基本對稱多項式的 選取重組還原公式 陳建燁 臺北市立第一女子高級中學數學教師 壹 動機 : 設有 5 個變數 bcde,,,,, 每次從中選取出 個變數來作 次的基本對稱多 項式, 再將這 C 個基本對稱多項式相加, 亦即 : 5 e( bc,, ) + e( bd,, ) + e( be,, ) + e( cd,, ) + e( ce,, ) + e( de,, ) + e(,, bcd) + e( bce,, ) + e (, bde,) + e (, cde,), 記作 e( bcde,,,, ) 將以上的操作, 稱作 5 個變數 bcde,,,, 的 選 變數, 次方重組 又例如 個變數 bcd,,, 的 選 變數, 次方重組, 以記號 e( bcd,,, ) 表 示 : 個變數 bcd,,,, 每次從中選取出 個變數來作 次的基本對稱多項式, 再將這 C 個基本對稱多項式相加, 亦即 :, 展開後變成 : e( bcd,,, ) = e( bc,, ) + e( bd,, ) + e( cd,, ) + e(,, bcd) ( b + c + bc) + ( b + d + bd) + ( c + d + cd) + ( bc + bd + cd) = ( b + c + d + bc + bd + cd) = e ( bcd,,, ) 注意到相加的結果, 是 個變數 bcd,,, 的 次基本對稱多項式的兩倍 不難看出, 個變數 bcd,,, 在 選取重組 的操作中, 地位是對稱的, 所 以展開後的結果, 會是所有變數所構成的基本對稱多項式 e( bcd,,, ) 的某個倍 數 本文的主要目的, 在找出一般情形之下, 所對應的倍數為何 所得之結果, 可用如下之公式表達 : 設 < n, 則有 在 e( bcde,,,, ) 中, 用 d 和 e 代表 不選 d 和 不選 e 此記號也可看成每次在 5 個變數 bcde,,,, 中, 不選 某 個變數, 來作 次的基本對稱多項式, 再將這些基本對稱多項式相加
n e(,,,,, +, +,, n) = C e(,,, n) 亦即 :n 個變數,,, n 的 選 變數, 次方重組, 會是 e(,,, n) 的 倍, 特將此式稱為基本對稱多項式的 選取重組還原公式 n C 貳 本文 : 一 記號 :. 基本對稱多項式 (Elementry Symmetric Polynomil) ( 參考資料 []) 定義 : e(,,, n) λ λ λ+ λ+ + λn = 0 λ, λ,, λn n ( λ ), 稱為 變數,,, n 的 次基本對稱多項式 例 : e (,, ) ( λ λ λ ) = + + λ+ λ+ λ= 0 λ, λ, λ 例 : e 0 ( bc,, ) =, e ( bc,, ) = + b+ c, e (, b, c) = b + bc + c, e (, b, c) = bc n 例 : ( x )( x b)( x c) = x e( bcx,, ) + e( bcx,, ) e( bc,, ). e + + n (,,,,,,,, ) i< i< < i e (,,, ) i i i, 稱為 變數,,, n 的 選 變數, 次方重組 例 : 變數,,,, 5的 選 變數, 次方重組 為 e(,,,, 5) e (,, ) i< i< i 5 i i i 例 : 變數,,,, 5, 6, 7的 選 變數, 次方重組 為 e(,,,, 5, 6, 7) e (,,, ) i< i< i< i 7 i i i i 基本對稱多項式尚有另一種定義方式 ( 參考資料 []): e(,,, n) i< i< < i i i i 例 : e (,, ) = + + i< i i i
