Microsoft Word - 第五讲

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褒残刁
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1 第五讲上次课 D D f, E B, B, H jf t t D EB, H, jce 边界条件 : n( D1D) f - 本构关系 - Maxwell 方程组自由面电荷分布 ( 奇性分布 ), 一般情况下 D 的法向分量连续! 同理, 对应方程 B, 容易得到 B 场的法向分量连续的结论 : n B B B B 1 n1 n 对应第 4 条公式 H jf D的积分形式为 t H dl j ds D ds t S f (1.6.) 在界面处画一个长为 l, 宽为 h 的矩形, 考虑到 h 时 H 场在 h 上的积分趋于, 可得 H 场在整个环路上的积分为 : n H h l e 1. H 1 e Hdl H1l1 Hl jf ehl Dlh t 其中 e,e 1 为界面上相互垂直的两个方向矢量, 与界面方向矢量 n 呈右手螺旋 ( 如图所示 ) 一般情况下边界处 D 是有限值, 则在 h 时, 上式右边第项为 t h 零右边第 1 项在界面存在面电流分布时不为定义 j h 为面电流分布, 我们便有考虑面内另一个方向, 可得 e H H e, (1.6.3) 1 1 f f f 1

2 e H H e 1 f 1 非常容易将上 (1.6.3)-(1.6.4) 式改写成更一般紧凑的形式 n H H 1 f (1.6.4) (1.6.5) 要证明 (1.6.5) 式, 可将矢量 H1 H分解到 e 1 和 e 方向, 再根据 n e 1 e, n e e 1 同理, 对于方程 E B, 与上面的推导比较可知, 相应的边界条件为 t n E E, (1.6.6) 故电场的切向分量连续 1 注 : (1)4 条边界条件怎么记? 可以很容易通过将 Maxwell 方程中的 n, 再将体分布 (, j ) 换成面分布, () 在绝大多数正常情况下, 电磁场的边界条件都是 E,H 场切向分量连续,D,B 法向方向连续只有当有自由面电荷 ( 流 ) 分布时, 才有 H 场与 D 场的不连续而所谓面分布, 其实是真实的体分布的一种简化, 亦即, 电荷 / 流分布在非常薄的一层介质里此时, 若我们不关心此薄层里的场分布, 则跨越这个薄层的场当然不连续课后 Project 我相信大家现在对连续宏观介质中的电磁场一定仍然没有什么概念, 建议做如下 Project, 深化理解将一个宏观介质板放置于均匀电场中, 利用电磁学的知识就可以计算出空间的场分布 (D,E, ), 此时再考虑到微观尺度, 假设介质中有很多偶极子, 则可以利用数值方法计算出微观尺度的场分布电荷分布 ; 与之前做出的结果比较, 看看有什么不同? 此时, 你就可以更深入理解介质中的电磁场方程的物理涵义第二章电磁场的守恒定律和对称性电磁场作为一种物质的存在方式, 具有能量动量以及角动量如何得到这样一个结论呢? 可以从两方面来看 (1) 假设空间存在一电磁场 E( rt, ), Brt (, ), 由置于远处的源电荷 ( 电流 ) 激发在此空间中放置一带电体, 则后者会受到电场的作用力而能量增加同时带电体运动后产生电流, 而电流又会受到磁场的作用力因此带电体的动量发生改变这些机械能及机械动量的增加不是无中生有的, 只能是电磁场本身具有的能量以及动量转化而来的你可能会 Argue 说 : 这些能量动量可以是源电荷的机械能及机械动量贡献的! source,, j object v

3 然而实验发现, 即使我们将源关掉, 在一段时间内, 空间的电磁场不会立刻消失, 仍然具有对带电体做功及改变其动量的能力, 这证明带电体的能量动量不是由源电荷 / 电流直接提供的, 而是由电磁场提供的 () 另一方面, 也可以考虑源电荷 / 电流在建立电磁场时的能量 / 动量变化以电场为例, 考虑产生最终电场的电荷是原本散落在无限远处的一系列点电荷组成的为了建立 E( rt, ), Brt (, ), 这些电荷从无限远处被准静态地一个个搬了过来在这个搬动的过程中一直必须有外力来平衡电场对电荷的作用力, 因此一直需要不断的外力对体系做功最后建立完最终的电场后, 外力在此过程中做的总功到哪里去了?- 全部转化成电磁场的能量! 动量也是完全一样的 Arguent Initial State 在电磁学的学习中, 我们利用第个图像计算了 Final State 1 电容器中静电场的总能 UE CV 以及电感中的静磁场的总能 1 UB LI 然而这样的推导不能告诉我们局域的场的能量密度我们得到能量密度只能通过相当不严格的类比下面我们将利用第一种方法来系统研究电磁场的局域能 / 动量密度外力 F=qE.1 真空中电磁场的能量守恒定律先考察电磁场对处于其中的带电体所作的功. 电磁场不能直接看到任何物质, 而只能看到物质中的电荷 / 电流, 场对一块物质的作用力是通过对其中的电荷 / 电流作用的因此研究电磁场对处于其中的电荷所作的功由于磁场作用在运动电荷的力总与其速度的方向垂直, 磁场对电荷不作功, 所以我们只需求电场对电荷所作的功即可. 若空间电荷分布为, 则 d 内的电荷为 d, 它在时间内移动的距离 dl v,v 为电荷体积元 d 的运动速度, 于是场在时间内对 d 所做的功为 E,B dr F dl de dl de v E jd 单位时间内, 场对空间某区域内的电荷所作的功为 d v 3

