杭州师范大学学报自然科学版年 ' 对式在处采用中心差分离散 ' ' ' ' ' ' ' ' ' 则得到 ' - ' - 即 ' ' 简记形式如下 ' ' ** 再次取如下形式近似则式化为 ' ' ' ' 在和处离散边界条件可得 ' ' ' ' 故 ' " ' " ' "" ' 当时

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贺时
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1 第卷第期年月杭州师范大学学报自然科学版!""%% &'",," 非线性热传导方程的反演计算杨浩赵丽玲杭州师范大学理学院浙江杭州摘要讨论非线性热传导方程确定未知热导率分布的反问题由于热导率与空间和时间有关先将非线性方程近似转化成线性方程再通过中心差分离散采用步进格式得到求解网格节点温度的迭代方程并讨论迭代方程的数值稳定性最后结合广义交叉校验 >0 准则和 3; 正则化方法反演计算出与空间位置和温度有关的热导率数值模拟结果表明该方法可行有效关键词热传导方程反问题正则化方法中图分类号 -1:: 文献标志码. 文章编号 " 热传导参数反演问题主要是从温度场的某些观测信息来获取介质本身的热传导的性质即从给定集合上的解来确定热传导方程的未知系数对于反系数问题与位置和温度有关的热导率的非线性热传导方程反演计算问题文献 % 对热传导方程的反演计算也进行了一些研究在此基础上本文对一些非线性热传导方程进行反演计算从而为热传导参数的确定提供了更加完善的解决方案问题模型离散及迭代格式 8 -". - 其中为待求未知量采用均匀的网格剖分如下其中 8 补充定义因为是的函数所以可令 ' 则收稿日期通信作者赵丽玲女应用数学专业硕士研究生主要从事科学计算研究 %&'@@+&

2 杭州师范大学学报自然科学版年 ' 对式在处采用中心差分离散 ' ' ' ' ' ' ' ' ' 则得到 ' - ' - 即 ' ' 简记形式如下 ' ' ** 再次取如下形式近似则式化为 ' ' ' ' 在和处离散边界条件可得 ' ' ' ' 故 ' " ' " ' "" ' 当时式可化为当时当时当时写成矩阵方程组即 ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' 这里是 D 阶严格三对角占优矩阵其中 ' " ' ' ' '

3 第期杨浩等非线性热传导方程的反演计算 3 ' 当时式化为 ' ' 当时式化为 ' ' ' ' ' ' " ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' 3 " ' ' ' ' ' 当时即为式把离散格式写成矩阵方程组的形式则有其中是 D 阶严格三对角占优矩阵是三对角矩阵 ' 另外和可改写为 " ' 3 ' " ' ' ' ' ' 3 ' 其中的主对角元素为 ' ' 的次上三对角元素为 ' ' 的次下三对角元素为迭代增量 ' ' ' ' ' 误差函数这里选择函数类 ' 0 8 && ' - ', 为了使 8 最小令 8 关于的偏导数均为零即分别对 8 用中心差分近似 " 8 8 8

4 杭州师范大学学报自然科学版年 " " " 分别对 8 用二阶公式近似 " 8 " 8 " 8 " 8 " 8 " 分别对 8 用二阶公式近似 " " " " 分别对 8 作泰勒展开近似得到牛顿迭代格式 ""D "D "D "D ""D "D "D "D. ""D "D "D "D ""D "D "D "D 其中为的迭代改善增量是偏导数的离散步长关于取相同的离散步长记 ')111 为所给热导率初始猜测值与热导率真值的初始相对误差 ')111 为第一次反演计