二 探索與論證 : ( 一 ) 從 e(,,,, 5) 開始 : 變數,,,, 5的 選 變數, 次方重組 e(,,,, 5) i< i< i 5 e (,, ) i i i = e(,, ) + e(,, ) + e(,, 5) e = ( + + ) + ( + + ) 5 5 先看展開式中, 出現的次數 : + (,, ) + + e (,, 5 ) + ( + + ) + ( + 5+ 5) + 注意到 必出現在形如 e(,, i ) 的式子之中, 其中 i =,,5, 因此 出現了 次 可以說, 對於 e(,, i ), 在 5 個變數,,,, 5之 中, 必有,, 還要從剩下的,, 5三個變數中再選 個, 方法數為 C = 5 而 C 可解釋為 C, 上標 5, 來自於,,,, 5扣除, ; 下標, 是由於 e (,, i ) 的括號中, 個位置扣除前 個保留給,, 還有 個位置要決定 再來, e (,,,, 5 ) 展開後, 是形如 i ( 其中 i< 5) 的項相 加, 由對稱性, 可知任一 i ( 其中 i< 5) 的出現次數, 和 出現的 次數是一樣的, 也是 C 由以上討論可知, 5 e(,,,, 5) 5 = C < i 5 5 ( ) = C e (,,,, ) 而從上述的討論, 已可想像接下來的一般情形 i 5
( 二 ) 一般情形 : 變數,,, n 的 選 變數, 次方重組 e (,,,,,,,, ) + + n i< i< < i e (,,, ) i i i + (,,, ) = e(,,, ) + en + n + n = ( + ) + 先看展開式中, 出現的次數 : 注意到 必在形如 e(,,,, b, b,, b ) 的式子之中出現, 且恰出現一次 而 e(,,,, b, b,, b ) 之中的 b, b,, b 這 個 n 數, 是從 +,,, +,, n這 n 個數中選出, 其選法有 C 種 因此, n e (,,,, b, b,, b ) 的式子, 共有 C 個 於是, 一共 形如 n 出現了 C 次 可以說, e(,,,, b, b,, b ) 的括號中, 共有 個位置的變數 : 前 個位置的變數保留給,,,, 還有 個位置的變數要決定, 先用 代號 b b,,, b 表示 而在 n 個變數,,, n 之中, 已用去,,,, 所以是從剩下的 +,,, +,, n這 n 個變數, 選出 個, 來當作 n b, b,, b, 因此方法數為 C 再來, e(,,,,, +, +,, n) 展開後, 是形如 i i i ( 其中 i < i < < i ) 的項相加 由對稱性, 可知任一 ( 其中 i i i i < i < < i ) 的出現次數, 和 出現的次數是一樣的, 一樣是 C n
故由以上討論可知, e (,,,,,,,, ) + + n n n ( i ) i i C e n i< i< < i = C = (,,, ) 亦即 :n 個變數,,, n 的 選 變數, 次方重組, 會是 e(,,, n) 的 倍, 特將此式稱為基本對稱多項式的 選取重組還原公式 n C 再舉一例印證 : 對於變數,,,, 5, 6, 7的 選 變數, 次方重組 ( 即 取 n = 7, =, = ): e(,,,, 5, 6, 7) i< i< i< i 7 e (,,, ) i i i i 可先看 在展開之後的出現次數 : 因為 必在形如 e(,,, b ) 的式 子之中出現且恰出現一次, 而形如 e(,,, b ) 的式子一共有 C 個 ( 從, 5, 6, 7選一個來當 b ), 所以 會出現恰好 C 次, 同理, 其他的,, 5 6 7 的出現次數, 一樣也 是 C, 所以有 e(,,,, 5, 6, 7) = C ( + + ) 5 6 7 = C e (,,,,,, ) 5 6 7 = C e (,,,,,, ) 7 5 6 7 參 結語 : 本文從一個簡單的問題出發 : 個變數 bcd,,, 的 選 變數, 次方重組, 亦即求 e( bcd,,, ) = e( bc,, ) + e( bd,, ) + e( cd,, ) + e(,, bcd) 原本這只是個多 元多項式的代數問題, 但問題本身所帶有的 對稱性, 使得此問題轉化為一 組 合計數 問題, 經過試驗 歸納與論證之後, 解決了此一問題 : n e(,,,,, +, +,, n) = C e(,,, n) 此式的有趣之處在於, 對稱性地每次取出一些變數來作基本對稱多項式, 全 5
部相加之後的結果, 又 還原 成了全部變數所構成的基本對稱多項式的某個倍數, 因此將之稱為基本對稱多項式的 選取重組還原公式 基本對稱多項式, 位於代數與組合的交界, 也可以說, 本文呈現了此代數式的一種組合面貌 參考資料 :. 陳建燁, 對稱多項式的 e-h 恆等式 ( 上 ), 高中數學學科中心電子報第 期, 07 年 7 月. Mcdonld,Symmetric Functions nd Hll Polynomils 6