4 场对带电体做功增加了带电体的机械能 W, 故 dr E jd (.1.1) dw E jd (.1.) 下面我们利用 Maxwell 方程将 j 消除, 而使得方场中仅仅留下电磁场 E,B 等由麦克斯韦方程组中的第四式可见 1 E j B t 于是得到 1 ( ) j E B E E 试图将上式改写成对时间空间的全微分形式注意到矢量运算恒等式 BE EB BE t Tips : 这个公式可以通过类比矢量混合积 A BC B CA C AB, 以及注意到微分运算必须对括号内的所有量都进行, 得到可得 1 1 j E BE B E E t (.1.3) (.1.4) 上式第 1,3 项已都是全微分的形式对第项, 根据 Maxwell 方程组中的第二 B 式 E, 可得 t 1 1 B 1 B E B BB t t 也成为全微分的形式将上式代入 (.1.4) 可得令 j E EB E B t (, ) 1 SP r t EB EH (.1.5) 4

5 1 1 urt (, ) E B (.1.6) 于是利用上述这些等式,(.1.) 式可最终写成 dw S pd ud t (.1.7) S p ds ud t 将上式进一步改写为 d W ud S ds p (.1.8) 物理意义非常明晰在一个闭合空间内物理量 W ud 的增加等于从边界流入闭合空间的 S 的大小对应电荷 - 电流守恒定律, 显然前者是这个闭合空间中 p 的总能量, 而后者是能量流密度因为 W 是空间里物质的机械能量, urt (, ) 应当描述其他的能量形式, 这里其它的能量形式只能是电磁场的能量! 因此其物理意义是 r 点处 t 时刻电磁场的能量密度, S ( r, t) 即为相应的能流密度, 叫做坡印廷矢量当考察区域是全空间时, 由于电流和电荷分布在有限区域, 在无穷远边界上电磁场应为零, 故 S p 此时有 P 其中 dw dw e, (.1.9) We, u( r, t) d 为空间电磁总能量 (.1.9) 式表明机械能与电磁场能量可以相互转化, 但总和为守恒量在无源空间内没有任何其他的能量形式, W,(.1.8) 式变为 S p ( r, t) u( r, t) (.1.1) t 这与电荷守恒的连续性方程完全一样, 又一次说明了电磁场是一种与电荷无异的物质 [ 例 1] 试考察正在缓慢充电的电容器的能流解 : 设电容器由两块圆形平板构成. 它们的半径均为 r, 间距为 h, 其中电 Qt () 场为 Et (), 则电容器中的总能量为 r 5

6 1 W E r h 我们来看一下能流流动的情况在充电过程中 E 显然是时间 t 的函数, 设 E Ete () z, 则由麦克斯韦方程组的第四式 E B dl ds S t -Q(t) 可得电容器内磁场 ( 选取柱坐数系,,z ) 为 E S p 1 E E t t B e e 所以能流密度矢量为 1 E ( ) SP EB E e t +Q(t) B 其方向指向电容器中心轴线对电容器侧面积分则得流入电容器的能量为 E E S P ds E rrhr h E We, t t t 它正好等于电容器中能量的增加率这说明能量不是从导线中流过来的, 而是从电容器外面的空间中通过电容器侧面流进电容器的显然, 通常认为能量是从导线中流过来的直觉是错误的为了理解这一点, 我们可以设想电容器两端的很远处各有一些正负电荷当电荷很远时, 只有散开着的微弱的, 但却大量的场线包围着该电容器 ; 当这些电荷流向电容器时, 电容器附近的场渐渐增强, 即场线不断密集起来因此, 远处的场能量会不断地移向电容器, 最后当正负电荷分别达到电容器的正负极板时, 这部分的场能也流进了电容器. 电磁场的动量守恒定律下面要利用相似的方法考虑电磁场的动量根据力的定义, 带电体的机械动量的变化为场对带电体的作用力带电体受电磁场的 Lorentz 力, 即 dg ( dedvb) ( E jb) d fd (..1) 利用场方程把等式右边的和 j 消去, 把力密度改写成 1 E f EE B B t (..) 仿照电磁能量的推导, 我们希望能将上式改写成对时间空间的全微分先考虑时间部分, 6

7 E B EB E EB E E t t t t B 带入 (..) 式后, 再考虑所有与电场有关的项 : 1 (..3) E E E E E E E E E E (..4) 1 1 ( EE) E ( EE) ( E I ) AB B A A B. 注 : 这里用到了重要的并矢运算公式 (AB )eˆ Beˆ A A B eˆ 证明如下 i i j j j j i i i i j j 1 下面考虑 (..) 式中与磁场相关的项 B 1 项恒为的 B B, 故有与磁场相关的项为, B 与电场类比, 可以加上一 1 BBBB ( BB) ( B I ) 利用这些关系式,(..) 式可写成 f T g (..5) t 其中 T E B I EE BB 1 g EB S P c (..6) (..7) 根据 (..5-7) 及 (..1) 式, 我们就得到 dg d ds T gd (..8) 完全类似对电磁能量的讨论, 上式显示 g 就是电磁场的动量密度, 而 T 是动量流密度, 是个张量 ( 并矢 ), 这是因为动量是个矢量, 与能量不同对每个动量分量 ( 如 x 分量 ),(..8) 可以改写成悉的形式而 dg x d ds Tx g d, 即为我们熟 x 7

8 G EBd e, 就是体积内的电磁场所携带的总动量 (..9) 注 : 与电磁能量不同, 动量密度的存在要求必须有磁场另外, 我们注意到动量密度与能流密度相关, 这里有什么物理值得我们深思呢? 习题 P. 59,.1 8

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