國立成功大學 / 台南第一高級中學高中科學班 98 學年度第一階段測驗數學科試題卷 說明 : 本試題共分為填充題和計算與證明題二部分 第一部分為填充題, 每題答對得 6 分, 共 36 分 各題只需寫出答案即可, 不必寫出過程 全對才給分 第二部分為計算與證明題, 共有六大題, 每題配分皆標示於題後, 共 64 分 各題皆須寫出計算過程, 才予以計分 採部分給分方式, 請儘量作答 第一部分 填充題 1 填填看: 填入 1 到 9 的正整數 ( 可重複使用 ) 到下列 4 4 的空格當中, 使得每一列, 每一行和每一對角線的和等於各個括號中的數字 (14) 5 (16) 8 (6) 3 (30) (16) (1) (5) (13) (7) (0) 已知一個梯形的四條邊的長分別為 1,,3 和 4 試求此梯形的面積? 3 已知 a,b,c 皆為正整數, 將 (a,b,c) a b c 的值以四捨五入法取到小數點以下第二位的近似值為 1.35, 試求數對 4 5 6 4 圓內有二條弦 和, 相交於 點, 並且互相垂直 如圖 (1) 所示 若 3, 1 和 4, 試求此圓 的面積 1 3 4 5 16 17 18 19 6 15 4 5 0 7 14 3 1 8 13 1 11 10 9 圖 (1) 表格 () 5 在 k k 的正方形格子中, 將自然數依序從左上角按順時針方向, 由外而內排成螺旋狀, 如表格 () 中所示, 為 k 5 的情形 試求 : 當 k 13時, 從左上角至右下角之對角線上所有數字之和? 以表格 () 為例, 從左上角至右下角之對角線上所有數字之和 1+17+5+1+973 6 某項工作, 甲獨力完成所需的天數為乙 丙合作完成所需的天數的 m 倍, 乙獨力完成所需的天數為甲 丙合作完 成所需的天數的 n 倍, 丙獨力完成所需的天數為乙 甲合作完成所需的天數的 k 倍, 試求 m n k 的值 m 1 n 1 k 1 請翻至第 頁試題, 繼續作答 - 1 -
二 計算與證明題 1 x y 為實數且 008 x + y 1, 求 009 x y 的最大值, 並求此時的 x y (10 分 ) 如圖(3) 所示, 中,,, 若 7, 9, 3, 則?(10 分 ) 圖 (3) 圖 (4) 3 給定三角形 內部一點, 連接, 和, 並延長, 和 使得分別與對邊相交, 將三角形 分割成六個小三角形, 如圖 (4) 所示 若這六個小三角形中, 有四個面積相等, 則點 是否必為三角形 的重心? 如果是, 請說明原因 ; 如果不是, 請舉例說明 (1 分 ) 4 數列 < a n > 是由整數構成的等差數列, 已知 a10 11, S n 表示前 n 項的和, 即 Sn a1 a a3 an且 S6 0, S 7 0, S, S, S,..., S,... 中, 哪一項的值最大? 其值為何?(10 分 ) 則 1 3 n 5 如圖(5) 所示, 設 為 之 上的中線, 作一線分別交 於, 若 8, 3,, 7, 求?(10 分 ) 圖 (5) 6 ( 1) 如圖 (6) 所示, 和 R 為三射線 ; 點 在 上, 點 G 在 上, 點 在 R 上 且 //, // G, 5, 3, G 7, 試求?(4 分 ) () 如圖 (7), 已知三角形 及 邊上一點, 試求 邊上一點 N, 使 N 點到 點的距離為 N 點到 邊 的距離的兩倍 ( 注意! 本題需寫出作圖過程, 並加以證明 )(8 分 ) G R 圖 (7) 圖 (6) 試題結束 - -
參考解答 一 填充題 : 1 5 3 4 (14) 4 5 1 6 (16) 9 8 1 8 (6) 3 9 9 9 (30) (16) (1) (5) (13) (7) (0) 經過嘗試, 得知以 1 和 4 的長度為上下底, 才能構成梯形, 如右圖 過 點作 平行, 則 3, 所以, 三角形 為等腰三角 點到 的距離 3 1, 三角形 的面積 1 3 1, 4 得 3 梯形的面積 1 (1 4) 4 10 3 3 a b c 3 1.345 1.355,80.7 15a 1b 10c 81.3,a,b,c 為正整數 4 5 6 所以 