單元 28: 對數函數的導函數 ( 課本 x4.5) 一. 自然對數函數的導函數 因為 e x 與 ln x 互為反函數, 故對於 x > 0, 將兩邊對 x 微分, 得 e ln x = x x [eln x ] = [x] () x 接著, 根據自然指數函數的導函數公式 由 () 式, 得 x [eu ] = e u u x 亦相當於 e ln x x [ln x] = x [ln x] = x 故, 兩邊同除 x, 得 x [ln x] = x (2) 中大數學系于振華
又設 u 為 x 的可微函數, 則根據連鎖法則及 (2) 式, 得 x [ln u] = u = u u [ln u] u x = u u0 x 結論 : 設 u 為 x 的可微函數. 則 () 對於自然對數函數, x [ln x] = x 亦即, 自然對數的導函數就是自變數的倒數. (2) 對於自然對數函數與可微函數的合成函數, [ln u] = u = x u x u u0 亦即, 自然對數合成函數的導函數就是內部函數的倒數乘以內部函數的導函數. 例. 試求下列各函數的導函數. 2 中大數學系于振華
(a) f(x) = ln(2x 2 + 4) (b) g(x) = x ln x (c) h(x) = ln p 3x + 6 () k(x) = ln 4 x(x2 + ) 2 q 2x 3 + 2 3 7 5 < 解 > (a) 因為 f 為自然對數函數的合成函數, 故根據上述結論 (2) 的公式, 得 f 0 (x) = = 2x 2 + 4 (2x2 + 4) 0 4x 2x 2 + 4 (b) 根據乘積法則以及自然對數函數的導函數公式, 得 g 0 (x) = (x) 0 ln x + x(ln x) 0 = () ln x + x = ln x + x 3 中大數學系于振華
(c) 首先, 根據對數律將 h 改寫為 h(x) = ln(3x + ) =2 = 2 ln(3x + ) 如此可避免直接微分時, 會用到較複雜的廣義冪次法則以及化簡過程. 接著, 根據純量乘積法則以及自然對數合成函數的導函數公式, 得 h 0 (x) = 2 (3x + )0 3x + = 3 2(3x + ) () 首先, 根據對數律改寫, 得 k(x) = ln[x(x 2 + ) 2 ] ln(2x 3 + ) =2 = ln x + 2 ln(x 2 + ) 2 ln(2x3 + ) 因此, 逐項微分並根據自然指數函數的導函數公式, 得 k 0 (x) = x + 2 x 2 + (x2 + ) 0 = x 4x x 2 + 2 2x 3 + (2x3 + ) 0 3x 2 2x 3 + 4 中大數學系于振華
註. 例 () 小題的化簡有其必要, 否則直接微分時會用到較複雜的分式法則, 廣義冪次法則, 而產生繁瑣以及容易錯誤的過程, 請自行試試. 根據例 (c) 與 () 小題的經驗, 在處理自然對數合成函數的微分時, 若可行, 則有必要先根據對數律化簡, 再微分, 切記. 例 2. 試繪函數 f(x) = x 2 ln x 的圖形. < 解 > 首先, 函數 f 的定義域為 x > 0, 因為 f 的組成部份 ln x 的定義域為 x > 0. (i) 當 x 由右任意靠近 0 時, 故, 根據定義, 得 為一垂直漸近線. lim f(x) x!0 + = lim x!0 +(x2 ln x) = 0 ln 0 + = 0 ( ) = x = 0 5 中大數學系于振華
(ii) 求相對極值. 根據自然對數函數的導函數公式, 對 x 微分並化簡, 得 f 0 (x) = 2x = 2x 2 x x 第一類臨界數 : f 0 = 0, 亦相當於分子 得 2x 2 = 0 x 2 = 2 故, x = p ( 負不合 ) 2 因為定義域為 x > 0. 無第二類臨界數, 因為 f 0 在 f 的定義域 x > 0 上恆定義. 驗證 : 根據所得的一個臨界數, 得二個子區間以及 f 0 在每個子區間的符號, 如下述及圖示. 0; p 2 : f 0 = ( ) (+) = ( ), 遞減. 6 中大數學系于振華
p ; : f 0 = (+) 2 (+) = (+), 遞增. 故, f 在 x = p 2 有相對極小值, 亦為絕對最小值, f! p 2 =! 2 p 2 ln! p 2 = 2 ln + 2 ln 2 其中第三個等號成立乃因為 = 2 + 2 ln 2 所致. ln = 0 (iii) 求反曲點. 再對 x 微分, 得 f 00 (x) = 2 + x 2 因為在 f 的定義域 x > 0 上, f 00 恆定義且為正, 故無第一類及第二類反曲候選點, 而無反曲點. 又 f 00 恆為正, 故 f 恆為上凹. (iv) 描點與連結. 描出所求得的絕對最小值, 繪出垂直漸近線 x = 0, 並將 f 0 與 f 00 的符號分別標記在 x 軸的 7 中大數學系于振華
