翁秉仁教授本著作除另有註明, 所有內容取材自作者翁秉仁教授所著作的微積分講義, 採用創用 CC 姓名標示 - 非商業使用 - 相同方式分享 3.0 台灣授權條款釋出

函數與圖形方程式與平面曲線隱函數反函數反三角函數連續函數與極限與自然對數函數與圖形方程式與平面曲線隱函數反函數反三角函數連續函數與極限與自然對數

函數與圖形方程式與平面曲線隱函數反函數反三角函數連續函數與極限與自然對數函數定義函數必須滿足兩個條件 : 在定義域中的每一元素只能對應一個函數值即不能一對多, 因此垂直於軸的直線與函數圖形的交點不能超過兩點定義域中的每一元素都都必須有對應的函數值

函數與圖形方程式與平面曲線隱函數反函數反三角函數連續函數與極限與自然對數單變數 :R R 多項式函數 : = () = + + 1 + 0 = 2 2 = ( 2 1)( 2 4)

函數與圖形方程式與平面曲線隱函數反函數反三角函數連續函數與極限與自然對數單變數 :R R 有理函數 : = () = () () 其中 (), () 為多項式函數 = 2 1 = 1 + 4 +1

函數與圖形方程式與平面曲線隱函數反函數反三角函數連續函數與極限與自然對數單變數 :R R 三角函數 : = =

函數與圖形方程式與平面曲線隱函數反函數反三角函數連續函數與極限與自然對數單變數 :R R = = = =

函數與圖形方程式與平面曲線隱函數反函數反三角函數連續函數與極限與自然對數單變數 :R R 基本的指數和對數函數圖形 : = 2 = 10 ()

函數與圖形方程式與平面曲線隱函數反函數反三角函數連續函數與極限與自然對數多變數 :R R 雙變數函數 = 2: = (, ) = 2 + 2 = 2 2

函數與圖形方程式與平面曲線隱函數反函數反三角函數連續函數與極限與自然對數多變數 :R R 多變數函數 : = ( 1, 2,..., ) 例 : (,, ) = 2 + 2 + 2 ( 空間一點與原點的距離 ) ( 1, 2,..., ) = 1 ( 1 + 2 +... + ) ( 平均值 )

函數與圖形方程式與平面曲線隱函數反函數反三角函數連續函數與極限與自然對數參數式 :R R 2 參數式 : () = ( + α, + β) 平面直線參數式 () = ( + α, + β, + γ) 空間直線參數式 () = (, ) 單位圓的參數式

函數與圖形方程式與平面曲線隱函數反函數反三角函數連續函數與極限與自然對數數列 :N R 數列 : 數列表示為 = (), = 1, 2, 3, 4... 例 : = = 1

函數與圖形方程式與平面曲線隱函數反函數反三角函數連續函數與極限與自然對數平面曲線敘述 : 常見的平面曲線圖形通常可以用 : (, ) =, 為常數來表示 (, ) = 的圖形就是 R 2 中所有滿足方程式 (, ) = 的點例 : = 2 =

函數與圖形方程式與平面曲線隱函數反函數反三角函數連續函數與極限與自然對數二次曲線 2 + 2 = 1 2 + 2 = 1 2 2 2 2 = 1 2 = 4 2 2

函數與圖形方程式與平面曲線隱函數反函數反三角函數連續函數與極限與自然對數隱函數 (, ) = 的圖形可以逐段拆解成一些函數圖形的組合這些函數 = () 不見得可寫出明顯的函數公式, 因此稱為隱函數, 並滿足 (, ()) = 例 : 2 = = ± = =

函數與圖形方程式與平面曲線隱函數反函數反三角函數連續函數與極限與自然對數方程式圖形的對稱性當函數 (, ) 有一些特別性質時, 它對應的圖形 Γ { (, ) R 2 (, ) = }, R 就會具備一些對稱性性質 : (, ) = (, ) Γ 對軸對稱 (, ) = (, ) Γ 對軸對稱 (, ) = (, ) Γ 對原點對稱 (, ) = (, ) Γ 對 = 對稱註 : 反敘述並不成立

函數與圖形方程式與平面曲線隱函數反函數反三角函數連續函數與極限與自然對數補充內容如果 () 滿足 ( ) = (), () 稱為偶函數, 且 () 函數圖形對稱軸如果 () 滿足 ( ) = (), () 稱為奇函數, 且 () 函數圖形對稱原點例 : 偶函數 : = 4 2 2 + 6 奇函數 : = 5 7 3 +4

函數與圖形方程式與平面曲線隱函數反函數反三角函數連續函數與極限與自然對數反函數定義定義 : 兩函數 (), () 如果滿足 ( ()) = 且 ( ()) = 則稱 () 是 () 的反函數註 : 反函數的圖形與原函數圖形對稱 = 例 : = 3 = 1 3 = 2 = 2 ()

