第 卷第 期 年 月 杭州师范大学学报 自然科学版!"#"$%% &" $& 3-- 方程的多辛 "&&!! 格式 王俊杰 王连堂 杨宽德 普洱学院数学系 云南普洱 西北大学数学系 陕西西安 摘 要 43!3 方程作为一类重要的非线性方程有着许多广泛的应用前景 基于 :#"$& 空间体系的多辛理论研究了 43!3 方程的数值解法 讨论了利用 $"#&& 方法构造离散多辛格式的途径 并构造了一种典型的半隐式的多辛格式 该格式满足多辛守恒律 局部能量守恒律 数值算例结果表明该多辛离散格式具有较好的长时间数值稳定性 关键词 :#"$& 系统 $"#&& 格式 多辛算法 43!3 方程中图分类号 - 文献标志码 - 文章编号 引 言 由冯康先生开创的 :#"$& 系统的辛几何算法发展至今 在理论上已较为完善 由于这一算法具有长时间的数值稳定性 能够很好地保持 :#"$& 系统的辛几何结构的性质 在现代物理学和力学研究中发挥着重要作用 在实际研究与实践中 有许多问题需要进行长时间的数值模拟计算 因此 对具有长时间数值行为的辛算法的研究具有重要的理论与实际意义 近年来 孤立波方程定解问题的研究一直是科学研究的一个热门课题 取得了丰硕的研究成果 在许多物理领域具有重要意义 本文研究一类具有重要意义的 43!3 方程 " " $ " $ " $ 本文在第二节里验证了变 43!3 方程组具有 :#"$& 多辛格式 并证实此格式具有多辛守恒律 局部能量守恒和动量守恒 第三节给出了 43!3 方程的离散多辛 $"#&& 格式 并证实此格式在离散格式下仍保持多辛守恒律 在第四节给出了一个数值模拟 验证了本文的算法不仅简单 而且有长时间的稳定性 43!3 方程的多辛形式及守恒律 根据 $ 关于多辛的定义 一切耗散效应可以忽略的方程都可以写成下列哈密顿偏微分方程的形 式 #4 :4 $ 4 4%4 收稿日期 作者简介 王俊杰 男 讲师 硕士 主要从事偏微分方程研究!"#$#&&$$&#"
杭州师范大学学报 自然科学版 年 #: 4 是反对称矩阵 % 是光滑函数 称为 :#"$& 函数 4% 为函数 %4 的梯度 满足多辛守恒律 具有能量守恒律 对系统 引入正则动量 " " - " "$ + " " - &4#&4 + &4:&4 &4&4 " " " "$ " " %4 4 :4 $ 4 4 4 :4 4 4 " $" -" $ " " $ 方程 可以变为等价的哈密顿偏微分方程的形式 " $ -$ " " - "$ " 定义状态变量 $ " 4 "- 可以把方程 写成哈密顿偏微分方程的形式 # - - : - %4" " - 方程 满足多辛守恒律 - &"& &"&+ && &"&-&"& 方程 具有能量守恒律为 " " - $ -"$ "-$ $ " "
第 期 王俊杰 等 43!3 方程的多辛 $"#&& 格式 -" "- " " 多辛 $"#&& 格式及离散守恒律 多辛形式的一个重要性质是 它的局部守恒的概念 多辛是 :#"$& 偏微分方程的一个几何性质 我们用数值方法模拟多辛偏微分方程时 自然希望能反映这个性质 基于这个想法 $ 和 $ 引入了多辛积分的概念 即一种能保持多辛守恒律的离散数值方法 求解多辛 :#"$& 系统 离散格式可表示为 # 4 : $4 4 " " " $" " " $ " " " 定义 称数值方法 为多辛积分 如果其满足如下离散多辛守恒律 - - &4 4%4 $+ #&4 + &4 :&4 &4 :&4 在进行数值求解偏微分方程组 希望我们构造的数值方法严格满足上述守恒律 即具有多辛性质 首先对多辛偏微分方程组进行离散 本文采用 $"#&& 格式对偏微分方程组 进行离散 " " " " $ " " $ " " - " - " $ 定理 离散格式 是多辛格式 且保持下面的离散多辛守恒律 - - &" - $ $+ & &" & + & & &" &- &" &
杭州师范大学学报 自然科学版 年 证明 对方程 变分可以得到 的变分形式为 # &4 : $&4 对方程 与 &4 做外积 注意到 我们可以得到离散守恒律 &4 44%4 &4 44%4 &4 &4 对非线性 :#"$& 系统 离散局部能量和动量守恒律不能精确满足 但是可以定义下面局部能量误差 定义 记 称 是局部能量误差 " $ $ " - $" - " $- $ " " - " " - " " 数值计算 为了说明多辛方法的诸多优点 本文用中心 $"#&& 多辛格式 并以此离散 43!3 方程 考虑下面 43!3 方程初值问题 " " $ " $ " $ " $ 情形 当取定参数 初值函数可表示为 则初值问题 具有如下孤子解 $ 槡 $ "$ 槡 $ 取时间步长 空间步长 $ 利用中心 $"#&& 多辛格式 在区间 $ 内模拟孤子解 得到 43!3 方程 的数值解 数值解 的演化过程如图 同时图 给出了 时段内的局部能量误差
!第"期 王俊杰"等% crq3q 方程的多辛 B 488 格式 2"! % T#" PT!" T % T#" PT!" T 图! 数值解 F 随时间的演化图 图! 精确解 F 随时间的演化图 & 4G J 4 : 9 43F:4 -!C9 & 4G J 4 : 9 44 N -!C9 8 F 3F 8 F 3F 图 A! 局部能量误差 & 44 8 9 4 3 8 4 J 3 G8 -A!C9 488 多 辛 格 式 模 拟 的 孤 子 解!!2#"得 到!! 从以上数值结果我们发现"利用本文构造 的 多 辛 中 心 B 的波形和波速都不随时间变化而变化"这说明多辛格式能够很好的保持孤子解的基本几何性质"并具有良 好的长时间数值行为 参考文献#!F8N 89P +4 8>4= V = - => - > < 8V R 8M >8d= 8 Na Q B" 4#$$" "! #% #% $" #F8N 89P"H 8 Q89 <"G89` V +4 8>4= 4 >V 88 8 d= 8 NF4-= Q E-" 4#$$#" 2! I %#%!$%"!!$ a =G 89 89"H 8 Q89 <Q= 94 488 4V RBd= 8 NN Q 48> 4= 4B" #$$#" 2! I#% 2$$ 2$ 2G 8` 84 8"H 8Q89 <"c89`894 8"! "# $G4= 8=4 4 >V M B ^ Y d= 8 NF4-= 4-
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