5 第期杨浩等非线性热传导方程的反演计算算后热导率 ' 与热导率真值的相对误差即 ')111- ' ---')111 为第二次反演计算后热导率与热导率真值的相对误差即 ')111- ' --- 并比较这个相对误差这里选用 3; 正则化方法定义正则化解为 &-- -- 其中是正则化参数此处运用广义交叉校验 >0 准则方法来确定正则参数 '1&- - 1'+)5)) 5 再用 3 ; 正则化方法求解与文献类似在具体计算过程中可以直接调用 &'' 软件包中的程序数值试验这里假设 ' 形式为 ' 首先反演计算系数再反演计算这里的系数为例设其精确解为槡. - - ) 初始值选为 * 即热导率的精确解为这里在空间和时间上采用相同的等分的网格剖分如表表所示表中第一列为牛顿迭代格式离散步长的取值皆为正则化后的结果表不同的误差的变化 + " "* + 离散步长正则化后的结果热导率的相对误差 ) ')111 ')111 ) ')111 ')111 ) ')111 表不同的误差的变化 +-+ " "* +-+ ')111 离散步长正则化后的结果热导率的相对误差 ) ')111 ')111 ) ')111 ')111 ) ')111 例设. - - ')111

6 杭州师范大学学报自然科学版年其精确解为槡 ) 初始值选为 * 即热导率的精确解为这里在空间和时间上采用相同的等分的网格剖分如表表所示表不同的误差的变化 -- " "* -- 离散步长正则化后的结果热导率的相对误差 ) ')111 ')111 ) ')111 ')111 ) ')111 表不同的误差的变化 + " "* + ')111 离散步长正则化后的结果热导率的相对误差 ) ')111 ')111 ) ')111 ')111 ) ')111 例设 D. - - ')111 即热导值的精确解为初始值选为这里在空间和时间上采用相同的等分的网格剖分如表图图所示通过比较表以及图图当给定初始值初始误差为经过适当的离散正则化计算后的误差可以降至表 + 不同的误差的变化 + +" "* + 离散步长正则化后的结果热导率的相对误差 ) ')111 ')111 ) ')111 ')111 ) ')111 ')111

7 第期杨浩等非线性热传导方程的反演计算图时初值为时的图像 %&"*"! 图时初值为 0 7+ 时真值的图像 %&""!* "!07+ 结论本文主要研究了齐次非线性热传导方程的反演计算的数值稳定性经过本文的方法计算后误差已经相对较小逼近效果也很好可见本文的方法是非常有效的参考文献 ','''3.,1'+,6)1'',&2,&;)1,)21)&,)))1&)+'+,77''0&2,&,)+1)'1'!'87;)1,)+&2'6)'+*+;,16'+)&)',1')*''0''@'0)))&+*+ 1',)1,'*.22+', 7)'&.7% 周曼一类热导率的反演数值解法杭州浙江大学钱炜祺蔡金狮任斌二维稳态热传导逆问题初步研究计算物理王振宇刘国华走时层析成像的迭代 3; 正则化反演研究浙江大学学报工学版 3!"2 """.> :'!:.- 0))6+)+):'1&'9;)1,:'0' 5""3,2'2)1*,+,,)*);)1,)21)&,6*))1&)'+*+;*,1)'1 )'+*+)@' )+',)6),'&)'+*+;,2'+)'*&)))'1)@',)1)61, '2218&')+;)1)*)'1)@',3)1),)2'1'6))@'6+))1)2'2)1')*) )1';))@',61,;))&2)1'1)61**),&'1+&)**,+,,)*)&)1+','6) )1';))@','*6';)1,)+'+')*))'+*+;+++)1,2'+)'*)&2)1'1)+& ))1')*+1,,+)+ >0 3;1)'1' &)*3)&)1+',&'1),,, ') 1)'&),6)',)'*)6+'+, '*)'+*+)@';)1,)21)&1)'1'&)*

标题

第 35 卷第期西南大学学报 ( 自然科学版 ) 3 年月 Vol.35 No. JouralofSouthwestUiversity (NaturalScieceEditio) Feb. 3 文章编号 :673 9868(3) 69 4 一类积分型 Meyer-KiḡZeler-Bzier 算子的点态逼近赵晓娣, 孙渭滨宁夏大学数学计算机学院, 银川 75 摘要 : 应用一阶 DitziaṉTotik

杭州师范大学学报 自然科学版 年 ' 对式 在 处采用中心差分离散 ' ' ' ' ' ' ' ' ' 则得到 ' - ' - 即 ' ' 简记形式如下 ' ' ** 再次取如下形式近似 则式 化为 ' ' ' ' 在 和 处离散边界条件可得 ' ' ' ' 故 ' " ' " ' "" ' 当 时

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