函數與圖形方程式與平面曲線隱函數反函數反三角函數連續函數與極限與自然對數反運算例子 = 2 反函數為 = 2 = ± 正確嗎詳情請見課堂說明 = 2 = 2

函數與圖形方程式與平面曲線隱函數反函數反三角函數連續函數與極限與自然對數反三角函數的定義域與值域 1 [ 1, 1] [ π 2, π ] 2 1 [ 1, 1] [0, π] 1 R [ π 2, π ] 2 1 R [0, π] 1 (, 1] [1, ) [ 0, π ) ( π 2 2, π] 1 (, 1] [1, ) [ π 2, 0) ( 0, π ] 2

函數與圖形方程式與平面曲線隱函數反函數反三角函數連續函數與極限與自然對數反三角函數的圖形 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1

函數與圖形方程式與平面曲線隱函數反函數反三角函數連續函數與極限與自然對數反三角試算例子例 : 計算 ( 1 ) ( ) 圖正常角, 即 0 1 0 1 π 2 ( 1 ) = θ = 1 2 ( ) 圖廣義角, 即 1 0 π 2 1 0 ( 1 ) = θ = 1 2 詳情請見課堂說明正常角廣義角

函數與圖形方程式與平面曲線隱函數反函數反三角函數連續函數與極限與自然對數連續函數 () 是連續函數, 必須滿足對定義域中的每一點, 在附近的點都會對應到 () 的附近已知事實 : 我們所熟悉的基本函數在有定義的地方都是連續函數例 : () = 2 是連續函數 () = 1 在 0 時連續

函數與圖形方程式與平面曲線隱函數反函數反三角函數連續函數與極限與自然對數數列的極限給定一數列, = 或數列的極限為的意思是隨著變大, 終究會落到的附近例 : = 1 = 0 =, 則極限為無窮大或沒有極限 = ( 1), 則沒有極限

函數與圖形方程式與平面曲線隱函數反函數反三角函數連續函數與極限與自然對數夾擊法或三明治法夾擊法或三明治法 : 若且 = = 其中是常數, 則 = 例 : = = 0

函數與圖形方程式與平面曲線隱函數反函數反三角函數連續函數與極限與自然對數極限四則運算性質 : 設是實數, 若 =, =, 則 ( ± ) = ± ( ) = 如果 0, = 若 () 在連續, 則 ( ) = ()

函數與圖形方程式與平面曲線隱函數反函數反三角函數連續函數與極限與自然對數函數的極限函數 () 在逼近有極限, 記為 () =, 其意義為在附近的點 ( 不包含 ) 其函數值 () 都會落到的附近性質 : 若 () 在點連續, 則 () = ()

函數與圖形方程式與平面曲線隱函數反函數反三角函數連續函數與極限與自然對數函數極限的四則運算與例子性質 : 設是實數, 若 () =, () =, 則 ( () ± ()) = ± ( () ()) = 若 0, () () = 若 () 在連續 ( ()) = ()

函數與圖形方程式與平面曲線隱函數反函數反三角函數連續函數與極限與自然對數函數極限之例子 () () 例 : () = 2 說明 : 是重要的函數極限 () () 2 2 = = + = 2

函數與圖形方程式與平面曲線隱函數反函數反三角函數連續函數與極限與自然對數函數極限之例子例 : 0 = 1 說明 : 1 2 1 1 2 12 1 1 2 1 詳情請見課堂說明

函數與圖形方程式與平面曲線隱函數反函數反三角函數連續函數與極限與自然對數函數極限之例子右極限 () 和左極限 () + 例 : () = 說明 : = 0 但是不存在 0 + 0 無窮遠的極限 () = ± 例 : 2 +1 = 1 和 2 +1 = 1

函數與圖形方程式與平面曲線隱函數反函數反三角函數連續函數與極限與自然對數自然數 (1 + 1 ) 存在請見課堂說明註 : 2.71828 其他相關極限的形式 : (1 1 ) = 1 (1 + 1 ) = (1 + 1 ) = 0 (1 + ) 1 =

函數與圖形方程式與平面曲線隱函數反函數反三角函數連續函數與極限與自然對數自然指數與對數函數說明 : 以為底的指數函數稱為自然指數函數以為底的對數函數稱為自然對數函數後者通常記為自然對數極限例子 : 例 : 1 1 = 1 1 1 = 1 見課堂說明

翁秉仁教授 本著作除另有註明, 所有內容取材自作者翁秉仁教授所著作的微積分講義, 採用創用 CC 姓名標示 - 非商業使用 - 相同方式分享 3.0 台灣授權條款釋出

翁秉仁教授本著作除另有註明, 所有內容取材自作者翁秉仁教授所著作的微積分講義, 採用創用 CC 姓名標示 - 非商業使用 - 相同方式分享 3.0 台灣授權條款釋出