標題

行列式與其應用 甲 二階行列式 引入二階行列式 : 解二元一次方程組 :, 其中, 是未知數, 我們使用代入消去法解之 當 時, 解得唯一解 : 為了簡化過程與符號, 定義二階行列式 定義 : 當,,,d 為 個數, d d 它是左上與右下的乘積減去右上與左下的乘積 引入二階行列式的符號之後, 重新考慮解 的過程, 可得, 其中,, 當 時, 方程組,, [ 此稱為克拉瑪公式 ] 當, 方程組有無限多解 當, 而 有一不為 時, 方程組無解 k [ 例題 ] 試就實數 k 之值, 試討論方程組 k Ans:k 且 k, 方程組有唯一解 ;k, 解 t,t;k, 無解 ~~

練習 就 k 值討論方程式的解 : Ans: 當 k, k k k k 時, 恰有一組解, 當 k 時, 有無限多組解, 當 k 時, 無解 二階行列式的性質 : d d 有一列 行 全為, 其值為, 每一列 行 可提公因數 k k k, k k k 兩列 行 互換, 其值變號, d 一列 行 乘以一數加至另一列 行, 其值不變 k k, k k [ 例題 ] 設 d, 求 d? 求 d d 7 5 7 5? Ans: 86 練習 求 9 5 Ans:78 ~~

練習 試解下列方程式, - Ans:5 或 練習 若 d 5, 則求 d - 5 -d 5d Ans:6 85 乙 三階行列式 三階行列式的定義 : 給定一個 階方陣,A 個算式稱為方陣 A 的行列式, 記為 deta 定義一 : 直接展開, 根據這個方陣 A 的元, 可以定一出一 速算法則 : 定義二 : 降階展開 三階行列式可根據某一行或某一列降成二階行列式 就第一列展開 就第一行展開 就第二列展開 k i,k,, ki 為去掉 ki 所屬的行 列所得到的二階行列式 i ki ki k i,i,, ki 為去掉 ki 所屬的行 列所得到的二階行列式 k ki ki ~~

例如 : 計算行列式 9 8 7 6 5 的值 三階行列式的性質 : 利用降階展開可以得到一些性質 行列互換, 其值不變 每一列 行 可提公因數 k k k k [ 說明 ]: k k k k k k k k ~~

兩列 行 互換, 其值變號 第一三列互調 第一二行互調 [ 說明 ]: d 兩列 行 成比, 其值為 k k k [ 說明 ]: k k k k k [ 按第三列展開 ] e 一列 行 乘以一數加至另一列 行, 其值不變 k k k [ 說明 ]: 按第三列展開 k k k k k k k k k ~5~

行列式計算時之注意事項 : 降階求值 : 利用 e 之性質, 將行列式化至某一行 列, 的各項中, 出現至多一個不為, 再利用該行 列降階求值, 因為其他二項皆為, 因此只需計算一個二階行列式即可 觀察各行 列是否有公因數 式, 若有, 提公因數 式, 以簡化數字 觀察各行 列是否有成等差, 若有可利用 e 之性質, 將行列式化某一行 列會成比例 d 觀察各行 列, 逐項相加是否相等, 若相等可利用 e 之性質, 將其加到某一項, 再提公因數, 降階求值 [ 例題 ] 計算下列行列式 : 8 9 5 8 5 5 6 7 8 9 Ans:78 89 ~6~

[ 例題 ] 證明 : [Vndermonde 行列式 ] [ 例題 5] 證明 : d g e h f i d g e h f i d g e h f i / / / / / / 設 5, 則?Ans:55 ~7~

練習 5 計算下列行列式的值 : 9 8 6 6 7 8 6 9 9 89 88 999 Ans: 8 9 練習 6 因式分解下列行列式 : Ans: 練習 7 解方程式 : 9 5 5 Ans:5, 練習 8 設 z r q p, 求 r q p z r q p z? Ans: 練習 9 計算下列行列式 : Ans: 丙 行列式的應用 設平面上有三點 A,,B,,C,, 則 ABC 的絕對值 的絕對值 [ 證明 ]: 設 AB, AC, ABC 的面積 AB AC AB. AC ] [ ] ][ [ ~8~

z 若, 且,, 中至少有一個不為, d e fz d e e f f d 則 ::z : : e f f d d e z z [ 證明 ] 假設, d e d e fz d e fz z z fz e, d fz d e d e z z fz e ::z : d e d e 從空間向量的觀點來看 : d fz :z e : : f f d d e 設 A,, Bd,e,f, n,,z, z 代表 A n 且 B n n // A B, d e fz 又因為,, A B sinθ, 所以 A B e f f d d e e f,, f d d e 由,,,,,,,, 三向量 所展成的平行六面體的體積 的絕對值 [ 證明 ]: 平行六面體的體積 β α 由 所展成的平行四邊形面積 高 由 所展成的平行四邊形面積 sinα 高 在 方向上的投影長度 osβ 的絕對值 平行六面體的體積 與,β 為 osβ 的夾角,,,, ~9~

