l ( l A i ) [ ] 1 = 2 (A2 ) (A )A ElectroDynamics, exercise class chzruan 8/25 i

9 习题 2 f(u) = df du u ; da A(u) = u du [ f(u) ]i = i f(u) = df [ ] df du iu = du u i [ A(u) ]i = ia j (u) = da i(u) du iu = ( u) da du ElectroDynamics, exercise class chzruan 9/25

10 习题 2 A(u) = u da du [ A(u) ]i = ε da k ijk j A k (u) = ε ijk du ( ju) ( ) da = ε ijk ( u) j du k [ = ( u) da ] du i ElectroDynamics, exercise class chzruan 10/25

11 习题 3.1 r = r = r r r r = x x = [ (x x ) 2 + (y y ) 2 + (z z ) 2] 1/2 [ r ]x = r x = 1 2 [ ] 1/2 2(x x ) = x [ ] x r x = r r [ r ] = r x = 1 r 同理 ElectroDynamics, exercise class chzruan 11/25

12 习题 3.1 r r 3 = 0 A = r r 3 = ˆr/(r 2 sin θ) ˆθ/r sin θ ˆφ/r r θ φ A r ra θ ra φ sin θ ˆr/(r 2 sin θ) ˆθ/r sin θ ˆφ/r r θ φ r = 0 ElectroDynamics, exercise class chzruan 12/25

13 习题 3.1 r r 3 = r ( r 3 = 0 (r 0); r ) r 3 = 4π δ3 (r) V r r 3 = 1 r 2 r r r r 3 dv = = S (r 2 1r ) 2 = 0 ( 在 r = 0 处不成立 ) r 3 ds ( 散度定理 ) ) (R 2 sin θdφˆr) = ( 1 R 2 ˆr π 0 2π sin θdθ dφ = 4π 0 ElectroDynamics, exercise class chzruan 13/25

14 习题 3.2 r, r, (a )r,..., [ E 0 sin(k r) ] r = i r i = 3 [ ] (a )r i = (a j j )r i = a j δ ij = a i ( [ E 0 sin(k r) ]) = ε [ ijk j Ek sin(k l r l ) ] [ = ε ijk Ek j sin(k l r l ) ] i = ε ijk E k [ cos(kl r l )k j ] = εijk k j E k cos(k l r l ) = [ k E 0 cos(k r) ] i ElectroDynamics, exercise class chzruan 14/25

15 习题 4.1 应用高斯定理证明高斯定理 ( 散度定理 ): 自身的面积分 ) V dv f = S ds f dv A = A ds. ( 向量场的散度的体积分配凑散度的体积分 : 考虑任意的常矢量场 c, c dv f = dv (f c) = (f c) ds = dv f = ds f (ds f) c ElectroDynamics, exercise class chzruan 15/25

16 习题 4.1 应用高斯定理证明 dv f = V S ds f 配凑散度的体积分 : 考虑任意的常矢量场 c, c dv f = dv (f c) = (f c) ds = dv f = ds f (ds f) c c ( f) = (f c)( 课堂推导 ) ElectroDynamics, exercise class chzruan 16/25

17 习题 4.2 应用斯托克斯定理证明 S ds φ = L dl φ. 斯托克斯定理 : f dl = f ds. ( 向量场的旋度的面积分自身的环积分 ) L S 配凑旋度的面积分 : 考虑任意的常矢量场 a, [ ] (φa) ds = ( φ a) ds = a 另一方面, S S [ (φa) ] ds = L φa dl = a dlφ. ds φ, ElectroDynamics, exercise class chzruan 17/25

18 习题 5 利用电荷密度的连续性方程推导电荷系统偶极矩 p(t) = ρ(x, t) x dv 的变化率为. V dp dt = J(x, t)dv V ElectroDynamics, exercise class chzruan 18/25

19 dp dt = d ρ ρ(x, t) x dv = dt V t x dv = ( J) x dv, 考虑上式的 x 分量 (y, z 分量同理 ): ( J) x dv = (xj)dv J ( x) dv V }{{} =J [ x ] = S xj ds J x dv = J x dv dp dt = JdV. ElectroDynamics, exercise class chzruan 19/25

20 习题 6 推导 (m RR ) 3 ( = m R ) R 3. (a b) = ( b) a ( a) b (m RR ) ( 3 R ) m (m ) R R 3 = (m ) R R 3 = R 3 (A B) = B ( A) + (B )A + A ( B) + (A )B ( m R ) R 3 = m ( RR ) 3 + (m ) R R 3. ElectroDynamics, exercise class chzruan 20/25

21 习题 7 ( 球对称电荷分布, 高斯面选择为球面, 高斯定律的最简单应用情形 ) ElectroDynamics, exercise class chzruan 21/25

22 习题 9 推导均匀介质内部的极化电荷密度 ( ρ P 与自由电荷密度 ρ f 的关系为 ρ P = 1 ε ) 0 ρ f. ε D = εe, D = ε 0 E + P, D = ρ f ( ρ P = P = (D ε 0 E) = ρ f + ε 0 (D/ε) = 1 ε 0 ε ) ρ f. ElectroDynamics, exercise class chzruan 22/25

23 习题 10 证明两个闭合的恒定电流圈之间的相互作用力大小相等, 方向相反电圈 1 产生磁场 B 1 (x)( 毕奥 - 萨法尔公式 ) 作用于电圈 2 产生作用力 F 12 ( 电流元在磁场中的受力公式 ) 考虑 B 1 对电圈 2 的微元 I 2 dl 2 产生的作用力 df 12 : df 12 = I 2 dl 2 B 1 = I 2 dl 2 µ 0 I 1 dl 1 r 12 4π L 1 r 3 12 F 12 = df 12 = µ 0I 1 I 2 dl 2 (dl 1 r 12) L 2 4π L 2 L 1 rr 3 12 = µ [ 0I 1 I 2 dl1 (r 12 dl 2 ) r ] 12(dl 1 dl 2 ) 4π L 2 L 1 r 3 12 r 3 12 上式括号中第二项对 L 2 的环积分为零... ElectroDynamics, exercise class chzruan 23/25

24 电圈 1 产生的磁场对电圈 2 的作用力 : F 12 = µ 0I 1 I 2 4π L 2 L 1 [ dl1 (r 12 dl 2 ) r 3 12 r ] 12(dl 1 dl 2 ) r 3 12 上式括号中第一项对 L 2 的环积分为零 : L 2 r 12 dl 2 r 3 12 = ds S 2 ( r ) 12 = 0. r 3 12 由此可得 F 12 = µ 0I 1 I 2 4π L 2 L 1 r 12dl 1 dl 2 r 3 12 F 12 = F 21. ElectroDynamics, exercise class chzruan 24/25

25 向量分析相关教材物理向电磁学拓展篇梁灿彬曹周键陈陟陶高等教育出版社专题 15 矢量代数和矢量分析 Vector Calculus, P.C. Matthews, Springer ElectroDynamics, exercise class chzruan 25/25

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