上方與下方, 再逐次地由左至右, 在每個子區間上, 根據遞增遞減性以及凹性, 繪出對應的曲線, 並連結所描出的點, 如下述及圖示. 0; p 2 : f 0 = ( ), f 00 = (+), 遞減且上凹. p ; : f 0 = (+), f 00 = (+), 遞增且上凹. 2 因此, 得 f 的圖形, 如圖示. 二. 其它底數的指數與對數函數 設 a > 0 且 a 6=. 指數函數 a x 為一對一函數, 故有反函數, 並稱此反函數為, 以 a 為底數的對數函數, 且表示成 亦即, log a x log a x = b, a b = x 8 中大數學系于振華
如圖示. (i) 性質. 根據 a x 與 log a x 互為反函數, 得 () 對於 x > 0, a log a x = x (2) 對於 < x <, log a a x = x 例如, log 2 8 = log 2 2 3 = 3 且 以及 log 0 0 = log 0 0 = log 3 8 = log 3 3 4 = 4 (ii) 換底公式. 將底數 a 換成底數 e 公式為 9 中大數學系于振華
() 指數函數 : a x (ln a)x = e (2) 對數函數 : log a x = ln x ln a 為何如此? 根據 e x 與 ln x 互為反函數, 故先取對數再取指數, 可相互抵銷, 得 a x ln ax = e 再根據對數律化簡上式的等號右邊, 得 如所求. a x = e x ln a (ln a)x = e 根據 a x 與 log a x 互為反函數, 得 a log a x = x 將上式兩邊同取 ln, 並根據對數律化簡, 得 ln x = ln a log a x = (log a x) ln a 0 中大數學系于振華
最後, 將上式兩邊同除 ln a, 得 如所求. log a x = ln x ln a 例如, 且 以及 log 2 3 = ln 3 ln 2 :585 log 3 6 = ln 6 ln 3 :63 ln 0:25 log 6 0:25 = ln 6 = ln 2 2 ln 2 4 = 2 ln 2 4 ln 2 = 2 三. 一般指數與對數函數的導函數 設 u 為 x 的可微函數, 以及 a > 0 且 a 6=, 則 () 底數為 a 的指數函數 : x [ax ] = (ln a)a x 中大數學系于振華
且 x [au ] = (ln a)a u u x 亦即, 指數函數的導函數還是有一項為函數本身, 但要乘上 ln a; 若為合成函數, 則需再乘上內部函數的導函數 u 0. (2) 底數為 a 的對數函數 : 且 x [log a x] = x [log a u] = ln a ln a x u u x 亦即, 對數函數的導函數還是有一項為倒數, 但要除上 ln a; 若為合成函數, 則需再乘上內部函數的導函數 u 0. 為何如此? () 首先, 根據指數函數的換底公式, a x (ln a)x = e 2 中大數學系于振華
再根據自然指數合成函數的導函數公式以及換底公式, 將上式兩邊對 x 微分, 得 得證. x [ax ] = x [e(ln a)x ] = e (ln a)x x [(ln a)x] = a x ln a = (ln a)a x 最後, 根據連鎖法則以及上式, 得 如所求. x [au ] = u [au ] u x = (ln a)a u u x (2) 首先, 根據對數函數的換底公式, log a x = ln x ln a 再根據純量乘積法則以及自然對數函數的導函數公式, 將上式兩邊對 x 微分, 得 [log a x] = ln x x x ln a = ln [ln x] = a x ln a x 3 中大數學系于振華
得證. 最後, 根據連鎖法則以及上式, 得 如所求. [log a u] = x = [log a u] u u x ln u a u x 例 3. 試求下列各函數的導函數. (a) f(x) = log 5 (x 2 + 6x) (b) g(x) = 6 5x2 +2x (c) h(x) = x3 x < 解 > (a) 因為 f 是底數為 5 的對數合成函數, 故根據一般對數函數的導函數公式, f 0 (x) = = ln 5 x 2 + 6x (x2 + 6x) 0 2x + 6 ln 5 x 2 + 6x 4 中大數學系于振華
(b) 因為 g 是底數為 6 的指數合成函數, 故根據一般指數函數的導函數公式, g 0 (x) = (ln 6)6 5x2 +2x (5x 2 + 2x) 0 = (ln 6)6 5x2 +2x (0x + 2) = 2(ln 6)(5x + )6 5x2 +2x (c) 根據乘積法則以及一般指數函數的導函數公式, 得 h 0 (x) = (x) 0 3 x + x(3 x ) 0 = ()3 x + x (ln 3)3 x ( x) 0 = 3 x + x (ln 3)3 x ( ) = [ (ln 3)x]3 x 5 中大數學系于振華