表三相異直線, L 相交於一點 設 L : L : L : 則 L L [ 證明 ]: 設, 為 L L L 的交點 意 : 這個命題的逆命題不成立 反例呢? [ 例題 6],,,,, 求 AB,AC,AD 為相鄰三邊的平行六面體體積 四面體 ABCD 的體積 ABC 的面積 Ans:6 注空間四點 A,B,,C,,,D, 9 ~~

[ 例題 7] 空間中四點 A,, B,,t C,,5 D,5,t 若 A,B,C,D 四點共面, 求 t? 若四面體 ABCD 的體積為 6, 則 t? Ans:5 7 或 7 v v v [ 例題 8] 空間三向量 u u, u, u, v, v, v, w w, w, w 所張成的平行四面 v v v v 體的體積為 5, 則由 u,,w 所張成的平行六面體的體積為?Ans: [ 例題 9] 相異三直線 L :k,l :k,l :k 不能圍成一個三角形, 求 k 值 Ans:k 或 6 練習 設 z, 若 5z,7z 則 ::z? z zz5 z? Ans:: 練習 設 ABC 之三頂點為 A, B, C,k, 若 ABC 的面積為, 則 k? Ans: 或 練習 三直線 k,k7,9k 相交於一點, 求 k? Ans:k 或 ~~

練習 設坐標空間中四點 A,, B,, C,5, D,, 求 ABC 的面積 求 AB AC AD 所決定的平行六面體體積 Ans: 9 88 丁 行列式的其他應用 [ 例題 ] 根與係數的關係配合三階行列式 設,, 為方程式 5 之三根, 則? Ans: 5 8 [ 例題 ] 設,, 是 ABC 之 A, B, C 的對邊長, 試求 sina sinb sinc 之值 Ans: [ 例題 ] 化簡 Ans: ~~

練習 若,, 為 7 之三根, 試求 練習 5 設 ABC 的三邊長為,, 且三內角的度數為 α,β,γ 若 sinα sinβ 試求 Cos 之值 Ans: sinγ 之值 Ans: 練習 6 設 ω 為 的虛根, 請計算 ω ω ω ω ω ω?ans: 綜合練習 下列選項中的行列式, 那些與行列式 A D B E C 相等? 88 學科 計算下列各行列式值 : 7 85 6 5 9 68 9 6 7 5 6 5 8 7 6 試證明下列各小題 : ~~

將行列式 展開得到多項式 f 下列有關 f 的敘述, 何者為真? A f 是一個三次多項式 B f C f D f E f 5 89 學科 5 若 7, 求下列各小題的值 : 5 5 5 6 空間中三向量 u u,u,u, v v,v,v, w w,w,w 所張平行六面體體 u u u 積為 v v v 的絕對值 今已知,, 三向量所張平行六面體體積為 w w w 5, 求,, 三向量所張平行六面體體積 7 設 A,,,B,,,C,,,Dt,t, 為空間中不共面四點, 試以 t 表出由 AB,AC,AD 所決定的平行六面體體積 設 ABCD 決定的四面體體積為, 求 t 8 空間中四點 A,,,B,,,C,,,Dk,, 若共平面, 試求 k 值 若不共平面四面體 ABCD 的體積為, 則 k 值為何? 9 坐標平面上, 相異三點 A, B, C,, 試證明若 A B C 三點共 線, 則 osθ 設 θ π 8, 請計算 osθ sinθ osθ osθ sinθ 進階問題 sin θ sinθ? osθ ~~

設坐標平面上三點 P, P, P,, 其中 互異 請證明 : 恰存在一組實數,,, 使得函數 的圖形通過 P P P 三點 計算 g g g f f f, 其中 f,g 綜合練習解答 BC 6 5 略 ABCD 5 9 6 7 t8 6 或 8 k 5 k9 或 9 9 [ 提示 : ABC] [ 提示 : 若函數 的圖形通過 P P P 三點 即,, 為方程組的解, 因為 w v u w v u w v u 此方程組恰有一解 ] ~5~

~6~