15a 1b 10c 81,15a 1b為 3 的倍數, 則 c 3 或 6, 若 c 3,15a 1b 51,5a 4b 17, 則 a 1, b 3 若 c 6,15a 1b 1,5 a 4b 7,a,b, 無解 所以 a 1, b 3, c 3 4 由圓冪定理,, 得 9 過圓心 O 向兩弦做垂線, 設垂足分別為 和, 15 9 則 O 為一矩形, 且 O 3 81 169 15 O O, 所以, 圓的面積 15 4 4 5 將對角線的 13 個數字由小而大排列可得 O 1,(1+1 ),(1+1 4),(1+1 4+10 ),(1+1 4+10 4),(1+1 4+10 4+8 ), 所總和 1 13+1 46+10 38+8 30+6 +4 14+ 61385 6 設甲 乙 丙完成的天數分別為 a,b,c m n k a, b, c 1 1 1 1 1 1 b c a c b a a a b b c c 則 m, n, k, m n k ac ab bc ba ca cb b c a c b a m 1 n 1 k 1 ab bc ca ab bc ca ab bc ca - 3 -
二 計算與證明題 : 1 1 008 x y 009 x y 007 009 x (1 008 x) 當 x008 時,009 x y 008 1 (008 1)(008 1) 有最大值 009, 1 008 此時 x008 y ~ ~ 009 ; ; x 008x 1 ( x 008) 008 1 由, ( ) ( ) 7 9 ( 3) 13 3 設, 和 分別交, 和 於, 和 因為有四個小三角形的面積相等, 不失一般性, 可以假設其中有二個以 為相鄰邊 並且四個小三角形共有四種相對位置, 底下將分別討論 : (i) 如圖 (1) 所示, 因為 的面積 的面積, 所以,, 為 的中點 同理, 的面積 的面積, 所以, 為 的中點 因此, 為中線 和 的交點, 所以 是重心 (ii) 如圖 () 所示, 因為 的面積 的面積, 所以,, 為 的中點 可得 的面積 的面積, 則 的面積 的面積, 所以 的面積 的面積, 得 為 的中點 因此, 為中線 和 的交點, 所以 是重心 (iii) 如圖 (3) 所示, 因為 的面積 的面積, 所以,, 為 的中點 可得 的面積 的面積, 則 的面積 的面積, 所以 的面積 的面積, 得 為 的中點 因此, 為中線 和 的交點, 所以 是重心 (iv) 如圖 (4) 所示, 因為 的面積 的面積, 所以,, 為 的中點 可得 的面積 的面積, 則 的面積 的面積 設 : a : b, 且 圖 (1) 圖 () 圖 (3) 令 的面積 的面積 的面積 的面積 x, 的面積 的面積 y 則 的面積 : 的面積 y:xa:b, 的面積 : 的面積 x+y:3xa:b, y x y 則, 得 xy 所以 的面積 的面積, 得 為 的中點 x 3x 因此, 為中線 和 的交點, 所以 是重心 圖 (4) 6(a1 5 d) 7(a1 6 d) 4 a10 a1 9d 11, S6 0, S7 0, a 5d 0, a 6d 0, 將 a1 11 9d 代入得 1 1 7d 0, 8d 0 11 < d<, d 3, a 1 38 7 4 當 an 38+( n 1)( 3)>0 且 a n 1 38+( n)( 3)<0 時 S n 有最大值,n13,S 13 60-4 -
5 過 分別作 之平行線, 交 於 8, 11 9, 47 8 47 16 16 31 6 (1) //, 所以 ; // 5 35 G 7 3 3 () 作法 : G G, 所以, 故得 G, 即 G, 所以 1. 作射線. 在線段 上任取一點 並自 點作線段 的垂線交 邊上於 O 點 3. 以 O 點為圓心, O 線段長為半徑, 交線段 於 點 4. 連接 O 5. 過 作 N 使 N //O, 並交 邊上於 N, 即為所求證明 : R O N NR 中 O // RN N 中 O // N O O RN N O O N N O O O RN 1 得證 RN N O N - 5 -